Derivadas - Aproximação Linear

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IFBA
Ca´lculo 1
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2013
Aula 11
Objetivos
- Entender a relac¸a˜o entre os conceitos f´ısicos de velocidade e acel-
erac¸a˜o e derivadas;
- Calcular a melhor aproximac¸a˜o linear de uma curva na vizinhanc¸a
de um dado ponto.
0.1 Velocidade e Acelerac¸a˜o
Consideremos um mo´vel percorrendo uma certa trajeto´ria tal que x(t) seja a func¸a˜o que nos mostra a posic¸a˜o
deste num dado instante t.
• Velocidade Instantaˆnea: Da f´ısica sabemos que sua velocidade me´dia entre os instantes t0 e t1 e´ dada por
vm =
∆x
∆t
=
x(t1)− x(t0)
t1 − t0 .
Supondo que x(t) seja diferencia´vel em ti, podemos obter sua velocidade tomando o limite
v(ti) = limt→ti
x(t)− x(ti)
t− ti = lim∆t→0
x(ti + ∆t))− x(ti)
∆t
= x′(ti).
Em um instante t qualquer (em que x(t) seja diferencia´vel) temos
v(t) = x′(t).
• Acelerac¸a˜o Instantaˆnea: Supondo que v(t) = x′(t) seja diferencia´vel no ponto ti. Sua acelerac¸a˜o me´dia entre os
instantes t0 e t1 pode ser calculada como
am =
∆v
∆t
=
v(t1)− v(t0)
t1 − t0 .
Neste caso, a acelerac¸a˜o instantaˆnea em ti pode ser conseguida por meio do limite.
a(ti) = limt→ti
v(t)− v(ti)
t− ti = lim∆t→0
v(ti + ∆t)− v(ti)
∆t
= v′(ti).
Em um instante t qualquer (em que v(t) senha diferencia´vel) temos
a(t) = v′(t).
A velocidade instantaˆnea e´ comumente chamada de taxa de crescimento instantaˆnea. Vejamos algumas aplicac¸o˜es:
Exemplo 1. A posic¸a˜o de uma part´ıcula e´ dada pela equac¸a˜o
s(t) = t3 − 6t2 + 9t
onde t e´ medido em segundos e s em metros. Determine:
a) A posic¸a˜o no instante t = 2 s;
b) A velocidade no instante t;
c) A velocidade no instante t = 2 s;
d) O instante em que a part´ıcula esta´ em repouso;
e) A acelerac¸a˜o no instante t;
f) A acelerac¸a˜o do mo´vel no instante t = 2 s.
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Soluc¸a˜o:
a) s(2) = 23 − 6.22 + 9.2 = 8− 24 + 18 = 2m;
b) v(t) = s′(t)⇒ v(t) = 3t2 − 12t + 9;
c) v(2) = 3.22 − 12.2 + 9 = 12− 24 + 9 = −3m/s;
d) v(t) = 0⇒ 3t2 − 12t + 9 = 0⇒ t1 = 1 s e t2 = 3 s;
e) a(t) = v′(t)⇒ a(t) = 6t− 12;
f) a(2) = 6.2− 12 = 0m/s2.
2) O crescimento em certa cultura de bacte´rias e´ dada pela fo´rmula
N(t) = 100e0,4055t
onde t e´ medido em horas.
a) Encontre o nu´mero inicial de bacte´rias;
b) Encontre o nu´mero de bacte´rias no instante t = 1h;
c) Encontre a taxa instantaˆnea de crescimento da populac¸a˜o no instante t;
d) Encontre a taxa instantaˆnea de crescimento no instante t = 1h.
Soluc¸a˜o:
a) N(0) = 100e0,4055.0 = 100e0 = 100 bacterias;
b) N(1) = 100e0,4055.1 = 100e0,4055 ≈ 100.1, 5 = 150 bacterias;
c) N ′(t) = 100e0,4055t.0, 4055 = 40, 55e0,4055t;
d) N ′(1) = 40, 55e0,4055.1 = 40, 55e0,4055 ≈ 61 bacterias/hora.
3) Apo´s retirado do forno, a temperatura de um bolo em nos minutos seguintes e´ dada por
T (t) = 25 + 60e−0,2t
onde t e´ dado em minutos e T em graus Celsius.
a) Encontre a temperatura do bolo 2 minutos apo´s retirado do forno;
b) A temperatura do meio ambiente, supondo que esta permanec¸a sempre constante;
c) A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea da temperatura do bolo no instante t;
d) A a taxa a que a temperatura esta´ variando no instante t = 3min;
e) A a taxa a que a temperatura esta´ variando no instante t→ +∞.
Soluc¸a˜o:
a) T (2) = 25 + 60e−0,2.2 = 62, 2 oC;
b) A temperatura do meio ambiente e´ a mesma que o bolo atingira´ apo´s o equil´ıbrio te´rmico. Isso provavelmente
ocorrera´ quando t→ +∞. Assim,
TMeio = limt→+∞25 + 60e−0,2.∞ = 25 + 60e−∞ = 25 + 60.0 = 25 oC;
c) T ′(t) = 60e−0,2t.(−0, 2) = −12e−0,2t;
d) T ′(3) = −12e−0,2.3 − 12e−0,6 = −6, 59 oC/min;
e) limt→+∞ − 12e−0,2t = −12e−0,2.∞ = −12e−∞ = 12.0 = 0 oC/min.
Exerc´ıcio 1. Uma bola lanc¸ada para cima, a partir do solo da terra, tem sua altura em cada instante dada por
h(t) = 50t− 4, 9t2
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onde t e´ medido em segundos e h em metros. Determine:
a) A posic¸a˜o 4 s apo´s o lanc¸amento;
b) A velocidade da pedra no instante t;
c) A velocidade da pedra no isntante t = 3 s;
d) O instante em que a part´ıcula atinge a altura ma´xima;
e) A acelerac¸a˜o no instante t;
Respostas: a) 121, 6m acima do solo b) v(t) = 50− 9, 8t
c) 20, 6m/s subindo (sinal positivo subida / sinal negativo descida) d) ≈ 5, 1 s apo´s o lanc¸amento
e) a = −9, 8m/s2
Exerc´ıcio 2. A populac¸a˜o segue o modelo
P (t) =
190000
1 + e4−0,03t
onde t e´ medido em anos.
a) Encontre a popoluac¸a˜o inicial prevista pelo modelo;
b) Encontre a populac¸a˜o em t = 50 anos;
c) Encontre a taxa instantaˆnea de crescimento da populac¸a˜o no instante t;
d) Encontre a taxa instantaˆnea de crescimento no instante t = 50 anos.
Respostas:
a) 3417 habitantes b) 14413 habitantes c) P ′(t) = 5700e
4−0,03t
(1+e4−0,03t)2 d) P
′(50) = 400 habitantes/ano.
0.2 Aproximac¸a˜o Linear
Nesta parte usaremos a reta tangente em (a, f(a)) como uma aproximac¸a˜o para a curva y = f(x) quando x esta´
pro´ximo de a. Sabemos que a reta tangente a` curva y = f(x) no ponto (a, f(a)) e´ dada por:
y − f(a) = f ′(a)(x− a).
Assim,
f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a),
para x pro´ximo de a. A reta
L(x) = f(a) + f ′(a)(x− a)
sera´ chamada de linearizac¸a˜o de f em a.
Exemplo 2. Encontre a linearizac¸a˜o da func¸a˜o f(x) = x3 +x em a = 1 e use-a para aproximar os valores de f(0, 98)
e f(1, 01). Compare os valores aproximados com os valores reais.
Soluc¸a˜o:
i) f ′(x) = 3x2 + 1⇒ f ′(1) = 3.12 + 1;
ii) L(x) = f(1) + f ′(1)(x− 1)⇒ L(x) = 13 + 1 + (3.12 + 1)(x− 1)⇒ L(x) = 4x− 2.
iii) L(0, 98) = 4.0, 98− 2 = 1, 92, L(1, 01) = 4.1, 01− 2 = 2, 04.
Assim, f(0, 98) ≈ 1, 92 e f(1, 01) ≈ 2, 04.
Agora, comparemos com os valores reais
f(0, 98)− L(0, 98) = 1, 921192− 1, 92 = 0, 001192 e f(1, 01)− L(1, 01) = 2, 040301− 2, 04 = 0, 000301.
Observe que os valores foram aproximados por baixo.
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Exemplo 3. Encontre a linearizac¸a˜o da func¸a˜o f(x) = xe−x + 2 em a = 0 e use-a para aproximar os valores de
f(−0, 01) e f(0, 02). Compare os valores aproximados com os valores reais.
Soluc¸a˜o: i) f ′(x) = e−x − xe−x;
ii) L(x) = f(0) + f ′(0)(x− 0)⇒ L(x) = 0.e0 + 2 + (e−0 − 0e−0).x⇒ L(x) = 2 + x.
iii) L(−0, 01) = 2− 0, 01 = 1, 99, L(0, 02) = 2 + 0, 02 = 2, 02.
Assim, f(−0, 01) ≈ 1, 99 e f(0, 02) ≈ 2, 02.
Agora, comparemos com os valores reais
f(−0, 01)− L(−0, 01) = 1, 990099502− 1, 99 = 9, 95.10−5 e f(0, 02)− L(0, 02) = 2, 020404027− 2, 02 = 4, 04.10−5.
Exemplo 4. Suponha que apo´s ter recheado um peru a sua temperatura e´ de 20 oC e voceˆ enta˜o o coloca em um forno
de 270 oC. Depois de uma hora o termoˆmetro do peru indica que sua temperatura esta´ a 70 oC e, apo´s 2 horas, a
105 oC. Estime sua temperatura apo´s 3 horas.
Soluc¸a˜o: Temos os seguintes dados T (0) = 20 oC, T (1) = 70 oC e T (2) = 105 oC.
i) Estimando T ′(2)
T ′(2) = limh→0
T (2 + h)− T (2)
h
≈h=−1 T (2− 1)− T (2)−1 =
70− 105
−1 = 35
oC/h.
ii) Estimando T (3)
T (3) ≈ T (2) + T ′(2)(3− 2) = 105 + 35(3− 2) = 140 oC = 140 oC.
Logo, a temperatura do bolo sera´ de aproximadamente 140 oC. Esta aproximac¸a˜o subestima ou superestima o valor
real da temperatura?
Exerc´ıcio 3. Encontre a linearizac¸a˜o da func¸a˜o f(x) = x2 +1 em a = 2 e use-a para aproximar os valores de f(2, 01)
e f(1, 98). Compare os valores aproximados com os valores reais.
Resposta: Linearizac¸a˜o: L(x) = 4x − 3; Aproximac¸a˜o: L(2, 01) = 5, 04, L(1, 98) = 4, 92; omparac¸a˜o: f(2, 01) −
L(2, 01) = 0, 0001, f(1, 98)− L(1, 98) = 0, 0004.
Exerc´ıcio 4. Encontre a linearizac¸a˜o da func¸a˜o f(x) = ex
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+ x em a = 0 e use-a para aproximar os valores de
f(0, 045) e f(−0, 031). Compare os valores aproximados com os valores reais.
Resposta: Linearizac¸a˜o: L(x) = x+1; Aproximac¸a˜o: L(0, 045) = 1, 045,L(−0, 031) = 0, 969; Comparac¸a˜o: f(0, 045)−
L(0, 045) = 2, 027051607.10−3, f(−0, 031)− L(−0, 031) = 9, 614619085.10−4.
Exerc´ıcio 5. Uma pedra e´ arremessada verticalmente para cim a partir do solo da Terra. Apo´s 1 s do lanc¸amento a
sua altura era de 55, 1m e apo´s 1, 5 s do lanc¸amento sua altura era de 78, 975m. Estime sua altura no instante 2 s.
Compare a estimativa com o valor obtido por meio da equac¸a˜o hora´ria da posic¸a˜o h(t) = h0 + v0t − g2 t2 e obtenha
Lh(2) por meio da func¸a˜o h(t) e h(1, 5). Compare todos os resultados. Considera g = 9, 8m/s
2.
Resposta: Estimativa: 102, 85m; Func¸a˜o hora´ria da posic¸a˜o: h(t) = 60t − 4, 9t2; Valor Exato: h(2) = 100, 4m;
Lh(t) = 45, 3t + 11, 025; L(2) = 101, 625m; Comparac¸a˜o: h(2) − Est(2) = −1, 45 ⇒ 1, 45, h(2) − L(2) = −1, 225 ⇒
1, 225. Por comparac¸a˜o percebemos que L(2) e´ de fato a melhor aproximac¸a˜o, isto e´, L(2) esta´ mais pro´ximo de
h(2) = 100, 4m. Em geral, o problema esta´ no fato de so´ podermos recorrer a esta aproximac¸a˜o linear nos casos em
que temos uma equac¸a˜o modelando problema em estudo. Perceba que sabiamos previamente a equac¸a˜o que modela o
lanc¸amento vertical!
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