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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´
INSTITUTO DE MATEMA´TICA E COMPUTAC¸A˜O
1a PROVA DE MAT 003 - CA´LCULO III - 2014/I - PROF. ARTUR FASSONI - 12/04/2014
Nome: Matrı´cula: Turma: ( ) T6 (manha˜)
( ) T2 (tarde)
Atenc¸a˜o:
A prova conteˆm 4 questo˜es, valendo 25 pontos cada. Leia todas elas com atenc¸a˜o.
Fac¸a uma questa˜o em cada pa´gina do almac¸o, EM ORDEM: Q1 na pa´g. 1, Q2 na pa´g. 2, etc.
Questo˜es fora da pa´gina correta ou ocupando mais de uma pa´gina sera˜o desconsideradas.
Coloque nome e matrı´cula na folha de almac¸o. Esta folha de questo˜es tambe´m devera´ ser entregue.
Boa Prova!
1. (a) Calcule a integral dupla
∫ 4
0
∫ 2
√
x
1
y3 +1
dydx.
(b) Calcule a integral tripla
∫∫∫
E
x dV , onde E e´ o so´lido limitado pelo cilindro parabo´lico y = x2 e
pelos planos x = 0 e y+ z = 1.
2. (a) Calcule ∫ 1
√
2/2
∫ x
√
1−x2
√
1+4x2 +4y2 dydx+
∫ √2
1
∫ x
0
√
1+4x2 +4y2 dydx +
∫ 2
√
2
∫ √4−x2
0
√
1+4x2 +4y2 dydx.
(b) O resultado obtido em (a) representa a a´rea de qual superfı´cie?
3. Calcule o volume da regia˜o so´lida compreendida dentro da esfera x2 + y2 + z2 = a2, abaixo do cone
z =
√
x2 + y2 e acima do plano z = 0.
4. A integral calculada abaixo representa a massa de um so´lido E com densidade varia´vel:
m =
∫ 3
−3
∫ √9−x2
0
∫ 9−x2−y2
0
√
x2 + y2 dzdydx =
162pi
5
.
Descreva e desenhe este so´lido, e calcule seu centro de massa (x¯, y¯, z¯).
Fo´rmulas para o centro de massa:
x¯ =
1
m
∫∫∫
E
x ρ(x,y,z) dV, y¯ =
1
m
∫∫∫
E
y ρ(x,y,z) dV, z¯ =
1
m
∫∫∫
E
z ρ(x,y,z) dV.