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Um Curso de C´alculo e Equações

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original na figura
em forma de L.
Queremos ver se m� e´ o mı´nimo das distaˆncias P1P2 onde P2 e´ a intersecc¸a˜o de
uma reta tangente gene´rica de y = f�(x) com y = 1 + l2 = 2 e P1 a intersecc¸a˜o da
reta tangente gene´rica com x = 0.
Ora,
P1 = (0,−2�x− �− x
2 + 2x− 1
(x− 1)2 ),
P2 = (
2�x− �+ x2 − 2x+ 1
�
, 2),
e
P1P2(x) =
√
(2�x− �+ x2 − 2x+ 1)2
�2
+ (2 +
2�x− �− x2 + 2x− 1
(x− 1)2 )
2.
8. MA´XIMOS E MI´NIMOS: O PROBLEMA DO FRETEIRO 204
O numerador da frac¸a˜o3 que e´ P1P2
′
(x) e´ dado pelo polinoˆmio de grau 8 em x:
(�x5− 5�x4+10�x3− 10�x2+5�x− �+x6− 6x5+15x4− 20x3+15x2− 6x+1− �3x)·
·2 · (2�x− �+ x2 − 2x+ 1),
e verifica-se que em x0 = 1 +
√
�:
P1P2
′
(1 +
√
�) = 0
pois x0 = 1 +
√
� e´ raiz do fator de grau 5 em x:
�x5 − 5�x4 + 10�x3 − 10�x2 + 5�x− �+ x6 − 6x5 + 15x4 − 20x3 + 15x2 − 6x+ 1− �3x.
Ja´ a enorme frac¸a˜o que e´ P1P2
′′
(x) avaliada em x0 = 1 +
√
� vale:
2
√
2(2�2 + 3 + 15�+ 11
√
�+ 9�3/2)
�(1 +
√
�)3
> 0.
Logo x0 = 1 +
√
� e´ minimo local de P1P2(x).
Mas e´ bem claro que, para cada � fixado:
lim
x↘1
P1P2(x) =
= lim
x↘1
√
(2�x− �+ x2 − 2x+ 1)2
�2
+ (2 +
2�x− �− x2 + 2x− 1
(x− 1)2 )
2 = +∞
assim como
lim
x→+∞
P1P2(x) =
= lim
x→+∞
√
(2�x− �+ x2 − 2x+ 1)2
�2
+ (2 +
2�x− �− x2 + 2x− 1
(x− 1)2 )
2 = +∞.
400
100
300
200
0
x
3,53 42,51,5 2
As func¸o˜es P1P2(x) para � = 1 (vermelho) e � = 0.1 (verde)
x0 = 2 e 1.316227766 resp., m1 = 5.656854249 e m0.1 = 3.722854312.
3Conferi as contas que seguem no Maple, pois ficam grandes.
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 205
9. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 9.1. Usando a regra do quociente e definic¸o˜es/relac¸o˜es trigonome´tricas,
prove que
cot′(x) = − csc2(x),
onde cot(x) = 1
tan(x)
e csc(x) := 1
sin(x)
.
Tambe´m mostre que:
sec′(x) = tan(x) sec(x),
onde sec(x) := 1
cos(x)
.
Exerc´ıcio 9.2. Considere f(x) = x
x2+1
.
i) note que ela esta´ definida em todos os reais.
ii) mostre que limx→+∞ f(x) = limx→−∞ f(x) = 0.
iii) determine seus pontos de ma´ximo e mı´nimo locais (usando f ′(x) e/ou f ′′(x)).
iv) com o item ii) e iii) conclua que os ma´ximos e mı´nimos locais sa˜o globais.
v) determine seus dois pontos de inflexa˜o. (Dica: se voceˆ fizer cuidadosamente o
ca´lculo de f ′′(x) vera´ que ha´ simplificac¸o˜es no numerador e que fica fa´cil determinar
onde f ′′(x) = 0.)
Exerc´ıcio 9.3. Considere o gra´fico da func¸a˜o y = A
x
, onde A > 0 fixado, para x > 0.
Considere retaˆngulos formados pelos pontos (0, 0), P1.P2, P3, onde P1 = (x, 0),
P2 = (x,
A
x
) e P3 = (0,
A
x
).
i) Note que todos eles teˆm a mesma a´rea = A.
ii) Qual deles tem o menor per´ımetro ? (Dica: determine um mı´nimo local e prove
que ele e´ de fato mı´nimo global)
Exerc´ıcio 9.4. Considere as func¸o˜es y = fn(x) := x
2n + 1
x2n
, onde n ∈ N.
i) Determine limx→0 fn(x), limx→+∞ fn(x) e limx→−∞ fn(x).
ii) Determine seus pontos de mı´nimos locais / globais.
iii) Prove que a concavidade desses gra´ficos e´ sempre para cima.
Exerc´ıcio 9.5. Calcule a segunda derivada da func¸a˜o
tan(x) :=
sin(x)
cos(x)
.
Exerc´ıcio 9.6. (resolvido)
Imagine que voce se lembra de cor da fo´rmula do seno da soma:
sin(x+ y) = sin(x) · cos(y) + cos(x) · sin(y),
mas que se esqueceu completamente da fo´rmula do cosseno da soma.
i) Como o Ca´lculo pode obter a formula para o cosseno? Ou seja, como saber
derivar pode ajudar ?
ii) E se sei a do cosseno da soma, como obter a do seno da soma via Ca´lculo ?
Exerc´ıcio 9.7. Um ponto P move-se sobre a curva de equac¸a˜o y3 − x2 = 0.
Determine a taxa de variac¸a˜o da coordenada y no instante em que P = (8, 4), se
a taxa de variac¸a˜o da coordenada x no mesmo instante e´ 1cm/s.
9. EXERCI´CIOS 206
Em outras palavras, a coordenada y ao longo dessa curva aumenta ou diminui, no
ponto P , quando aumentamos a coordenada x.
Obs. voceˆ na˜o precisa esboc¸ar a curva.
CAP´ıTULO 15
Derivadas de func¸o˜es Impl´ıcitas
1. Curvas versus gra´ficos
Comecemos com a equac¸a˜o do c´ırculo de raio r:
x2 + y2 = r2.
E´ importante nos darmos conta de que o c´ırculo como um todo na˜o e´ gra´fico de
nenhuma func¸a˜o f : R→ R1.
Mas, dado um ponto P (x, y) do c´ırculo, uma porc¸a˜o do c´ırculo perto de P pode
ser descrita:
• como gra´fico de y = y(x), para x num intervalo centrado em x, ou
• como gra´fico de x = x(y), para y num intervalo centrado em y.
De fato, ha´ dois casos a considerar:
Caso 1: se P = (x, y) no c´ırculo tem coordenada
x 6= −r, r,
enta˜o perto de P o c´ırculo e´ gra´fico de y =
√
1− x2 ou de y = −√1− x2.
Caso 2: se P e´ (−r, 0) ou P = (r, 0), enta˜o perto de P o c´ırculo e´ gra´fico de x =√
1− y2 ou de x = −√1− y2.
No Caso 1 podemos calcular a derivada da func¸a˜o y = y(x), para x num intervalo,
do seguinte modo: derivo a expressa˜o x2 + y(x)2 = r2 pela regra da composta:
(x2 + y(x)2)′ = (r2)′ ⇔ 2x+ 2y(x)y′(x) = 0⇔
⇔ y′(x) = −2x
2y(x)
.
E agora substituindo y(x) por
√
1− x2, se y > 0, ou por y = −√1− x2 se y < 0,
temos:
y′(x) =
−2x
2y(x)
=
−x√
1− x2 , se y > 0,
ou
y′(x) =
−2x
2y(x)
=
x√
1− x2 , se y < 0.
1Na˜o confunda essa afirmac¸a˜o com o fato do c´ırculo ser uma curva de n´ıvel r2 da func¸a˜o F :
R2 → R, F (x, y) = x2 + y2.
207
1. CURVAS VERSUS GRA´FICOS 208
No Caso 2 podemos obter a derivada da func¸a˜o x = x(y), para y num intervalo , do
seguinte modo: derivo a expressa˜o (x(y))2 + y2 = r2 em y, pela regra da composta:
( (x(y))2 + y2 )′ = (r2)′ ⇔ 2x(y)x′(y) + 2y = 0⇔
⇔ x′(y) = −2y
2x(y)
.
E agora substituindo x(y) por
√
1− y2, se x > 0, ou por x = −√1− y2 se x < 0:
x′(y) =
−2y
2x(y)
=
−y√
1− y2 , se x > 0,
ou
x′(y) =
−2y
2x(y)
=
y√
1− y2 , se x < 0.
Isso que fizemos se chama derivac¸a˜o impl´ıcita. E´ u´til mesmo quando na˜o sabemos
a expressa˜o expl´ıcita de y = y(x) ou de x = x(y).
Por exemplo, se nos damos uma curva no plano atrave´s de uma equac¸a˜o do tipo:
x2y2 − 3y2 + y4 − 8y + 2y3 − 4 = 0
verificamos facilmente que (0, 2) e´ um ponto dessa curva.
Sera´ que, num pequeno trecho perto de (0, 2) temos a curva dada como um gra´fico
y = y(x) ? Ou seja, ∀x num intervalo aberto centrado em x = 0, sera´ que
x2y(x)2 − 3y(x)2 + y(x)4 − 8y(x) + 2y(x)3 − 4 = 0 ?.
Veremos que neste Exemplo esse e´ o caso (grac¸as ao Teorema 2.1 a seguir).
Enta˜o supondo por um momento que sabemos que ha´ um gra´fico y = y(x) perto
de (0, 2) qual o valor de y′(x) em (x, y) = (0, 2) ?
Fazemos a derivada em x:
(x2y(x)2 − 3y(x)2 + y(x)4 − 8y(x) + 2y(x)3 − 4)′ = 0⇔
2xy(x)2 + x22y(x)y′(x)− 6y(x)y′(x) + 4y(x)3y′(x)− 8y′(x) + 6y(x)2y′(x) = 0
⇔ 2xy(x)2 + y′(x)[x22y(x)− 6y(x) + 4y(x)3 − 8 + 6y(x)2] = 0
⇔ y′(x) = −2xy(x)
2
x22y(x)− 6y(x) + 4y(x)3 − 8 + 6y(x)2
que da´ em (x, y) = (0, 2)
y′(0) =
0
48
= 0,
ou seja que o gra´fico y = y(x) em torno de (x, y) = (0, 2) tem reta tangente horizontal
nesse ponto.
CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 209
2. Teorema da func¸a˜o impl´ıcita
Como saberemos se lidamos com y = y(x) ou x = x(y) em torno de um ponto
P = (x, y) de uma curva F (x, y) = 0 ?
O Teorema 2.1 a seguir da´ uma resposta (sua prova se veˆ em Ana´lise Matema´tica):
Para poder enuncia´-lo vamos introduzir um s´ımbolo novo: dada uma expressa˜o
F (x, y) em duas varia´veis, defino ∂F (x,y)
∂x
como sendo a derivada dessa expressa˜o em
x (se houver), onde se considera y fixado. Por exemplo: se F (x, y) = yx2 + y2 enta˜o
∂F (x,y)
∂x
= 2yx. Se F (x, y) = y2 enta˜o ∂F (x,y)
∂x
≡ 0. Se F (x, y) = exp(x)y2, enta˜o
∂F (x,y)
∂x
= exp(x)y2.
E analogamente, ∂F (x,y)
∂y
se define como a derivada dessa expressa˜o em y (se hou-
ver), onde se considera x fixado.
Teorema 2.1. (Teorema da func¸a˜o Impl´ıcita).
Seja F