AV2 - Matemática Financeira (100%)

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO PRÁTICA – FLUXO DE CAIXA E FINANCIAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Situação 1: 
A empresa Alfa necessita adquirir uma máquina no valor de R$ 8.400,00, sendo que a mesma possui metade desse valor e poderá usá-lo como entrada da compra. Nos próximos 3 meses a Alfa não poderá realizar nenhum pagamento, mas, após esse período, pagará tantas prestações mensais de R$ 974,00 quantas forem necessárias, mais um pagamento residual, um mês após o pagamento da última parcela, de valor inferior ao da prestação. Nesse cenário, considerando a taxa de juros efetiva cobrada de 10% am, a empresa Alfa precisa mensurar o total de prestações e o valor do pagamento residual. 
A partir destas informações, qual o diagrama de fluxo de caixa do financiamento, o número de prestações necessárias, e o valor do pagamento residual? 
Resolução: 
A máquina custa à vista R$8.400,00 e será paga a entrada de 50% desse valor, que é R$4.200,00 
Então iremos fazer a correção para o período de carência dos 3 meses: 
Fórmula: VF = VP. (1 + i) n 
	VP (valor presente): 
	 R$ 4.200,00 
	VF (valor futuro): 
	? 
	n (tempo): 
	3 
	i1 (taxa): 
	10,00% 
VF = 4.200 . (1 + 0,1) 3 
VF = 4.200 . 1,13 
VF = 4.200 . 1,311 
VF = 5.590,20 
 
 
 
 
O valor de R$ 5.590,20 será pago em “n” parcelas de R$974,00 com os juros aplicados: 
Fórmula: 𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 . [ 𝟏−(𝟏+𝒊)−𝒏] 
𝒊
1 − (1 + 0,1)−𝑛
5.590,20 = 974 . 
0,1
1 − 1,1−𝑛
5.590,20 = 974 . 
0,1
 = 1 − 1,1−𝑛 
1,1−𝑛 = 1 − 
	𝑙𝑜𝑔 (1 − 	)0
,
1
 
.
5
.
590
,
20
974
𝑛 = 
log (1,1)
𝑛 ≅ 8,95 
Então pagaremos 8 parcelas completas no valor de R$974,00 e teremos uma prestação menor no último mês. 
 
 
 
 
 
 
 
Para atualizar o saldo devedor do 9º mês a fórmula será: 
FV = PV . (1 + i)n 
E para atualizar as 8 prestações na data correta a fórmula será: 
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 1
𝑭𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 . [ ] 
𝒊
O saldo devedor da última parcela será a diferença entre as duas: 
𝑆𝐷 = 5.490,30 . (1 + 0,1)8 − 974 . [ ] 
𝑆𝐷 = 5.490,30 . 1,18 − 974 . 
𝑆𝐷 ≅ 11.983,09 − 11.138,56 
𝑆𝐷 ≅ 844,54 
Agora, no último mês: 
𝑆𝐷 = 844,54 . (1 + 0,1)1 
𝑆𝐷 = 844,54 . 1,1 
𝑆𝐷 = 928,99 
Então, o valor da última parcela é de R$928,99. 
 
 
 
 
 
Segue o diagrama de fluxo de caixa: 
 
O diagrama de fluxo apresenta uma série uniforme de pagamentos. 
· Quanto ao tempo: temporária, pois apresenta um prazo de término conhecido. 
· Quanto à periodicidade: não periódica, pois não obedece a um padrão de tempo entre cada pagamento. 
· Quanto aos valores: variável, pois um pagamento apresenta valor diferente dos demais. 
· Quanto ao vencimento do primeiro pagamento: diferida, pois existe um período de carência para a ocorrência do primeiro pagamento. 
· Quanto ao momento dos pagamentos: postecipadas, pois foram pagas após adquirir a máquina. 
Resposta: O número de prestações necessárias após o pagamento da entrada são 9, sendo 8 parcelas no valor de R$974,00 e a última parcela no valor de R$928,99. 
 
 
 
 
 
Situação 2: 
A Família ABC Silva obteve um empréstimo de R$ 120.000,00, a uma taxa de 2% ao mês, que deverá ser paga em 10 parcelas mensais, sem prazo de carência. 
Diante desse cenário, torna-se salutar a elaboração das Planilhas de 
Financiamento para o Sistema de Amortização Francês (SAF - Tabela Price) e para o Sistema de Amortização Constante (SAC), seguindo o modelo a seguir. 
Diante da tabela pronta, qual a melhor opção, dentre esses 2 sistemas para o tomador do empréstimo? Justifique a resposta de estabelecendo um comparativo, a partir das características de cada Sistema. 
Resolução: 
No Sistema Francês (SAF), o mutuário deve devolver o empréstimo com os juros em prestações iguais e periódicas. A amortização é crescente em progressão geométrica de razão igual a (1 + i) e os juros são decrescentes. O empréstimo (PV) a ser pago em (n) prestações iguais (PMT) a uma taxa de juros (i) expressa na mesma unidade de tempo do período de pagamentos pelo Sistema Prince. As prestações são calculadas como se fossem os termos (PMT) de uma renda imediata, cujo valor presente é PV. Os juros serão calculados sobre o saldo devedor do empréstimo no inicio desse período, a amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros do período e o saldo devedor será calculado pela diferença entre o saldo devedor do período anterior subtraído do valor amortizado no respectivo período. 
No Sistema Constante (SAC), as parcelas de amortização do empréstimo são sempre iguais. O valor da amortização é calculado através da divisão do empréstimo (PV) pelo número de amortização (n). Os juros são calculados, a cada período, multiplicando a taxa contratada pelo saldo devedor existente sobre o período anterior, assumindo valores decrescentes nos períodos. A prestação, a cada período, é igual à soma da amortização e dos encargos financeiros, sendo periódica, sucessiva e decrescente em progressão aritmética, de razão igual ao produto da taxa de juros pela parcela de amortização. 
Planilha de financiamento pelo Sistema de Amortização Francês (SAF – Tabela Prince): 
Primeiro, vamos calcular o valor das prestações que serão fixas: 
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 . (𝟏+𝒊)𝒏−𝒏1 120.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 . (1+0,02)10−110 = 13.359,18 
	𝒊 .(𝟏+𝒊)	0,02 .(1+0,02)
· Juros: saldo devedor . taxa de juros = 120.000,00 x 0,02 = 2.400,00 
· Amortização: prestação – juros = 13.359,18 – 2.400,00 = 10.959,18 
· O saldo devedor no início do segundo mês é o saldo devedor anterior subtraído do valor da amortização do início do segundo mês: 120.000,00 – 10.959,18 = 109.040,82 
	n 
	Saldo Devedor (SDn) 
	Amortização (PAn) 
	Juros (J) 
	Prestação (PMT) 
	0 
	R$ 120.000,00 
	R$ 0,00 
	R$ 0,00 
	R$ 0,00 
	1 
	R$ 109.040,82 
	R$ 10.959,18 
	R$ 2.400,00 
	R$ 13.359,18 
	2 
	R$ 97.862,45 
	R$ 11.178,37 
	R$ 2.180,82 
	R$ 13.359,18 
	3 
	R$ 86.460,52 
	R$ 11.401,93 
	R$ 1.957,25 
	R$ 13.359,18 
	4 
	R$ 74.830,54 
	R$ 11.629,97 
	R$ 1.729,21 
	R$ 13.359,18 
	5 
	R$ 62.967,97 
	R$ 11.862,57 
	R$ 1.496,61 
	R$ 13.359,18 
	6 
	R$ 50.868,15 
	R$ 12.099,82 
	R$ 1.259,36 
	R$ 13.359,18 
	7 
	R$ 38.526,33 
	R$ 12.341,82 
	R$ 1.017,36 
	R$ 13.359,18 
	8 
	R$ 25.937,67 
	R$ 12.588,66 
	R$ 770,53 
	R$ 13.359,18 
	9 
	R$ 13.097,24 
	R$ 12.840,43 
	R$ 518,75 
	R$ 13.359,18 
	10 
	R$ 0,00 
	R$ 13.097,25 
	R$ 261,94 
	R$ 13.359,18 
	
	TOTAL 
	R$ 120.000,00 
	R$ 13.591,83 
	R$ 133.561,83 
 
 
 
 
Planilha de financiamento pelo Sistema de Amortização Constante 
(SAC) 
· Juros: saldo . taxa de juros = 120.000,00 . 0,02 = 2.400,00 
· Amortização: principal : número de parcelas = 120.000,00 : 10 = 
12.000,00 
· Saldo devedor: saldo devedor – amortização = 120.000,00 – 
12.000,00 = 108.000,00 
· Prestação é a soma da amortização + juros: 12.000,00 + 2.400,00 = 14.400,00 
	n 
	Saldo Devedor (SDn) 
	Amortização (PAn) 
	Juros (J) 
	Prestação (PMT) 
	0 
	R$ 120.000,00 
	R$ 0,00 
	R$ 0,00 
	R$ 0,00 
	1 
	R$ 108.000,00 
	R$ 12.000,00 
	R$ 2.400,00 
	R$ 14.400,00 
	2 
	R$ 96.000,00 
	R$ 12.000,00 
	R$ 2.160,00 
	R$ 14.160,00 
	3 
	R$ 84.000,00 
	R$ 12.000,00 
	R$ 1.920,00 
	R$ 13.920,00 
	4 
	R$ 72.000,00 
	R$ 12.000,00 
	R$ 1.680,00 
	R$ 13.680,00 
	5 
	R$ 60.000,00 
	R$ 12.000,00 
	R$ 1.440,00 
	R$ 13.440,00 
	6 
	R$ 48.000,00 
	R$ 12.000,00 
	R$ 1.200,00 
	R$ 13.200,00 
	7 
	R$ 36.000,00 
	R$ 12.000,00 
	R$ 960,00 
	R$ 12.960,00 
	8 
	R$ 24.000,00 
	R$ 12.000,00 
	R$ 720,00 
	R$ 12.720,00 
	9 
	R$ 12.000,00 
	R$ 12.000,00 
	R$ 480,00 
	R$ 12.480,00 
	10 
	R$ 0,00 
	R$ 12.000,00 
	R$ 240,00 
	R$ 12.240,00 
	
	TOTAL 
	R$ 120.000,00 
	R$ 13.200,00 
	R$ 133.200,00 
 
Resposta: Analisando as planilhas, conclui-se que no caso apresentado, o melhor sistema para pegar o empréstimo é a tabela SAC por ter juros menores e a amortização acontecer de maneira constante tendo as prestações decrescentes. Já na tabela Prince, o que se mantém constante é o valor da prestação, então a amortização será crescente mês a mês. Apesar de começar as prestações pagando mais no sistema SAC, o valor final será menor que natabela Prince, sendo assim, é mais vantajoso pagar mais no início e economizar nas prestações finais.