Capítulo 11 ESCOAMENTO EXTERNO ARRASTO E SUSTENTAÇÃO

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Chapter 11
ESCOAMENTO EXTERNO: 
ARRASTO E 
SUSTENTAÇÃO
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A esteira de um Boeing 767 pertuba o topo de uma nuvem e
claramente mostra os vórtices contra-rotativos de ponta de asa.
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Objetivos
• Entender intuitivamente os vários fenômenos
físicos como arrasto, arrasto de atrito e arrasto
de pressão, redução de arrasto e sustentação.
• Calcular a força de arrasto associada com o
escoamento sobre geometrias comuns.
• Entender os efeitos do regime de escoamento
sobre os coeficientes de arrasto associados com
o escoamento sobre cilindros e esferas.
• Entender os fundamentos do escoamento sobre
aerofólios e calcular as forças de arrasto e de
sustentação agindo sobre aerofólios.
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11–1 ■ INTRODUÇÃO
O escoamento de fluido sobre corpos sólidos ocorre
frequentemente na prática, e é responsável por inúmeros
fenômenos físicos, tais como
• a força de arrasto age sobre os automóveis, linhas de energia, árvores e 
oleodutos subaquáticos; 
• a sustentação desenvolvidas pelas asas de um avião ou pássaro;
• ascensão da chuva, neve, granizo e partículas de pó em ventos fortes; 
• o transporte de células vermelhas do sangue pela corrente sanguínea; 
• o espalhamento de gotículas líquidas pelos sprays; 
• a vibração e o ruído gerado por corpos movendo-se em um fluído; e 
• a força gerada em turbinas eólicas.
Um fluido que se move ao longo de um corpo estacionário (tais como o
vento que sopra sobre um edifício), e um corpo em movimento por meio de
um fluido em repouso (tais como um carro que se desloca através do ar) são
conhecidos como escoamento sobre corpos ou escoamento externo.
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Escoamento sobre corpos é normalmente encontrado na prática.
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Os campos de escoamento e geometrias para a maioria dos problemas de
escoamento externo são muito complicados e temos que confiar em correlações com
base em dados experimentais.
Velocidade de corrente livre: A velocidade de um fluido que se aproxima de um corpo
(V or u or U)
Escoamento bidimensional: quando o corpo é muito longo, tem seção transversal
constante e o escoamento é normal ao corpo.
Escoamento axissimétrico: Quando o corpo possui simetria de rotação em torno do
eixo na direcção do escoamento. O escoamento, neste caso, também é bidimensional.
Escoamento tridimensional: Escoamento ao longo de um corpo que não pode ser
modelado como bidimensional ou com simetria axial , tais como o escoamento ao
longo de um carro.
Escoamento incompressível: (ex., escoamento sobre um carro, submarinos, e
edifícios)
Escoamento compressível: (ex., escoamento sobre sobre uma aeronave em alta-
velocidade, foguete, e mísseis).
Corpo aerodinâmico ou carenado: Se um esforço consciente é feito para alinhar a
sua forma com as linhas de corrente previstos no escoamento. Corpos aerodinâmicos,
como carros de corrida e aviões parecem ser contornados e elegantes.
Rombudo: Se um corpo (por exemplo um prédio) tende a bloquear o escoamento.
Em geral, é muito mais fácil para forçar um corpo aerodinâmico através de um fluido.
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11–2 ■ ARRASTO E SUSTENTAÇÃO
• Um corpo encontra alguma resistência,
quando ele é forçado a passar através de
um fluido, especialmente um líquido.
• Um fluido pode exercer forças e
momentos sobre um corpo em várias
direcções.
• Arrasto: A força que um fluido em
movimento exerce sobre um corpo na
direção do escoamento.
• A força de arrasto pode ser medida
diretamente apenas predendo-se o objeto
que está submetido ao escoamento do
fluido a uma mola calibrada e medindo o
deslocamento na direção do escoamento.
• O arrasto é geralmente um efeito
indesejável, como o atrito, e nós fazemos
o nosso melhor para minimizá-lo.
• Mas em alguns casos o arrasto produz
um efeito muito benéfico e tentamos
maximizar (ex., freios de automóveis).
Os ventos fortes derrubar árvores,
linhas de energia, e até mesmo
pessoas como resultado da força
de arrasto.
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Sustentação: Os componentes da pressão e forças
de cisalhamento de parede na direção normal ao
escoamento tendem a mover o corpo nessa direção,
e a sua soma é conhecida como Sustentação.
As forças do fluido pode gerar momentos e fazer
com que o corpo gire.
Momento de rolagem: Momento em relação a um
eixo na direção do escoamento.
Momento de guinada: Momento em relação a um
eixo na direção da sustentação.
Momento de arfagem: Momento em relação a um
eixo na direção da força lateral.
A forças de pressão e
viscosas agindo
sobre um corpo
bidimensional e as
forças de sustentação
e arrasto resultantes.
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(a) A força de arrasto atuando em uma placa plana paralela ao
escoamento depende somente do cisalhamento na parede.
(b) A força de arrasto atua sobre uma placa plana normal ao escoamento
depende apenas da pressão e é independente do cisalhamento na
parede, que atua normal ao escoamento da corrente livre.
Airplane wings are shaped and
positioned to generate sufficient lift
during flight while keeping drag at
a minimum. Pressures above and
below atmospheric pressure are
indicated by plus and minus signs,
respectively.
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As forças de arrasto e de sustentação dependem da densidade do fluido, da 
velocidade a montante, do tamanho, forma e orientação do objeto. 
É mais conveniente trabalhar com números adimensionais apropriados que 
representam as forças de arrasto e de sustentação características do objeto. 
Estes números são: coeficiente de arrasto CD, coeficiente de sustentação CL.
Durante a queda livre,
um corpo alcança a
velocidade terminal
onde a força de
arrasto é igual a força
peso do corpo menos
força de empuxo.
A Área frontal
Pressão 
dinâmica
Nos cálculos das forças de
sustentação e arrasto de alguns corpos
delgados, tais como aerofólios, A é
considerado como a área planiforme,
que é a área visto por uma pessoa
olhando para o corpo a partir de cima
na direção normal ao objeto.
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11–3 ■ ARRASTO DE ATRITO E PRESSÃO
• A força de arrasto é a força líquida exercida por um fluido sobre um corpo na 
direção do escoamento, devido aos efeitos combinados das forças de cisalhamento 
de parede e de pressão.
• O termo de arrasto que é devido diretamente à tensão de cisalhamento na parede é 
chamado de arrasto de atrito superficial (ou apenas arrasto de atrito) pois ela é 
causada por efeitos de atrito, o termo que é devido diretamente à pressão é 
conhecido como arrasto de pressão (também chamado de arrasto de forma devido 
à sua forte dependência da forma do corpo).
• O arrasto de atrito é a componente das força de cisalhamento da parede na direção 
do escoamento, e, portanto, depende da orientação do corpo, bem como da 
magnitude da tensão de cisalhamento.
• Para um escoamento paralelo sobre uma superfície plana, o coeficiente de arrasto 
é igual ao coeficiente de arrasto de atrito. 
• O arrasto de atrito é uma função que depende muito da viscosidade e aumenta com 
o aumento da viscosidade.
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Arrasto é inteiramente devido ao arrasto de
atrito para uma placa plana paralela ao
escoamento; é inteiramente devido à
pressão de arrasto para uma placa plana
normal ao escoamento; e é devido a ambos
(mas, principalmente, ao arrasto de
pressão) para um cilindro normal ao
escoamento. O coeficiente de arrasto total
CD é menor para uma placa plana paralela,
maior para uma placa plana vertical e
intermediário (mas próximo à aquele de uma
placa plana vertical) para um cilindro.
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Reduzindo o Arrasto pelo Carenamento
O carenamento diminui o arrasto de pressão, atrasando a separação da 
camada limite e reduzindo, assim, a diferença de pressão entre a frente e a 
parte de trás do corpo, mas aumenta a resistência de atrito, aumentando a 
área de superfície. O resultado final depende de qual efeito domina.
A variação dos coeficientes
de atrito, pressão e arrasto
total deuma estrutura
carenada com a relação
entre espessura e
comprimento da corda para
Re = 4×104. Note que CD
para aerofólios e outros
corpos delgados é baseado
na área planiforme e não na
área total.
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A variação do coeficiente de arrasto de um 
cilindro elíptico longo com relação de 
aspecto. Aqui CD é baseado na área frontal 
bD onde b é a largura do corpo.
O coeficiente de arrasto diminui
drasticamente conforme a elipse
torna-se mais delgada.
A redução do coeficiente de arrasto
em relação aos altos aspectos de
razão é devido à camada limite ficar
ligada à superfície por mais tempo e a
recuperação da pressão resultante.
O carenamento tem o benefício
adicional de reduzir a vibração e o
ruído.
O carenamento deve ser considerado
somente para corpos rombudos que
estejam submetidos a escoamento de
fluído em alta velocidade (e, portanto,
altos números de Reynolds) para os
quais a separação do escoamento é
uma possibilidade real.
O carenamento não é necessário para
corpos, que tipicamente, envolvem
escoamentos com baixos números de
Reynolds.
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Separação de Escoamento
Separação do escoamento: Em velocidades suficientemente altas, a corrente de 
fluido se separa da superfície do corpo. 
A localização do ponto de separação depende de vários fatores como, o número de 
Reynolds, a rugosidade da superfície e o nível de flutuação da corrente livre, e, 
normalmente, é difícil prever com exatidão onde ocorrerá a separação.
Flow separation in a waterfall.
Flow separation over a backward-
facing step along a wall.
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• Região de separação: Quando um fluido separa de um corpo, ele forma uma 
região separada entre o corpo e a corrente de fluido.
• Essa é uma região de baixa pressão atrás do corpo onde recirculação e fluxos 
de retorno ocorrerem.
• Quanto maior for a região de separação, maior será a pressão de arrasto.
• Os efeitos de separação de escoamento são sentidas mais a jusante, sob a 
forma de velocidade reduzida (em relação à velocidade a montante). 
• Esteira: A região do escoamento à direita do corpo, onde os efeitos do corpo 
sobre a velocidade são sentidos. 
• Efeitos viscosos e rotacionais são os mais significativos na camada limite, a 
região separada e na esteira.
Flow separation and 
the wake region during 
flow over a tennis ball.
Em grandes ângulos de ataque
(normalmente, maiores que 15°), o
escoamento pode se separar
completamente da superfície superior de
um aerofólio, reduzindo a sustentação
drasticamente e fazendo o aerofólio entrar
em regime de estol.
Uma consequência importante da separação
de escoamento é a formação e
desprendimento de porções de fluidos em
rotação, chamadas de vórtices, na região de
esteira.
A geração periódica destes vórtices a jusante
de um corpo é conhecida como
desprendimento de vórtices.
As vibrações geradas pelos vórtices próximo
ao corpo podem fazer o corpo entrar em
ressonância atingindo níveis perigosos de
vibração se a frequência dos vórtices estiver
próxima da frequência natural do corpo.
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11–4 ■ COEFICIENTE DE ARRASTO PARA GEOMETRIAS COMUNS
O comportamento de arrasto de vários corpos naturais e de origem humana é caracterizado
por seus coeficientes de arrasto medidos em condições normais de funcionamento.
Normalmente é registrado o coeficiente de arrasto total (atrito+pressão).
O coeficiente de arrasto para a maioria
das geometrias (mas nem todas)
permanece essencialmente constante
com o números de Reynolds acima de
de, aproximadamente, 104.
O coeficiente de arrasto apresenta um
comportamento diferente no baixo (lento),
moderada (laminar), e nas regiões elevadas
(turbulento) do número de Reynolds.
Os efeitos de inércia são desprezados na região
de baixo número de Reynolds(Re < 1),
conhecido como escoamentos lentos, e o fluído
de distibui ao redor do corpo uniformemente.
Escoamento 
lento, esfera
Lei de Stokes
A lei de Stokes é muitas vezes aplicável a
partículas de poeira no ar e partículas sólidas
suspensas na água .
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Observações das tabelas de 
coeficiente de arrasto
A orientação do corpo em relação à 
direção do escoamento tem uma grande 
influência sobre o coeficiente de arrasto.
Para corpos rombudos com arestas 
agudas como, por exemplo, o 
escoamento sobre um bloco retangular 
ou uma placa plana normal ao 
escoamento, a separação ocorre nas 
bordas das superfícies da frente e de 
trás, sem uma alteração significativa nas 
características do escoamento. 
Portanto , o coeficiente de arrasto de tais 
corpos é quase independente do número 
de Reynolds .
O coeficiente de arrasto de uma haste 
retangular longa pode ser reduzido 
quase pela metade a partir de 2.2 para
1.2 arredondando os cantos.
O coeficiente de arrasto de um
corpo pode alterar drasticamente
alterando-se a orientação do
corpo (e, portanto, a forma) em
relação à direção do escoamento.
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Sistemas Biológicos e Arrasto
As aves nos ensinam uma lição sobre
a redução de arrasto, estendendo
seu bico para a frente e dobrar seus
pés para trás durante o voo
O conceito de arrasto também tem consequências importantes para os sistemas biológicos.
Os corpos de peixes, especialmente os que nadam rápido por longas distâncias (como os
golfinhos) , são altamente carenados para minimizar o arrasto (o coeficiente de arrasto dos
golfinhos com base na área superficial molhada é de cerca de 0,0035, comparável ao valor de
uma placa plana em escoamento turbulento ).
Aviões, que se parecem um pouco com pássaros grandes, retrai suas rodas após a decolagem,
a fim de reduzir o arrasto e, portanto, o consumo de combustível .
A estrutura flexível de plantas que lhes
permite reduzir o arrasto em ventos
fortes, alterando suas formas.
Folhas largas se enrolam em uma
forma cônica de baixo coeficiente de
arrasto durante ventos fortes e os
galhos se juntam para reduzir o
arrasto.
Troncos flexíveis dobram sob a
influência do vento para reduzir o
arrasto e o momento fletor é reduzido
pela redução da área frontal.
Cavaleiros e ciclistas inclinam-se o
máximo para a frente para reduzir o
arrasto.
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Coeficiente de arrasto de Veículos
Este elegante Toyota Prius tem um
coeficiente de arrasto de 0,26 –
um dos menores para automóveis
de passageiros .
Os coeficientes de arrasto de veículos variam de cerca de 1,0 para grandes
carretas a 0,4 para minivans, 0,3 para automóveis de passageiros e 0,2 para
carros de corrida. O limite teórico inferior é cerca de 0,1.
Em geral, quanto mais rombudo for o veículo, maior será o coeficiente de arrasto.
Instalar uma carenagem reduz o coeficiente de arrasto das carretas de carga em
aproximadamente 20%, tornando a superfície frontal mais carenada.
Como regra prática, a percentagem de economia de combustível devido à redução
do arrasto é de aproximadamente metade da percentagem de redução do arrasto.
As linhas de corrente em torno de um carro moderno com 
design aerodinâmico se assemelham as linhas de 
corrente ao redor do carro no escoamento potencial ideal 
(assume o atrito desprezível), exceto na proximidade da 
extremidade traseira , resultando em um coeficiente de 
arrasto baixo 
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O coeficiente de arrasto de corpos que seguem outros corpos 
em movimento pode ser consideravelmente reduzidos devido ao 
drafting (isto é, entrando na região de baixa pressão criada pelo 
corpo que está na frente).
A resistência aerodinâmica é desprezivel para
baixas velocidades , mas torna-se significativa a
velocidades superiores 50 km/h.
Em estradas de velocidade, um motorista muitas
vezes pode economizar combustível em clima
quente, ligando o ar condicionado em vez de dirigir
com as janelas abertas.
A turbulência e o arrasto adicional gerado pelas
janelas abertas consomem mais combustível do que
o ar condicionador.
SuperposiçãoAs formas de muitos corpos 
encontrados na prática não são 
simples.
Mas esses corpos podem ser 
tratados convenientemente nos 
cálculos da força de arrasto por 
considerando-os como composto 
por dois ou mais corpos simples.
Uma antena de satélite montado 
num telhado com uma barra 
cilíndrica, por exemplo, pode ser 
considerada como sendo uma 
combinação de um corpo 
hemisférico e um cilindro.
Em seguida, o coeficiente de 
arrasto do corpo pode ser 
determinado aproximadamente 
usando-se a superposição.
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11–5 ■ ESCOAMENTO PARALELO SOBRE PLACAS PLANAS
O desenvolvimento da camada limite do escoamento sobre uma placa plana e 
os diferentes regimes de escoamento.
Camada limite dinâmica: A região do escoamento acima da placa limitada
por  na qual são sentidos os efeitos das forças de cisalhamento viscoso
causadas pela viscosidade do fluido.
A espessura da camada limite  é a distância y a partir da superfície na qual u
= 0.99V.
A linha hipotética de u = 0.99V divide o escoamento em duas regiões:
Região da camada limite: Os efeitos viscosos e as alterações de velocidade
são significativas.
Região de escoamento irrotacional: Os efeitos de atrito são desprezíveis e
a velocidade permanece essencialmente constante.
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O desenvolvimento da camada
limite em uma superfície é, devido
à condição de ausência de
deslizamento e de atrito.
Para o escoamento paralelo sobre
uma placa plana, o arrasto de
pressão é igual a zero, e, assim, o
coeficiente de arrasto é igual ao
coeficiente de atrito e a força de
arrasto é igual à força de atrito.
Coeficiente de atrito em uma placa plana
Força de atrito em uma placa plana
A camada limite turbulenta pode
ser considerados como
formada por quatro regiões,
caracterizadas pela distância
em relação à parede:
• subcamada viscosa
• camada amortecedora
• camada intermediária
• camada turbulenta
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A transição do escoamento laminar para escoamento turbulento depende da
geometria da superfície, da rugosidade da superfície, da velocidade de corrente livre,
da temperature da superfície, e o tipo do fluído, entre outras coisas; e é melhor
caracterizado pelo número de Reynolds.
O número de Reynolds a uma distância x a partir da borda de uma chapa plana é
expressa como
V velocidade de corrente livre
x comprimento característico da 
geometria (para uma placa plana, é o 
comprimento da placa na direção do 
escoamento)
Para o escoamento sobre uma placa plana e lisa, a transição de laminar para turbulento
começa a Re  1105, mas não se torna plenamente turbulenta antes do número de
Reynolds atingir valores muito mais elevados, normalmente em torno de Re=3106.
Na análise de engenharia, um valor geralmente aceito para o número crítico de Reynolds é
O valor real do número de Reynolds crítico de engenharia para uma placa plana pode
variar um pouco entre 105 e 3106 dependendo da rugosidade da superfície, o nível de
turbulência, e a variação da pressão ao longo da superfície.
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Coeficiente de Atrito
• O coeficiente de atrito para escoamento
laminar sobre uma placa plana pode ser
determinado teoricamente, resolvendo
numericamente as equações de
conservação da massa e equação de
momento.
• Para o escoamento turbulento, deve ser
determinada experimentalmente e
expresso por correlações empíricas.
A variação do coeficiente de atrito para locais de fluxo
sobre uma placa plana. Note-se que a escala vertical da
camada limite é muito exagerada neste esboço.
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Coeficiente de atrito médio ao longo de uma placa plana
O coeficiente médio de atrito sobre uma
superfície é determinado através da
integração do coeficiente de atrito locais
ao longo de toda a superfície. Os valores
aqui apresentados são para uma camada
limite de placa plana laminar.
Quando a região do escoamento laminar não é ignorada
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Para o escoamento turbulento, a
rugosidade da superfície pode
fazer o coeficiente de atrito
aumentar várias vezes.
Para escoamento laminar, o coeficiente de atrito depende apenas do número de
Reynolds, a rugosidade da superfície não tem nenhum efeito.
Para escoamento turbulento, a rugosidade da superfície faz com que o
coeficiente de atrito aumente várias vezes, até o ponto em que o regime
totalmente turbulento o coeficiente de atrito é uma função apenas da rugosidade
da superfície e é independente do número de Reynolds.
 rugosidade da superfície 
L o comprimento da placa na 
direção do escoamento. 
Esta relação pode ser usada para o 
escoamento turbulento em 
superfícies rugosas para Re > 106, 
especialmente quando /L > 104.
Este diagrama da placa
plana é análogo ao
diagrama de Moody para
o escoamento em tubos.
Cf aumenta várias vezes
com a rugosidade no
escoamento turbulento.
Cf é independente do
número de Reynolds na
região totalmente rugosa.
This chart is the flat-plate
analog of the Moody
chart for pipe flows.
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11–6 ■ ESCOAMENTO SOBRE CILINDRO E ESFERA
O escoamento sobre cilindros e esferas é frequentemente encontrado na prática.
Os tubos em um trocador de calor do tipo casco-e-tubo envolvem tanto o
escoamento interno através dos tubos quanto escoamento externo sobre os tubos.
Muitos esporte como o futebol, tennis, e golf envolvem escoamento sobre esferas.
Separação da canada limite 
laminar com uma esteira 
turbulenta; escoamento sobre um 
cilindro circular em Re = 2000.
Em velocidades muito baixas, o
fluido se envolve completamente
em torno do cilindro. O
escoamento na região de esteira é
caracterizada pela formação de
vórtices periódicos e baixas
pressões.
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Para o escoamento sobre o cilindro ou esfera, tanto o arrasto de atrito quanto 
arrasto de pressão pode ser significativo. 
A alta pressão na vizinhança do ponto de estagnação e a baixa pressão no lado 
oposto produz uma força resultante sobre o corpo na direção do escoamento.
A força de arrasto é principalmente devido ao arrasto de atrito em baixos 
números de Reynolds (Re<10) e para números elevados de Reynolds (Re>5000)
a força de arrasto é devido ao arrasto de pressão.
Ambos os efeitos são significativos a números de Reynolds intermédios.
Coeficiente de 
arrasto médio 
para o 
escoamento 
transversal 
sobre um 
cilindro circular 
liso e uma 
esfera lisa.
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• Para Re<1, temos o escoamento lento, e o coeficiente de arrasto diminui com o
aumento do número de Reynolds. Para uma esfera, este valor é CD=24/Re. Não há
separação de escoamento.
• Acima de Re=10, a separação começa a ocorrer na parte posterior do corpo com a
formação de vórtices a partir de Re=90. A região de separação aumenta com o
aumento do número de Reynolds acima de Re=103. Neste ponto, o arrasto é devido
(acima de 95%) ao arrasto de pressão. O coeficiente de arrasto continua diminuindo
com o aumento do número de Reynolds na faixa de10<Re<103.
• Na faixa moderada 103<Re<105, o coeficiente de arrasto permanece relativamente
constante. Esse comportamento é característico de corpos rombudos. O escamento na
camada limite é laminar neste intervalo, mas o escoamento na região de separação
depois do cilindro ou esfera é altamente turbulento com uma vasta esteira turbulenta.
• Há uma queda brusca no coeficiente de arrasto em algum ponto no intervalo de
105<Re<106 (normalmente, acima de 2105). Esta grande redução do CD, é devido ao
escoamento na camada limite que vai se tornando turbulenta movendo ainda mais o
ponto de separação na parte de trás do corpo, reduzindo o tamanho da esteira e
reduzindo, assim, a intensidade do arrasto de pressão. Isso está em contraste com os
corpos carenados, que experimentam um aumento ao coeficiente de arrasto
(principalmente, devido ao arrasto de atrito) quando a camada limite se torna
turbulenta.
• Há um regime de “transição” para 2105<Re<2106, noqual CD alcança um valor
mínimo e então, lentamente, cresce para seu valor turbulento.
Observações sobre as curvas CD
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Visualização do escoamento sobre
(a) uma esfera lisa com Re = 15,000,
e (b) uma esfera com Re = 30,000
com um inductor de turbulência. O
atraso da separação da camada
limite é claramente visto através da
comparação das duas fotografias.
A separação do escoamento ocorre por
volta  = 80° (medida a partir do ponto
de estagnação de frente de um cilindro)
quando a camada limite é laminar e
cerca de  = 140° quando é turbulento.
O atraso de separação no escoamento
turbulento é causado pelas flutuações
rápidas do fluido na direção transversal,
permitindo que a camada limite
turbulenta avance mais ao longo da
superfície antes de ocorrer a
separação, resultando em uma esteira
mais estreita e um arrasto de pressão
menor.
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Efeito da Rugosidade da Superfície
Superfícies rugosas, em geral, aumenta o coeficiente de arrasto no escoamento 
turbulento.
Esse é, especialmente, o caso dos corpos carenados.
Para corpos rombudos como um cilindro circular ou uma esfera, no entanto, um aumento 
na rugosidade da superfície pode, na realidade, diminuir o coeficiente de arrasto.
O efeito da 
rugosidade 
da superfície 
sobre o 
coeficiente de 
arrasto de 
uma esfera.
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A rugosidade da 
superfície pode 
aumentar ou diminuir 
o coeficiente de 
arrasto de um objeto 
esférico, dependendo 
do valor do número de 
Reynolds.
A rugosidade da superfície pode ser utilizado com grande vantagem
na redução do arrasto.
As bolas de golfe são intencionalmente rugosas para induzir a
turbulência com um número de Reynolds mais baixo a tirar
vantagem da queda acentuada do coeficiente de arrasto devido ao
aparecimento da turbulência na camada limite (a faixa de velocidade
típica de bolas de golfe é 15 à 150 m/s, e o número de Reynolds é
inferior a 4105). A ocorrência do escoamento turbulento nesse
número de Reynolds reduz o coeficiente de arrasto de uma bola de
golfe em aproximadamente a metade. Para uma certa tacada, isso
significa uma distância mais longa a ser percorrida pela bola.
Para uma bola de ténis de mesa, no entanto, as velocidades são
mais lentas e a bola é menor — ela nunca atinge velocidades na
faixa turbulenta. Portanto, as superfícies das bolas de ténis de mesa
são lisas.
Relação da 
força de arrasto
Área frontal 
para um cilindro 
e uma esfera
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11–7 ■ SUSTENTAÇÃO
Sustentação: A componente da força resultante (devido as forças viscosas e 
atrito) que é perpendicular à direção do escoamento.
Coeficiente 
de 
sustentação
A área planiforme: a área que seria visto
por uma pessoa olhando para o corpo a
partir de cima na direção normal ao corpo.
Definição de vários termos associados 
com um aerofólio.
Para uma aeronave, a envergadura
é a distância total entre as
extremidades das duas asas, que
inclui a largura da fuselagem entre
as asas.
A sustentação média por unidade
de área planiforme FL/A é chamada
de carga da asa, que é
simplesmente a relação entre o
peso da aeronave e a área
planiforme das asas (pois
asustentação é igual ao peso do
avião durante o voo a uma altitude
constante).
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Aerofólios são projetados para provocar a elevação, mantendo o arrasto mínimo. 
Alguns dispositivos, como os spoilers e aerofólios invertidos em carros de corrida são 
projetados para evitar a elevação ou gerar empuxo negativo para melhorar a tração e 
o controle.
A sustentação na prática pode ser considerada como devido, inteiramente, à 
distribuição de pressão nas superfícies do corpo, e, assim, a forma do corpo tem uma 
influência primária sobre a sustentação. 
Em seguida, a principal consideração na concepção de aerofólios é minimizar a 
pressão média na superfície superior e maximizar na superfície inferior.
A pressão é baixa em locais onde a velocidade de escoamento é elevada, e a 
pressão é elevada em locais em que a velocidade do escoamento é baixa.
A sustentação para moderados ângulos de ataque é praticamente independente da 
rugosidade da superfície uma vez que a rugosidade afeta o cisalhamento na parede, 
não a pressão.
Para aerofólios, a contribuição dos
efeitos viscosos para a sustentação
é geralmente desprezível, já que o
cisalhamento na parede é paralelo à
superfície e, portanto, praticamente
normal à direção da sustentação.
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Escoamento irrotacional e
real ao redor de aerofólios
bidimensionais simétricos
e não-simétricos.
Logo após um aumento brusco no
ângulo de ataque, um vórtice inicial anti-
horário é formado à partir do aerofólio,
enquanto aparece a circulação no
sentido horário ao redor do aerofólio,
causando o aparecimento da
sustentação.
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É desejável que as superfícies de
sustentação devem gerar o máximo de
elevação enquanto produz o mínimo de
arrasto.
Portanto , uma medida de desempenho
para aerofólios é a relação sustentação-
arrasto, o qual é equivale à razão entre os
coeficientes de elevação e de arrasto
CL/CD.
A variação da relação
sustentação-arrasto com
ângulo de ataque para um
aerofólio bidimensional.
A relação CL/CD aumenta com
o ângulo de ataque até que o
aerofólio entre em regime de
estol, e o valor da relação
sustentação-arrasto pode ser
da ordem de 100 para um
aerofólio bidimensional.
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Uma maneira de alterar as características de sustentação e arrasto de um aerofólio é 
mudar o ângulo de ataque. 
Em um avião, levanta-se o nariz para aumentar a sustentação, uma vez que as asas 
são fixas em relação à fuselagem.
Outra abordagem é mudar a forma do aerofólio utilizando-se flaps móveis nos 
bordos de ataque e de fuga. 
Os flaps são usados para alterar a forma das asas durante a decolagem e pouso 
para maximizar a sustentação em baixas velocidades.
Uma vez em altitude de cruzeiro, os flaps estão retraídos , e a asa é devolvido à sua 
forma "normal ", com coeficiente de arrasto mínimo e coeficiente de sustentação 
adequada para minimizar o consumo de combustível.
Note-se que mesmo um pequeno coeficiente de sustentação pode gerar uma grande 
força de sustentação durante a operação normal por causa das grandes velocidades 
de cruzeiro das aeronaves, a proporcionalidade da sustentação é quadrática em 
relação a velocidade do escoamento.
A sustentação e o
arrasto característicos
de um aerofólio
durante a decolagem e
pouso pode ser
alterado mudando a
forma do aerofólio pelo
uso de flaps móveis
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Efeito dos flaps nos coeficientes de sustentação e arrasto em um aerofólio.
Os aumentos máximos do coeficiente de sustentação é cerca de 1,5 para o
aerofólio sem flaps a 3,5 para o caso do flap com slot duplo.
Os aumentos máximos do coeficiente de arrasto é cerca de 0,06 para o aerofólio
sem flaps para cerca de 0,3 para o caso de flap com duplo slot.
O ângulo de ataque dos flaps pode ser aumentada para maximizar o coeficiente
de sustentação.
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A velocidade mínima do voo pode ser determinada a partir da exigência de que o
peso totalW da aeronave deve ser igual a sustentação CL = CL, max:
Um aerofólio com flap e com uma ranhura
para impedir a separação da camada limite
a partir da superfície superior e para
aumentar o coeficiente de sustentação.
Para um dado peso, a aterrisagem ou descolagem de velocidade pode ser
minimizado através da maximização do produto do coeficiente de sustentação e a
área da asa, CL, maxA.
Uma maneira de fazer isso é usar flaps. Outra maneira é a de controlar a camada
limite, o que pode ser conseguido simplesmente por deixar seções de escoamento
(slots) entre os flaps.
Slots are used to prevent the separation of the boundary layer from the upper surface
of the wings and the flaps.
Isto é feito permitindo que o ar se mova a
partir da região de alta pressão sob a asa
para a região de baixa pressão na superfície
superior.59
The variation of the lift coefficient with the 
angle of attack for a symmetrical and a 
nonsymmetrical airfoil.
CL aumenta quase linearmente com o
ângulo de ataque , atinge um máximo
próximo a =16°, e, em seguida,
começa a diminuir acentuadamente.
Esta diminuição da sustentação com
aumento adicional do ângulo de ataque
é chamada estol, e é causada pela
separação do escoamento e a
formação de uma região de sequência
de largura sobre a superfície superior
do aerofólio. Estol é altamente
indesejável, uma vez que também
aumenta a resistência.
No ângulo de ataque zero ( = 0°), o
coeficiente de sustentação é zero para
aerofólios simétricos, mas diferente de
zero para os não simétrica com maior
curvatura na superfície superior.
Portanto, aviões com seções das asas
simétricas deve voar com suas asas em
ângulos mais elevados de ataque, a fim
de produzir a mesma sustentação
O coeficiente de sustentação pode ser de várias vezes aumentada através do 
ajuste do ângulo de ataque (a partir de 0.25 com  =0° para um aerofólio não-
simétrico e para 1.25 com  =10°).
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O coeficiente de arrasto 
aumenta com o ângulo 
de ataque na forma 
exponencial.
Portanto, grandes 
ângulos de ataque deve 
ser usado com 
moderação por curtos 
períodos de tempo para 
a eficiência de 
combustível.
A variação do coeficiente de arrasto de um 
aerofólio com o ângulo de ataque.
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Asas Finitas e Arrasto Induzido
Para asas de avião e outros aerofólios de extensão finita, os efeitos
finais nas pontas tornam-se importantes por causa do vazamento de
fluido entre as superfícies inferior e superior.
A diferença de pressão entre a superfície inferior (região de alta
pressão) e a superfície superior (região de baixa pressão), impulsiona
o fluido para cima nas pontas enquanto ele é varrido para trás devido
ao movimento relativo entre o fluido e a asa.
Isso resulta em um movimento em turbilhão que forma espirais ao
longo do escoamento, chamadas de vortices de ponta, nas pontas de
ambas das asas.
Vórtices são também formados ao longo do plano aerodinâmico entre
as pontas das asas.
Esses vórtices distribuídos se movem na direção das extremidades
após serem desprendidos pelos bordos de fuga das asa e se
combinarem com os vórtices das pontas para formar duas esteiras de
vórtices de fuga (trailing vortices) muito fortes ao longo das pontas
das asa.
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Vórtices de fuga visualizadas em várias 
formas: (a) s. linhas de emissão de fumaça 
em um túnel de vento mostram os vórtices 
deixando o bordo de fuga de uma asa 
retangular; (b) linhas de condensação de 
água causadas pela baixa pressão na região 
atrás dos motores acabam se juntando e 
formando os dois vórtices contra-rotativos de 
fuga que persistem a jusante da aeronave; (c) 
um avião agrícola voa através do ar 
esfumaçada que forma um dos vórtices de 
ponta de asa.
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(a) Gansos voando em sua formação V 
característica para economizar energia.
(b) Jatos militares imitando a natureza.
Foi determinado que as aves de um
bando típico pode voar para o seu
destino na formação V com um terço
menos energia (utilizando a corrente
de ar ascendente gerada pelo pássaro
na frente). Jatos militares também,
ocasionalmente, voar em formação V,
pela mesma razão
Vórtices de ponta de que interagem com o escoamento livre impõe forças 
sobre as pontas das asas em todas as direções, incluindo a direção do 
escoamento. 
A componente da força na direção do escoamento contribui com o arrasto e é 
chamada arrasto induzido.
O arrasto total de uma asa é a soma dos arrasto induzido (efeitos 3-D) e o 
arrasto da seção aerodinâmica (efeitos 2-D).
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Razão de aspectos: A relação entre o quadrado da 
envergadura média de um aerofólio e a área planiforme 
retangular de corda c e envergadura b,
A razão de aspecto é uma medida de quão estreita é um aerofólio na direção
do escoamento.
O coeficiente de sustentação das asas, em geral, aumenta o coeficiente de
arrasto enquanto diminui com o aumento da razão de aspecto.
Corpos com grandes razões de aspecto voar de forma mais eficiente, mas
elas são menos manobráveis por causa do seu maior momento de inércia
(devido à maior distância do centro).
O arrasto induzido é reduzido (a) penas de ponta de asa nas asas 
de aves e (b) aletas ou outros dispositivos nas asas de aviões
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Sustentação Gerada Pela Rotação
Efeito Magnus: O fenómeno de produzir sustentação pela rotação de um corpo
sólido. Quando a bola não está girando, a sustentação é zero por causa da simetria de
cima para baixo. Mas quando o cilindro é girado em torno do seu eixo, o cilindro
arrasta um pouco de fluido ao redor dele devido à condição de não escorregamento e
o campo de escoamento reflete a superposição dos escoamentos com rotação e sem
rotação
Geração de sustentação sobre um cilindro circular rotativo para o caso de
“idealizado" escoamento potencial (o escoamento real envolve a separação
do escoamento na região de esteira).
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Note-se que o coeficiente de sustentação
depende fortemente da velocidade de
rotação, especialmente a baixas
velocidades angulares.
O efeito da velocidade de rotação sobre o
coeficiente de arrasto é pequeno. A
Rugosidade também afeta os coeficientes
de arrasto e de sustentação.
Num determinado intervalo do número de
Reynolds, a rugosidade produz o efeito
desejável de aumentar o coeficiente de
sustentação ao diminuir o coeficiente de
arrasto.
Portanto, bolas de golfe com a quantidade
certa de rugosidade viajam mais alto e
mais longe do que bolas lisas com a
mesma tacada.
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Os irmãos Wright alçam o vôo em Kitty Hawk.
Embora não possa ser creditado 
a eles o desenvolvimento dos 
conceitos de sustentação e 
arrasto, eles utilizaram esses 
conceitos para construir um dos 
primeiros objeto voador 
controlado mais pesado do que 
o ar.
Eles tiveram sucesso, enquanto 
tantos antes deles falharam, 
porque avaliaram e projetaram 
as partes separadamente.
Antes dos Wrights, 
experimentadores estavam 
construindo e testando aviões 
inteiros.
Os irmãos Wright são verdadeiramente a equipe de engenharia mais 
impressionantes de todos os tempos.
Autodidatas, eles foram bem informados sobre a teoria e prática contemporânea 
em aeronáutica. 
Ambos corresponderam com outros líderes no campo e publicaram em revistas 
técnicas.