Equacoes Diferenciais Topico 5

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Equações Diferenciais – Tópico 5
• Modelagem com equações diferenciais 
lineares de primeira ordem.
Modelagem com EDO de primeira ordem
{ Uma das abordagens mais utilizadas na descrição do nosso
mundo física é através de equações diferenciais.
{ Construção do modelo: Tradução da situação física em
termos matemáticos. Exprimir claramente os princípios físicos
que governam o processo. Equação diferencial é um modelo
matemático do processo, tipicamente uma aproximação. 
{ Análise do modelo: Estudo do comportamento e das soluções
do problema matemático. Muitos vezes é necessário introduzir
novas aproximações desde que as principais características
físicas sejam preservadas
{ Comparação com o experimento ou observação: Determina a 
validade e seu intervalo de aplicabilidade ou sugere mudanças
caso o modelo não represente a realidade física.
Exemplo 1: Ratos e Corujas
{ Considere uma população de ratos que se reproduzem a 
uma taxa constante de 0.5 rato/mês proporcional a própria
população (sem corujas a princípio).
4505.0' −= pp
{ Quando as corujas estão presentes, elas comem os ratos. 
Suponha que as corujas comam em média 15 ratos por dia. 
{ A equação diferencial que descreve a polulação de ratos é
tketp 5.0900)( +=
Exemplo 2: Solução de Sal (1 de 7)
{ No instante t = 0, um tanque contendo Q0 lb de sal dissolvido
em 100 gal de água. Assume-se que água contendo ¼ lb de 
sal/gal entra no tanque a uma taxa r gal/min, e sai a mesma taxa.
(a) Determine o PVI que descreve o fluxo de solução de 
sal.
(b) Determine a quantidade de sal Q(t) no tanque em
um dado instante de tempo t. 
(c) Determine a quantidade QL de sal Q(t) no tanque
depois de um longo período de tempo.
(d) Se r = 3 e Q0 = 2QL , ache o tempo T após o qual o 
nível de sal está dentro de uma faixa de 2% de QL . 
(e) Encontre a taxa de fluxo necessária para que o valor 
de T não exceda 45 min. 
Exemplo 2: (a) Problema de valor inicial (2 de 7)
saída de taxa- entrada de taxa/ =dtdQ
0)0(,1004
QQrQr
dt
dQ =−=
{ No instante t = 0, um tanque contém Q0 lb de sal dissolvida em
100 gal de água. Assume-se que água contendo ¼ lb de sal/gal 
entra no tanque a uma taxa r gal/min, e sai a mesma taxa.
{ Assume-se também que o sal não é criado nem destruido no 
tanque e que sua distribuição é uniforme. Então
{ Taxa de entrada: (1/4 lb sal/gal)(r gal/min) = (r/4) lb/min
{ Taxa de saída: Se há Q(t) lbs de sal no tanque no instante de 
tempo t, então a concentração de sal é Q(t) lb/100 gal, e o 
fluxo de saída ocorre a uma taxa de [Q(t)r/100] lb/min. 
{ Assim, o PVI é
Exemplo 2: (b) Determinando Q(t) (3 de 7)
{ Para determinar a quabtidade de sal Q(t) no tanque em um 
dado instante de tempo t, é necessário resolver o PVI
0)0(,4100
QQrrQ
dt
dQ ==+
[ ]
[ ] 100/0
100/100/100/
100/
100/
100/
2525)(
2525
4
)(
)(
rt
rtrtrt
rt
rt
rtat
eQtQ
CeCeedtreetQ
eet
−
−−−
−+=
+=+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
==
∫
μ
( ) 100/0100/125)( rtrt eQetQ −− +−=
{ Usando o método dos fatores integrantes:
ou
Exemplo 2: (c) Determinando a quantidade QL (4 de 7)
{ Determinando a quantidade limite QL de sal Q(t) no tanque
após um longo período de tempo:
[ ]( ) lb 252525lim)(lim 100/0 =−+== −∞→∞→ rtttL eQtQQ
( ) 100/0100/125)( rtrt eQetQ −− +−=
{ Este resultado era esperado, pois passado um longo tempo o 
sal de entrada deve suplantar (quase) completamente o sal
original contido no tanque. Uma vez que a solução de 
entrada contém 0.25 lb sal / gal, e o tanque 100 gal, teremos
futuramente 25 lb sal aproximadamente.
{ O gráfico mostra várias soluções
para r = 3 e diferentes valores Q0.
Exemplo 2: (d) Determinando o tempo T (5 de 7)
{ Suponha r = 3 e Q0 = 2QL . Para obter o tempo T após o qual
Q(t) é 2% of QL , notemos que Q0 = 2QL = 50 lb, assim
[ ] trt eeQtQ 03.100/0 25252525)( −− +=−+=
min 4.130
03.0
)02.0ln(
03.0)02.0ln(
02.0
25255.25
03.0
03.0
≈−=
−=
=
+=
−
−
T
T
e
e
T
T
{ E como 2% de 25 lb é 0.5 lb, temos de resolver 
Exemplo 2: (e) Determinando a taxa r (6 de 7)
{ Para determinar a taxa de fluxo r necessária para que T não
exceda 45 minutos, lembremos da parte (d) onde Q0 = 2QL = 
50 lb, com
e a curva de solução decresce de 50 para 25.5. 
100/2525)( rtetQ −+=
gal/min 69.8
45.0
)02.0ln(
45.)02.0ln(
02.0
25255.25
45.0
100
45
≈−=
−=
=
+=
−
−
r
r
e
e
r
r
{ Assim, resolvemos
Exemplo 2: Discução (7 de 7)
{ Uma vez que a solução é hipotética, o modelo é válido. 
{ Contanto que as taxas de fluxo sejam precisas, e que a 
concentração de sal no tanque seja uniforme, a equação
diferencial descreverá corretamente o processo.
{ Modelos deste tipo são muita vezes usados nas descrições de 
poluição de lagos, concentração de drogas no organismo, etc. 
As taxas de fluxo podem ser difícies de determinar, ou
variarem com o tempo, e as concentrações podem não ser 
uniformes. Pode ocorrer ainda que as taxas de entrada e 
saída não sejam iguais, e neste caso devemos levar em conta
também a variação da quantidade de líquido presente.
Exemplo 3: Poluição em um açude (1 de 7)
{ Considere um açude que contém inicialmente 10 milhões de 
galões de água fresca. Este açude recebe um fluxo
indesejado de produtos químicos a uma taxa de de 5 milhões
gal/anos, com uma saída de mesma taxa. A concentração
c(t) de produtos químicos no fluxo de água de entrada varia
periodicamente com o tempo:
c(t) = 2 + sen 2t g/gal
(a) Construa um modelo matemático deste processo de fluxo
e determine a quantidade Q(t) de produtos químicos no 
açude como função de t.
(b) Faça um gráfico da solução e descreva em palavras o 
efeito da variação do fluxo de produtos químicos de entrada.
Exemplo 3: (a) Problema de valor inicial (2 de 7)
saída de taxa- entrada de taxa/ =dtdQ
{ O açude contém inicialmente 10 milhões de galões de água
fresca. O fluxo de entrada de água como de produtos químicos
é de 5 milhões gal/anos, com uma saída de mesma taxa. A 
concentração é de c(t) = 2 + sen 2t g/gal de fluxo de entrada.
{ Assume-se que a poluição indesejada não é criado nem
destruida no açude e que sua distribuição é uniforme.
{ Assim, 
{ Taxa de entrada: (2 + sin 2t g/gal)(5 x 106 gal/ano).
{ Taxa de saída: Se há Q(t) g de produtos químicos no açude
no tempo t, então a sua concentração é Q(t) lb/107 gal, e o 
fluxo da taxa de saída é [Q(t) g/107 gal][5 x 106 gal/ano]
Exemplo 3: (a) Modelo matemático (3 de7)
{ Do slide anterior
z Taxa de entrada: (2 + sin 2t g/gal)(5 x 106 gal/anos)
z Taxa de saída: [Q(t) g/107 gal][5 x 106 gal/ano] = Q(t)/2 g/ano.
( )( ) 0)0(,
2
)(10 x 52sin 2 6 =−+= QtQt
dt
dQ
0)0(,2sin 5 10 
2
)( =+=+ qttq
dt
dq
{ Então, o modelo matemático é
{ Mudança de variável: Seja q(t) = Q(t)/106. Então
Example 3: (a) Resolvendo o PVI (4 de 7)
{ Para resolver o problema de valores iniciais usaremos
novamente o método dos fatores integrantes:
( )∫ +=
==
− dtteetq
eet
tt
tat
2sin510)(
)(
2/2/
2/μ
0)0(,2sin5102/ =+=+′ qtqq
2/
2/2/2/2/
17
3002sin
17
102cos
17
4020)(
2sin
17
102cos
17
4020)(
t
tttt
etttq
Cteteeetq
−
−
−+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++−=
{ Integrando por partes (veja próximo slide) e utilizando a 
condição inicial obtemos:
Exemplo 3: (a) Integrando por partes (5 de 7)
( )
Ctetetdte
Ctetetdte
Ctetetdte
tdtetete
tdtetete
tdtetetdte
ttt
ttt
ttt
ttt
ttt
ttt
++−=
++−=
++−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
2sin
17
102cos
17
402sin5
2sin
17
22cos
17
82sin
2sin
8
12cos
2
12sin
16
17
2sin
1612sin
8
12cos
2
1
2sin
4
12sin
2
1
4
12cos
2
1
2cos
4
12cos
2
12sin
2/2/2/
2/2/2/
2/2/2/
2/2/2/
2/2/2/
2/2/2/
Exemplo 3: (b) Analise da solução (6 de 7)
{ Então, o problema de valor inicial e sua solução é
2/
17
3002sin
17
102cos
17
4020)(
0)0(,2sin510
2
1
tetttq
qtq
dt
dq
−−+−=
=+=+
{ O gráfico da solução juntamente com o campo de direções é
apresentado abaixo. 
{ Note que o termo exponencial é
importante para pequenos t, mas decai
rapidamente para grandes valores de t. 
Assim, y = 20 seria uma solução de 
equilíbrio se não fosse pelo termo
sen(2t).
Exemplo 3: (b) Análise das premissas (7 de 7)
{ A quantidade de água no açude é determinada inteiramente
pelos taxas de entrada e saída de água, e nada é perdido por
evaporação ou infiltração e nada é ganho por chuva, etc. 
{ A quantidade de produtos químicos também é controlada
somente pelas taxas de entrada e saída.
{ A distribuição dos produtos químicos no açude é unifrome.
	Modelagem com EDO de primeira ordem
	Exemplo 1: Ratos e Corujas
	Exemplo 2: Solução de Sal (1 de 7)
	Exemplo 2: (a) Problema de valor inicial (2 de 7)
	Exemplo 2: (b) Determinando Q(t) (3 de 7)
	Exemplo 2: (c) Determinando a quantidade QL (4 de 7)
	Exemplo 2: (d) Determinando o tempo T (5 de 7)
	Exemplo 2: (e) Determinando a taxa r (6 de 7)
	Exemplo 2: Discução (7 de 7)
	Exemplo 3: Poluição em um açude (1 de 7)
	Exemplo 3: (a) Problema de valor inicial (2 de 7)
	Exemplo 3: (a) Modelo matemático (3 de7)
	Example 3: (a) Resolvendo o PVI (4 de 7)
	Exemplo 3: (a) Integrando por partes (5 de 7)
	Exemplo 3: (b) Analise da solução (6 de 7)
	Exemplo 3: (b) Análise das premissas (7 de 7)