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Unidade III MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Maurício Manzalli Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos São desenvolvidos, basicamente, para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo pagamentos periódicos do principal e encargos financeiros. Abaixo segue relação de alguns sistemas: Sistema de amortização constante. Sistema de amortização francês. Sistema de amortização misto. Sistema de amortização americano. Sistema de amortização crescente. Definições básicas Encargos financeiros: representam os juros da operação, caracterizados como custo para o devedor e retorno para o credor. Amortização: a fração (parte) do capital paga ou recebida em um determinado período (data). Saldo devedor: valor principal da dívida. Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da série de pagamentos. Carência: prazo concedido nas operações de financiamento em que o credor não paga ou não amortiza o valor principal da dívida contraída. Sistema de Amortização Constante (SAC) As amortizações do principal são sempre iguais em todo o prazo da operação. O valor da amortização é obtido pela divisão do capital emprestado pelo número de prestações. Os juros que incidem sobre o saldo devedor assumem valores decrescentes nos períodos. As prestações são decrescentes em progressão aritmética. Sistema de Amortização Constante (SAC) Exemplo. Construa a tabela do SAC: Considere um empréstimo de R$ 100.000,00, concedido dentro de um prazo de 10 anos, com pagamento em 20 prestações semestrais com taxa de juros de 7% ao semestre. Amortização = valor empréstimo nº de prestações Amortização = 100.000 = 5000 20 Amortização = R$ 5.000,00 ao semestre Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo Fonte: livro-texto Sistema de Amortização Constante (SAC): expressões de cálculo Amortização (Amort): valores sempre iguais. Em que: PV = principal (valor do financiamento). n = número de prestações. Saldo Devedor (SD): é decrescente pelo valor constante da amortização. Amort = PV n Sistema de Amortização Constante (SAC): expressões de cálculo Juros (J): diminuem linearmente ao longo do tempo. Sendo i a taxa de juros, temos: J = PV . (n – t + 1) . i n Prestação (PMT): soma da amortização com juros e encargos administrativos, que deve ser analisada em cada situação de empréstimo com a instituição financeira. PMT = Amort + J (não consideramos encargos administrativos nesse modelo). PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ] n Expressões de cálculo (SAC): exemplos Exemplo 1: Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos, com pagamento em 10 prestações semestrais com taxa de juros de 30% a.a. Calcular o valor do juros no 3º semestre. Em primeiro lugar, vamos converter a taxa de 30% ao ano em uma taxa semestral. Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo Anual Semestral iq = (1 + i) 1/q – 1 1 ano = 2 semestres iq = (1 + 0,30) 1/2 – 1 iq = (1,30) 1/2 – 1 iq = 1,140175 – 1 iq = 0,140175 Multiplicando por 100 para apresentar a taxa em percentual: Iq = 14,0175% a.s. Portanto, a taxa equivalente semestral de 30% a.a. é de 14,0175% Expressões de cálculo (SAC): exemplos Juros no 3º semestre = ? PV = 100.000 n = 10 semestres i = 14,0175% a.s. J = PV . (n – t + 1) . i n J = 100000 . (10 – 3 + 1) . 0,140175 10 J = 10000 . 8 . 0,140175 J = R$ 11.214,00 Expressões de cálculo (SAC): exemplos Exemplo 2: Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos com 10 prestações semestrais e taxa de juros de 30% a.a. Calcular o valor da prestação no 5º semestre. PMT = PV . [1+ (n – t + 1) . i] n PMT = 100000 . [1 + (10 – 5 + 1) . 0,140175] 10 PMT = 10000 . [1 + (6) . 0,140175] PMT = 10000 . [1 + 0,84105] PMT = 10000 . 1,84105 PMT = R$ 18.410,50 Interatividade Calcular o valor da prestação no 7º semestre, sabendo que o valor do empréstimo é de R$ 100.000,00 dentro de um prazo de 5 anos em 10 prestações semestrais com a taxa de juros de 30% ao ano. a) R$ 15.607,00. b) R$ 28.035,00. c) R$ 13.233,50. d) R$ 20.460,00. e) R$ 24.831,50. Sistema de Amortização Constante (SAC): com carência Os exemplos anteriores não apresentaram prazo de carência para amortização do empréstimo. A próxima tabela demonstra uma situação em que os juros são pagos durante a carência estipulada. Ao final dos quatro primeiros semestres, a prestação, constituída unicamente dos encargos financeiros, é de R$ 14.017,50; ou seja: 14,0175% x R$ 100.000,00. A partir do quinto semestre, inicia-se a amortização do principal emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste momento em diante, idêntico ao desenvolvido anteriormente. Sistema de Amortização Constante (SAC): com carência – exemplo SAC com carência (2 anos) e pagamento dos juros Amortização: R$ 10.000,00 a.s. Juros: 14,0175% a.s. Períodos Saldo devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$) 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50 6 80.000,00 10.000,00 12.615,75 22.615,75 7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00 8 60.000,00 10.000,00 9.812,25 19.812,25 9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50 10 40.000,00 10.000,00 7.008,75 17.008,75 11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00 12 20.000,00 10.000,00 4.205,25 14.205,25 13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50 14 - 10.000,00 1.401,75 11.401,75 TOTAL - 100.000,00 133.166,25 233.166,25 Sistema de Amortização Constante (SAC): com carência – exemplo quando os juros não são pagos na carência SAC com carência (2 anos) com juros (14,0175% a.s.) capitalizados e acrescidos ao saldo devedor Períodos Saldo devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$) 0 100.000,00 - - - 1 114.017,50 - - - 2 129.999,90 - - - 3 148.222,64 - - - 4 168.999.75 - - - 5 152.099,77 16.899,97 23.689,54 40.589,51 6 135.199,80 16.899,97 21.320,59 38.220,56 7 118.299,82 16.899,97 18.951,64 35.851,61 8 101.399,85 16.899,97 16.582,68 33.482,65 9 84.499,87 16.899,97 14.213,73 31.113,70 10 67.599,90 16.899,97 11.844,77 28.744,74 11 50.699,92 16.899,97 9.475,82 26.375,79 12 33.799,95 16.899,97 7.106,87 24.006,84 13 16.899,97 16.899,97 4.737,91 21.637,88 14 - 16.899,97 2.368,96 19.268,93 TOTAL - 168.999,75 130.292,47 299.292,22 Sistema de Amortização Francês (SAF) Prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Juros: incidem sobre o saldo devedor e são decrescentes. Parcelas: assumem valores crescentes em função da amortização do principal. Prestação: é a soma dos juros com o valor da amortização. Para compor a planilha financeira: vamos partir da última coluna para a primeira: calcula inicialmente as prestações e, a seguir, os juros, as parcelas de amortização e o respectivo saldo devedor. Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo Construindo a tabela do SAF: Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais durante 5 anos com taxa de juros de 30% ao ano. As prestações semestrais são determinadas pela fórmula: PMT = PV FPV Em que: PV = valor presente PMT = valor prestação FPV = fator de valor presente, sendo: FPV = 1 – (1+ i)–n i Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo Vamos calcular o valor das prestações (PMT) = PMT = PV FPV Em que: FPV = 1 – (1+ i)–n i Informaçõesdo exemplo: Empréstimo (PV) = 100000 Número de prestações (n) = 10 Taxa de juros (i) = 14,0175% a.s. Vejamos os cálculos e o resultado: Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo Vamos calcular o valor das prestações (PMT) = PMT = PV FPV 100000 = PMT . 1 – (1+ 0,140175)-10 0,140175 100000 = PMT . 1 – (1,140175)-10 0,140175 100000 = PMT . 1 – 0,26933 0,140175 100000 = PMT . 5,212556 PMT = 100000 / 5,212556 = 19.184,44 Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo Taxa de juros: 14,0175% ao semestre Fonte: livro-texto Interatividade Com base nos exemplos apresentados do Sistema de Amortização Constante (SAC), qual deles apresenta o maior valor como total das prestações pagas? a) SAC sem carência. b) SAC com carência e pagamento dos juros na carência. c) SAC com carência, com juros capitalizados e acrescidos ao saldo devedor. d) SAC sem carência e com carência, sendo os juros pagos na carência. e) Não há variação entre os totais das prestações. Sistema de Amortização Francês (SAF): expressões de cálculo Amortização (Amort): é a diferença entre o valor da prestação e os juros. Amort = PMT – J Amort1 = 19184,40 – 14017,50 = 5166,90 A amortização em um momento t qualquer é calculada: Amort = Amort1 . (1 + i) t – 1 Exemplo: qual o valor da amortização no quarto semestre? Amort = 5166,90 . (1 + 0,140175)4 – 1 Amort = 5166,90 . (1,140175)3 Amort = 5166,90 . 1,482226 Amort = 7658,51 Sistema de Amortização Francês (SAF): expressões de cálculo Prestação (PMT): conforme visto, as prestações semestrais são determinadas pela fórmula: PMT = PV / FPV Em que: PV = valor presente PMT = valor prestação FPV = fator de valor presente, sendo: FPV = 1 – (1+ i)–n i Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período (ou ao final de cada período imediatamente anterior). J1 = SD0 . i J2 = SD1 . i J3 = SD2 . i e assim por diante. Sistema de Amortização Francês (SAF): expressões de cálculo Saldo Devedor (SD): para cada período é calculado pela diferença entre o valor devido no início do intervalo de tempo e a amortização do período. SDt = PMT . FPV (i, n – t) Por exemplo, o saldo devedor no 6º semestre é: SD6 = 19184,40 . FPV (14,175%, 10 – 6) FPV = 1 – (1+ i)–n = 1 – (1+0,140175)-4 i 0,140175 FPV = 1 – 0,591717 = 0,408283 = 2,912667 0,140175 0,140175 SD6=19184,40 . 2,912667 = 55877,76: arredondando, 55878,00 Sistema Price de Amortização (Tabela Price) O Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa uma variante do SAF (Sistema de Amortização Francês). Envolve prestações fixas e juros decrescentes a cada período. Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo Construindo a Tabela Price: Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos anuais durante 10 anos com taxa de juros de 25% ao ano. As prestações anuais são determinadas pela fórmula: PV = PMT . FPV (i,n) Em que: PV = valor presente PMT = valor prestação FPV = fator de valor presente, sendo: FPV = 1 – (1+ i)–n i Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo Vamos calcular o valor das prestações (PMT): PV = PMT . FPV (i,n) Em que: FPV = 1 – (1+ i)–n i Informações do exemplo. Empréstimo (PV) = 100000 Número de prestações (n) = 10 Taxa de juros (i) = 25% a.a. Vejamos o cálculo e o resultado. Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo Vamos calcular o valor das prestações (PMT): 100000 = PMT . 1 – (1+ 0,25)-10 0,25 100000 = PMT . 1 – (1,25)-10 0,25 100000 = PMT . 1 – 0,107374 0,25 100000 = PMT . 3,570503 PMT = 100000 / 3,570503 = 28007,26 Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo Taxa de juros: 25% ao ano Fonte: livro-texto Interatividade Um empréstimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido pelo sistema francês em 5 prestações semestrais, considerando uma taxa de juros de 4% ao semestre. Sabendo que a prestação a ser paga é de R$ 179.701,70 e que a amortização no primeiro semestre é de R$ 147.701,70; calcule a amortização no terceiro semestre. a) R$ 180.328,43. b) R$ 159.754,16. c) R$ 233.431,50. d) R$ 201.552,00. e) R$ 141.733,18. Sistema de Amortização Misto (SAM) Desenvolvido originalmente para operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Representa a média aritmética entre o sistema francês e o sistema de amortização constante. Sistema de Amortização Misto (SAM) PMTSAM = 24.017,50 + 19.184,44 = 21.600,97 2 SDSAM = 90.000,00 + 94.833,06 = 92.416,53 2 SAC SAF Sistema de Amortização Americano (SAA) A devolução do capital emprestado é efetuada no final do período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez. Amortizações intermediárias durante o período de empréstimo não estão previstas. Os juros costumam ser pagos periodicamente. Sistema de Amortização Americano (SAA): exemplo Construindo a tabela do SAA – Sistema de Amortização Americano: Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais durante 3 anos com taxa de juros de 30% ao ano. Sistema de Amortização Americano (SAA): exemplo Devolução do capital ao final do período. Taxa de juros: 14,0175% ao semestre Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$) 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 5 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50 TOTAL - 100.000,00 84.105,00 184.105,00 Sinking fund ou fundo de amortização No Sistema de Amortização Americano ocorre o sinking fund ou fundo de amortização. Consiste em acumular poupanças periódicas durante o prazo do empréstimo para que, no final do período, o montante do fundo seja igual ao valor da dívida. Esse fundo é usado para evitar que o mutuário desembolse uma grande quantia de uma só vez. R = S / k em que: R = depósito do período S = montante igual ao principal k = fator de valor presente Sinking fund ou fundo de amortização: exemplo Um empréstimo de R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 12% ao ano e um prazo de quatro anos, pode-se criar qual fundo de amortização com uma taxa de aplicação de 10% ao ano com k = 4,641? i = taxa de juros do fundo = 10% a.a. S = montante igual ao principal = 100.000,00 R = depósito anual k = fator de valor presente = 4,641 (constante para uma taxa de 10% a.a e para um período de 4 anos). Temos: R = S / k R = 100000 / 4,641 R = R$ 21.547,08 Sinking fund ou fundo de amortização: exemplo Anos Saldo credor (R$) Depósito (R$) Juros (R$) 0 - - - 1 21.547,08 21.547,08 - 2 45.248,87 21.547,08 2.154,71 3 71.320,84 21.547,08 4.524,89 4 100.000,00 21.547,08 7.132,08 TOTAL - 86.188,32 13.811,68 Sistema de amortização crescente (SACRE) O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito utilizado pela Caixa Econômica Federal. Foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindo-se simultaneamente a parcela de juros sobre o saldo devedor. O grande atrativo do Sacre é que, enquanto na Tabela Price as prestações tendem a aumentar sempre, nele, a partir de um momento, as prestações começam a diminuir. Interatividade Com base nas tabelas SAC e SAF abaixo, qual alternativa apresenta o valor da prestação do período 2, no sistema de amortização misto? SAC SAF a)R$ 21.600,97. b) R$ 92.416,53. c) R$ 20.900,10. d) R$ 19.184,44. e) R$ 22.615,75. ATÉ A PRÓXIMA!
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