Exercicios - 2

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FT- UNICAMP
Exercícios de Álgebra Linear
Retirados, basicamente dos livros textos (do prof. Reginaldo Santos, livro GAAL, e 
dos profs. Steinbruch e Winterle, livro Álgebra Linear)
1) Verifique se a seguinte transformação é linear:
 22: ℜ→ℜF , definida por ( ) ( )xyyxyxF −−= 2,,
2) Sejam S1 e S2 subconjuntos finitos do Rn tais que S1 seja um subconjunto de S2 
(S1 ≠ S2).
Se S2 é linearmente dependente, então:
(a) S1 pode ser linearmente dependente? Em caso afirmativo dê um exemplo.
(b) S1 pode ser linearmente independente? Em caso afirmativo dê um exemplo.
3) Encontre os valores de λ¸ tais que o sistema homogêneo (A-λI3)X = 0

 tem solução não
trivial e, para esses valores de λ¸ encontre um subconjunto de vetores ortonormais no conjunto solução para a 
matriz 








=
220
220
000
A .
4) Considere o vetor 



=
2
3,
2
1
1f . 
(a) Escolha f2 de forma que S = {f1, f2} seja base ortonormal do R2. Mostre que S é base.
(b) Considere ( )3,3=P . Escreva P como combinação linear dos elementos de S.
(c) Determine [P]{O,S}, as coordenadas de P em relação ao sistema de coordenadas deter-
minado pela origem O e pela base S. 
5) Seja T:R3 → R2 uma transformação linear definida por T(1,1,1) = (1,2), T(1,1,0) = (2,3) e T(1,0,0) = 
(3,4).
a) Determinar T(x,y,z);
b) Determinar o vetor v pertencente a R3 tal que T(v) = (-3,-2);
c) Determinar v Ɛ R3 tal que T(v) = (0,0).
6) Seja o operador linear T:R2 → R2, T(x,y) = (2x + y, 4x + 2y).
Quais dos seguintes vetores pertencem a N(T), ou (núcleo de T).
a) (1,-2); b) (2, -3) e c) (-3,6)
7) Seja T:R4 → R3 uma transformação linear definida por T(e1) = (1,-2,1), T(e2) = (-1,0,1), T(e3) = (0,1,-2) e 
T(e4) = (1,-3,1), sendo {e1, e2, e3, e4}
a) Determinar o núcleo e a imagen de T;
b) Determinar bases para o núcleo e para a imagem;
c) Verificar o Teorema da Dimensão.
1
8) Seja T:R2 → R2 definida por: 


−
=
51
31
]T[ . Determinar os vetores u, v e w tais que:
a) T(u) = u; b) T(v) = 2v e c) T(w) = (4,4).
9) Sendo S e T operadores lineares do R3 definidos por S(x,y,z) = (x,2y,x-y) e 
T(x,y,z) = (x-z,y,z), determinar (FoG significa uma transformação composta):
a) [SoT];
b) [ToS].
10) Seja T:R2 → R3 uma transformação linear com matriz
[ ]








−
−
=
32
10
11
'B
B
T
Para B ={e1,e2}, base canônica do R2, e B’ = {(1,0,1),(-2,0,1),(0,1,0)}, base do R3. Qual a imagem do vetor 
(2,-3) pela T? 
Exercícios das páginas 410 e 411 do livro do prof. Reginaldo Santos
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