Um Curso de C´alculo e Equações

regra da corrente, pois uma corrente e´ algo feito de elos simples.
A regra de derivac¸a˜o da func¸a˜o composta combina as derivadas de cada constitu-
inte da corrente de um modo bem determinado, como veremos.
Antes de enuncia´-la em geral, considero algumas composic¸o˜es espec´ıficas, que nos
ajudara˜o a entender a regra geral.
Considere as func¸o˜es fn(x) := n·x, com n ∈ N fixado, g(x) = sin(x) e as compostas
(g ◦ fn)(x) = sin(n · x ). Suponha que fazemos a restric¸a˜o g : [0, 2pi] → R. Enta˜o
quando x percorre [0, 2pi] o paraˆmetro z := n · x percorre n vezes esse intervalo. Ou
seja que o gra´fico da a func¸a˜o sin(n · x ) e´ formado por n co´pias do gra´fico do seno,
claro que mais comprimidas. Abaixo pot o seno e sin(3x):
1
0
x
0,5
621 53
-1
-0,5
40
Figura: Gra´fico de y = sin(x) (vermelho) e de y = sin(3x)
(verde) para x ∈ [0, 2pi].
Como vimos no Cap´ıtulo 12, o cosseno e´ a derivada do seno: onde o cosseno e´
positivo (negativo) o seno e´ crescente (decrescente), onde o cosseno se anula o seno
tem seus ma´ximos ou mı´nimos, etc. Ora, a func¸a˜o cos(nx) satisfaz qualitativamente
todas essas exigeˆncias, ou seja, se comporta qualitativamente como se fosse a derivada
de sin(nx). Ou seja, como fizemos na Parte 1 deste curso, onde os gra´ficos de f ′ e f
eram corretos apenas qualitativamente.
179
1. REGRA DA COMPOSTA OU DA CADEIA 180
Veja isso na pro´xima Figura, com n = 3:
1
0
0,5
-0,5
x
21,50,5 10
-1
Figura: Gra´fico de y = sin(3x) (vermelho) e de y = cos(3x)
(verde) para x ∈ [0, 2pi].
Mas o que esta Figura na˜o tem de quantitativamente correto e´ o fato de que para
que sin(3x) fac¸a 3 vezes o que o seno usual faz quando x percorre [0, 2pi], sin(3x) tem
que ser mais ra´pido que o seno usual. Ou seja, em cada ponto as inclinac¸o˜es das
tangentes de sin(3x) sa˜o maiores que as do seno usual. Quanto maiores? Exatamente
3 vezes maiores.
Por isso a derivada de sin(3x) quantitativamente correta na˜o e´ cos(3x) mas sim:
sin(3x)′ = 3 cos(3x)
e mais em geral:
sin(nx)′ = n cos(nx)
Mostro isso na Figura a seguir:
3
1
-3
2
0
-2
-1
x
1,510,50 2
Figura: Gra´fico de y = sin(3x) (vermelho) e de sua
derivada (verde) para x ∈ [0, 2pi].
Agora consider uma outra composic¸a˜o: f(x) = x2 e g(x) = sin(x), ou seja (g ◦
f)(x) = sin(x2). A diferenc¸a para o exemplo anterior, sin(3x) e´ que a` medida que x
se aproxima de 2pi x2 cresce cada vez mais ra´pido e a func¸a˜o sin(x2) faz aquilo que o
seno faz em cada vez menores intervalos, como mostra a figura a seguir:
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 181
1
0
0,5
6
-0,5 x
53 4
-1
0 1 2
Figura: Gra´fico de y = sin(x) (vermelho) e
de y = sin(x2) (verde) para x ∈ [0, 2pi].
Qualitativamente falando, cos(x2) se comporta como esperamos da derivada de
sin(x2):
1
0
0,5
6
-0,5 x
53
-1
0 1 2 4
Figura: Gra´fico de y = sin(x2) (vermelho) e
de y = cos(x2) (verde) para x ∈ [0, 2pi].
De novo, o que esta´ quantitativamente errado: as inclinac¸o˜es do gra´fico de y =
sin(x2) esta˜o ficando cada vez maiores quando x se aproxima de 2pi. De quanto pre-
cisamos multiplicar a func¸a˜o qualitativamente correta da derivada para termos uma
func¸a˜o quntitativamente exata da derivada ? A resposta como vermos e´: precisamos
multiplicar pela func¸a˜o 2x ! Ou seja, para cada x > 0 a correc¸a˜o muda neste exemplo:
A Figura a seguir superpo˜e os gra´ficos y = sin(x2) e de sua derivada, que veremos
e´ cos(x2) · 2x, e, ademais da´ os gra´ficos de y = 2x e y = −2x. Essas retas passam
pelos pontos de ma´ximo e mı´nimo locais da derivada.
1. REGRA DA COMPOSTA OU DA CADEIA 182
10
0
5
-5
-10
x
630 21 54
Figura: y = sin(x2) (vermelho), sua derivada (verde), y = 2x e
y = −2x, para x ∈ [0, 2pi].
Por u´ltimo, volto num limite calculado como Exerc´ıcio 5.4 do Cap´ıtulo 8:
lim
x→0
sin(k · x)
x
= k.
Podemos olha´-lo do seguinte modo:
lim
x→0
sin(k · x)− sin(k · 0)
x
= k
e reconhecemos enta˜o a definic¸a˜o da derivada da composta sin(k · x) em x = 0.
O Teorema a seguir generaliza essas observac¸o˜es:
Teorema 1.1. Sejam f : I → J e g : K → L func¸o˜es definidas em intervalos, com
a imagem J de f contida no domı´nio K de g, J ⊂ K. Se f e g sa˜o seriva´veis enta˜o
a func¸a˜o composta (g ◦ f) : I → L, definida por (g ◦ f)(x) := g(f(x)) tambe´m e´
deriva´vel e ademais:
(g ◦ f)′(x) = g′(f(x)) · f ′(x).
A notac¸a˜o de Leibniz:
A notac¸a˜o de G. Leibniz para a derivada de y = f(x) e´ dy
dx
. O valor de sua notac¸a˜o
fica claro quando escrevemos a regra da derivada da composta. Para y = f(x),
u = g(y) e u = g(f(x)):
du
dx
=
du
dy
· dy
dx
.
O leitor vera´, por exemplo no Cap´ıtulo 37, como e´ u´til e conforta´vel a notac¸a˜o de
Leibniz.
A prova da Afirmac¸a˜o 1.1 e´ te´cnica, prefiro tirar consequeˆncias.
A primeira consequeˆncia e´ que se pode derivar um nu´mero qualquer de com-
posic¸o˜es. Por exemplo, para tres func¸o˜es podemos afirmar:
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 183
Afirmac¸a˜o 1.1. Sejam f : I → J , g : K → L e h : M → N , com J ⊂ K e L ⊂ M .
Se f, g, h sa˜o deriva´veis, enta˜o a func¸a˜o composta (h ◦ g ◦ f) : I → L, definida por
(h ◦ g ◦ f)(x) := h(g(f(x))) e´ deriva´vel e ademais:
(h ◦ g ◦ f)′(x) = h′(g(f(x))) · g′(f(x)) · f ′(x).
Demonstrac¸a˜o. De fato, associo h ◦ g ◦ f = h ◦ (g ◦ f) e uso o Teorema 1.1 duas
vezes:
(h ◦ (g ◦ f))′(x) = h′(g(f(x))) · (g ◦ f)′(x) =
= h′(g(f(x))) · g′(f(x)) · f ′(x).
�
No Cap´ıtulo 16 sobre func¸o˜es inversas vamos dar aplicac¸o˜es importantes da derivada
da composta.
Vejamos agora alguns exemplos simples:
• f = sin(x), g = x2, enta˜o (g ◦ f)′ = 2 · (sin(x)) · cos(x)
• f = cos(x), g = x2, (g ◦ f)′ = 2 · (cos(x)) · (− sin(x)) = −2 · cos(x) · sin(x).
• como consequeˆncia desse dois itens e da derivada da soma:
(sin(x)2 + cos(x)2)′ = 2 · sin(x) · cos(x)− 2 · cos(x) · sin(x) ≡ 0,
o que e´ natural ja´ que sin(x)2 + cos(x)2 ≡ 1.
• f(x) = x2 e g(x) = sin(x), enta˜o (g ◦ f)′(x) = cos(x2) · 2 · x.
2. A derivada do quociente
Agora uma aplicac¸a˜o da regra da composta aos quocientes de func¸o˜es:
Afirmac¸a˜o 2.1. Sejam f e g func¸o˜es deriva´veis com g nunca nula. Enta˜o
(
f(x)
g(x)
)′(x) =
f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
g2(x)
.
Em particular:
(
1
g
)′(x) = − g
′(x)
g2(x)
.
Demonstrac¸a˜o.
Vou escrever primeiro
f(x)
g(x)
= f(x) · 1
g(x)
e derivar esse produto:
(
f(x)
g(x)
)′(x) = f ′(x) · 1
g(x)
+ f(x) · ( 1
g(x)
)′(x),
Agora olho 1
g(x)
como a composic¸a˜o de duas func¸o˜es f1(x) = g(x) e f2(x) =
1
x
= x−1:
1
g(x)
= (f2 ◦ f1)(x).
2. A DERIVADA DO QUOCIENTE 184
Ja´ sabemos derivar f2(x) =
1
x
= x−1, de fato: f ′2(x) = − 1x2 = −x−2. Enta˜o a regra
da composta da´:
(
1
g(x)
)′(x) = (f2 ◦ f1)′(x) =
= f ′2(f1(x)) · f ′1(x) =
= − 1
g2(x)
· g′(x).
Junto tudo:
(
f(x)
g(x)
)′(x) = f ′(x) · 1
g(x)
+ f(x) · ( 1
g(x)
)′(x) =
= f ′(x) · 1
g(x)
+ f(x) · (− 1
g2(x)
· g′(x)) =
=
f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
g2(x)
,
como quer´ıamos. �
Exemplos:
• Func¸o˜es racionais sa˜o quocientes de polinoˆmios f
g
. Onde g na˜o se anula, a
fo´rmula da Afirmac¸a˜o 2.1 nos diz como deriva´-las.
• A tangente e´ um quociente de func¸o˜es deriva´veis tan(x) = sin(x)
cos(x)
. Onde o
cosseno na˜o se anula podemos deriva´-la obtendo:
tan′(x) =
cos(x) · cos(x)− sin(x) · (− sin(x))
cos2(x)
=
=
1
cos2(x)
e com a nomenclatura conhecida sec(x) := 1
cos(x)
o que temos e´
tan′(x) = sec2(x).
Enta˜o claramente tan′(0) = 1
cos2(0)
= 1 e
lim
x↗pi
2
tan′(x) = lim
x↙−pi
2
tan′(x) = +∞.
A seguir plotei os gra´ficos da tangente e de sua derivada restritas ao
intervalo (−1, 1). Na˜o pude usar um intervalo