Derivadas - Máximo e Mínimo

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IFBA
Ca´lculo 1
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2013
Aula 13
Objetivos
- Utilizar os conceitos de derivadas na busca por extremos locais e
pontos cr´ıticos de uma func¸a˜o.
0.1 Extremos de Func¸o˜es
Definic¸a˜o 1. Seja uma func¸a˜o f definida em um intervalo I, e sejam x1 e x2 nu´meros reais em I.
i) f e´ crescente em I se f(x1) < f(x2) quando x1 < x2;
ii) f e´ decrescente em I se f(x1) > f(x2) quando x1 < x2;
iii) f e´ constante em I se f(x1) = f(x2) quando x1 < x2.
Exemplo 2. Estude o crescimento de cada um dos gra´ficos a seguir:
(1)
Soluc¸a˜o:
a) Pela definic¸a˜o 1 temos que
f(x) e´ Decrescente em [−2,+∞);
f(x) e´ constante em (−∞,−2].
b) Pela Definic¸a˜o 1 temos que
f(x) e´ crescente em (−∞,−3] ∪ [0, 3];
f(x) e´ decrescente em [−3, 0];
f(x) e´ constante em [3,+∞).
Definic¸a˜o 3. Seja f uma func¸a˜o definida em um conjunto S de nu´meros reais, e seja c um nu´mero em S.
i) f(c) e´ o valor ma´ximo de f em S se f(x) ≤ f(c) para todo x em S;
ii) f(c) e´ o valor mı´nimo de f em S se f(x) ≥ f(c) para todo x em S.
Exemplo 4. Seja f(x) = 4− x2. Determine os extremos de f nos intervalos:
a) [−2, 1] b) (−2, 1) c) (1, 2]
Soluc¸a˜o: Os gra´ficos dos itens a), b) e c) sa˜o dados a seguir:
(2)
1
a) Ma´x = f(0) = 4, Mı´n = f(−2) = 0;
b) Ma´x = f(0) = 4, Mı´n = nenhum;
c) Ma´x = nenhum, Mı´n = f(2) = 0.
Exemplo 5. Determine os extremos de f(x) = 1x2 no intervalo [−1, 3).
Soluc¸a˜o: O gra´fico de f no intervalo [−1, 3) e´ dado por:
(3)
Observe que f na˜o possui ma´ximo ou mı´nimo no intervalo [−1, 3).
Teorema 6. Se uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em um intervalo fechado [a, b], enta˜o f toma seu valor ma´ximo e seu valor
mı´nimo ao menos uma vez em [a, b].
Teorema 7. Seja c um nu´mero no domı´nio de uma func¸a˜o f .
i) f(c) e´ um ma´ximo local de f se existe um intervalo aberto (a, b), contendo c tal que f(x) ≤ f(c) para todo x em
(a, b).
ii) f(c) e´ um mı´nimo local de f se existe um intervalo aberto (a, b), contendo c tal que f(x) ≥ f(c) para todo x em
(a, b).
Exemplo 8. Observe o gra´fico da func¸a˜o y = t(x) a seguir no intervalo aberto (a, b).
(4)
Sa˜o ma´ximos locais o valores t(d), t(g) e todos os valores do intervalo [e, f ];
Sa˜o mı´nimos locaos os pontos t(c) e todos os valores do intervalo [e, f ].
Agora vejamos alguns teoremas que associara˜o ma´ximos e mı´nimos locais e derivadas.
Teorema 9. Se uma func¸a˜o f tem extremo local em um nu´mero c em um intervalo aberto, enta˜o ou f ′(c) = 0 ou
f ′(c) na˜o existe.
Teorema 10. Se uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em um intervalo fechado [a, b] e toma seu ma´ximo ou mı´nimo em um
ponto c do intervalo aberto (a, b), enta˜o ou f ′(c) = 0 ou f ′(c) na˜o existe.
Definic¸a˜o 11. Um nu´mero c no domı´nio de uma func¸a˜o f e´ um nu´mero cr´ıtico de f se f ′(c) = 0 ou f ′(c) na˜o existe.
Exemplo 12. Para cada func¸a˜o a seguir, determine, se existirem, seus pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos no
intervalo dado.
2
a) f(x) = x2 − 5x + 6, [−1, 4];
b) f(x) = x3 − 6x2, [−2, 3];
c) f(x) = (x− 2)2/3 + 3, [−6, 3];
Soluc¸a˜o:
a) f(x) = x2 − 5x + 6⇒ f ′(x) = 2x− 5
Note que f ′(x) = 0⇒ x = 52 . Como f ′(x) existe em todo ponto, temos que x = 52 e´ o u´nico ponto cr´ıtico de f .
Agora vejamos o maior e o menor dos nu´meros f
(
5
2
)
, f(−1) e f(4).
f
(
5
2
)
=
(
5
2
)2 − 5 52 + 6 = −0, 25
f(−1) = (−1)2 − 5.(−1) + 6 = 12
f(4) = 42 − 5.4 + 6 = 2
Portanto, o ma´ximo e o mı´nimo de f no intervalo [−1, 4] sa˜o dados, respectivamente, por f(−1) = 12 e f ( 52) = −0, 25.
b) f(x) = x3 − 6x2 ⇒ f ′(x) = 3x2 − 12x
Note que f ′(x) = 0 ⇒ 3x2 − 12x = 0 ⇒ 3x(x − 4) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 4. Como f ′(x) existe em todo ponto, temos
que x = 0 e x = 4 sa˜o os u´nicos pontos cr´ıticos de f .
Agora, vejamos o maior e o menor dos nu´meros f(0), f(−2) e f(3) (lembre-se que x = 4 na˜o esta´ no intervalo [−2, 3]).
f(0) = 03 − 6.02 = 0
f(−2) = (−2)3 − 6.(−2)2 = −8− 24 = −32
f(3) = 33 − 6.32 = 27− 54 = −27
Portanto, o ma´ximo e o mı´nimo de f no intervalo [−2, 3] sa˜o dados, respectivamente, por f(0) = 0 e f(−2) = −32.
c) f(x) = (x− 2)2/3 + 3⇒ f ′(x) = 23 (x− 2)−1/3 = 23 1(x−2)1/3 = 23 3√x−2
Note que f ′(x) = 0 ⇒ 2
3 3
√
x−2 = 0 ⇒ 2 = 0 ⇒ a equc¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o. Note que f ′(x) na˜o existe para x = 2.
Portanto, temos que x = 2 e´ o u´nico ponto cr´ıtico de f .
Agora, vejamos o maior e o menor dos nu´meros f(2), f(−6) e f(3).
f(2) = (2− 2)2/3 + 3 = 0 + 3 = 3
f(−2) = (−6− 2)2/3 + 3 = (−8)2/3 + 3 = 4 + 3 = 7
f(3) = (3− 2)2/3 + 3 = 12/3 + 3 = 4
Portanto, o ma´ximo e o mı´nimo de f no intervalo [−6, 3] sa˜o dados, respectivamente, por f(−6) = 7 e f(2) = 3.
Exemplo 13. Determine os pontos cr´ıticos das func¸o˜es
a) f(x) = x3;
b) f(x) = 1x2−1 .
c) f(x) = (x + 1)2 3
√
x.
Soluc¸a˜o:
a) f(x) = x3 ⇒ f ′(x) = 3x2
3x2 = 0⇒ x = 0
Como f ′(x) existe para todo x real, temos que x = 0 e´ o u´nico ponto cr´ıtico de f .
b) f(x) = 1x2−1 ⇒ f ′(x) = (x
2−1).0−2x.1
(x2−1)2 = − 2x(x2−1)2
f ′(x) = 0⇒ − 2x(x2−1)2 = 0⇒ −2x = 0⇒ x = 0
Observe que f ′(x) na˜o existe para os valores de x = −1 e x = 1. Portanto, os pontos cr´ıticos de f sa˜o x = 0, x = −1
e x = 1.
c) f(x) = (x + 1)2 3
√
x⇒ f ′(x) = 2(x + 1) 3√x + (x + 1)2 13x−2/3.
Uma vez que devemos procurar os zeros de f ′(x) devemos organizar f ′(x).
f ′(x) = 2(x + 1) 3
√
x + (x+1)
2
3x2/3
= 2(x+1)x
1/3.3x2/3+(x+1)2
3x2/3
= (x+1)(6x+x+1)
3x2/3
= (x+1)(7x+1)
3x2/3
.
f ′(x) = 0⇒ (x+1)(7x+1)
3x2/3
= 0⇒ (x + 1)(7x + 1) = 0⇒ x = −1 ou x = − 17
Observe que f ′(x) na˜o existe para x = 0. Portanto, os pontos cr´ıticos de f sa˜o dados por x = −1, x = − 17 e x = 0.
3
Exerc´ıcio 1. Considere o gra´fico de uma func¸a˜o f definida entre [−2, 2]:
(5)
a) Estude o crescimentos da func¸a˜o f ;
b) Determine os pontos cr´ıticos de f no intervalo aberto (−2, 2);
c) Determine os extremos de f no intervalo [−2, 2].
Respostas: a) Crescente: x ∈ [−2,−1] ∪ [1, 2], Decrescente: x ∈ [−1, 1]; b) x = −1 pois o gra´fico apresenta uma
tangente horizontal neste ponto (f ′(−1) = 0), x = 1 pois o gra´fico apresenta uma tangente horizontal neste ponto
(f ′(1) = 0); c) max: f(−1) = 3, min: f(1) = −3.
Exerc´ıcio 2. Considere o gra´fico de uma func¸a˜o f definida entre [−4, 4]:
(6)
a) Estude o crescimentos da func¸a˜o f ;
b) Determine os pontos cr´ıticos de f no intervalo aberto (−4, 4);
c) Determine os extremos de f no intervalo [−4, 4].
Respostas: a) Crescente: x ∈ [−4, 0] ∪ [2, 4], Decrescente: x ∈ [0, 2]; b) x = 0 pois o gra´fico apresenta apresentas
tangentes diferentes (pela direita e pela esquerda) em x = 0 ( f ′(0) na˜o existe pois temos um bico), x = 2 pois o
gra´fico apresenta uma tangente horizontal neste ponto (f ′(2) = 0); c) max: f(0) = 2 e f(4) = 2 , min: f(−4) = 0 e
f(2) = 0.
Exerc´ıcio 3. Encontre os extremos de f(x) no intervalo indicado:
a) f(x) = x2, [−1, 2];
b) f(x) = x
3
3 − 5x
2
2 + 6x + 1, [0, 4];
c) f(x) = 1x , [1, 3];
d) f(x) = x2, [−1, 2);
e) f(x) = 1x , (0, 1]. Pense!
Respostas: a) max: f(2) = 4, min: f(0) = 0; b) max: f(4) = 19/3, min: f(0) = 1; c) max: f(1) = 1, min: f(3) = 13 ;
d) max: na˜o tem, min: f(0) = 0; e) max: na˜o tem, min: f(1) = 1.
Exerc´ıcio 4. Encontre os pontos cr´ıticos das func¸o˜es a seguir:
a) f(x) = 4x2 − 3x + 2;
b) f(x) = 2x + 5;
c) f(x) = 2x3 + x2 − 20x + 4;
4
d) f(x) = x4 − 32x;
e) f(x) =
√
x− 1;
f) f(x) = 1x2−9 ;
g) f(x) = (2x− 5)√x2 − 4;
Respostas: a) 38 ; b) na˜o tem; c) −2 e 53 ; d) 2; e) 1; f) na˜o tem (lembre-se que f tem que esta´ definida nos pontos
onde f ′(x) = 0 ou f ′(x) na˜o exista); g) −2, 2, 5−
√
153
8 .
5