Introdução teoria das estruturas II

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Teoria das Estruturas II
CCE 0371
Kíssila Botelho Goliath
Contextualização
→ Pré-requisitos:
→ Domínio na determinação de reações de apoio e o traçado de diagramas de
esforços em estruturas isostáticas.
→ O aluno também deve ser capaz de identificar e quantificar deformações em
estruturas causadas por esforços de flexão, torção, cisalhamento e normal.
→ A disciplina concentra-se principalmente na determinação de reações de apoio e da
distribuição de esforços em estruturas hiperestáticas submetidas a carregamentos
externos, variações de temperatura e recalque de apoios, contemplando também a
determinação de deformações.
→ Conhecimentos fundamentais para as disciplinas de Estruturas de Concreto I, II, III,
Fundações e Contenções, Estruturas e Aço, Estruturas e Madeira, e Pontes.
Ementa
→ Deformações em estruturas isostáticas
• Princípio dos Trabalhos Virtuais
• Método da Carga Unitária
→ Estruturas hiperestáticas Método das Forças
Método dos Deslocamentos
Objetivo
→ Estudar a distribuição de esforços em estruturas hiperestáticas submetidas a
carregamentos, recalques de apoio e variações de temperatura.
Proporcionando conhecimentos necessários para a determinação de reações de apoio
e da distribuição de esforços e deformações em estruturas hiperestáticas.
Bibliografia
 MARTHA, L. F. C. R. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de 
Janeiro: Elsevier, 2010.
 SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas: Métodos das forças e método dos 
deslocamentos. 2. ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
 MCCORMAC, J. C. Análise Estrutural: Usando métodos clássicos e métodos matriciais. 
4. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2009.
Avaliação 
→ Datas das provas:
• AV1 – 24/04
• AV2 – 12/06
• AV3 – 26/06
* Necessário conhecimento teórico dos assuntos;
* Fórmulas serão fornecidas, quando necessário (exceto fórmulas básicas de resistência 
dos materiais);
* Atenção para erro de unidades;
* As avaliações serão baseadas nos conteúdos dados em sala de aula.
Dúvidas
E-mail: kissilabotelho@gmail.com
*Os e-mails podem demorar até 48hs para serem respondidos!
Teoria das Estruturas II
CCE 0371
Kíssila Botelho Goliath
Introdução
→ A análise estrutural é a fase do projeto estrutural em que é feita a idealização do
comportamento da estrutura.
→ De uma maneira geral, a análise estrutural tem como objetivo a determinação de
esforços internos e externos (cargas e reações de apoio), e das correspondentes
tensões, bem como a determinação dos deslocamentos e correspondentes
deformações da estrutura que está sendo projetada.
Introdução
→ Como já dito, a análise estrutural é a etapa do projeto estrutural na qual é feita uma
previsão do comportamento da estrutura.
→ A análise estrutural trabalha com quatro níveis de abstração para a estrutura que está
sendo analisada:
Discretização
Introdução
Na concepção do modelo estrutural é feita
uma idealização do comportamento da estrutura
real em que se adota uma série de hipóteses
simplificadoras. (geometria do modelo; condições
de suporte, comportamento dos materiais,
solicitações que agem sobre a estrutura).
Introdução
De uma forma geral, os métodos de análise utilizam um conjunto de variáveis ou
parâmetros para representar o comportamento de uma estrutura.
Os tipos de parâmetros adotados no modelo discreto dependem do método
utilizado. No Método das Forças os parâmetros adotados são forças ou momentos e no
Método dos Deslocamentos os parâmetros são deslocamentos ou rotações.
Introdução
A análise de estruturas pode ser vista atualmente como uma simulação
computacional do comportamento de estruturas. Embora não seja o enfoque da
disciplina, é importante ter em mente que não se concebe atualmente executar as
tarefas de análise estrutural, mesmo para o caso de estruturas reticuladas, sem o uso de
computador.
O enfoque dado aqui é para o entendimento do comportamento de estruturas
reticuladas hiperestáticas e dos fundamentos dos métodos básicos da análise estrutural.
Conceitos básicos de análise estrutural
Quadro ou Pórticos Planos
Modelo estrutural plano de uma estrutura tridimensional que pode corresponder
a uma “fatia” da estrutura, ou pode representar uma simplificação para o
comportamento tridimensional.
Conceitos básicos de análise estrutural
Quadro ou Pórticos Planos
Neste tipo de estrutura, existem apenas 3 esforços internos em um barra de um 
pórtico plano, definidos nas direções dos eixos locais da barra, tal como indicado:
Conceitos básicos de análise estrutural
Exemplo
1 2
Conceitos básicos de análise estrutural
Exemplo
1
Conceitos básicos de análise estrutural
Exemplo
2
Conceitos básicos de análise estrutural
Exemplo
1 2
Modelo Isostático – a 
distribuição de esforços 
internos depende apenas de 
condições de equilíbrio.
Modelo Hiperestático –
existem infinitas soluções 
que satisfazem condições de 
equilíbrio.
Conceitos básicos de análise estrutural
Treliça
É uma estrutura reticulada que tem todas as ligações entre barras articuladas (as
barras podem girar independentemente nas ligações). Na análise de uma treliça as
cargas atuantes são transferidas para os seus nós.
A consequência disso é que uma treliça apresenta apenas esforços internos axiais
(esforços normais de tração ou compressão).
Conceitos básicos de análise estrutural
Grelha
São três os esforços internos:
Conceitos básicos de análise estrutural
Comparação entre Quadro e Grelhas
Condições básicas da análise estrutural
Uma vez feitas considerações sobre a geometria da estrutura, sobre as cargas e
solicitações, sobre as condições de suporte ou ligação com outros sistemas e sobre as
leis constitutivas dos materiais, a análise estrutural passa a ser um procedimento
matemático de cálculo que só se altera se as hipóteses e simplificações adotadas forem
revistas ou reformuladas.
As condições matemáticas que o modelo estrutural tem que satisfazer para
representar adequadamente o comportamento da estrutura real podem ser dividas:
• condições de equilíbrio;
• condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações;
• condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura
(leis constitutivas dos materiais).
Condições básicas da análise estrutural
Condições de equilíbrio
São condições que garantem o equilíbrio estático de qualquer porção isolada da
estrutura ou da estrutura como um todo.
Foi escrita considerando a geometria 
original (indeformada), hipótese válida para 
deslocamentos muito pequenos em relação 
às dimensões da estrutura, denominada 
hipótese de pequenos deslocamentos.
 As estruturas que não podem ter seus esforços determinados apenas pelas 
equações de equilíbrio são chamadas de estruturas hiperestáticas !
Condições básicas da análise estrutural
Condições de compatibilidade
São condições geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a
estrutura, ao se deformar, permaneça contínua (sem vazios ou sobreposição de pontos)
e compatível com seus vínculos externos.
• Condição de compatibilidade externa;
• Condição de compatibilidade interna.
Condições básicas da análise estrutural
Leis constitutivas dos materiais
Essas relações contêm parâmetros que definem o comportamento dos materiais.
A Teoria da Elasticidade (Timoshenko & Goodier 1980) estabelece que as relações da lei
constitutiva são equações lineares com parâmetros constantes.
Nesse caso, é dito que o material trabalha em regime elástico-linear, em que
tensões e deformações são proporcionais.
No exemplo da barras, o material considerado tem um comportamento elástico-
linear. As barras desta estrutura estão submetidas apenas a esforços axiais detração. As
tensões σx e deformações εx que aparecem nesse caso são normais às seções
transversais das barras. A lei constitutiva que relaciona tensões normais e deformações
normais é a conhecida Lei de Hooke:
Barra Vertical Barra Inclinada
Condições básicas da análise estrutural
Equilíbrio
Compatibilidade
Leis constitutivas 
dos materiais
Sistema com 4 equações e 4 incógnitas !
Métodos básicos da análise estrutural
Sistema com 4 equações e 4 incógnitas !
No exemplo, existem infinitos valores de
N1 e N2 que satisfazem a equação de equilíbrio.
Também existem infinitos valores de d1 e d2
que satisfazem a equação de compatibilidade.
Entretanto, existe uma única solução para essas
entidades: é aquela que satisfaz
simultaneamente equilíbrio, compatibilidade e
leis constitutivas.
Métodos básicos da análise estrutural
Sistema com 4 equações e 4 incógnitas !
• Mas, e para estruturas maiores?
→ Muito complexo!
Métodos básicos da análise estrutural
Sistema com 4 equações e 4 incógnitas !
É necessário definir metodologias para a
solução de estruturas hiperestáticas.
Dois métodos básicos da análise
estrutural:
• Método das Forças;
• Método dos Deslocamentos.
Métodos básicos da análise estrutural
Sistema com 4 equações e 4 incógnitas !
• Método das Forças;
• Método dos Deslocamentos.
Soluções 
Fundamentais
A dedução dessas soluções fundamentais
é feita com base no Princípio dos Trabalhos
Virtuais, através de suas duas formulações –
Princípio das Forças Virtuais e Princípio dos
Deslocamentos Virtuais.
Métodos básicos da análise estrutural
Então, como dito anteriormente, para o entendimento dos métodos de análise é 
necessário:
• Conhecimento adequado da resolução de estruturas estaticamente determinadas 
(isostáticas);
• O traçado de diagramas de esforços internos (esforços axiais, esforços cortantes, 
momentos fletores e momentos torçores);
• Saber determinar o grau de hiperestaticidade das estruturas.
Métodos básicos da análise estrutural
Então, como dito anteriormente, para o entendimento dos métodos de análise é 
necessário:
• Conhecimento adequado da resolução de estruturas estaticamente determinadas 
(isostáticas);
Métodos básicos da análise estrutural
Então, como dito anteriormente, para o entendimento dos métodos de análise é 
necessário:
• O traçado de diagramas de esforços internos (esforços axiais, esforços cortantes, 
momentos fletores e momentos torçores);
Métodos básicos da análise estrutural
Então, como dito anteriormente, para o entendimento dos métodos de análise é 
necessário:
• Saber determinar o grau de hiperestaticidade das estruturas.
Determinação do grau de hiperestaticidade
Quadros
O grau de hiperestaticidade (g) pode ser definido da seguinte maneira: 
Determinação do grau de hiperestaticidade
Quadros
O grau de hiperestaticidade (g) pode ser definido da seguinte maneira: 
Determinação do grau de hiperestaticidade
Quadros
O grau de hiperestaticidade (g) pode ser definido da seguinte maneira: 
O número adicional de equações
de equilíbrio (momento fletor
nulo) introduzido por uma
articulação no qual convergem n
barras é igual a n-1.
Determinação do grau de hiperestaticidade
Quadros
O grau de hiperestaticidade (g) pode ser definido da seguinte maneira: 
O número adicional de equações
de equilíbrio (momento fletor
nulo) introduzido por uma
articulação no qual convergem n
barras é igual a n-1.
Determinação do grau de hiperestaticidade
Determinação do grau de hiperestaticidade
𝑔 = 4 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 0
Determinação do grau de hiperestaticidade
𝑔 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + 3 − 1 =1
𝑔 = 4 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 0
Determinação do grau de hiperestaticidade
𝑔 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 2
𝑔 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + 3 − 1 =1
𝑔 = 4 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 0
Determinação do grau de hiperestaticidade
𝑔 = 3 + 3 ∙ 1 − 3 + 2 − 1 = 2
𝑔 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 2
𝑔 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + 3 − 1 =1
𝑔 = 4 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 0
Determinação do grau de hiperestaticidade
𝑔 = 3 + 3 ∙ 1 − 3 + 2 − 1 = 2
𝑔 = 4 + 3 ∙ 1 − 3 + 2 − 1 =3
𝑔 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 2
𝑔 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + 3 − 1 =1
𝑔 = 4 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 0
Determinação do grau de hiperestaticidade
𝑔 = 3 + 3 ∙ 1 − 3 + 2 − 1 = 2
𝑔 = 4 + 3 ∙ 1 − 3 + 2 − 1 =3
𝑔 = 5 + 3 ∙ 1 − 3 + 3 − 1 + (2 − 1) = 2
𝑔 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 2
𝑔 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + 3 − 1 =1
𝑔 = 4 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 0
Determinação do grau de hiperestaticidade
𝑔 = 3 + 3 ∙ 1 − 3 + 2 − 1 = 2
𝑔 = 4 + 3 ∙ 1 − 3 + 2 − 1 =3
𝑔 = 5 + 3 ∙ 1 − 3 + 3 − 1 + (2 − 1) = 2
𝑔 = 4 + 3 ∙ 2 − 3 + 2 − 1 + (3 − 1) = 4𝑔 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 2
𝑔 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + 3 − 1 =1
𝑔 = 4 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 0
Determinação do grau de hiperestaticidade
𝑔 = 3 + 3 ∙ 1 − 3 + 2 − 1 = 2
𝑔 = 4 + 3 ∙ 1 − 3 + 2 − 1 =3
𝑔 = 5 + 3 ∙ 1 − 3 + 3 − 1 + (2 − 1) = 2
𝑔 = 4 + 3 ∙ 2 − 3 + 2 − 1 + (3 − 1) = 4
𝑔 = 3 + 3 ∙ 1 −[3 + 2 − 1
+ 2 − 1 + 2 − 1 ]=0
𝑔 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 2
𝑔 = 6 + 3 ∙ 0 − 3 + 3 − 1 =1
𝑔 = 4 + 3 ∙ 0 − 3 + 2 − 1 = 0
Determinação do grau de hiperestaticidade
Grelhas
O grau de hiperestaticidade (g) pode ser definido da seguinte maneira: 
O número adicional de equações
de equilíbrio (momento fletor
nulo) vindas das articulação
internas = 2 (um ponto de grelha
tem duas componentes de
momento).
Traçado do diagrama do Momento Fletor
Traçado do diagrama do Momento Fletor
Traçado do diagrama do Momento Fletor
Traçado do diagrama do Momento Fletor
Traçado do diagrama do Momento Fletor
Traçado do diagrama do Momento Fletor
1 2 3
Traçado do diagrama do Momento Fletor
Kíssila Botelho Goliath
(kissilabotelho@gmail.com)
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