O Legado Centenario de Niels Bohr Quimica Nova 2013

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Quim. Nova, Vol. 36, No. 7, 931, 2013
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O LEGADO DE NIELS BOHR
No ano de 1913, três manuscritos publicados no periódico 
Philosophical Magazine, de autoria do físico dinamarquês 
Niels Bohr, sob o título “On the Constitution of Atoms and 
Molecules”, iriam estabelecer as sementes para a descrição 
quantitativa da estrutura eletrônica de átomos e moléculas. 
Estes trabalhos pioneiros de Bohr iriam impactar a Química 
em diversos aspectos fundamentais tais como a estrutura ele-
trônica dos elementos e sua relação com o conceito de valência, 
a relação entre periodicidade e configuração eletrônica, e nos 
princípios básicos da espectroscopia. Nada mais oportuno, 
portanto, do que a iniciativa da Química Nova em comemorar 
o centenário deste marco histórico da ciência e prestar uma 
homenagem e uma reflexão sobre o legado dos trabalhos de 
Niels Bohr. Em dois trabalhos deste número da QN, Carlos 
Alberto Lombardi Filgueiras e João Pedro Braga, conceituados 
pesquisadores brasileiros na área da Química que cultivam 
também grande interesse e curiosidade pelo desenvolvimento 
das ideias e teorias da Química, apresentam, com riqueza de 
detalhes, os aspectos históricos da contribuição científica de 
Bohr e o modelo físico idealizado por Bohr para descrever 
átomos e moléculas simples. 
Uma série de resultados experimentais obtidos em diversos 
laboratórios de Física, principalmente na Europa, nos pri-
mórdios do século 20, causaram grande rebuliço científico e 
desencadearam a busca de modelos adequados para descrever 
a estrutura da matéria do ponto de vista microscópico. Os pri-
meiros anos do século 20 vivenciaram também o surgimento do 
que se convenciona chamar a teoria quântica antiga formulada 
a partir da interpretação da radiação do corpo negro por Planck 
e da capacidade calorífica de sólidos por Einstein, e da intro-
dução do conceito do fóton. Entretanto, coube a Bohr o grande 
mérito de propor um modelo teórico para a estrutura eletrônica 
de átomos, que baseado no modelo planetário introduzido por 
Rutherford em 1911, era capaz de explicar quantitativamente 
os espectros de emissão conhecidos na época, notadamente a 
série de Balmer do hidrogênio atômico, e daqueles que viriam 
ser observados em anos subsequentes. 
A abordagem de Bohr partia de uma análise das condições 
necessárias para que um sistema de elétrons, girando numa 
órbita circular em torno de um núcleo fixo contendo cargas 
positivas, atingisse estabilidade mecânica. Bohr concluiu que 
as equações da mecânica clássica eram incapazes de prever a 
estabilidade mecânica destes sistemas, e lançou dois postula-
dos quânticos importantes: i) a existência de estados estacioná-
rios associados com a quantização do momento angular orbital 
do elétron e a introdução do número quântico principal, e ii) 
um mecanismo discreto para emissão e absorção de radiação 
eletromagnética associado a transições entre dois 
estados estacionários (quânticos). Este mesmo 
critério de estabilidade mecânica foi utilizado no 
terceiro artigo de Bohr para descrever a estrutura 
eletrônica da molécula de hidrogênio, ilustrado no 
artigo de C. A. L. Filgueiras, J. P. Braga e N. H. T. 
Lemes nesta edição. 
Ao contrário da maioria dos físicos da época, Niels Bohr 
se interessou em problemas mais diretamente relacionados 
com Química. Este interesse, frequentemente atribuído à 
grande amizade com o físico-químico húngaro George de 
Hevesy (ganhador do Prêmio Nobel de Química em 1943), 
resultou na extensão da teoria de Bohr não somente para 
átomos “hidrogênicos”, mas também para átomos polie-
letrônicos. A abordagem de Bohr nesta fase consistiu em 
analisar o número de elétrons passíveis de serem acomodados 
em sucessivas orbitas. Apesar do sucesso na descrição do 
átomo de hidrogênio, o modelo de Bohr para átomos polie-
letrônicos, e a distribuição de elétrons em sucessivas orbitas, 
teve que ser ajustado de uma maneira um tanto arbitrária 
para corresponder a periodicidade e valência dos elementos 
químicos. Entretanto, as ideias de Bohr foram fundamentais 
para descrever a tabela periódica dos elementos químicos em 
função da configuração eletrônica dos átomos. A conexão 
dos trabalhos de Bohr com problemas mais relacionados 
com a Química também pode ser associada a sua interação 
frequente com grandes químicos contemporâneos da Dina-
marca como Niels Janniksen Bjerrum, que iria aproveitar os 
conceitos espectroscópicos de Bohr para estudos pioneiros 
relacionados com vibrações e rotações moleculares, Johannes 
Nicolaus Brønsted e Jens Anton Christiansen.
Evidentemente, o modelo de Bohr teve o seu maior su-
cesso na interpretação de espectros atômicos. De um lado, a 
sua teoria foi capaz de reproduzir o valor exato da constante 
de Rydberg, e a sua teoria se mostrou muito útil para explicar 
fenômenos importantes como a variação do comprimento de 
onda dos raios-X emitidos pelos elementos químicos e sua 
relação com a carga nuclear corrigida pela blindagem do elé-
tron interno da camada K (lei de Moseley). Este conceito de 
blindagem pelos elétrons internos foi também utilizado para 
interpretar os espectros atômicos dos metais alcalinos, e seria 
eventualmente incluído, algumas décadas depois, por Slater 
ao propor as chamadas funções monoeletrônicas de Slater 
utilizadas para cálculos simples de Química Quântica.
Apesar do sucesso do modelo de Bohr em reproduzir de 
maneira exata o espectro eletrônico do hidrogênio atômico e 
de átomos semelhantes, os químicos da época não foram ime-
932 Quim. Nova
diatamente receptivos às ideias de Bohr. A ênfase no critério de 
estabilidade mecânica para descrever a estrutura eletrônica do 
átomo foi considerada muito complicada e pouco familiar para 
químicos acostumados com uma ciência puramente empírica. 
Este mesmo tipo de modelo para moléculas, baseado num 
modelo físico dinâmico, contrastava com o modelo estático 
introduzido por G. N. Lewis que privilegiava o compartilha-
mento de um par de elétrons para descrever a ligação química, 
conceito que iria eventualmente ser amplamente explorado por 
Pauling. Contudo, os resultados quantitativos dos primeiros 
cálculos moleculares de Bohr apresentaram grande novidade. 
Por exemplo, as primeiras experiências de Langmuir, ao redor 
de 1915, indicavam uma energia de ligação de 84 kcal mol-1 
para a molécula de hidrogênio, valor não muito distante do va-
lor previsto de 63 kcal mol-1 pela molécula de Bohr. A extensão 
deste modelo para moléculas poliatômicas não foi muito bem 
sucedida e a estabilidade prevista por Bohr para a molécula 
duvidosa de H3 só iria ser demonstrada espectroscopicamente 
por Herzberg em 1979 como sendo uma molécula de Rydberg, 
melhor representada como um íon H3+ ligado a um elétron num 
orbital muito distante.
Niels Bohr recebeu o Prêmio Nobel de Física em 1922, 
mas a sua contribuição para a Química pode ser avaliada pelo 
fato de ter sido proposto em duas ocasiões, 1920 e 1929, para 
o Prêmio Nobel de Química por químicos da Alemanha.
A partir da década de 1920, e com o declínio da antiga 
teoria quântica, Bohr começou a se afastar progressivamente 
de sua conexão com problemas de natureza química. Esta 
mudança de interesse teve muito a ver com a sua inclinação 
pela física teórica rigorosa e pelas inconsistências do modelo 
físico utilizado por Bohr que incorporava condições artificiais 
e de difícil justificativa para compatibilizar o conceito de es-
tabilidade de órbitas progressivamente mais complexas com 
configurações eletrônicas. 
Os trabalhos e ideias de Bohr tiveram outras contribuições 
marcantes na Química, como a derivação do momento mag-
nético do elétron e a formulação da grandeza conhecida como 
magnéton de Bohr, fundamental em fenômenos de ressonância 
magnética e susceptibilidade magnética. Da mesma maneira, 
o princípio de correspondênciaou a convergência do compor-
tamento quântico para comportamento clássico no limite de 
números quânticos elevados representou um grande avanço 
na compreensão da junção suave entre fenômenos quânticos 
e fenômenos clássicos.
Niels Bohr teve uma atuação intensa durante a Segunda 
Guerra Mundial, atuando na Dinamarca, na Inglaterra e nos 
Estados Unidos. As suas preocupações humanísticas e a 
profundidade dos seus pensamentos estão retratadas em duas 
excelentes coleções de artigos publicadas em 1934 e 1957 
sob os títulos de Atomic Theory and the Desciption of Nature 
e Atomic Physics and Human Knowledge. Nas palavras de 
cientistas que participaram desta época dourada da ciência, 
Niels Bohr foi um verdadeiro cavalheiro da ciência.
O legado histórico de Bohr é visível até hoje, e seu modelo 
planetário do átomo, embora totalmente superado, ainda é 
utilizado rotineiramente em livros textos de Química como 
uma introdução a uma visão física da estrutura dos átomos. 
Esta lembrança histórica e a contribuição à descrição atômica 
dos elementos químicos fazem parte do legado do Niels Bohr 
à Química.
José M. Riveros
Instituto de Química, Universidade de São Paulo
CCNH, Universidade Federal do ABC
Quim. Nova, Vol. 36, No. 7, 1073-1077, 2013
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*e-mail: calfilgueiras@gmail.com
O CENTENÁRIO DA TEORIA DE BOHR
João Pedro Braga e Carlos A. L. Filgueiras*
Departamento de Química, Universidade Federal de Minas Gerais, 31270-901 Belo Horizonte – MG, Brasil
Recebido em 24/6/13; aceito em 1/7/13; publicado na web em 19/7/13
THE CENTENNIAL OF BOHR’S THEORY. The year 2013 marks the centennial of that wondrous year in which Niels Bohr 
proposed a novel theory about the constitution of atoms and small molecules after which the way we regard atoms and their 
behaviour began to be drastically altered. Bohr drew on several sources for his original description of the atoms, most importantly on 
spectroscopy and Balmer’s equation thereof, the new quantum hypothesis advanced a few years earlier by Planck, and the planetary 
atom proposed by Rutherford. Although Bohr’s ideas were to be eventually overtaken by the advent of quantum mechanics, his theory 
was the basis of a new thinking about atoms and molecules which constitutes an invaluable asset in the development of science ever 
since. 
Keywords: Niels Bohr; Bohr’s Theory of atoms; the constitution of atoms and molecules.
INTRODUÇÃO 
No ano de 2013 completa um século aquele annus mirabilis em 
que o físico dinamarquês Niels Bohr publicou sua teoria sobre a 
constituição dos átomos. Essa foi a primeira explicação da estrutura 
atômica a lançar mão de pressupostos quânticos, criando uma cliva-
gem com as teorias clássicas precedentes e abrindo o caminho para 
o entendimento moderno do átomo. Ao publicar o primeiro de seus 
artigos de 1913 que subitamente o lançaram à vanguarda da ciência 
mundial, Bohr era um jovem de 28 anos que só havia até então pu-
blicado três artigos de seu tempo de estudante.1 
A fórmula do suíço Johann Balmer, de 1885, que explicava nu-
mericamente, de forma simples, os valores de absorção ou emissão 
de energia radiante no átomo de hidrogênio, o conceito de quantum 
de energia proposto por Max Planck em 1900, e o modelo planetário 
do átomo de Ernest Rutherford, de 1911, foram os três alicerces 
fundamentais no desenvolvimento da teoria do átomo de Niels Bohr, 
elaborada e publicada em 1913.
AS PRIMEIRAS DÉCADAS DA VIDA DE BOHR 
Niels Henrick David Bohr (1885-1962) nasceu em Copenhagen, 
filho de um professor de Fisiologia na Universidade de Copenhagen, 
Christian Bohr (1855-1911). Ele teve uma irmã, Jenny (1883-1933), 
e um irmão, Harald (1887-1951), que se tornou um importante 
matemático. A Figura 1 mostra os irmãos Bohr e seu pai em 1906.
A educação de Bohr se deu na Universidade de Copenhagen, onde 
ele obteve sua formação científica, defendendo uma tese de doutorado 
em 1911 intitulada “Estudos sobre a Teoria Eletrônica dos Metais”, 
cujo tema já tinha sido parcialmente esboçado no mestrado, finalizado 
em 1909. Em 1912 Niels Bohr se casou com Margrethe Nørlund, com 
quem teve seis filhos. Um deles, Aage Niels Bohr (1922-2009), ganhou 
o Prêmio Nobel de Física em 1975, assim como seu pai em 1922.2
Bohr viria a fundar o Instituto de Física Teórica da Universidade 
de Copenhagen em 1920, o qual viria a ter seu nome mudado para 
Instituto Niels Bohr. 
Bohr tinha um espírito inquieto e sempre se interessou por toda 
a ciência, e não apenas a Física, o que é bem ilustrado pelo seguinte 
episódio. 
O trabalho precoce de Henry Moseley (1887-1915) em 
Manchester com Ernest Rutherford (1871-1937) mostrou que ao 
bombardear-se um alvo metálico com raios catódicos, o alvo emitia 
raios X com uma frequência característica do metal. Os quadrados 
das frequências dos raios X emitidos dão uma sequência numérica, 
chamada série de Moseley. Esta sequência é hoje a série de números 
atômicos, que vieram a substituir as massas atômicas no ordenamento 
dos elementos na Classificação Periódica. O trabalho de Moseley 
cobriu desde o alumínio (Z=13) ao ouro (Z=79), prevendo a existência 
dos elementos 43, 61, 72, 75, 85, 87 e 91. 
Com base em seu conhecimento da estrutura atômica dos ele-
mentos, Niels Bohr previu que o elemento 72 seria quimicamente 
diferente do lutécio, ou seja, não seria uma nova terra rara, mas 
sim um elemento análogo ao zircônio. O químico francês Georges 
Urbain (1872-1938) havia tentado por muito tempo, infrutiferamente, 
encontrar o elemento 72 em resíduos de terras raras. A partir de sua 
teoria quântica, Bohr havia construído uma Tabela Periódica com 
Figura 1. Niels Bohr, seu irmão, o matemático Harald Bohr, e o pai de ambos, 
Christian Bohr, professor de Fisiologia na Universidade de Copenhagen, 
em foto de 1906. Foto cedida gentilmente pelo Arquivo Bohr, Copenhagen
Braga e Filgueiras1074 Quim. Nova
os grupos dispostos horizontalmente e os períodos na vertical, ao 
contrário das tabelas modernas. Com o conhecimento de sua teoria 
de constituição dos átomos, ele opinou que o novo elemento deveria 
ser quadrivalente, e não trivalente, por isso não deveria ser uma 
nova terra rara, e sim um elemento do grupo do zircônio. Ele então 
aconselhou o húngaro George de Hevesy (1889-1966) a procurar o 
elemento 72 em minerais de zircônio, o que de Hevesy e o holandês 
Dirck Coster (1889-1950) fizeram em Copenhagen, isolando o novo 
elemento em 1923. Ele ganhou o nome de Háfnio em homenagem 
à cidade de Copenhagen, cujo nome latinizado é Hafnia.3,4 Hoje, 
outro elemento, o de número atômico 107, é chamado bóhrio em 
homenagem a Niels Bohr. 
Bohr gostava de usar as palavras da forma mais precisa possível, 
como os termos de uma fórmula matemática. Quando jovem, após seu 
doutorado em Copenhagen, foi a Cambridge em 1911 estudar com 
Joseph John Thomson (1856-1940), o famoso Cavendish Professor of 
Physics daquela universidade britânica. Bohr tinha alguma dificuldade 
no uso da língua inglesa. Ninguém o entendia quando falava de uma 
propriedade do elétron que ele chamava de “load”. Só algum tempo 
mais tarde ele próprio descobriu que a palavra inglesa para carga era 
“charge”. Para corrigir seus erros, comprou um dicionário e a obra 
completa de Charles Dickens, lendo tudo e anotando as palavras que 
não conhecia, com ajuda do dicionário.5 Seu inglês defeituoso fez com 
que ele não causasse boa impressão em J. J. Thomson, levando-o, em 
parte, a decidir mudar de instituição e trabalhar com Ernest Rutherford 
na Universidade Victoria, em Manchester. Sua ligação com Rutherford 
mostrou-se providencial. Ele foi um dos primeiros físicos a perceber 
a importância do conceito de quantum de Max Planck, introduzido 
em 1900, o que lhe foi de suma importância quando se propôs a en-
tender teoricamente o modelo atômico planetário de Rutherford,que 
descartava o modelo atômico anterior de J. J. Thomson, comumente 
chamado de pudim de passas, que supunha as partes positivas e os 
elétrons em contacto íntimo. 
Entre as muitas histórias anedóticas a respeito de Bohr, é inte-
ressante relatar a seguinte. Em 1916, criou-se para ele uma cadeira 
de Física Teórica na Universidade de Copenhagen. De acordo com a 
praxe, os novos catedráticos eram apresentados ao Rei da Dinamarca, 
Christian X. Este, ao cumprimentar Bohr, disse como estava feliz de 
encontrar um jogador de futebol tão famoso. Bohr retrucou que Sua 
Majestade deveria estar pensando em seu irmão Harald, que tinha 
jogado pela Dinamarca nos Jogos Olímpicos de 1908. O Rei ficou 
irritado de ser desmentido em público, o que fez Bohr dizer que ele 
também jogava como goleiro, mas não era o famoso jogador a que o 
Rei se referira. Ao ouvir isto o Rei exclamou: “A audiência acabou!”6
O MISTÉRIO DA DESCONTINUIDADE NAS RAIAS 
ESPECTROSCÓPICAS
É interessante que a espectroscopia atômica estava bem menos 
ligada ao resto da física na segunda metade do século XIX que hoje, 
embora fosse tão fundamental para os químicos, que a usaram para 
descobrir vários elementos novos, desde que Robert Bunsen e Gustav 
Kirchhoff se uniram para inventar o espectroscópio em 1859.7 A partir 
de experimentos realizados com o sódio, Kirchhoff publicou em 1859 
suas três leis da espectroscopia:
1. Um corpo incandescente emite um espectro contínuo;
2. Um corpo excitado, como o sódio em forma de vapor, emite um 
espectro discreto, formado por linhas brilhantes;
3. Quando a luz branca passa através do vapor de um elemento, 
o espectro resultante apresenta linhas escuras de absorção, nas 
frequências em que o vapor emite linhas brilhantes.8 
Usando o novo espectroscópio por eles inventado, Bunsen e 
Kirchhoff descobriram dois novos elementos, o césio, em 1860, e 
o rubídio, em 1861. O césio foi descoberto em águas minerais de 
Dürkheim, e o rubídio em resíduos alcalinos extraídos do mineral 
lepidolita. O césio apresenta linhas na faixa do azul, donde seu nome 
(cesius era a cor do firmamento em latim), ao passo que o rubídio 
tem suas linhas no vermelho, por isso o nome derivado de rubi.8 
Vários outros elementos foram descobertos sucessivamente pela 
espectroscopia atômica, mas o caso mais espetacular aconteceu em 
1868. O astrônomo francês Pierre Janssen (1824-1907) foi naquele 
ano à Índia para observar um eclipse total do sol e realizar o primeiro 
estudo espectroscópico de sua cromosfera. Ele percebeu no espectro 
solar uma linha na faixa do amarelo (D3), que não coincidia com a 
linha D do sódio, e que ele era incapaz de repetir no laboratório. O 
astrônomo inglês Sir Norman Lockyer (1836-1920) interessou-se 
pelo assunto e mostrou que a nova linha era distinta das linhas de 
qualquer elemento conhecido, atribuindo-a a um novo elemento 
desconhecido na terra, e chamando-o hélio, do nome do deus grego 
do sol. Finalmente, em 1895, Sir William Ramsay (1852-1916) 
conseguiu mostrar que quando o mineral de urânio denominado 
cleveíta é tratado com ácidos fortes, libera uma mistura de gases, 
compreendendo o nitrogênio, o argônio e um outro gás com linhas 
espectrais diferentes. Enviando uma ampola com amostra deste gás 
para Lockyer e William Crookes (1832-1919), que dispunham de 
melhores espectroscópios, foi possível provar sem qualquer dúvida 
que se tratava do mesmo elemento descoberto 27 anos antes no sol.9 
Esta descoberta de um novo elemento no sol quase três décadas antes 
de o mesmo ser descoberto na terra mostrou a imensa importância da 
espectroscopia na análise química e na identificação das propriedades 
individuais de cada elemento. 
Um grande problema que permanecia insolúvel, contudo, era 
como relacionar entre si os diferentes valores das frequências das 
raias espectrais de cada elemento. Várias tentativas foram feitas, 
supondo algum modelo vibracional harmônico ou anarmônico, mas 
todas essas tentativas levaram ao fracasso.
A EQUAÇÃO DE BALMER
O problema da relação entre as frequências espectrais foi muito 
discutido por físicos, químicos e astrônomos, mas foi um mate-
mático, o suíço Johann Jakob Balmer (1825-1898), que conseguiu 
resolvê-lo. Balmer obteve um doutorado em matemática e passou a 
vida como professor dessa disciplina numa escola secundária para 
moças em Basiléia. Como já se disse aqui, os físicos tentavam achar 
uma relação para as linhas espectrais baseando-se numa analogia 
mecânico-acústica, e buscavam expressões harmônicas simples que 
explicassem essas relações. Talvez por não ser físico e sim matemáti-
co, isto é, por não partir de posições preconcebidas, Balmer chegou em 
1885 à equação que hoje traz seu nome e que expressa perfeitamente 
a relação numérica das linhas do espectro conhecido à época para 
o hidrogênio. A equação de Balmer, que todo estudante de química 
geral aprende, é modernamente formulada como:
 
em que λ = comprimento de onda correspondente à linha espectral 
(em cm); R = constante, chamada hoje de constante de Rydberg, que 
provou ser igual a 109 677 cm-1; n = 3, 4, 5, 6,... 
A equação de Balmer descreve adequadamente os valores das 
frequências dos espectros de emissão ou absorção do hidrogênio na 
região visível, mas pode ser modificada para incluir também as outras 
regiões espectrais. Para outros elementos podem ser usadas equações 
análogas, mas a precisão é tanto menor quanto mais pesado for o 
elemento. Os comprimentos de onda (ou as energias) correspondentes 
O centenário da Teoria de Bohr 1075Vol. 36, No. 7
às linhas que resultam da absorção ou emissão de energia estão rela-
cionados entre si por números inteiros (n é a variável independente 
da equação, com valores dados por 3, 4, 5, 6...). Consequentemente, 
os ganhos ou perdas de energia nos átomos são discretos e também 
guardam uma relação de números inteiros.7 
A DESCONTINUIDADE QUÂNTICA
A teoria quântica de Max Planck (1858-1947) foi um dos pilares 
da descrição que Bohr daria para o átomo em seu modelo teórico 
de 1913. Antes de falar de Planck, é preciso, contudo, mostrar a 
situação a respeito de um grande problema do final do século XIX, 
qual seja, a questão da radiação do corpo negro, um objeto hipotético 
capaz de absorver ou emitir radiação sem quaisquer perdas. Várias 
formulações surgiram, uma baseada na Termodinâmica clássica, a Lei 
de Rayleigh-Jeans, bastante discrepante da realidade à medida que 
diminuía o comprimento de onda da radiação, e a outra, a Lei de Wien, 
uma aproximação bastante de acordo com os dados experimentais.
LEIS DE RAYLEIGH-JEANS (1900-1905) E DE WIEN (1893)
A Lei de Rayleigh-Jeans, derivada de pressupostos da termo-
dinâmica clássica, leva a uma expressão analítica que mostra, em 
representação gráfica, a intensidade da radiação contra o comprimento 
de onda para cada temperatura considerada.10 O gráfico de intensidade 
de radiação contra comprimento de onda está mostrado na Figura 2.
Bλ(T) = intensidade da radiação de comprimento de onda λ à tem-
peratura T
k = constante de Boltzmann
T = temperatura em kelvins
c = velocidade da luz
Pela Lei de Rayleigh-Jeans, para pequenos comprimentos de 
onda a intensidade da radiação se aproximaria de infinito. Esta é a 
chamada catástrofe do ultravioleta. O universo deveria estar inun-
dado de uma quantidade infinita de radiação de alta energia, isto é, 
de pequenos comprimentos de onda. Como isso não ocorre, a lei de 
Rayleigh-Jeans, obtida de suposições clássicas, não descreve corre-
tamente o fenômeno. 
A Lei de Wien (1893),11 é uma aproximação que satisfaz os dados 
experimentais:
λmax = b/T, em que:
λmax = comprimento de onda do pico de uma curva de radiação
T = temperatura em kelvins
b = constante de Wien
A HIPÓTESE QUÂNTICA DE PLANCK
Supondo que a Lei de Wien dá uma boa descrição da radiação 
do corpo negro, sobretudopara comprimentos de onda menores, 
Planck se dispôs a reexaminar as premissas usadas por Wien em 
sua derivação. 
Sem dar aqui a derivação de Planck, que estenderia demasiada-
mente este tópico, basta dizer que no limite de valores de λ maiores, 
a Lei de Planck coincide com a Lei de Rayleigh-Jeans, ao passo 
que no limite de valores de λ menores ela tende à aproximação de 
Wien. Planck supôs um experimento imaginário em que para um 
oscilador com uma determinada frequência, sua energia só poderia 
ser dada em múltiplos integrais de E = hν, em que h é uma constante 
conhecida hoje como constante de Planck. Quando ocorre variação 
de energia nos osciladores atômicos, isto é, emissão ou absorção de 
energia, esta variação só se dá em “pacotes” discretos, e não conti-
nuamente. A fórmula E = hν corresponde a dizer que as quantidades 
discretas de energia que um oscilador pode emitir ou absorver são 
diretamente proporcionais a sua frequência. Os osciladores de baixa 
frequência só aceitam energia em pacotes pequenos, ao passo que 
os osciladores de alta frequência aceitam pacotes grandes. Há uma 
distribuição estatística dos osciladores, eliminando a catástrofe do 
ultravioleta: em temperaturas mais altas, as oscilações atômicas se 
tornam mais energéticas e a radiação emitida desloca-se para fre-
quências mais altas. O contrário ocorre ao diminuir a temperatura. 
Cada pacote de energia é denominado um “quantum”. Os valores 
discretos da energia de um oscilador são dados como E = nhν, em 
que n = 1, 2, 3, 4, ... 12
Assim como a fórmula de Balmer, a teorização de Planck era 
derivada de dados empíricos. Não se sabia nem a razão de as frequ-
ências das raias do espectro atômico seguirem a equação de Balmer, 
nem tampouco a origem da hipótese quântica de Planck.
O ÁTOMO PLANETÁRIO DE RUTHERFORD
O primeiro emprego acadêmico do físico neo-zelandês Ernest 
Rutherford (1871-1937) foi como professor na Universidade McGill, 
em Montreal, no Canadá. Ele havia sido recomendado por seu mentor 
científico, J. J. Thomson. Rutherford viera da Nova Zelândia em 
1895, onde cursara a Universidade em Wellington, para trabalhar em 
Cambridge com J. J. Thomson, diretor do Laboratório Cavendish de 
Física, e futuro descobridor do elétron em 1897. Em McGill, onde 
permaneceu até 1907, Rutherford se destacou por seus experimentos 
com o decaimento de substâncias radioativas, o que lhe valeu o Prêmio 
Nobel de Química em 1908. A concessão do prêmio não deixa de 
ser irônica, em vista de sua baixa estima pela Química. Aliás, ele 
disse a respeito do Prêmio Nobel que lhe foi conferido que ele tinha 
observado em seu trabalho sobre o decaimento radioativo muitas 
transformações, mas nenhuma tão rápida como a sua, de físico em 
químico.13 Entre 1907 e 1919 ele foi professor em Manchester, de 
onde retornou a Cambridge, como sucessor de Thomson, até sua 
morte em 1937. Foi depois de ganhar o Prêmio Nobel que ele fez sua 
descoberta mais conhecida, a do átomo nuclear, em 1911. Este é um 
caso singular na história da ciência, de alguém que tenha feito seu 
Figura 2. Intensidade de radiação contra comprimento de onda (cortesia 
de Nelson H.T. Lemes)
Braga e Filgueiras1076 Quim. Nova
trabalho mais importante depois de já ter recebido o Prêmio Nobel 
em sua área de pesquisa. Trabalhando em Manchester em colaboração 
com o físico alemão Hans Geiger (1882-1945) e o então estudante 
de graduação Ernest Marsden (1889-1970), Rutherford realizou o 
famoso experimento de bombardeamento de uma delgada folha de 
ouro com partículas alfa. Desse experimento, amplamente relatado 
na literatura e em livros-textos, resultou que a imensa maioria das 
partículas alfa passava pelo metal sem sofrer qualquer deflexão. Uma 
primeira conclusão foi que o átomo tem um grande volume vazio. 
Com relação àquelas que sofriam deflexão, foi possível mostrar 
que esta deflexão resultava de interações com uma parte maciça e 
carregada positivamente no átomo, que tinha um volume de apenas 
10-4 vezes o volume do átomo. Consequentemente, os modelos atô-
micos anteriores, inclusive o de Thomson, perderam a validade. A 
partir daí, Rutherford propôs seu novo modelo, o do átomo nuclear, 
com os elétrons dispostos em torno de um núcleo positivo.14 Em seu 
modelo ele supôs uma situação análoga à do sistema solar, que não 
agradou em nada a J. J. Thomson, pois o modelo tinha dificuldades 
incontornáveis para a física da época. Num modelo planetário, o 
número de órbitas possíveis é infinito. Ademais, ao sofrer rotação 
em torno do núcleo, o elétron devia irradiar energia, como ocorre 
com cargas em movimento. Consequentemente, a energia total do 
elétron devia diminuir continuamente e eventualmente ele seguiria 
um movimento em espiral e cairia no núcleo. Em outras palavras, o 
átomo planetário seria altamente instável. A Figura 3 mostra o jovem 
Bohr aos 26 anos de idade, em 1911, dois anos antes de publicar sua 
teoria sobre o átomo e as pequenas moléculas.
O MODELO DE BOHR
Foi no início do ano de 1913 que Bohr teve sua atenção atraída 
pela fórmula de Balmer, lendo sobre ela no livro de Stark, Prinzipien 
der Atomdynamik, de 1911.15 Neste mesmo ano de 1913, ele daria ao 
mundo sua mais importante contribuição científica, conhecida como 
o modelo atômico de Bohr.
O trabalho de Bohr sobre a constituição do átomo foi publicado 
em três artigos, todos saídos à luz no ano de 1913.16-18 Esses três 
artigos seminais, os mais importantes de toda a carreira de Bohr, 
estão disponíveis em tradução para o português num único volume, 
sob o título geral de Sobre a Constituição de Átomos e Moléculas,19 
e os subtítulos:
Parte I – Ligação de Elétrons por Núcleos Positivos;
Parte II – Sistemas que Contêm um só Núcleo;
Parte III – Sistemas que Contêm Vários Núcleos.
Esse conjunto de três artigos inaugurou a ciência moderna do 
átomo.
O primeiro deles, sobre a constituição do átomo de hidrogênio, 
introduziu o conceito de estados estacionários, órbitas eletrônicas 
em que os elétrons não absorveriam ou emitiriam energia, o que 
aconteceria quando passassem de um estado para outro. A partir daí 
Bohr pôde chegar a uma fórmula idêntica à equação de Balmer. Até 
então Bohr só tinha publicado três artigos, todos de seu tempo de 
estudante.19 Esse primeiro artigo de 1913, dedicado a átomos com um 
elétron, foi sucedido por um segundo sobre átomos multieletrônicos. 
O terceiro, como diz o próprio título, trata de sistemas de mais de um 
núcleo, isto é, moléculas. 
Como ressalta o historiador da ciência Helge Kragh, o tratamento 
das moléculas por Bohr ficou historicamente relegado a um plano 
inferior, com muito pouca ênfase comparado a seu trabalho sobre 
os átomos individuais.20 Da mesma forma, embora Bohr tenha tido 
bastante sucesso entre os químicos no que respeita à aplicação de 
suas ideias na construção da Tabela Periódica, usando o Princípio do 
Aufbau, que todo estudante aprende hoje em dia, em outros aspectos 
sua teoria quântica dos átomos foi largamente ignorada pelos quími-
cos até o final dos anos 20. Isto porque estes preferiam muito mais 
modelos estáticos do tipo daqueles de Gilbert Lewis (1875-1946), 
como se vê em seu livro clássico Valence and the Structure of Atoms 
and Molecules, de 1923,21 em que os elétrons nos átomos se disporiam 
segundo os vértices de um cubo, bem diferente do modelo dinâmico 
de Bohr, com os elétrons movendo-se rapidamente em suas órbitas. 
Nos modelos químicos, com os elétrons ocupando posições fixas 
nos vértices de um cubo, era muito mais fácil imaginar as ligações 
químicas formadas por compartilhamento eletrônico e a geometria 
de moléculas que tivessem, por exemplo, um carbono tetraédrico. No 
modelo físico de Bohr, isto simplesmente não era possível imaginar.22 
Como bem disse Helge Kragh, havia uma dicotomia intransponível 
entre a forma de pensar química e aquela dos físicos.20 Sómuito 
mais tarde, após o aparecimento da mecânica quântica, que veio 
substituir o átomo de Bohr pelo modelo atual, e com o advento da 
química quântica a partir de 1930, em que os fenômenos atômicos 
e moleculares passaram a ser vistos sob uma óptica distinta daquela 
dos físicos, isto é, sob um ponto de vista químico, é que foi possível 
uma reaproximação dos dois campos. Esse foi o trabalho de vários 
químicos notáveis, entre os quais ressalta a figura de Linus Pauling 
(1901-1994).23 
AGRADECIMENTO
Os autores agradecem o suporte do CNPq.
REFERÊNCIAS
 1. Pais, A.; Niels Bohr’s Times, in Physics, Philosophy and Polity, 
Clarendon Press: Oxford, 1991, p. 146.
 2. Ref. 1, p. 107.
 3. Ihde, A. J.; The Development of Modern Chemistry, Harper & Row: New 
York, 1964, p. 589. 
 4. Weeks, M. E; Leicester, H. M.; Discovery of the elements, 7th ed., J. 
Chem. Educ. Press: Easton, 1968, p. 816-822. 
 5. Cline, B. L.; Men Who Made a new Physics – Physicists and the 
Quantum Theory, The New American Library: New York, 1969, p. 80.
 6. Ref. 1, p. 166-67.
Figura 3. Niels Bohr em 1911, dois anos antes de publicar os três artigos 
sobre a constituição dos átomos e moléculas. Foto cedida gentilmente pelo 
Arquivo Bohr, Copenhagen
O centenário da Teoria de Bohr 1077Vol. 36, No. 7
 7. Filgueiras, C. A. L., Química Nova na Escola 1996, 3, 22.
 8. Ref. 3, p. 235. 
 9. Ref. 4, p. 757-764.
 10. a) Braga, J. P.; Quim. Nova 2001, 24, 693; b) Braga, J. P.; Fundamentos 
da Química Quântica, Editora da Universidade Federal de Viçosa, 2007, 
p. 9.
 11. Hund, F. H.; The History of Quantum Theory, Harrap: London, 1974, p. 
23.
 12. Guillemin, V.; The Story of Quantum Mechanics, Scribner’s: New York, 
1968, p. 50-52.
 13. Ref. 5, p. 27.
 14. Ref. 1, p. 121-129.
 15. Ref. 1, p. 143-144.
 16. Bohr, N.; Phil. Mag. 1913, 26, 1.
 17. Bohr, N., Phil. Mag. 1913, 26, 476. 
 18. Bohr, N.; Phil Mag. 1913, 26, 867.
 19. Bohr, N; Sobre a Constituição de Átomos e Moléculas, Textos Funda-
mentais da Física Moderna, 2ª ed., Fundação Calouste Gulbenkian: 
Lisboa, 1979. No original inglês, não consta o subtítulo da primeira 
parte, dado na versão portuguesa aqui citada. 
 20. Kragh, H.; Physics Today; http://www.physicstoday.org/resource/1/
phtoad/v66/i5/p36_s1?bypassSSO=1, acessada em Julho 2013.
 21. Lewis, G. N.; Valence and the Structure of Atoms and Molecules, Dover: 
New York, 1966, p. 29.
 22. Kasha, M., Pure Appl. Chem. 1990, 62, 1615. 
 23. Gavroglu, K.; Simões, A.; Neither Physics nor Chemistry – A History of 
Quantum Chemistry, MIT Press: Cambridge, 2012.
Quim. Nova, Vol. 36, No. 7, 1078-1082, 2013
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*e-mail: calfilgueiras@gmail.com
O CENTENÁRIO DA MOLÉCULA DE BOHR
Carlos A. L. Filgueiras* e João P. Braga
Departamento de Química, Universidade Federal de Minas Gerais, 31270-901 Belo Horizonte – MG, Brasil
Nelson H. T. Lemes
Instituto de Química, Universidade Federal de Alfenas, 37130-000 Alfenas – MG, Brasil
Recebido em 24/6/13; aceito em 1/7/13; publicado na web em 19/7/13
THE CENTENNIAL OF BOHR’S MOLECULE. A hundred years ago, a twenty-eight year old Danish scientist published a series 
of three papers in which electron motion was quantized. The Bohr atomic model is surely known by every chemistry student. 
Nevertheless in this same 1913 trilogy, Bohr studied atoms with several electrons as well as molecules. Chemistry students, in general, 
are not aware of the Bohr molecule. The present paper aims at rescuing this important classical model. A review of the Bohr atomic 
model for both one and several electrons is discussed, together with a theoretical presentation of the Bohr molecule.
Keywords: Niels Bohr; Bohr’s atoms and molecules; the constitution of atoms and molecules.
INTRODUÇÃO
Todo aluno de química conhece o átomo de Bohr. O assunto é 
abordado no ensino médio, nas disciplinas universitárias de Química 
Geral e de Química Quântica. Entretanto, ao perguntar a esse mesmo 
aluno se ele tem conhecimento da molécula de Bohr a resposta é, 
quase sempre, negativa. Essa pergunta foi feita na sala de aula de 
quatro disciplinas de Físico-Química nas respectivas universidades 
dos autores e, na verdade, a resposta foi negativa em todos os casos. 
Portanto, o aluno de química não sabe o que é a molécula de Bohr, 
mas tem conhecimento do átomo de Bohr. É também bastante curioso 
que o título do trabalho original de Bohr é: “Sobre a constituição de 
átomos e moléculas”. A conclusão é simples, são poucos os que real-
mente recorrem ao texto original para entender o trabalho de Bohr.1,2
O trabalho original de Bohr é dividido em três partes. Na parte I é 
apresentado o que se conhece por átomo de Bohr. Na segunda parte, 
Bohr explora átomos multieletrônicos e antecipa o conceito de carga 
atômica efetiva. Na parte III é apresentada a molécula de H2, que, por 
analogia com o átomo de Bohr deve ser denominada de molécula de 
Bohr. Para deixar este ponto claro deve-se prestar atenção aos títulos 
e subtítulos desses trabalhos:
1. Sobre a constituição de átomos e moléculas. Parte I - Ligação de 
elétrons por núcleos positivos;
2. Sobre a constituição de átomos e moléculas. Parte II - Sistemas 
que contêm um só núcleo.
3. Sobre a constituição de átomos e moléculas. Parte III - Sistemas 
que contêm vários núcleos.
Os pontos principais das partes II e III serão aqui apresentados, 
com descrição inicial da parte I, pois nessa parte são introduzidas as 
equações básicas. O modelo molecular de Bohr, além de sua impor-
tância histórica,3 oferece também aspectos importantes para o ensino 
de ligação química e a superfície de energia potencial. Espera-se que 
o presente trabalho motive o estudo da molécula de Bohr e que esse 
modelo seja explorado no curso de química, a exemplo do que já é 
feito com o átomo de Bohr.
O ÁTOMO DE BOHR
As ideias de Bohr foram desenvolvidas antes da mecânica 
quântica, num período após a descoberta de Planck e antes da equa-
ção de Schrödinger. Ideias clássicas, como o movimento orbital do 
elétron, eram permitidas nesse período. A quantização da ação era 
o ponto importante desse período, pois a constante de Planck tem 
unidade de ação, o quantum de ação. Assumia-se que propriedades 
periódicas eram proporcionais à constante de Planck. A teoria dessa 
época, que envolve uma mistura de mecânica clássica e quântica pela 
quantização da ação, é hoje conhecida como a mecânica quântica 
antiga. Niels Bohr inaugurou esse período.
As ideias de Bohr foram baseadas nos trabalhos de Planck, 
Rutherford e na espectroscopia atômica. Nas Figuras 1 e 2 são apre-
sentadas duas fotografias de Niels Bohr. A primeira delas, com Max 
Planck, foi tirada em 1930 no Instituto Niels Bohr de Copenhagen. 
Na segunda das fotografias, de 1933, Niels Bohr caminha com Ernest 
Rutherford durante o Congresso Solvay de 1933 em Bruxelas.
Dentro de um contexto da mecânica quântica antiga, considera-
se um elétron girando em torno do núcleo, conforme a Figura 3, 
representando o átomo de Bohr. Se o núcleo tem carga Z pode-se 
 igualar a força centrífuga com a eletrostática para fornecer, . 
Figura 1. Niels Bohr e Max Planck em 1930 no Instituto Niels Bohr. Foto 
gentilmente cedida pelo Arquivo Bohr, Copenhagen
O centenário da Molécula de Bohr 1079Vol. 36, No. 7
Por conseguinte, a energia cinética será, . A energia 
 
potencial da interação do elétron com o núcleo é dada por, , 
 
indicando que . A relação –2Ec = Ep é 
 
consequência do teorema do virial na mecânica clássica e como tal 
foi explorada por Bohr em seu trabalho.2 O equilíbrio de forças, 
 
, pode ser reescrito na forma m2v2r2 = mrZe2 para se 
usar a quantização do momento angular, L = mvr = nħ. Portanto, 
n2ħ2 = mrZe2 ou
 
, em que r é conhecido como raio de Bohr.
As equações básicasda parte I são,1,3
 (1)
A frequência é estabelecida pelo raio de Bohr e energia, pois 
usando Ec = –E retira-se v e pode-se calcular a frequência angular, 
. Essas equações equivalem às equações (3) da página 
100 da tradução do trabalho de Bohr para o português.1 Somente essas 
equações são apresentadas ao aluno de química. Elas constituem a 
base teórica do modelo do átomo de Bohr.
ÁTOMOS COM DOIS ELÉTRONS
Ainda na parte I, Bohr descreve átomos de muitos elétrons, 
mas concentra-se no assunto na parte II da trilogia. Bohr descreve a 
estabilidade de um sistema com um só núcleo, mas com vários elé-
trons numa única camada. Primeiramente reescreve as equações (1) 
mudando o número atômico Z para outro símbolo, que ele denotou 
por F. Nesse ponto iguala a força centrífuga a ,
 (2)
antecipando assim o conceito de carga atômica efetiva. Por um ra-
ciocínio completamente análogo ao de átomos de um elétron obtém 
as relações,
 (3)
equivalentes às equações (1). Estas são as equações (1)-(3) da parte 
II, página 136 da versão em português.1
Uma ilustração inicial para átomos de dois elétrons, com número 
atômico Z, pode ser feita igualando-se a força centrífuga de uma ór-
bita circular de raio a com as forças elétron-elétron e elétron-núcleo, 
conforme Figura 4. Para elétrons diametralmente opostos com raio 
a, tem-se, , ou,
 (4)
Logo, por comparação com (2) retira-se . Para o átomo 
de hélio tem-se,
 (5)
em excelente concordância com o cálculo variacional quântico que 
fornece para a carga atômica efetiva, .4 A aproximação 
de Bohr é excelente, pois . É interessante comparar o resultado 
da energia quântica exata com o resultado calculado por Bohr.4 Essa 
comparação é feita na Tabela 1, indicando novamente a excelente 
previsão clássica feita por Bohr.
Figura 2. Niels Bohr em 1933 com seu mentor, Ernest Rutherford. Os dois 
se encontraram no Congresso Solvay em Bruxelas. Foto gentilmente cedida 
pelo Arquivo Bohr, Copenhagen
Figura 3. Modelo atômico de Bohr
Figura 4. Modelo atômico de Bohr para o átomo de hélio
Filgueiras et al.1080 Quim. Nova
FORMAÇÃO DA MOLÉCULA DE H2
No final da parte III, no item Formação de sistemas, Bohr discute 
qualitativamente a formação de moléculas.1,2 Niels Bohr não publica 
na trilogia um desenho feito a mão bastante ilustrativo, sobre a for-
mação de diversas moléculas. Entretanto, essa figura foi feita no seu 
caderno de anotações1,2 e uma reprodução do original é apresentada 
na Figura 5. Bohr considera a formação de várias moléculas, H2, H2O, 
O3, CH4 e H2C2, de acordo com seu modelo. A formação da molécula 
de H2, com base nos argumentos apresentado por Bohr, será discutida. 
Primeiro Bohr apresenta argumentos qualitativos para em seguida 
passar para o trabalho teórico.
Inicialmente são considerados dois átomos de hidrogênio afasta-
dos um do outro, como na Figura 6. Por meio de forças externas um 
núcleo se aproxima do outro. Bohr considera esse deslocamento dos 
núcleos tão lento que as órbitas individuais não são afetadas. Isso seria 
o equivalente a não ocorrer transições eletrônicas durante o processo 
de aproximação, coerente com a aproximação de Born-Oppenheimer.4 
Para uma certa distância entre os dois núcleos os planos das órbitas 
se tornam coincidentes, formando assim a molécula diatômica. Uma 
ilustração dessa discussão qualitativa, e inspirada no texto de H.A. 
Kramers,5 é apresentada na Figura 6.
A MOLÉCULA DE BOHR
A Figura 7 representa uma visão frontal da molécula de H2. Para 
que haja o equilíbrio, a força total deve ser nula. Três forças devem 
ser consideradas: a força atrativa dos elétrons com os núcleos, Fen , a 
repulsiva entre os dois elétrons, Fee, a repulsiva entre os núcleos, 
Fnn 
e a centrífuga, Fc. Para o equilíbrio de forças na direção horizontal, 
considerando o ângulo θ como na Figura 7 tem-se,
 (6)
Como são dois elétrons deve-se igualar 2 × Fen, horizontal = Fnn, horizontal, 
ou seja,
 (7)
De forma análoga, para as três forças na direção vertical,
 (8)
O equilíbrio entre as forças será descrito por, 2 × Fen, vertical – 
Fee, vertical = ou
 (9)
A notação aqui usada, R e Q, é a mesma usada por Bohr. A procura 
da solução do sistema,
 (10)
foi o próximo passo dado por Bohr.
Bohr resolveu o sistema por substituição. De R(a,b) = 0, isto é, 
 
retira-se 8b3 = (a2 + b2)3/2. Tomando a potência 2/3
 
dos dois lados pode-se desenvolver,
 (11)
Tabela 1. Energias (au) exatas e previstas pelo modelo de Bohr
Z Eexata EBohr
2 -2,9036 -3,0625
3 -7,2800 -7,5625
4 -13,6556 -14,0625
5 -22,0310 -22,5625
6 -32,4063 -33,0625
Figura 5. Figura do caderno de anotações do Bohr, gentilmente cedida pelo 
Arquivo Bohr, Copenhagen
Figura 6. Formação da molécula de H2
Figura 7. Diagrama de forças na molécula de H2
O centenário da Molécula de Bohr 1081Vol. 36, No. 7
Tabela 2. Modelo de Bohr, Heitler/London e Coulson para o H2
Modelos teóricos De / eV Re / Å
Bohr, 1913 2,732 0,5820
Heitler/London, 1927 3,140 0,869
Coulson, 1937 2,681 0,740
O resultado a = √–3b deve ser substituído em Q = 0 para se obter 
a solução geral. Usando, (a2 + b2)3/2 = (a2 + a2 / 3)3/2 = (4a2 / 3)3/2 = 
(4 / 3)3/2 a3 calcula-se,
 (12)
ou após pequeno rearranjo,
 (13)
Por comparação com a equação (2) pode-se retirar o valor de F,
 (14)
como calculado por Bohr, no parágrafo 3 da parte III.1
TESTE DO MODELO: ENERGIA DE DISSOCIAÇÃO DO H2
O modelo clássico de uma molécula diatômica estava construí-
do, em completa analogia com o também modelo clássico atômico. 
Para um teste do modelo, Bohr calculou teoricamente a energia de 
dissociação da molécula de H2. Usando fez a diferença 
da energia da molécula de H2 em relação a 2H,6
 (15)
pois F = 1 para o átomo de hidrogênio. Com o valor já calculado, 
EH = –0,5 au, calcula-se em unidades atômicas,
 De = E(H2) – 2E(H) = (F2 – 1) (16)
Usando F = 1,049, também já calculado, Bohr estabeleceu De 
= 0,1001 au, ou,
 De = 2,732 eV (17)
Pelas equações (3) calcula-se o valor de r = b. Após substituição 
em a = √
—(3)b , retira-se a distância de equilíbrio, pois Re = 2b. O valor 
encontrado foi de Re = 1,1 au ou Re = 0,5820 Å. Esses resultados são 
impressionantes para a época, como será discutido.
COMPARAÇÃO COM CÁLCULOS QUÂNTICOS
Os valores tabelados de energia de dissociação e distância de 
equilíbrio para o H2 são De = 4,747 eV e Re = 0,741 Å e serão aqui 
usados como referência.7 O resultado obtido por Bohr, se comparado 
com os dados tabelados, fornece erro percentual relativo de 42% 
para a energia. Para a posição de equilíbrio esse valor vale 22%. 
Essa comparação pode parecer desanimadora, mas esse confronto 
não é prudente no momento. Uma análise dos primeiros resultados 
quânticos deve ser feita, antes de uma conclusão sobre o modelo.
O primeiro cálculo quântico para a molécula de H2 foi elaborado 
por Heitler e London em 1927.8 Para uma tradução para a língua 
inglesa desse artigo o leitor pode consultar o livro de Hettema.9 Esse 
trabalho de Heitler e London é considerado um clássico no contexto 
da química, pois inaugura a área da química quântica, em especial 
a teoria de ligação de valência. Após um longo cálculo de integrais 
para a solução da equação de Schrödinger, Heitler e London obti-
veram De = 3,140 eV e Re = 0,869 Å. Portanto, esse dois resultados 
teóricos eram compatíveis com o modelo de Bohr e de certa forma 
indicavam que havia algo importante no modelo semi-clássico mo-
lecular de Niels Bohr.
Em contraste com a teoria de ligação de valência, o método dos 
orbitais moleculares foi também aplicado à molécula de H2, por 
Charles Coulson em 1937.10 Nesse cálculo Coulson encontrou De = 
2,681 eV e Re = 0,740 Å. Não havia praticamente erro na distância 
de equilíbrio, mas o valor da energia de dissociaçãoera o mesmo 
(com dois algarismos significativos) do encontrado por Bohr. Um 
resumo da situação da molécula de Bohr e cálculos quânticos até 
1937 é apresentado na Tabela 2.
Os cálculos quânticos foram se aprimorando com novos métodos 
e novas tecnologias. O valor previsto pelo resultado quântico recente 
fornece os mesmos resultados tabelados.11 Entretanto, a descrição 
clássica da molécula de Bohr também sofreu avanços teóricos. Se 
a órbita dos átomos é não coincidente, como na Figura 6, e se as 
fases relativas dos elétrons são consideradas,11 a previsão teórica de 
molécula de Bohr modificada fornece De = 4,490 eV e Re = 0,714 
Å. Esse resultado representa um erro de aproximadamente 5% na 
energia ou posição de equilíbrio.
CONCLUSÕES
A descrição teórica e clássica da molécula de H2 foi feita por 
Niels Bohr na sua célebre trilogia de 1913. Ao contrário do átomo 
de Bohr, o estudo molecular não é conhecido pelo estudante de quí-
mica. O presente trabalho é uma tentativa de divulgar esse brilhante 
trabalho de Bohr.
A crença comumente aceita de que o modelo de Bohr não 
funcionava para átomo de dois elétrons deve ser abandonada no 
que diz respeito ao cálculo da energia. O erro para o átomo de 
hélio, no contexto de Bohr, vale 5% e tende a cair com o aumento 
do número atômico. Para o íon Li+ esse erro vale 4%, decrescendo 
para 1% com Z = 10. Essa tendência de queda no erro mostra que o 
modelo de Bohr se adapta melhor para um número atômico maior, 
pois nesse caso a perturbação da repulsão elétron-elétron se torna 
menos significativa.
O modelo molecular, o ponto principal do presente artigo, indica 
que este modelo oferece uma grande vantagem para o ensino, pois 
ilustra classicamente a formação da ligação química. Os resultados 
da energia de ligação e distância de equilíbrio são comparáveis em 
precisão com os cálculos quânticos da época, elaborados por Heitler e 
London, usando teoria de ligação de valência e por Coulson, usando a 
teoria dos orbitais moleculares. Da mesma forma que o modelo quân-
tico foi refinado, o modelo molecular de Bohr pode também sofrer 
modificações, fornecendo resultados compatíveis com os cálculos 
quânticos atuais. O erro nesse modelo modificado de Bohr equivale 
a aproximadamente 5% se comparado com os resultados exatos.
AGRADECIMENTOS
Gostaríamos de agradecer ao CNPq pelo apoio financeiro e ao 
Niels Bohr Archive, Copenhagen, pela permissão para reproduzir as 
fotos e o desenho feito por Niels Bohr.
Filgueiras et al.1082 Quim. Nova
REFERÊNCIAS
 1. Bohr, N. Sobre a constituição de átomos e moléculas, Textos Fundamen-
tais da Física Moderna, 2nd ed., Fundação Calouste Gulbenkian: Lisboa, 
1979, vol. 2.
 2. Bohr, N. Em Niels Bohr: Collected Works; Rosenfeld, L.; Hoyer, U., 
eds.; North-Holland Publishing Company: Amsterdam, 1981, vol. 2.
 3. Braga, J. P.; Filgueiras, C. A. L.; Quim. Nova 2013, (Submetido).
 4. Braga, J. P.; Fundamentos de Química Quântica, Editora UFV: Viçosa, 
2007.
 5. Kramers, H.; The atom and the Bohr theory of its structure, an elemen-
tary presentation, Gyldendal: London, 1923.
 6. Kragh, H.; J. Chem. Educ. 1977, 54, 208.
 7. Herzberg, G.; Molecular Spectra and Molecular Structure, 2nd ed.,Van 
Nostrand: Princeton, 1950.
 8. Heitler, W.; London, F.; Zeitschrift für Physik 1927, 44, 455.
 9. Heitler, W.; London, F. Em Quantum Chemistry: Classic Scientific 
Papers; Hettema, H., eds.; World Scientific: Singapore, 2000, vol. 8.
 10. Coulson, C. A.; Trans. Faraday Soc. 1937, 33, 1479.
 11. Svidzinsky, A.; Scully, M.; Herschbach, D.; Proceedings of the National 
Academy of Sciences 2005, 102, 11985.
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