Capítulo 10

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Capítulo 10
SOLUÇÕES APROXIMADAS DA 
EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES
2
Neste capítulo, discutiremos várias aproximações que simplificam a
equação de Navier- Stokes, incluindo o escoamento lento, onde os termos
viscosos dominam os termos inerciais. O escoamento de lava de um vulcão
é um exemplo de escoamento lento – a viscosidade da rocha fundida é tão
grande que o número de Reynolds é pequeno, embora as escalas de
comprimento sejam grandes.
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Objetivos
• Apreciar por que as aproximações são 
necessárias para resolver muitos problemas de 
escoamento de fluidos e saber quando e onde 
essas aproximações são apropriadas
• Entender os efeitos da ausência dos termos 
inerciais na aproximação do escoamento lento, 
incluindo o desaparecimento da massa específica 
nas equações
• Entender a superposição como um método para 
resolver problemas de escoamento potencial
• Predizer a espessura da camada limite e outras 
propriedades da camada limite
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10–1 ■ INTRODUÇÃO
Na solução “Exata” as soluções se
iniciam com a equação completa de
Navier-Stokes, enquanto que na
solução aproximada o inicio ocorre
com uma forma simplificada da
equação de Navier-Stokes.
No Capítulo 9, derivamos a equação diferencial 
do momento linear para um fluido incompressível 
newtoniano com propriedades constantes .— a 
equação de Navier–Stokes. 
A grande maioria dos problemas práticos na 
mecânica dos fluidos não podem ser resolvidos 
analiticamente e exigem 
(1) aproximações
(2) assistência computacional.
Consideramos a opção (1) quando;
Por simplicidade, consideramos os escoamentos 
incompressíveis de fluidos newtonianos.
Temos de ter muito cuidado com as 
aproximações que se aplicam, e 
devemos sempre verificar e justificar 
nossas aproximações sempre que 
possível.
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Uma aproximação particular da equação de Navier-Stokes é 
apropriada apenas em determinadas regiões do campo de 
escoamento; outras aproximações podem ser adequados em outras 
regiões do campo de escoamento.
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10–2 ■ EQUAÇÕES DE MOVIMENTO 
ADIMENSIONAIS
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O operador gradiente é 
adimensional pela 10–3, 
independentemente da nossa 
escolha de sistema de 
coordenadas.
Navier–Stokes admensional:
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Para semelhança dinâmica completa 
entre protótipo (subscrito p) e modelo 
(subscrito m), o modelo deve ser 
geometricamente semelhante ao 
protótipo, e (em general) todos os 
quatros parâmetros adimensionais, St, 
Eu, Fr, e Re, devem corresponder.
Para escoamentos sem efeitos de 
superfície livre, a gravidade não afeta 
a dinâmica do escoamento — o seu 
único efeito é sobrepor uma pressão 
hidrostática sobre o campo de 
pressão dinâmica.
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Pressão e distribuição da pressão 
modificada na face direita de um 
elemento de fluido no escoamento 
de Couette entre duas placas 
infinitas, paralelas, horizontais: (a) z 
= 0 na placa inferior, e (b) z = 0 na 
placa superior. A pressão 
modificada P é constante, no 
entanto a pressão atual P não é 
constante em qualquer um dos 
casos. A área sombreada em (b) 
representa a componente da 
pressão hidrostática.
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10–3 ■ A APROXIMAÇÃO DE ESCOAMENTO LENTO
O escoamento 
lento de um líquido 
muito viscoso 
como o mel é 
classificado como 
escoamento lento
(a) Salmonella typhimurium invadirndo células 
humanas em cultura. (b) A bactéria 
Salmonella abortusequi nadando através da 
água.
A primeira aproximação é a classe de 
escoamento de fluido conhecido como 
escoamento lento (Escoamento de Stokes ou 
escoamento a baixo número Reynolds). 
Quanto a este último nome indica, estes 
escoamentos ocorrem em número de Reynolds 
é muito pequeno (Re << 1). Por inspecção da 
definição do número de Reynolds, Re = VL/, o 
escoamento lento é encontrado quando  , V, ou 
L é muito pequeno ou a viscosidade é muito 
grande (ou a combinação de alguns destes).
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Na aproximação de escoamento 
lento, a densidade não aparece na 
equação dinâmica.
Uma pessoa nada a um alta
número de Reynolds, e os termos 
inerciais são grandes; assim, a pessoa 
é capaz de deslizar longas distâncias 
sem se movimentar
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Um esperma de tunicado 
marinho Ciona nadando na 
água do mar; fotografias com 
“flash” a 200 frames por 
segundo.
Uma criança que tenta mover-se em uma 
piscina de bolas de plástico é análogo a 
um micro-organismo tentar impelir-se sem 
as vantagens da inércia.
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Arrasto de uma Esfera em Escoamento Lento
A força de arrasto FD sobre um objeto tridimensional de dimensão característica L 
movendo-se em condições de escoamento lento à velocidade V através de um 
fluido com viscosidade  é FD = constante· VL. 
Na análise dimensional não é possível prever o valor da constante, uma vez que 
depende da forma e orientação do corpo no campo de escoamento. 
Para o caso particular de uma esfera, Eq. 10–11 pode ser resolvida analiticamente.
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10–4 ■ APROXIMAÇÃO PARA REGIÕES 
INVISCIDAS DO ESCOAMENTO
Uma região invíscida do escoamento é uma 
região onde as forças viscosas líquidas são 
insignificantes em comparação com as forças 
de inércia e/ou de pressão porque o número 
de Reynolds é grande; o próprio fluido é, ele 
próprio, ainda um fluido viscoso .
Regiões invíscidas do escoamento são regiões de alto numero 
de Reynolds — o oposto são regiões de escoamento lento. 
A equação de Navier–Stokes perde o termo viscoso e se reduz 
na Equação de Euler.
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Por causa da condição de não escorregamento em paredes sólidas, as forças de 
atrito não são desprezíveis em uma região do escoamento muito perto de uma 
parede sólida. Em tal região, conhecida como camada limite, o gradiente de 
velocidades normal à parede são grandes o suficiente para compensar o pequeno 
valor de 1/Re.
A equação de Euler é uma
aproximação da equação de Navier-
Stokes, apropriada apenas em
regiões do escoamento, onde o
número de Reynolds é grande e em
que as forças viscosas líquidas são
desprezíveis em comparação com as
forças de inércia e/ou de pressão.
A aproximação da equação de Euler, não podemos especificar a condição 
de contorno de não escorregamento nas paredes sólidas, embora ainda 
especificamos que o fluido não pode fluir através da parede (a parede é 
impermeável). 
As soluções da equação de Euler, portanto, não tem significado físico 
próximo a paredes sólidas, nesta região ocorre o deslizamento do 
escoamento.
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Dedução da equação de Bernoulli em regiões de 
escoamento sem viscosidade
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Rotação de um corpo 
sólido é um exemplo de 
uma região não-viscosa do 
escoamento que é
também rotacional. A 
constante de Bernoulli C 
difere de uma linha de 
corrente para outra mas 
ela é constante ao longo 
de uma determinada linha 
de corrente.
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10–5 ■ A APROXIMAÇÃO DE ESCOAMENTO IRROTACIONAL
Há regiões do escoamento do fluido no qual as partículas não têm nenhuma 
rotação resultante; estas regiões são conhecidas como irrotacional.
Em general, as regiões do escoamento inviscido distantes das paredes sólidas e 
esteiras dos corpos são também irrotacionais, embora, conforme foi destacado 
anteriormente, haja situações nas quais uma região do escoamento sem 
viscosidade pode não ser irrotacional (por exemplo, rotação de um corpo sólido). 
Soluções obtidos para a classe de escoamento definido como irrotacional são, 
portanto, aproximações das soluções completas da equação de Navier-Stokes.
Matematicamente, a aproximação é que a vorticidade é desprezivel.
A aproximação do escoamento 
irrotacional é apropriada 
apenas em certas regiões do 
escoamento, onde a 
vorticidade é desprezada.
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Equação da Continuidade
A identidade vetorial da 
Eq. 10–20 é facilmente 
provada expandindo os 
termos em coordenadas 
cartesianas.
Função potencial davelocidade 
Regiões do escoamento irrotacional 
também são conhecidos como 
regiões de escoamento potencial.
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A equação de Laplace para a função 
potencial de velocidade  é valida em 
duas ou três dimensões e em qualquer 
sistema de coordenadas, mas somente 
em regiões irrotacionais do escoamento 
(geralmente distante das parede e 
esteiras.
Em regiões irrotacionais do 
escoamento, três componentes 
escalares desconhecidas do vetor 
velocidade são combinadas em 
uma função escalar desconhecida 
– a função potencial de velocidade.
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Equação de Movimento
A equação de Navier–Stokes reduz na equação de Euler
em uma regiões de escoamento irrotacional,
Uma região de escoamento 
irrotacional é uma região em que 
as forças viscosas líquidas são 
desprezíveis em comparação com 
as forças de inércia e/ou pressão 
por causa da aproximação 
irrotacional. Todas regiões 
irrotacionais do escoamento são
portanto, também invíscidas, mas 
nem todas as regiões invíscidas 
do escoamento são irrotacional . O 
próprio fluido é ainda um fluido 
viscoso em ambos os casos .
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Dedução da Equação de Bernoulli em Regiões 
Irrotacionais do Escoamento
Se o gradiente de alguma quantidade escalar (a 
quantidade entre parênteses na equação) é zero em 
todos os lugares, a quantidade escalar em si deve ser 
uma constante. 
Em uma região irrotational do 
escoamento, a constante de 
Bernoulli é o mesmo em todos os 
lugares. A aproximação irrotational 
é mais restritiva do que a 
aproximação invíscida.
O fluxograma para a obtenção de soluções 
em uma região de escoamento irrotacional. 
O campo de velocidades é obtido a partir 
de continuidade e irrotacionalidade, e, em 
seguida, a pressão é obtida a partir da 
equação de Bernoulli.
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The lowest pressure occurs at 
the center of the tornado, and 
the flow in that region can be 
approximated by solid body 
rotation.
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Nondimensional tangential velocity distribution (blue curve) and nondimensional 
pressure distribution (black curve) along a horizontal radial slice through a tornado. 
The inner and outer regions of flow are marked.
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Regiões Irrotacionais do Escoamento Bidimensional
Escoamento bi-dimensional é um subconjunto 
de escoamento tridimensional; em regiões 
bidimensionais do escoamento podemos definir 
uma função corrente, mas não podemos fazer 
isso em escoamento tridimensional. A função 
potencial de velocidade, no entanto, pode ser 
definida para qualquer região irrotacional de 
escoamento.
Podemos supor bidimensionalidade em qualquer região do escoamento, onde 
apenas duas direções de movimento são importantes e onde não há variação 
significativa na terceira direção.
Os dois exemplos mais comuns são:
Escoamento planar (escoamento em um plano com variação insignificante na 
direção normal ao plano)
Escoamento axissimétrico (escoamento em que existe uma simetria de rotação 
em torno de algum eixo). 
Também pode optar por trabalhar em coordenadas cartesianas, coordenadas 
cilíndricas, ou coordenadas polares esféricas, dependendo da geometria do 
problema.
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Regiões de Escoamento Irrotacional Planares
Componentes de velocidade e 
vectores unitários em coordenadas 
cartesianas para o escoamento 
bidimensional planar no plano xy. Não 
há variação normal a este plano.
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Componentes de velocidade e vetores 
unitários em coordenadas cilíndricas 
para escoamento planar no plano r. 
Não há variação na direção normal a 
esse plano.
Nas regiões planares irrotacionais do 
escoamento, curvas de  constant (linhas 
equipotenciais) e curvas de  constante
(linhas de corrente) são mutuamente 
ortogonais, ou seja, elas se interceptam 
em ângulos de 90° em todos os pontos.
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Regiões Irrotacionais do Escomento Axissimétrico
Escoamento sobre um corpo 
axissimétrico em coordenadas 
cilíndricas com simetria rotacional 
em relação ao eixo z. Nem a 
geometria, nem o campo de 
velocidade dependem de ; e u = 0.
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The equation for the 
stream function in 
axisymmetric 
irrotational flow (Eq. 
10–34) is not the 
Laplace equation.
Resumo das 
Regiões 
irrotacionais do 
Escoamento 
Bidimensional
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Superposição em Regiões Irrotacionais do Escoamento
Superposição é o processo de 
adição de duas ou mais soluções de 
fluxo irrotacionais em conjunto para 
gerar uma terceira solução (mais 
complicado).
Se a região do escoamento irrotacional é modelado pela soma de dois ou mais 
campos de escoamentos irrotacionais separados, por exemplo, uma fonte 
localizada em um escoamento de corrente livre, podemos simplesmente somar as 
funções potenciais de velocidade para cada escoamento individual para descrever 
o campo de escoamento combinado. 
Na superposição de duas soluções de 
escoamento irrotacionais, os dois vetores 
de velocidade em qualquer ponto na 
região do escoamento somam-se 
vetorialmente para produzir a velocidade 
composta neste ponto .
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Escoamentos Planares Irrotacionais Elementares
Com a superposição 
podemos construir um campo 
de escoamento irrotacional
complicado juntando campos 
irrotacional que sejam “blocos 
de construção”.
Bloco de Construção 1 – Corrente Uniforme 
Stream
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Linhas de 
corrente (sólidas) 
e linhas 
equipotenciais 
(tracejadas) para 
uma corrente 
uniforme na 
direção x.
Linha de corrente (solida) e linhas equipotenciais 
(tracejada) para uma corrente uniforme inclinada 
de um ângulo .
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Bloco de Construção 2 – Linha de Fonte ou Linha de Sumidouro
Fluido emergindo uniformemente a partir de um 
segmento de linha de comprimento finito L. 
Quando L se aproxima do infinito, o escoamento 
torna-se uma linha de fonte e o plano xy tomado 
como normal ao eixo da fonte.
Linha de fonte: A linha a partir da qual o 
fluido escapa.
Intensidade da linha de fonte: O vazão 
volumétrica por unidade de profundidade.
Linha de sumidouro: O oposto da linha de 
fonte; o fluído escoa para dentro da linha 
vindo de todas de todas as direções em 
planos normais ao eixo da linha de 
sumidouro.
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ur é infinito na origem uma vez r é zero no denominador.
Chamamos de ponto singular ou singularidade.
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Some useful 
trigonometric identities.
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Bloco de Construção 3 – Linha de Vórtice
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Bloco de Construção 4 - Dipolo
Linhas de corrente (solidas) e 
linhas equipotenciais 
(tracejadas) para um dipolo de 
intensidade K localizado na
origem do plano xy e alinhado
com o eixo x.
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Escoamentos Irrotacionais Formados pela Superposição
Agora que temos um conjunto de blocos de construção
de escoamento irrotacionais, estamos prontos para
criar alguns campos de escoamentos irrotacionais mais
interessantes através da técnica de superposição.
Limitaremos os nossos exemplos a escoamentos no
plano xy.
Superposição de uma linha de sumidouro e uma linha de vórtice
Streamlines created by 
superposition of a line sink 
and a line vortex at the
origin. Values of  are in 
units of m2/s. 51
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Superposição de uma corrente
uniforme e um dipolo; a soma 
vetorial das velocidades é 
mostrada em uma
posição arbitrária no plano xy.
Superposição de uma Corrente Uniforme e um Dipolo –
Escoamento sobre um Cilindro Circular
Superposição:
Intensidade do dipolo:
Forma alternativa da 
função de corrente:
Unhas de corrente 
adimensionais:
A superposição de uma corrente
uniforme e um dipolo produz uma 
linha de corrente que é um circulo.
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Na superfície 
do cilindro:
Esse escoamento representa
escoamento potencial
sobre um cilindro circular.
Há dois pontos de 
estagnação neste campo de 
escoamento, um na frente do
cilindro e um na traseira..54
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(a) O paradoxo de D' Alembert é que o arrasto aerodinâmico sobre 
qualquer corpo sem sustentação de qualquer forma é previsto como 
zero quando se usa a aproximação do escoamento irrotacional; (b) em 
escoamentos reais há um arrasto diferente de zero sobre corpos 
imersos em uma corrente uniforme.
O corpo de um peixe foi criado de forma que
seus olhos estejam localizados próximos ao
ponto de pressão zero de maneira que sua
visão não seja distorcida enquanto ele nada.
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As mesmas linhas de corrente
adimensionais da Figura 10-61,
exceto que a linha de corrente
* = 0.2 é modelada como uma
parede sólida. Esse escoamento
representa o fluxo do ar sobre
urna montanha simétrica.
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10–6 ■ A APROXIMAÇÃO DA CAMADA LIMITE
(a) Existe uma enorme distância entre a equação
de Euler (que admite o deslizamento nas paredes)
e a equação de Navier-Stokes (que mantém a
condição de não-escorregamento); (b) a
aproximação da camada limite vem preencher esse
espaço.
O conceito de camada 
limite de Prandtl divide o 
escoamento em uma 
região de escoamento 
externo e uma região de 
uma camada limite fina. 
(não está em escala).
A aproximação da camada limite
Divide o escoamento em duas regiões:
uma região de escoamento externo
que é inviscida e/ou irrotacional, e uma
região de escoamento interno
conhecida como camada limite—uma
camada muito fina de escoamento
próxima a uma parede sólida onde as
forças viscosas e a rotacionalidade não
podem ser ignoradas
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Escoamento de uma corrente 
uniforme paralela a uma placa plana 
(os desenhos não estão em escala):
(a) Rex ~ 102, (b) Rex ~ 104. Quanto 
maior o número de Reynolds, mais 
fina é a camada limite ao longo da 
placa em uma dada posição x.
Em uma dada posição x, quanto mais alto for o
número de Reynolds, mais fina é a camada limite.
Visualização do escoamento de um perfil da camada
limite laminar em uma placa plana. Fotografia tirada
por F. X. Wortmann em 1953 visualizada com o
método de telúrio. O escoamento é da esquerda para a
direita e o bordo de ataque da placa plana está
distante à esquerda do campo de visão.
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Três regiões adicionais de escoamento
onde a aproximação da camada limite
pode ser apropriada: (a) jatos, (b)
esteiras e (c) camadas de mistura.
Comparação de linhas de corrente e as
curvas representando  como uma função de x para 
uma camada limite de uma placa plana. Como as linhas 
de corrente cruzam a curva (x), (x) não pode ser uma 
linha de corrente do escoamento.
Transição da camada limite laminar sobre 
uma placa plana, para uma camada limite 
totalmente turbulenta.
(não está em escala)
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Espessura da camada limite
sobre uma placa plana,
desenhado em escala. As
regiões laminar, de transição
e turbulenta estão indicadas
para o caso de uma parede
lisa com condições de
corrente livre calma.
Um fio de disparo geralmente 
é usado para iniciar mais 
cedo uma transição para 
turbulência em uma camada 
limite (não está em escala).
Nos escoamentos na prática, a transição para o
escoamento turbulento usualmente ocorre de forma
mais abrupta e muito antes (com um valor mais baixo
de Rex) do que os valores dados para uma placa plana
e lisa com uma corrente livre calma. Fatores tais como
rugosidade ao longo da superfície, distúrbios da
corrente livre, ruído acústico, instabilidades do
escoamento, vibrações e curvatura da parede
contribuem para que a transição ocorra mais cedo.
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As Equações da Camada Limite
O sistema de coordenadas da
camada limite para escoamento
sobre um corpo; x segue a
superfície e é tipicamente igual a
zero no ponto de estagnação da
frente do corpo e y em todos os
pontos é normal em relação à
superfície localmente.
Vista ampliada da camada limite ao
longo da superfície de um corpo,
mostrando as escalas espaciais x e
 e escala de velocidadee U.
U is the magnitude of the velocity 
component parallel to the wall at a 
location just above the boundary layer
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Vista bastante ampliada da camada
limite ao longo da superfície de um
corpo, mostrando que a componente de 
velocidade v é muito menor do que u.
A pressão pode mudar ao longo de
uma camada limite (direção x), mas a
alteração de pressão através de uma
camada limite (direção y) é desprezível.
A pressão através da camada limite (direção y) é aproximadamente constante.
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A pressão na região irrotacional de
escoamento fora de uma camada
limite pode ser medida por tomadas
de pressão estática na superfície da
parede. A figura ilustra duas
tomadas de pressão desse tipo.
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O conjunto de equações
da camada limite é
parabólico, assim as
condições de contorno
precisam ser especificadas
apenas em três lados do
domínio do escoamento.
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O Procedimento da Camada Limite
Resumo do procedimento de camada
limite para camadas limites
permanentes, incompressíveis e
bidimensionais no plano xy.
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Espessura de Deslocamento
Espessura de deslocamento
definida por uma linha de
corrente fora da camada limite.
A espessura da camada limite
está exagerada.
Para uma camada limite laminar
sobre placa plana, a espessura de
deslocamento é aproximadamente
um terço da espessura de 99% da
camada limite.
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A camada limite afeta o 
escoamento externo de uma 
maneira que a parede parece 
tomar a forma da espessura
de deslocamento. A U(x) 
aparente difere da aproximação 
original.
O efeito do crescimento da camada limite sobre o escoamento que está entrando em um 
canal bidimensional: o escoamento irrotacional entre as camadas limites do topo e da 
base acelera conforme está indicado por (a) perfis reais de velocidade, e (b) mudança no 
escoamento central aparente devido à espessura de deslocamento da camada limite 
(camadas limites muito exageradas para maior clareza).
A espessura de 
deslocamento é o 
aumento imaginário 
na espessura da 
parede, como é visto 
pelo escoamento 
externo, devido ao 
efeito da camada 
limite que está se 
desenvolvendo.
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Espessura do Momento
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Camada Limite Turbulenta sobre uma Placa Plana
lustração da transitoriedade de uma camada 
limite turbulenta; as linhas pretas finas e 
onduladas são perfis instantâneos, e a linha 
azul grossa é um perfil médio ao longo do 
tempo.
Todas as expressões turbulentas discutidas são 
representadas por valores médios no tempo. Uma 
aproximação empírica comum para o perfil de 
velocidades médias no tempo, de uma camada limite 
turbulenta sobre placa plana é a lei da potência
um sétimo
Comparação dos perfis de camada limite de placa 
plana, laminar e turbulenta, adimensionalizada, 
pela espessura da camada limite.
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Uma outra aproximação comum é a lei logarítmica, uma expressão semi-
empírica que vem a ser válida não somente para camadas limite sobre placa 
plana, mas também para perfis de velocidade de escoamento turbulento 
totalmente desenvolvido em tubo.
Na verdade, a lei logarítmica vem a ser aplicável para quase todas as camadas 
limites turbulentas limitadas por paredes, não apenas o escoamento sobre uma 
placa plana.
A lei logarítmica é expressa comumente em variáveis adimensionais por uma 
velocidade característica chamada de velocidade de atrito u*.
Uma expressão inteligente que é válida em todo o percurso 
até a parede é chamada de lei da parede de Spalding,
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Camadas Limites com Gradientes de Pressão
Camadas limites com gradientes de
pressão diferente de zero ocorrem em
escoamentos externos e internos: (a)
camada limite desenvolvendo-se ao
longo da fuselagemde um avião e na 
sua esteira; (b) camada limite 
desenvolvendo-se na parede de um
difusor (a espessura da camada limite 
foi exagerada em ambos os casos).
Quando o escoamento na região de 
escoamento externo sem viscosidade e/ou 
irrotacional (fora da camada limite) 
acelera, V(x) aumenta e P(x) diminui.
Chamamos isso de um gradiente de 
pressão favorável. 
Ele é favorável ou desejável porque a 
camada limite em um escoamento em 
aceleração como esse é usualmente fina, 
permanece próxima da parede e, portanto, 
não tende a se separar da parede.
Quando o escoamento externo desacelera, 
V(x) diminui, P(x) aumenta, e temos um 
gradient de pressão desfavorável ou
adverso.
Como o próprio nome diz, essa condição 
não é desejável porque a camada limite 
usualmente é mais grossa, não permanece 
próxima da parede e tem muito mais 
tendência a se separar dela.
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A camada limite ao longo de 
um corpo imerso em uma 
corrente livre é tipicamente 
exposta a um gradiente de
pressão favorável na parte da 
frente do corpo e a um 
gradiente de pressão adverso 
na parte de trás do corpo.
Exemplos de separação de camada limite em regiões de gradiente de pressão 
adversa: (a) uma asa de avião a um ângulo de ataque moderado, (b) a mesma asa 
com um alto ângulo de ataque (uma asa entrando em estol) e (c) um difusor de ângulo 
aberto no qual a camada limite não pode permanecer ligada e se separa em um lado.
A linha de corrente fechada indica uma região de escoamento recirculante chamada de bolha
de separação.
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Cálculos pelo software CFD
do escoamento sobre urna
lombada: (a) solução da
equação de Euler com
linhas de corrente de
escoamento externo no
gráfico (sem separação do
escoamento), (b) solução
de escoamento laminar
mostrando separação de
escoamento no lado a
jusante da lombada, (c)
visualização ampliada das
linhas de corrente próximo
do ponto de separação e
(d) visualização ampliada
dos vetores de velocidade,
mesma visualização que
em (c).
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Cálculo CFD de escoamento turbulento sobre a mesma lombada da Figura 10-124.
Comparando com o resultado laminar da Figura 10-124b, a camada limite
turbulenta é mais resistente à separação do escoamento e não se separa na região
do gradiente de pressão adversa na parte posterior da lombada.
Observe que a camada limite turbulenta permanece ligada (não há separação 
de escoamento), em contraste com a camada limite laminar que se separa da 
parte posterior da lombada. No caso turbulento, a solução de escoamento 
externo de Euler (Figura l0-l24a) permanece válida sobre toda a superfície já 
que não há separação de escoamento e a camada limite permanece muito fina.
104
A Técnica Integral de Momento para Camadas Limites
Em muitas aplicações práticas de engenharia, não precisamos conhecer todos os 
detalhes internos da camada limite; em vez disso, procuramos estimativas razoáveis 
das características gerais da camada limite como sua espessura e coeficiente de 
atrito superficial.
A técnica integral de momento utiliza uma aproximação de volume de controle para 
obter essas aproximações quantitativas das propriedades da camada limite ao longo 
de superfícies com gradientes de pressão zero ou diferente de zero.
Ela é válida tanto para a camada limite laminar quanto para a turbulenta.
Volume de controle (linha 
vermelha grossa tracejada) 
usado na dedução da 
equação integral de momento.
105
Balanço de fluxo de massa no
volume de controle da Figura
10-127.
106
A regra do produto é 
utilizada ao contrário na 
dedução da equação
integral do momento.
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Escoamento sobre uma placa plana infinitesimalmente 
fina de comprimento L. Os cálculos CFD foram feitos
para ReL variando de10-1 a 105.
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Sumário
• INTRODUÇÃO
• EQUAÇÕES DE MOVIMENTO ADIMENSIONAIS
• A APROXIMAÇÃO DE ESCOAMENTO LENTO
 Arrasto em uma esfera em um escoamento lento
• APROXIMAÇÃO PARA REGIÕES INVISCIDAS DO ESCOAMENTO
 Derivation of the Bernoulli Equation in Inviscid Regions of Flow
• A APROXIMAÇÃO DO ESCOAMENTO IRROTACIONAL
 Equação da Continuidade
 Equação da Quantidade de Movimento
 Dedução da Equação de Bernoulli na Região Irrotacional do Escoamento
 Regiões Irrotacionais Bi-Dimensionais Irrotational do Escoamento
 Superposição nas Regiões Irrotationais do Escoamento
 Escoamento Irrotacional Elementar Planar
 Escoamentos Irrotacionais Formados pela Superposição
• A APROXIMAÇÃO DA CAMADA LIMITE
 As Equações da Camada Limite
 O Procedimento da Camada Limite
 Espessura de Descolamento
 Espessura de Momento
 Camada Limite Turbulenta sobre uma Placa Plana
 Camadas Limites com Gradientes de Pressão
 A Técnica Integral de Momento para Camadas Limites