Ecuaciones Diferenciales Parciales y Problemas de Ondas y de Calor con Condiciones de Frontera

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Cap´ıtulo 11
E.D.P. y problemas de contorno
11.1. Motivacio´n
Una de las ecuaciones en derivadas parciales cla´sicas es la que describe la conduccio´n
de calor en un cuerpo so´lido. Consideremos una barra recta, cil´ındrica, delgada, de seccio´n
transversal uniforme, cuya a´rea A es pequen˜a comparada con la longitud L, de material
homoge´neo y cuya superficie lateral esta´ aislada de modo que no pasa calor a trave´s de
ella. Supondremos tambie´n que esta´ orientada de tal modo que el eje Ox coincida con el
de la barra, cuyos extremos son x = 0 y x = L.(Ver Figura 11.1). Con estas hipo´tesis
podemos asumir que la temperatura depende u´nicamente de la posicio´n sobre el eje Ox
y del tiempo t, es decir
u = u(x, t)
lo que supone que la temperatura en cualquier seccio´n es constante.
En estas condiciones se demuestra que la ecuacio´n de conduccio´n de calor es
ut = α
2uxx,
donde α2 = k/ρs es un coeficiente que depende u´nicamente del material de la barra y
se llama difusividad te´rmica (k es la conductividad te´rmica, ρ la densidad y s el calor
espec´ıfico).
Para poder determinar completamente el flujo de calor a trave´s de la barra es necesario
indicar la distribucio´n de temperatura en un instante fijo, generalmente t = 0, e imponer
condiciones en los extremos de la barra, por ejemplo fijar la temperatura en ambos puntos.
159
160 CAPI´TULO 11. E.D.P. Y PROBLEMAS DE CONTORNO
Figura 11.1: Barra homoge´nea de seccio´n uniforme
11.2. Ecuaciones lineales de segundo orden
Limitaremos nuestro estudio a las ecuaciones lineales de segundo orden, concretamente
en dimensio´n 2, es decir ecuaciones de la forma
A(x, y)uxx +B(x, y)uxy + C(x, y)uyy +D(x, y)ux + E(x, y)uy + F (x, y)u = G(x, y).
Si G(x, y) = 0 la ecuacio´n se dice homoge´nea y si A, B, C, D, E y F son constantes la
ecuacio´n se dice con coeficientes constantes. La ecuacio´n se ha escrito con las variables in-
dependientes x e y, sin embargo en muchos problemas una de las variables independientes
es el tiempo t por lo que la ecuacio´n sera´ escrita en te´rminos de x y t.
Tres tipos ba´sicos de ecuaciones lineales de segundo orden son: el´ıpticas, parabo´licas e
hiperbo´licas, segu´n que B2−4AC sea negativo, nulo o positivo en todo punto del dominio.
Puede darse la circunstancia que una misma ecuacio´n sea de varios tipos segu´n sobre que
parte del dominio este´ actuando.
La forma mas simple de estos tres tipos de ecuaciones son
Ecuacio´n de Laplace: uxx + uyy = 0,
Ecuacio´n del calor: −ut + c2 uxx = 0,
Ecuacio´n de ondas: −utt + c2 uxx = 0.
Esta clasificacio´n se puede extender a ma´s variables independientes, por ejemplo con
dos y tres variables espaciales los tres tipos anteriores quedan caracterizados, respectiva-
mente, por la ecuacio´n de Laplace
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0,
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
= 0
11.3. ECUACIO´N DEL CALOR 161
la ecuacio´n del calor
−∂u
∂t
+ c2
(
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
)
= 0, −∂u
∂t
+ c2
(
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
)
= 0
y la ecuacio´n de ondas
−∂
2u
∂t2
+ c2
(
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
)
, −∂
2u
∂t2
+ c2
(
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
)
= 0
Esta clasificacio´n es bastante importante, ya que el tipo de condiciones de contorno y
la naturaleza de las soluciones son distintas en los tres casos. Corresponden a tres clases
distintas de feno´menos f´ısicos: estados de equilibrio (Laplace), difusio´n (ecuacio´n del calor)
y vibraciones y propagacio´n de ondas (ecuacio´n de ondas).
En esta breve resen˜a solamente trataremos el me´todo de separacio´n de variables, que
es quiza´s el ma´s antiguo para resolver e.d.p. (ya fue usado por D’Alembert, D. Bernouilli
y Euler en 1750 para tratar la ecuacio´n de ondas), y que ba´sicamente consiste en la
sustitucio´n de la e.d.p. por un conjunto de e.d.o., y la representacio´n de la solucio´n por
medio de una serie de Fourier.
11.3. Ecuacio´n del calor
Estudiaremos u´nicamente la ecuacio´n del calor en una dimensio´n espacial. La tempe-
ratura en el instante t y en el punto x de una barra, tal como la de la Figura 11.1, de
longitud L, cuyos extremos esta´n a T1 y T2 grados respectivamente, y cuya distribucio´n
inicial de temperatura es u(x, 0) = f(x), viene dada por
c2uxx = ut, 0 < x < L, t > 0
u(0, t) = T1, t > 0
u(L, t) = T2, t > 0,
u(x, 0) = f(x), 0 < x < L.
Se trata de una ecuacio´n parabo´lica, con condiciones de contorno no homoge´neas y
condicio´n inicial f(x).
11.3.1. Condiciones de contorno homoge´neas
Se trata de calcular u(x, t) tal que
c2uxx = ut, 0 < x < L, t > 0
u(0, t) = 0, t > 0
u(L, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = f(x), 0 < x < L.
162 CAPI´TULO 11. E.D.P. Y PROBLEMAS DE CONTORNO
El me´todo de separacio´n de variables esta´ basado en la idea de determinar ciertas
soluciones de la ecuacio´n diferencial de la forma
u(x, t) = X(x)T (t).
Indicando
X ′(x) =
dX
dx
, T ′(t) =
dT
dt
resultara´ la siguiente ecuacio´n
c2X ′′T = XT ′ ⇐⇒ X
′′
X
=
1
c2
T ′
T
en la cual las variables esta´n separadas. Esta u´ltima ecuacio´n sera´ va´lida ∀x ∈ (0, L),
t > 0, por lo que ambos miembros sera´n iguales a una constante, llamada constante de
separacio´n, que indicaremos por −λ
X ′′
X
=
1
c2
T ′
T
= −λ.
De las condiciones de contorno de nuestro problema se deduce que X(0) = X(L) = 0. Por
tanto, la funcio´n X(x) ha de ser tal que
X ′′ + λX = 0
X(0) = 0
X(L) = 0.
Se trata de un problema de contorno, de naturaleza completamente distinta de los proble-
mas de valor inicial, que solamente tiene solucio´n para determinados valores del para´metro
λ, denominados valores propios, y las soluciones correspondientes a esos valores se les de-
nomina funciones propias.
En este caso los valores propios del problema son
λn =
n2pi2
L2
, n = 1, 2, 3, · · ·
y las correspondientes funciones propias
Xn(x) = sen
npix
L
, n = 1, 2, 3, · · · .
Para estos valores propios la ecuacio´n diferencial ordinaria en la variable T (t) es
T ′ +
c2n2pi2
L2
T ′ = 0,
cuyas las soluciones no triviales sera´n de la forma
Tn(t) = e
− c2n2pi2
L2
t.
11.3. ECUACIO´N DEL CALOR 163
Hemos obtenido dos sucesiones Xn(x) y Tn(t) que dan lugar a la sucesio´n de funciones
producto
un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = e
− c2n2pi2
L2
t · sen npix
L
.
Cada una de estas funciones, y cualquier combinacio´n lineal, satisface la ecuacio´n del calor
y las condiciones de contorno homoge´neas. Se trata ahora de combinar estas funciones
para que satisfaga tambie´n la condicio´n no homoge´nea u(x, 0) = f(x). Con una combi-
nacio´n lineal sera´ improbable que se pueda ajustar esta condicio´n, a menos que f(x) sea
combinacio´n lineal del mismo tipo de senos, por lo que supondremos
u(x, t) =
∞∑
n=1
cnun(x, t) =
∞∑
n=1
cne
− c2n2pi2
L2
t · sen npix
L
,
que al imponer la condicio´n inicial da lugar a
u(x, 0) =
∞∑
n=1
cn sen
npix
L
= f(x).
Por tanto los valores cn buscados son los coeficientes de la serie de Fourier de senos de
f(x), es decir
cn =
2
L
∫ L
0
f(x) sen
npix
L
dx.
Por tanto, con estos coeficientes cn
u(x, t) =
∞∑
n=1
cne
− c2n2pi2
L2
t · sen npix
L
,
sera´ una solucio´n formal en serie del problema de contorno original.
Todo esto sera´ posible siempre que f(x) satisfaga las condiciones del teorema de con-
vergencia de Fourier en (0, L). En ese caso se considera la extensio´n impar a (−L, 0) y
perio´dicamente, con periodo 2L, al resto de R, para obtener la serie de senos de f(x).
Se demuestra que si f(x) esta´ acotada en [0, L] la serie obtenida converge uniforme-
mente a una funcio´n continua, u(x, t), que se puede derivar dos veces respecto a la variable
x y una vez respecto a t y que, en definitiva, la solucio´n formal es la solucio´n del problema.
Es de observarque la solucio´n obtenida tiende a la funcio´n nula cuando t −→ ∞, tal
como era de esperar, ya que los extremos de la barra se mantienen a cero grados.
Ejercicio 11.3.1 Los extremos x = 0 y x = L de una barra, que se encuentra inicialmen-
te a una temperatura descrita por la funcio´n f(x) = senpix/L, se encuentran inicialmente
a 0 grados. Deducir la distribucio´n de temperatura u(x, t) y verificar completamente la so-
lucio´n.
164 CAPI´TULO 11. E.D.P. Y PROBLEMAS DE CONTORNO
La temperatura u(x, t) sera´ tal que
c2uxx = ut, 0 < x < L, t > 0
u(0, t) = 0, t > 0,
u(L, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = sen pix
L
, 0 < x < L.
Aplicando el procedimiento anterior se obtiene fa´cilmente
u(x, t) = e−
c2pi2
L2
t sen
pix
L
,
que se puede comprobar satisface la ecuacio´n, las condiciones de contorno y la inicial. �
Ejercicio 11.3.2 Resolver el problema de transmisio´n de calor sobre una barra de longi-
tud unidad:
uxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
u(0, t) = 0, t > 0,
u(L, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = 1, 0 < x < 1.
Al aplicar el me´todo descrito anteriormente se obtiene como solucio´n
u(x, t) =
4
pi
∞∑
n=1
1
2n− 1 sen(2n− 1)pix e
−(2n−1)2pi2t.
En la Figura 11.2 esta´n representadas las aproximaciones de u(x, t) considerando 3 y
50 te´rminos, respectivamente, de su serie de Fourier. �
11.3.2. Condiciones de contorno no homoge´neas
Consideramos el problema
c2uxx = ut, 0 < x < L, t > 0
u(0, t) = T1, t > 0
u(L, t) = T2, t > 0,
u(x, 0) = f(x), 0 < x < L.
que puede quedar reducido al anterior mediante el siguiente argumento: despue´s de un
tiempo grande, t −→∞, se obtendra´ una distribucio´n de temperaturas v(x) en el estado
11.3. ECUACIO´N DEL CALOR 165
0
2
4
6
8
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Aproximación de u(x,t) tomando 3 términos de su serie de Fourier
0
2
4
6
8
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Aproximación de u(x,t) tomando 50 términos de su serie de Fourier
Figura 11.2: Representacio´n de aproximaciones de u(x, t).
estacionario que sera´ independiente del tiempo y de la condicio´n inicial. Como v(x) debe
satisfacer la ecuacio´n del calor y vt = 0 se tiene
vxx = 0
v(0) = T1
v(L) = T2,
cuya solucio´n es
v(x) = (T2 − T1)x
L
+ T1.
Haciendo el cambio u(x, t) = v(x) + w(x, t) se obtiene el problema con condiciones ho-
moge´neas
c2wxx = wt 0 < x < L, t > 0
w(0, t) = 0 t > 0
w(L, t) = 0 t > 0
w(x, 0) = f(x)− v(x) 0 < x < L,
cuya solucio´n sera´ de la forma
w(x, t) =
∞∑
n=1
cne
− c2n2pi2
L2
t · sen npix
L
,
donde
cn =
2
L
∫ L
0
[
f(x)− (T2 − T1)x
L
− T1
]
sen
npix
L
dx.
Por tanto la solucio´n del problema es
u(x, t) = v(x) + w(x, t)
donde v(x) y w(x, t) son las funciones obtenidas anteriormente.
166 CAPI´TULO 11. E.D.P. Y PROBLEMAS DE CONTORNO
11.3.3. Barra con extremos aislados
Se supone que el flujo de calor a trave´s de los extremos de la barra es nulo, por lo que
hemos de calcular una funcio´n u(x, t) tal que
c2uxx = ut 0 < x < L, t > 0
ux(0, t) = 0 t > 0
ux(L, t) = 0 t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 < x < L.
Aplicando el me´todo de separacio´n de variables, igual que en los casos anteriores, se
obtienen los valores y funciones propias
λn =
n2pi2
L2
, Xn(x) = cos
npix
L
, n = 0, 1, 2, · · · .
La solucio´n formal en forma de serie de Fourier es de la forma
u(x, t) =
c0
2
+
∞∑
n=1
cne
− c2n2pi2
L2
t cos
npix
L
,
donde cn, n = 0, 1, 2, · · · , son los coeficientes de la serie de Fourier de cosenos de la funcio´n
f(x), es decir
c0 =
2
L
∫ L
0
f(x)dx, cn =
2
L
∫ L
0
f(x) cos
npix
L
dx.
11.4. Ecuacio´n de ondas
Se obtiene en cualquier ana´lisis matema´tico de feno´menos de propagacio´n de ondas en
un medio continuo, por ejemplo ondas acu´sticas, electromagne´ticas etc.
Trataremos la ecuacio´n de ondas en una dimensio´n, y la aplicaremos a vibraciones
transversales de una cuerda ela´stica y flexible, extendida entre soportes fijos al mismo
nivel. Si es puesta en movimiento en un tiempo inicial t = 0, vibrara´ libremente en un
plano vertical siempre que los efectos de amortiguamiento, tales como la resistencia del
aire, sean despreciados. En estas condiciones el problema queda planteado en los siguientes
te´rminos
c2uxx = utt,
u(0, t) = 0,
u(L, t) = 0,
u(x, 0) = f(x),
ut(x, 0) = g(x).
11.4. ECUACIO´N DE ONDAS 167
La constante c2 = T/ρ, donde T es la tensio´n de la cuerda y ρ es la densidad de masa
constante de la cuerda (masa por unidad de longitud), la funcio´n inco´gnita, u(x, t), indica
la altura del punto de la cuerda de abscisa x en el instante t, f(x) es la posicio´n inicial
de dicho punto y g(x) su velocidad inicial.
Ejemplo 11.4.1 Comprobar que la solucio´n formal del problema en el caso en que g(x) =
0 es
u(x, t) =
∞∑
n=1
kn sen
npix
L
cos
cnpit
L
, kn =
2
L
∫ L
0
f(x) sen
npix
L
dx. �
La solucio´n que se obtiene es la superposicio´n de las soluciones en forma de producto,
u(x, t) =
∑
kn un(x, t), conocidas como modos de vibracio´n. El primer sumando
u1(x, t) = sen
pix
L
cos
cpit
L
,
se llama modo fundamental de vibracio´n, y su frecuencia natural (inversa del periodo),
c/2L, se llama frecuencia fundamental o primera armo´nica.
El sonido producido por una cuerda de un instrumento musical dependera´ de los tres
para´metros, L, T y ρ. Dado que la frecuencia fundamental, en funcio´n de estos para´metros,
es √
T
2L
√
ρ
resulta que al aumentar la tensio´n aumenta la frecuencia fundamental, y esto se oye como
una nota mas alta, y al aumentar la longitud disminuye la frecuencia fundamental que da
lugar a una nota mas baja.
El segundo modo de vibracio´n,
u2(x, t) = sen
2pix
L
cos
2cpit
L
,
tiene una frecuencia natural, 2c/2L, doble que la frecuencia fundamental por lo que se
llama segunda armo´nica.
De igual forma, la tercera armo´nica es el tercer sumando, que tiene una frecuencia
natural triple de la fundamental, etc.. El sonido que emite una cuerda vibrante incluye
la primera armo´nica y las sucesivas, y el sonido que se oye dependera´ de la amplitud de
cada una de ellas, k1, k2,...
Ejemplo 11.4.2 Comprobar que la solucio´n formal del problema, en el caso general, es
u(x, t) =
∞∑
n=1
sen
npix
L
(
cn sen
cnpit
L
+ kn cos
cnpit
L
)
,
donde
cn =
2
cnpi
∫ L
0
g(x) sen
npix
L
dx, kn =
2
L
∫ L
0
f(x) sen
npix
L
dx. �
168 CAPI´TULO 11. E.D.P. Y PROBLEMAS DE CONTORNO
Ejercicio 11.4.1 Hallar la fo´rmula y(x, t) que describe los desplazamientos de una cuerda
de viol´ın, sabiendo que responde al siguiente modelo matema´tico
∂2y
∂t2
= a2 ∂
2y
∂x2
y(0, t) = y(10, t) = yt(x, 0) = 0
y(x, 0) =
{
x
20
, 0 ≤ x < 5
1
2
− x
20
, 5 ≤ x ≤ 10.
Al abordar el problema por separacio´n de variables, y(x, t) = Y (x)T (t), hemos de resolver
el problema de contorno
Y ′′ + λY = 0
Y (0) = Y (10) = 0,
cuyos valores propios y funciones propias son
λn =
(npi
10
)2
, Yn = sen
npix
10
.
A continuacio´n
T ′′ + n
2pi2a2
100
T = 0
T ′(0) = 0,
cuyas soluciones son de la forma
Tn(t) = cos
npiat
10
.
Por tanto, la solucio´n general es de la forma
y(x, t) =
∑
cn cos
npiat
10
sen
npix
10
.
Al imponer la otra condicio´n inicial, y(x, 0) = f(x), resultara´ que los coeficientes cn sera´n
los de la serie de Fourier de senos de la funcio´n f(x), para lo cual deberemos considerar la
extensio´n impar de esta funcio´n y a continuacio´n extenderla perio´dicamente, con periodo
20.
Se obtiene
y(x, t) =
∑
n impar
2(−1)n−12
n2pi2
cos
npiat
10
sen
npix
10
. �
En las Figuras11.3 y 11.4 esta´n representadas las posiciones de una cuerda de lon-
gitud unidad, con el valor c = 1, considerando 8 te´rminos de la serie, que en el instante
inicial se separo´, por el punto medio, una distancia 0,25 de su posicio´n de equilibrio y se
solto´ deja´ndola vibrar libremente.
11.5. ECUACIO´N DE LAPLACE 169
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
CUERDA VIBRANTE − Instante de tiempo: 2
Figura 11.3: Posiciones de la cuerda vibrante en el instante inicial y t = 2.
11.5. Ecuacio´n de Laplace
Corresponde a problemas estacionarios, por ejemplo la distribucio´n estacionaria de
temperatura en una placa Ω, suponiendo que sea conocida la temperatura en el borde,
esta´ caracterizada por
uxx + uyy = 0 (x, y) ∈ Ω
u(x, y) = f(x, y) (x, y) ∈ ∂Ω.
Segu´n sean las condiciones de contorno, se presentan tres tipos de problemas
1. Problema de Dirichlet: la temperatura u(x, y) es conocida en la frontera.
2. Problema de Neumann:
∂u
∂n
(x, y) es conocida.
3. Problema con condiciones mixtas: en parte de la frontera es conocida u y en el resto
su derivada normal.
Ejercicio 11.5.1 (Problema de Dirichlet) Resolver el siguiente problema de contor-
no, que modela la distribucio´n estacionaria de temperatura en una placa cuadrada de lado
unidad
uxx + uyy = 0 (x, y) ∈ [0, 1]× [0, 1]
u(0, y) = u(1, y) = u(x, 1) = 0
u(x, 0) = 1.
Buscamos soluciones de la forma u(x, y) = X(x)Y (y), lo que da lugar al problema de
contorno
X ′′ + λX = 0
X(0) = X(1) = 0,
170 CAPI´TULO 11. E.D.P. Y PROBLEMAS DE CONTORNO
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
CUERDA VIBRANTE − Instante de tiempo: 4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
CUERDA VIBRANTE − Instante de tiempo: 8
Figura 11.4: Posiciones de la cuerda vibrante en los instantes que se indican.
cuyos valores propios y funciones propias son
λn = n
2pi2, Xn = sennpix.
A continuacio´n
Y ′′ − n2pi2Y = 0
Y (1) = 0,
cuyas soluciones son de la forma
Yn = e
npiy − enpi(2−y).
Por tanto la solucio´n es de la forma
u(x, y) =
∑
cn
(
enpiy − enpi(2−y)) sennpix,
tal que
u(x, 0) =
∑
cn
(
1− e2npi) sennpix = 1.
Por tanto cn (1− e2npi) son los coeficientes de la serie de Fourier de senos de la funcio´n
f(x) = 1, es decir
cn
(
1− e2npi) = { 0, n par4
npi
, n impar.
Se obtiene la solucio´n formal en forma de serie
u(x, y) =
∑
n impar
4
npi (1− e2npi)
(
enpiy − enpi(2−y)) sennpix.
Si las condiciones de contorno fueran no homoge´neas sobre los cuatro lados, resolvemos
cuatro problemas de contorno, ana´logos a este, de modo que cada uno de ellos tiene una
11.5. ECUACIO´N DE LAPLACE 171
Figura 11.5: Problema con condiciones de contorno mixtas
condicio´n no homoge´nea sobre uno de los lados y homoge´neas en los tres lados restantes.
La solucio´n del problema propuesto ser´ıa la suma de la de esos cuatro problemas. �
Ejercicio 11.5.2 (Problema con condiciones mixtas) Calcular la distribucio´n esta-
cionaria de temperatura en una placa rectangular Ω = [0, 2] × [0, 1] (ver Figura 11.5),
sabiendo que responde al siguiente modelo matema´tico
uxx + uyy = 0 (x, y) ∈ Ω
u(0, y) = 0,
u(2, y) = 3 cos 2piy,
∂u
∂y
(x, 0) =
∂u
∂y
(x, 1) = 0.
Al aplicar el me´todo de separacio´n de variables se obtiene el problema de contorno
Y ′′ + λY = 0
Y ′(0) = Y ′(1) = 0,
cuyos valores propios y funciones propias son
λn = n
2pi2, Yn = cosnpiy, n = 0, 1, 2, ...
A continuacio´n resolvemos
X ′′ − λnX = 0
X(0) = 0,
172 CAPI´TULO 11. E.D.P. Y PROBLEMAS DE CONTORNO
0
0.5
1
1.5
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−3
−2
−1
0
1
2
3
Figura 11.6: Solucio´n del problema con condiciones de contorno mixtas
para cada uno de los valores λn, obteniendoX0(x) = x para λ0 = 0, yXn(x) = e
npix−e−npix
para λn = n
2pi2. Por tanto, la solucio´n formal en serie es de la forma
u(x, y) = c0x+
∞∑
n=1
cn(e
npix − e−npix) cosnpiy,
y al imponer la u´ltima condicio´n de contorno u(2, y) = 3 cos 2piy resulta c0 = 0, cn = 0 si
n 6= 2 y c2(e4pi − e−4pi) = 3 . Es decir, la solucio´n del problema queda en la forma
u(x, y) =
3(e2pix − e−2pix)
(e4pi − e−4pi) cos 2piy.
Su representacio´n gra´fica es la de la Figura 11.6. �
.
11.6. Ejercicios
1. Encontrar una funcio´n u(x, t), 0 < x < pi, t > 0, tal que
∂u
∂t
= 4∂
2u
∂2x
u(0, t) = u(pi, t) = 0
u(x, 0) =
{
x, 0 ≤ x ≤ pi/2
pi − x, pi/2 ≤ x < pi
11.6. EJERCICIOS 173
[Resp.: u(x, t) =
∞∑
n=1
4(−1)n+1
pi(2n− 1)2 sen(2n− 1)xe
−4(2n−1)2t].
2. Consideremos el problema de transmisio´n de calor
uxx = ut 0 < x < 1 t > 0
u(0, t) = 10 u(1, t) = 0 t > 0
u(x, 0) = −10x 0 < x < 1.
Plantear un problema equivalente con condiciones de contorno homoge´neas, y obte-
ner la solucio´n del problema original justificando detalladamente todos los pasos.
[Resp.: u(x, t) = −10x+ 10−
∞∑
n=1
20
npi
[(−1)n − 1] e−n2pi2t sennpix].
3. a) Encontrar los autovalores y autofunciones del problema de contorno
X ′′ + λX = 0
X(0) = X(pi) = 0,
y demostrar que dichas autofunciones son ortogonales, dos a dos, en el intervalo
[−pi, pi].
b) Resolver el problema de transmisio´n de calor
uxx − ut = 0, 0 < x < pi, 0 < t <∞,
u(0, t) = u(pi, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = f(x),
donde f(x) = 1 para pi/3 < x < 2pi/3, y f(x) = 0 en otro caso.
Representar gra´ficamente u(x, 0) y una aproximacio´n de u(x, 1) y u(x, 2), con-
siderando uno o dos te´rminos de la serie.
[Resp.: u(x, t) =
2
pi
∞∑
n=1
1
n
[
cos
npi
3
− cos 2npi
3
]
e−n
2t sennx].
4. Considerar la ecuacio´n en derivadas parciales
auxx − but + cu = 0
donde a, b y c son constantes.
a) Hacer u(x, t) = ektw(x, t), donde k es una constante, y encontrar la e.d.p.
correspondiente para w.
174 CAPI´TULO 11. E.D.P. Y PROBLEMAS DE CONTORNO
b) Si b 6= 0 demostrar que puede elegirse k de modo que la e.d.p. resultante no
tenga te´rmino en w.
c) Resolver el problema de contorno
uxx − ut + 2u = 0
u(0, t) = u(1, t) = 0
u(x, 0) = 17 sen 5pix− 3 sen 7pix
[Resp.: awxx − bwt + (c− bk)w = 0; k = c/b;
u(x, t) = 17e(2−25pi
2)t sen 5pix− 3e(2−49pi2)t sen 7pix].
5. a) Obtener, de manera razonada, la serie de Fourier de cosenos de una funcio´n f ,
definida en un intervalo [0, L].
b) Obtener una solucio´n formal en serie de Fourier de problema de contorno
x′′ + 2x = t
x′(0) = x′(pi) = 0.
Sugerencia: usar una serie de Fourier de cosenos, en la cual cada te´rmino
satisfaga las condiciones de contorno.
[Resp.: x(t) =
pi
4
+
4
pi
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2 [(2n− 1)2 − 2] cos(2n− 1)t.]
6. Resolver el siguiente problema, que modela la distribucio´n de temperatura en una
barra de longitud pi
ut = uxx, 0 < x < pi, t > 0,
u(o, t) = 0, t > 0,
u(pi, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = 1− cos2 x, 0 < x < pi.
Escribir la solucio´n aproximada, considerando dos te´rminos de la serie de Fourier
correspondiente y esbozar la gra´fica de estas soluciones en los instantes t = 0 y
t = 1.
[Resp.: u(x, t) =
8
3pi
(
e−t senx− 1
5
e−9t sen 3x
)
]