Método de Runge-Kutta para Equações Diferenciais

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Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias de 1a ordem - Continuação
Método de Runge-Kutta – É um aperfeiçoamento do método de Euler, com uma melhor estimativa da derivada da função; No método de Euler a estimativa do valor de yn+1 é realizada com o valor de yn e com a derivada no ponto xn; No método de Runge-Kutta, busca-se uma melhor estimativa da derivada com a avaliação da função em mais pontos no intervalo [xn , xn+1 ]. Como é um aperfeiçoamento do método de Euler devemos ter que y’ = f (x, y) e y(x0) = y0; Esse método consiste em se fazer mudanças no método de Euler para se conseguir um método baseado na série de Taylor de 2ª ordem, de tal forma que elimine o cálculo de derivadas de 2ª ordem;
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O método de Euler é um método de série de Taylor de 1ª ordem e também é o método de Runge-Kutta de 1ª ordem; No método de Runge-Kutta de 2ª ordem, o valor da estimativa de yn+1 é encontrado com o valor de yn e com uma estimativa da derivada em um ponto mais próximo de xn+1, em xn + h/2 ; A ideia básica é aproveitar as qualidades dos métodos da série de Taylor e ao mesmo tempo eliminar seu maior defeito que é o cálculo de derivadas de f(x, y) - torna os métodos de série de Taylor computacionalmente ineficientes.
MÉTODO DE EULER - É um método de passo 1, isto é, para determinar y n+1 precisamos de apenas yn; Não é necessário o cálculo de qualquer derivada de f(x,y); É um método de série de Taylor de 1ª ordem; Calcula f(x,y) em vários pontos.
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEM p - É um método de passo 1, isto é, para determinar y n+1 precisamos de apenas yn; Após expandir f(x,y) por Taylor para função de duas variáveis em torno de (xn,yn) sua expressão coincide com a do método de série de Taylor de mesma ordem; Não é necessário o cálculo de qualquer derivada de f(x,y); Calcula f(x,y) em vários pontos.
Exemplo: Resolva o problema de valor inicial � Usando o método de Euler modificado encontre y1 e y2
�
Onde: h = 0,1; x0 = 0 e y0 = 0; f(x0,y0)= 0
�
X1 = 0 + 0,1 = 0,1 e y1=0,005
�
Exemplo: Resolver o problema de valor inicial �
Determinar y(1)
a) Euler		�
X0 = 0 ; y0= 1.000 e h = 0,5 (LEMBRANDO: xn+1= xn + h)
�
b) Euler modificado	�
X0 = 0 ; y0= 1.000 e h = 0,5 (LEMBRANDO: xn+1= xn + h)
�
Solução exata:
�
Para x = 1, temos: y = 1000.e 0,04 ( y = 1040,810
	
	1.
	Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
	Quest.: 1
	
	
	[0,3]
	
	
	[1,2]
	
	
	[3/2,3]
	
	 
	[0,3/2]
	
	 
	[1,3]
	
	2.
	Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 )para a equação dada.
	Quest.: 2
	
	
	2
	
	 
	3
	
	
	4
	
	 
	1
	
	
	7
	
	3.
	Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.ex, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição.
	Quest.: 3
	
	
	0,25
	
	
	0
	
	 
	2
	
	
	0,5
	
	
	1
_1461869932.unknown
_1461869934.unknown
_1461869935.unknown
_1461869933.unknown
_1461869928.unknown
_1461869930.unknown
_1461869931.unknown
_1461869929.unknown
_1461869926.unknown
_1461869927.unknown
_1461869924.unknown
_1461869925.unknown
_1461869922.unknown
_1461869923.unknown
_1461869921.unknown