Capitulo1- Cinemática de Máquinas 09-10

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Órgãos de Máquinas I
ORGÃOS DE MÁQUINAS I
ANO LECTIVO 2009/2010
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Órgãos de Máquinas I
ORGÃOS DE MÁQUINAS I
Obj ti G i
Os conteúdos programáticos da unidade curricular de Órgãos Máquinas I objectivam conferir
l fil d f ã t d i i it tê i
Objectivos Gerais
ao aluno um perfil de formação, que assenta em adquirir conceitos e competências que
conduzam a actos de engenharia nas áreas da manutenção/projecto de máquinas e
equipamentos industriais.
Os alunos deverão ser capazes de aplicar os princípios:
9 d i áti di â i d l t d á i áli d i9 da cinemática e dinâmica de elementos de máquinas na análise de mecanismos;
9 d ib õ â i á i i t
9 do balanceamento de máquinas e equipamentos.
9 das vibrações mecânicas em máquinas e equipamentos;
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PROGRAMADE ORGÃOS MÁQUINAS I
Órgãos de Máquinas I
PROGRAMA DE ORGÃOS MÁQUINAS I
1. Cinemática de um corpo rígido no plano
1.1. Movimento do corpo rígidop g
1.2. Análise dos movimentos absoluto e relativo
2. Dinâmica de um corpo rígido 
2.1. Momento de inércia de massa
2.2. Equações do movimento para um corpo rígido: movimento plano geral
2.3. Movimento de um corpo rígido: métodos da energia 
2.4. Análise de mecanismos
3. Vibrações Mecânicas
3.1. Conceitos de frequência, período e amplitude
3.2. Classificação das vibrações
3.3. Vibrações livres: amortecidas e não amortecidas 
3.4. Vibrações forçadas: amortecidas e não amortecidas
4. Balanceamento de máquinas
4.1. Desbalanceamento estático
4.2. Balanceamento estático 
4.3. Desbalanceamento dinâmico
4.4. Balanceamento dinâmico
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Órgãos de Máquinas I
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
9 Hibbeler R C : Mecânica Dinâmica LTC Editora9 Hibbeler, R.C.: Mecânica , Dinâmica, LTC Editora.
9 Beer, F.; Johnston, E.: Mecânica Vectorial para Engenheiros - Dinâmica. 7ª Edição, Editora McGraw Hill.
9 Beer, F.; Johnston, E.: Mecânica Vectorial para Engenheiros - Cinemática e Dinâmica. 6ª Edição, 
Editora McGraw Hill de Portugal, Ltda., 1998.
9 Graham Kelly, Fundamentals of Mechanical Vibrations, 2ª Edição, Editora McGraw Hill, Ltda, 2000.
9 Meriam, J.L. ; Kraige, L.G.: Engineering Mechanics -Dynamics, John Wiley & Sons, Inc.
9 Serway R : Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 3rd edition9 Serway, R.: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. 3rd edition, 
Saunders Golden Sunburst Series, Philadelphia, London, Tokyo, 1992.
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Órgãos de Máquinas I
CAPITULO I
CINEMÁTICA DE MÁQUINASQ
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Á
Órgãos de Máquinas I
9 Objectivos
SUMÁRIO DO CAPITULO 1
9 Introdução 
9 Translação
9 Rotação em torno de um eixo fixo: Velocidade 
9 Rotação em torno de um eixo fixo: Aceleração 
9 Equações que definem a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo
9 Movimento Plano Geral9 Movimento Plano Geral 
9 Velocidade absoluta e relativa no movimento plano 
9 Centro instantâneo de rotação no movimento plano 
9 Aceleração absoluta e relativa no movimento plano
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Órgãos de Máquinas I
CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO
OBJECTIVOS:
- Classificar os vários tipos de movimento.
A áli d i t l ã i t d i fi- Análise de movimentos em relação a um sistema de eixos fixos.
A áli d i t l ti tili d i t f i l i t d- Análise de movimento relativo utilizando um sistema referencial com movimento de 
translação.
- Análise de movimento relativo utilizando referencial com movimento de rotação.
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Órgãos de Máquinas I
INTRODUÇÃO
RELAÇÃO ENTRE CINEMÁTICA/DINÂMICA DAS MÁQUINAS E A MANUTENÇÃO
¾ Conhecimento do correcto funcionamento das máquinas (prática de operação).
¾ O engenheiro de manutenção deve conhecer os fundamentos matemáticos de projecto e 
operação das máquinas.
¾ Dependendo da necessidade, o engenheiro de manutenção deve propor melhorias no projecto¾ Dependendo da necessidade, o engenheiro de manutenção deve propor melhorias no projecto 
das máquinas.
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Órgãos de Máquinas I
INTRODUÇÃO
• Cinemática de corpos rígidos: relações entre o tempo e as posições, as 
• Classificação do movimento dos corpos rígidos:
velocidades, e as acelerações das partículas que dão forma a um corpo rígido. 
Classificação do movimento dos corpos rígidos:
- Translação:
• Translação Rectilinea
• Translação Curvilinea Exemplo
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Rotação em torno de um eixo fixo Exemplo 
Movimento Plano Geral Exemplo
M i t t d t fiMovimento em torno de um ponto fixo
cremalheira 1 cremalheira 2
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Órgãos de Máquinas I
EXEMPLO DOS TIPOS MOVIMENTOS NUM MECANISMO 
O i t d fi é d l id li d d i bi l i lO mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado do eixo biela, manivela e 
pistão de um motor de combustão.
Movimento plano geral
Translação curvilínea
p g
Translação rectilínea Rotação em torno de um eixo fixo
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Ford
Órgãos de Máquinas I
TIPOS MOVIMENTOS NUM MECANISMO 
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Motor a explosão de 4 tempos
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Órgãos de Máquinas I
F i t d M t W k lMotor a dois tempos Funcionamento do Motor Wankel
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à Á Ã
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FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO
Translação curvilínea: o veículo move-se 
numa trajectória circular mantendo sempre 
sua posição na horizontal.
Estas equações mostram que todos os pontos de um corpo rígido sujeito a um movimento de 
translação se movem com as mesmas velocidades e acelerações.
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Demonstração:
B B
A
ArB
y
z
ABr /
r
Aa
r
Av
r
x
y rA
Translação: desloca-se paralelamente a si próprioABr /
r
ABAB rrr /
rrr += ⇔+=⇒
dt
rd
dt
rd
dt
rd B/AAB
rrr
pois é constanteABr /
r
AB vv
rr =
⇔=
dt
vd
dt
vd AB
rr
AB aa
rr =
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MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO DO CORPO RIGIDO
kzjx A ˆˆy+iˆ(t)r AAA +=r Posição do corpo
Posicionando x paralelamente à direcção do movimento, yA e zA são constantes, pelo que:Posicionando x paralelamente à direcção do movimento, yA e zA são constantes, pelo que:
iˆv=iˆ
d
x
d
rv AAAA
dd ==
rr Velocidade do corpo
dtdt AA
p
iˆa=iˆ
dt
x
dt
v
a AA
2
A
A
dd ==
rr Aceleração do corpo
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Órgãos de Máquinas I
CASOS PARTICULARES DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO DO CORPO RIGIDO
V= c.te1 - Movimento de translação uniforme
 
dt
dv
a 0==Aceleração:)( 00 tt.vxx −+=Posição:
2 - Movimento de translação uniformemente variado a= c.teç a c
21
0 .tavv AA,A +=Velocidade: 200 2
1 .ta.tvxx AA,A,A ++=Posição:
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MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Análise do movimento circularAnálise do movimento circular
Formulação matemática para o movimento circular
Velocidade angular: Aceleração angular:DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
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MOVIMENTO CIRCULAR COM ACELERAÇÃO CONSTANTE
São válidas as equações do movimento uniformemente variadoq ç
VELOCIDADE DE UM PONTO P PERTENCENTE AO CORPO RÍGIDO
Análise de velocidades
Escalar:
Vectorial:
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ACELERAÇÃO DE UM PONTO P PERTENCENTE AO CORPO RÍGIDO
Notação Escalar
Aceleração normal:Aceleração normal:
Aceleração tangencial:ç g
Notação Vectorial
) rw(wra PPP
rrrrrr ××+×= α
rwra PP
rrrr 2−×= α
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rwra PP α
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PROCEDIMENTO DE ÁNÁLISE DO MOVIMENTO DO CORPO RÍGIDO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
A velocidade e a aceleração de um ponto localizado sobre um corpo rígido que gira em torno ç p p g q g
de um eixo fixo podem ser determinadas utilizando-se o seguinte procedimento:
I - Movimento AngularI - Movimento Angular
1º Estabeleça o sentido positivo do eixo de rotação e indique-o ao lado de 
equação cinemática
2º Se for conhecida uma relação entre quaisquer duas das quatro variáveis
equação cinemática.
α, w, θ e t então a terceira variável pode ser obtida utilizando-se uma
das seguintes equações cinemáticas:
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3º S l ã d é t t tã3º Se a aceleração do corpo é constante, então 
podem ser utilizadas as seguintes equações:
Uma vez obtida a solução, os sentidos de θ , w e α são dados 
pelos sinais algébricos dos seus valores numéricos.
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II - Movimento do ponto P pertencente ao corpo rígido
1º Em muitos casos a velocidade de P e as duas componentes da sua1 Em muitos casos a velocidade de P e as duas componentes da sua 
aceleração podem ser determinadas pelas equações escalares:
w r v = α r a t = 2 rwa n =
2º Se a geometria do problema é de difícil visualização, então 
devem ser utilizadas as seguintes equações vectoriais: 
r w r wv P
rrrrr ×=×=
r α r αa Pt
rrrrr ×=×=
2 rw) rw(wa Pn
rrrrr 2−=××=
-r P 
r
É direccionado de um ponto qualquer pertencente ao eixo de rotação para o ponto P.
 -α e w, r, r P
rrrr
Devem ser expressas em função de i, j, k e o produto vectorial é determinado 
l d l i t d d t i t
- r r Apoia-se no plano do movimento de P.
pelo desenvolvimento do determinante.
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EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
I - O cabo C tem uma aceleração constante de 0,5 m/s2 e uma velocidade inicial de
1 m/s, ambas dirigidas para a direita. Determinar:
(a) o número de voltas da polia em 2 s.
(b) a velocidade e a mudança de posição da massa B após 2 s.
(c) a aceleração do ponto D localizado na polia interna para t = 0 s.
10 cm
20 cm
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Órgãos de Máquinas I
• Devido à acção do cabo a velocidade tangencial e aceleração de D são
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA
• Devido à acção do cabo, a velocidade tangencial e aceleração de D são 
iguais à velocidade e o aceleração de C. Calcular a velocidade angular 
e a aceleração iniciais. 
A li l õ i t d t ã if t l d
Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração do ponto D
Aplicar as relações para o movimento de rotação uniformemente acelerado 
de modo a determinar a velocidade e a posição angular da polia após 2 s. 
Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração do ponto D 
da polia interna. 
• A velocidade e o aceleração tangencial de D são iguais à velocidade e o aceleração de CA velocidade e o aceleração tangencial de D são iguais à velocidade e o aceleração de C. 
r)v(
sm)v()v( CD /1 00
=
→==
r
rr
ω
( )
( )
2/5.0 smaa CtD →== rr
srad
.r
) v(ω
r)v(
D
D
10
10
1
1
0
0
010
===
=
r
ω ( )
( ) 2
1
1
5
10
50 srad
.
.
r
a
ra
tD
tD
===
=
α
α
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Órgãos de Máquinas I
SOLUÇÃO
• Aplicar as relações para a rotação uniformemente acelerada para• Aplicar as relações para a rotação uniformemente acelerada para 
determinar a velocidade e posição angular da polia após 2 s. 
( )( ) d202d510 2++ t ( )( ) srad20s2srad510 20 =+=+= tαωω
( )( ) ( )( )
d30
s 2srad5s 2srad10 222
12
2
1
0 +=+= tt αωθ
rad30=
( ) voltasrot 1rad30 denúmeroN =⎞⎜⎛= voltas8.4=N( ) voltas 
rad2
rad30 denúmeroN ⎠⎜⎝ π voltas8.4N
( )( )srad200.22 == ωrv B ↑= s4mvBr( )( )2B
myB 6=∆( )( )rad 300.22 ==∆ θryB
B
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Ã
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SOLUÇÃO
• Avaliação das componentes tangencial e normal da aceleração de D. 
( ) →== 2m/s50aa rr( ) →== m/s5.0CtD aa
( ) ( )( ) 2220 m/s 10srad100.1 === ωDnD ra
( ) ( ) ↓=→= 22 m/s 10m/s 5.0 nDtD aa rr
• Valor e direcção do vector aceleração total
( ) ( )222/50)( ( ) ( )
22
22
105.0 +=
+= nDtDD aaa
2/01.10 sma D =
2/5.0)( sma tD =
( )
( )
10
tan
=
=
tD
nD
a
aφ
º187=φ
2/10)( sma nD =
5.0 1.87=φ
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MOVIMENTO PLANO GERAL
Combinação dos movimentos de translação e rotação
Quando o bloco deslizante A se move
horizontalmente para a esquerda com uma
velocidade VA , ele transmite á manivela CB
t ã tid ti h á i d f
E1 E2 E3
uma rotação no sentido anti-horário de forma
que VB tem uma direcção tangente à trajectória
circular, isto é , para cima e para a esquerda. A
barra de ligação AB (biela) está sujeita a umbarra de ligação AB (biela) está sujeita a um
movimento plano geral e no instante mostrado
ela tem uma velocidade angular w
B do ponto velocidadevB =r
A do ponto velocidadevA =r
A barra AB do mecanismo mostrado possui 
movimento plano geral (translação + rotação)
ão a AB em relaç" de relativavelocidadev AB =/r
O movimento relativo é circular, o módulo dessa velocidade é VB/A= W*rB/A e a sua posição é perpendicular a rB/AO movimento relativo é circular, o módulo dessa velocidade é VB/A W rB/A e a sua posição é perpendicular a rB/A
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MOVIMENTO PLANO GERAL
Análise do Movimento relativo
POSIÇÃO:
Análise do Movimento relativo
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MOVIMENTO PLANO GERAL
ANÁLISE DA VELOCIDADE:
Trajectória 
do ponto A
Av
r
Av
r
Bv
r
r
B/AB/A rwv =
Movimento Plano geral Translação
Rotação em torno do 
ponto de referência A
Trajectória 
do ponto B
Av
Movimento Plano geral Translação ponto de referência A
EQUAÇÕES DE VELOCIDADE: Cálculo das derivadas temporais da equação de posição.
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Órgãos de Máquinas I
PROCEDIMENTO DE ANÁLISE DA VELOCIDADE DO CORPO RÍGIDO
A equação da velocidade relativa pode ser aplicada a partir de uma análise vectorial cartesiana ou
I ANÁLISE VECTORIAL
escrevendo-se directamente as equações em componentes escalares nas direcções x e y. Na
abordagem dos problemas deve utilizar-se o seguinte procedimento:
I – ANÁLISE VECTORIAL
1º - Construir o Diagrama Cinemático
™ Estabeleça as direcções das coordenadas fixas x y e construa o diagrama cinemático do corpo Indique neste
™ Se os módulos de vA ,vB e w são desconhecidos, os sentidos desses vectores podem ser assumidos.
™ Estabeleça as direcções das coordenadas fixas x, y e construa o diagrama cinemático do corpo. Indique neste
diagrama as velocidadesvA e vB dos pontos A e B, a velocidade angular w e o vector posição relativa rB/A.
2º - Aplicar a equação da velocidade
• Para aplicar vB = vA+ w x rB/A , os vectores devem ser expressos na sua forma cartesiana e substituídos na 
equação. Calcule o produto vectorial e iguale as correspondentes componentes i e j de modo a obter duas q ç p g p p j
equações escalares. 
• Se a solução fornecer um resultado negativo para o módulo de uma incógnita isso indica que o sentido do 
vector é oposto àquele mostrado no diagrama cinemático. 
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Á
Órgãos de Máquinas I
™ Ao aplicarmos a equação da velocidade na forma escalar o módulo e o sentido da velocidade relativa v
II – ANÁLISE ESCALAR
1º - Construir o Diagrama Cinemático
™ Ao aplicarmos a equação da velocidade na forma escalar, o módulo e o sentido da velocidade relativa vB/A
devem se estabelecidos. Construa um digrama cinemático conforme ilustrado na figura 1 , onde é mostrado
o movimento relativo. Como o corpo é considerado como momentaneamente “rotulado” ao ponto de
referencia A, o módulo da velocidade relativa é vB/A = w rB/A. O sentido de vB/A é estabelecido a partir do
diagrama de modo que vB/A seja perpendicular rB/A, de acordo com o sentido de rotação w do corpo.
Figura 1
2º - Aplicar a equação da velocidade2 - Aplicar a equação da velocidade
• Escreva a equação da velocidade na forma simbólica, vB = vA+ vB/A e, por baixo de cada um dos termos, 
represente graficamente os vectores mostrando seus módulos, direcções e sentidos. As equações escalares 
são determinadas a partir das componentes x e y desses vectoressão determinadas a partir das componentes x e y desses vectores.
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EQUAÇÕES DA VELOCIDADE PARA MOVIMENTO PLANO
• Todo o movimento plano pode ser substituído por uma translação de um ponto
de referência arbitrário A e uma rotação simultânea em torno de A, assim:
ABAB vvv
rrr +=
wrvrwv ABABAB =×= rrr
ABAB rkwvv
rrrr ×+= ABAB
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Á S O O O O CO OS ÍG OS
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ANÁLISE DO MOVIMENTO PLANO DE CORPOS RÍGIDOS
Movimento Plano = Translação de A + Rotação em torno de A
Movimento Plano = Translação de B + Rotação em torno de B
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CENTRO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO NO MOVIMENTO PLANO
Definição: Para um corpo rígido em movimento plano geral, as velocidades das partículas do corpo em
l i t t ã bt i l t ã d t d iqualquer instante são as mesmas que se obteriam pela rotação do corpo em torno de um eixo
perpendicular ao plano do corpo, designado por eixo instantâneo de rotação. A intersecção entre este
eixo e o plano do corpo chama-se centro instantâneo de rotação - C.I. ou centro instantâneo de
velocidade nula (vCI= 0).
A Velocidade do ponto B do corpo rígido mostrado na figura 3, pode ser 
determinada pela seguinte equação da velocidade: 
CI
0=CIv
CIBr
r
C.I
A
ABAB rwvv
rrrr ×+=
Se escolhermos o ponto A do corpo, como sendo no instante considerado
Bv
r
B
ABr
r
CIAr
r
CIBB rwv
rrr ×=
um ponto de velocidade nula (vA = 0) a equação da velocidade vem:
Av
r
AB
CIBB rwv =
Sendo rB/CI perpendicular avB , então a equação da velocidade pode escrever-se
na forma escalar como:
Figura 3
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Procedimento para Localização do Centro Instantâneo de Rotação
Para localizar o CI, podemos utilizar o facto do vector velocidade de um ponto
C.I
wr
sobre corpo ser perpendicular ao vector posição relativa definido entre o CI e o
ponto considerado. São apresentados três casos distintos que podem ocorrer:
1º Caso - É conhecida a velocidade vA de um ponto do corpo e a velocidade
w
vr A=CIAr
1 Caso - É conhecida a velocidade vA de um ponto do corpo e a velocidade
angular w do corpo como exemplifica a figura 4: Neste caso o CI localiza-se ao
longo da linha perpendicular a vA passando por A de modo que a distância de A a
CI é rA/C = vA/w A
vrCI é rA/C I vA/w.
Figura 4
C I
2º Caso - São conhecidas as linhas de acção de duas velocidades vA e vB não
paralelas como exemplifica a figura 5: Constroem-se segmentos de linha
perpendiculares a vA e vB passando por A e B, respectivamente. O CI
C.I
CIAr
r
CIBr
r
wr
p p A B p p , p
determina-se prolongando essas perpendiculares até ao seu ponto de
intersecção. B
vv
Figura 5
Av
vFigura 5
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C.I
rr
wr
3º Caso - Dados os módulos e as direcções de duas velocidades paralelas vA e vB,
como exemplifica a figura 6: o CI é determinado usando a
proporcionalidade de triângulos, em que rA/CI = vA / w e rB/CI = vB / w.
CIBr
Bv
vCIAr
r
p p g q A/CI A B/CI B
I - EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Av
v
vv AA ( ) v
• O centro instantâneo de rotação encontra-se na intersecção das perpendiculares 
aos vectores velocidade com os vectores posição e .CI Br
r
CI A r
r
• A velocidade de cada uma das partículas da haste apresenta-se como
θω cos/ lr
A
CIA
A ==
CI Br
r
C.I
( ) θθθω tancossin / AACIBB vl
vlrv ===
A velocidade de cada uma das partículas da haste apresenta se como
rodasse em torno de CI.
• A partícula localizada no centro de rotação tem velocidade zero.
r
• A velocidade da partícula que coincide com o centro de rotação varia no
tempo pelo que a sua aceleração no centro instantâneo de rotação não é
zero.
CI A r
r
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Características do Centro Instantâneo de rotação ou Centro de velocidade nula
O conceito de centro instantâneo de rotação só se aplica ao movimento plano.
O centro instantâneo de rotação é um ponto que varia de instante para instante.
O conceito de centro instantâneo de rotação é útil, para calcular velocidades de pontos de corpos 
rígidos em alguns movimentos planos. Nunca, acelerações.
A utilização do centro instantâneo de rotação nunca é a única forma de resolver exercícios de umA utilização do centro instantâneo de rotação nunca é a única forma de resolver exercícios de um 
movimento plano.
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EXEMPLO DE APLICAÇÃO BARRA DESLIZANTE
A barra mostrada na figura é guiada por dois blocos A e B que se movem ao longo das ranhurasA barra mostrada na figura é guiada por dois blocos A e B que se movem ao longo das ranhuras 
fixas. Se a velocidade de A é de 3 m/s no sentido descendente. Determine:
(a) a velocidade linear de B no instante em que a barra forma um ângulo de 60º com a vertical;
(b) l id d l d b(b) a velocidade angular w da barra. 
A
0 5 mvA= 3 m/s 
60º
0.5 m
B
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RESOLUÇÃO
I – ANÁLISE VECTORIAL
1º - Diagrama Cinemático
Uma vez que os movimentos de A e B são restritos ao longo das ranhuras fixas e vA é direccionada
verticalmente no sentido descendente, então a velocidade vB deve ser direccionada horizontalmente para a, B p
direita como é ilustrado na figura 2. O movimento origina na barra uma rotação no sentido anti -horário, isto é,
pela regra da mão direita o vector velocidade angular w é direccionado para fora e perpendicular ao plano do
movimento. Conhecendo-se o módulo de vAe as linhas de acção de vB e w então é possível aplicarmos a
ã d l id d
B (Livre) B
vr
ABAB rwvv
rrrr ×+=equaçãoda velocidade:
A (Fixo)
B (Livre)
Av
r ABv /
r
60º
30ºA Bv /
r
( )
vA= 3 m/s AB
rr
wr
60º
iˆ
jˆ
A
x
y
A
ABAB vvv
rrr +=
B (Livre) Bv
r
60º B
ABAB rwvv
rrrr ×+= Figura 2
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RESOLUÇÃO
2º - Equação da velocidade
Expressando cada um dos vectores mostrados no diagrama cinemático em função das suas componentes i, j , k
e aplicando a equação da velocidade ao ponto de referência A, vem:
ˆˆ [ ]jˆ30º0 5iˆ30º50BA
r
rˆr
[rad/s] kˆ ww =r
; [m/s] j0i += BB vvr [m] j30ºsen 0.5-i30ºcos5.0== BAr AB r; [m/s] j3−=Av
r
ˆˆˆ
⇔×+= ABAB rwvv rrrr
00.25-0.433
00
kˆjˆiˆ
 jˆ -3 jˆ 0iˆ wvB +=+ jˆ 433.0iˆ 25.0 jˆ -3 jˆ iˆ wwvv BB ++=+⇔
{ 25.0 wvB =iˆ →= m/s 725.1 Bv A (Fixo) kˆ 9.6=wr{ 433.0 -3 0 w+=jˆ ⇔ rad/s 6.9 =w 60ºjˆ 3−=Avr A Bv /r
60º
B ivB ˆ 725.1=r
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RESOLUÇÃO DO PROBLEMA
II – ANÁLISE ESCALAR
1º - Diagrama Cinemático B (Livre) B
vr
ABv /
r
60º
30º
A (Fixo)
y
Av
r AB /30
vvv rrr +=AB
vrvA= 3 m/s ABr
r
wr
60ºx
y
2º - Equação da velocidade
ABAB vvv +=
ABAB rwvv
rrrr ×+=B (Livre) Bv
r
60º
 50 w.w rv B/AAB ==ABAB vvv
rrr +=
[ ]w50[ ]v )( [ ]3− [ ] w.50[ ]xBv )(→ [ ]3−↓ = + 60º Igualando-se as componentes x e y, vem:
wwvv BxB 25.0º60 cos 5.0)( ===
ºw sen 605030 +−={ { m/s 725.1=Bv d/96w sen . 605030 +={ { rad/s.w 96=
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Órgãos de Máquinas I
II - EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE MECANISMO “MOVIMENTO PLANO GERAL”
O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado de pistão biela e manivela de um motorO mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado de pistão, biela e manivela de um motor
a combustão. Sabendo-se que LAB =75 mm, LBC = 175 mm e que no instante mostrado θ = 70° e o
eixo da manivela AB possui uma velocidade angular wAB = 4800 rpm no sentido anti-horário,
determine pelo método do centro instantâneo de rotação:determine pelo método do centro instantâneo de rotação:
a) a velocidade angular da biela BC;
b) a velocidade do pistão P.
L 175 mm
LBC=175 mm
LBC=175 mm
LAB=75 mm
E1
70º
Ф70º
C
º sen sen Φ ºsen sen Φ 70
175
75
175
70
75
=⇔= º75.23 =⇔ Φ17517575
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Órgãos de Máquinas I
RESOLUÇÃO 
I – ANÁLISE VECTORIAL
Movimento da manivela AB - Rotação em torno de um eixo fixo
1º - Diagrama Cinemático
Bv
r
y
jˆ
B /AB vv
rr =
20º
B (Livre)
ABw
r
20º
ABr
r
x
A
iˆ
B (Livre)
20º
A (Fixo)
70º
2º E ã d l id d2º - Equação da velocidade
[rad/s] ˆ6502ˆ
60
2 * 4800 k .kπwBA ==r
Dados apresentados na forma vectorial
 6.50200
kˆjˆiˆ 
 0 +=Bvr⇔×+= ABABAB rwvv rrrr
 
jº sen .iº .rB/A 700750ˆ70cos0750 +=r
00705.00256.0
j . i .vB ˆ8712ˆ435 +−=r m/s 7.37 =⇒ Bv
[m] j 0.0705 i r AB ˆˆ0256.0 +=r
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Órgãos de Máquinas I
RESOLUÇÃO
Movimento Plano da biela BC - Translação de B + Rotação em torno de B
1º - Diagrama Cinemático
BCw
r
Bv
r
20º Bv
r
93 75º
x
y
B
iˆ
jˆ
C (Livre)
B (Fixo)
BC
r
BCr
r
23.75º
c (Livre
20º
B / Cv
r
r
66.25º
93.75
( )
C /Bv
r
C v
r
C v
r
2º - Equação da velocidade BCBCBC rwvv
rrrr ×+=
]/[ ˆ87.12ˆ435 sm j i . vB +−=r
Dados apresentados na forma vectorial
 
007050160
00
ˆˆˆ
 ˆ87.12ˆ 4.35ˆ - 
.-.
w
kji
j i iv BCC −++−=
[rad/s] ˆ kww BCBC −=r
[m] jˆ 23.75ºsen 0.175 - iˆ 23.75º cos 175.0r BC =r
ˆˆ
{{ 16.087.120 BCw−= 0705.0 -35.4 BCC wv −=−iˆjˆ ⇔ ←= m/s 41 Cv rad/s80.4=BCw [m] jˆ 0.0705 - iˆ 16.0r BC =r{{ BCj rad/s80.4BCw
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à É
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RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PELO MÉTODO CI
Movimento Plano da Biela BC - Translação de B + Rotação em torno de B
m 47.0º66.75 
175.0
º20 
/
/
=⇔= CIB
CIB
r
r
sensen
CI
m 51.0º93.75 
175.0
º20 
/
/
=⇔= CIC
CIC
r
r
sensen20 º
CI B r
r
93.75 º
r
Bv
r
20º
B CICr
r ⇔= A B ABB rwv m/s73707506502 .. * .vB ==
BCw
66,75º
B
A B r
r ⇔= CI B BCB rwv rad/s 2.8047.0
7.37 === 
r
vw
CI B 
B
BC
C v
r
23.75º70 º
CA
←= m/s 9.40 Cv rad/s 80.2 =BCw
m/s 40.90.51*2.80 r* C/CI ==⇔= CBCC vwv
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Órgãos de Máquinas I
III - EXEMPLO DE APLICAÇÃO
CENTRO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO NO MOVIMENTO PLANO
A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior que se encontra parada. 
Sendo a velocidade do centro da engrenagem de 1.2 m/s, ddetermine: 
Ç
(a) a velocidade angular da engrenagem
(b) a velocidade da cremalheira superior R 
(c) a velocidade do ponto D da engrenagem. ( ) p g g
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Ã
Órgãos de Máquinas I
O ponto C está em contacto com a cremalheira inferior estacionária e, instantaneamente, tem velocidade 
zero. o ponto C deve ser escolhido como posição do centro instantâneo da rotação (CI). 
RESOLUÇÃO
• Determine a velocidade angular sobre C baseado na velocidade dada em A. 
srad8
m0.15
sm2.1 ====
A
A
AA r
vrv ωω
0. 5A
• Calcule as velocidades em B e em D baseados em sua rotação sobre C. 
m/s 28*25.0 ==== ωBBR rvv [m/s] 2 iv R rr =
m 2121.0215.0 ==Dr
m/s69718*21210 === ωrv [m/s]2121 jiv rrr +=m/s697.18*2121.0 === ωDD rv [m/s] 2.12.1 jivD +=
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Órgãos de Máquinas I
EXEMPLO DE APLICAÇÃO VELOCIDADE EM MOVIMENTO PLANO
Assumindo que a velocidade vA da extremidade A é conhecida, determine:
a) a velocidade v da extremidade Ba) a velocidade vB da extremidade B.
b) a velocidade angular w em função de vA, l, e θ.
As direcções de vB e vB/A são conhecidas. Completar o diagrama das velocidades.
θ
θ
tan
tan
AB
A
B
vv
v
v
=
= θω cos
v
l
v
v
v A
AB
A ==
ç B B/A p g
θtanAB vv =
θω cosl
vA=
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Órgãos de Máquinas I
MOVIMENTO PLANO GERAL
ANÁLISE DA ACELERAÇÃO:
Movimento Plano Translação de A
Rotação em torno do 
ponto de referência A= +
EQUAÇÕES DA ACELERAÇÃO
ABAB aaa
rrr += nABtABAB aaaa )()(
rrrr ++= ABABAB rwraa /2/ rrrrr −×+= α
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Órgãos de Máquinas I
PROCEDIMENTO DE ÁNÁLISE DA ACELERAÇÃO DO CORPO RÍGIDO
A equação da aceleração relativa pode ser aplicada a dois pontos quaisquer A e B de um corpo a partir
de uma análise vectorial cartesiana ou escrevendo-se directamente as equações em componentes
I – ANÁLISE VECTORIAL
de uma análise vectorial cartesiana ou escrevendo se directamente as equações em componentes
escalares nas direcções x e y. Na abordagem dos problemas deve utilizar-se o seguinte procedimento:
1º - Construir o Diagrama Cinemático
™ Estabeleça as direcções e os sentidos das coordenadas fixas x, y e construa o diagrama cinemático do
I di t di l id dcorpo. Indique neste diagrama as velocidades aA, aB , w, α e rB/A.
™ Se os pontos A e B se movem ao longo de trajectórias curvas as suas acelerações devem ser indicadas em
função das suas componentes tangencial e normal, isto é: e nBtBB aaa )()(
rrr +=nAtAA aaa )()( rrr +=
2º - Aplicar a equação da aceleração
• Para aplicar a equação aB = aA+ α x rB/A - w2 rB , os vectores devem ser expressos na sua forma cartesiana e 
substituídos na equaçãoCalcule o produto vectorial e iguale as correspondentes componentes i e j de modosubstituídos na equação. Calcule o produto vectorial e iguale as correspondentes componentes i e j de modo 
a obter duas equações escalares. 
• Se a solução fornecer um resultado negativo para o módulo de uma incógnita isso indica que o sentido do 
vector é oposto àquele mostrado no diagrama cinemático. p q g
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Órgãos de Máquinas I
I - EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE MECANISMO “MOVIMENTO PLANO GERAL”
O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado Pistão Biela e Manivela de um motorO mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado Pistão, Biela e Manivela, de um motor
de combustão. Sabendo-se que LAB =75 mm, LBC = 175 mm e que no instante mostrado θ = 70° o
eixo da manivela AB possui uma velocidade angular constante wAB = 4800 rpm no sentido anti-
horário determine:horário, determine:
a) a aceleração angular biela BC;
b) a aceleração do pistão P.
L 175 mm
LBC=175 mm
LBC=175 mm
LAB=75 mm
70º
Ф70º
C
º sen sen Φ ºsen sen Φ 70
175
75
175
70
75
=⇔= º75.23 =⇔ Φ17517575
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Órgãos de Máquinas I
RESOLUÇÃO
I – ANÁLISE VECTORIAL
Movimento da manivela AB - Rotação em torno de um eixo fixo
1º - Diagrama Cinemático
B (Livre) B (Livre)
y
jˆ ABw
r AB
rr
nABB aa )( /
rr = nABB aa )( /
rr =
70º
x
A
iˆ
A (Fixo)
70º
2º - Equação da aceleração
2*4800
Dados apresentados na forma vectorial
nABtABAB aaaa )()(
rrrr ++=
ˆˆ22
 jº sen .iº .rB/A ˆ700750ˆ70cos0750 +=r
[rad] ˆ6502ˆ
60
2 * 4800 k .kπwAB ==r
)j .i.*(.rwa B/AB ˆ07050ˆ02560650200
22 +−=−+= rr
][m/s ˆ8.17808ˆ 7.6466 2jiaB −−=r ][m/s 5.18946 2=Ba
/
[m] j 0.0705 i BAr AB ˆˆ0256.0 +==
rr
][B
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RESOLUÇÃO DO PROBLEMA
Movimento Plano da biela BC - Translação de B + Rotação em torno de B
1º - Diagrama Cinemático
B (Fixo)
nB /Aa )(
r BCα
r
C /Ba )(
r
x
y
B
iˆ
jˆ
C (Livre)
nB /A )(
C a
r
BCr
r
23.75º70º
nC /Ba )(
A
2º E ã d l ã
tC /Ba )( 
r
2º - Equação da aceleração
nBCtBCBC aaaa )()(
rrrr ++=
Dados apresentados na forma vectorial
][m/s ˆ8.17808ˆ 7.6466 2jiaB −−=r
BCBCBCBCBC rwraa /
2
/
rrrrr −×+= α ][rad/s 
ˆ 2kBCBC αα −=r
[m] jˆ 0.0705 - iˆ 16.0r BC =r
[ d/ ]kˆ280r
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[rad/s] k2.80BC −=w
Órgãos de Máquinas I
y
B
jˆ
B (Fixo)
BCαr
rnC /Ba )( 
r
nB /Aa )(
r
Dados apresentados na forma vectorial
][m/s ˆ8.17808ˆ 7.6466 2jiaB −−=r
x
B
iˆ
C (Livre)
C a
r
BCr
23.75º70ºA ][rad/s 
ˆ 2kBCBC αα −=r
[m] jˆ 0.0705 - iˆ 16.0r BC =r
BCBCBCBCBC rwraa /
2
/
rrrrr −×+= α
tC /Ba )( 
r
[rad/s] kˆ 2.80BC −=wr
)jˆ 0.0705 - iˆ 16.0(*2.80 
007050160
00
ˆˆˆ
 )ˆ8.17808ˆ 7.6466( 2−−+−−=
.-.
kji
jia BCC αr
007050160 ..
j i j i j i a BCBCC ˆ46.453ˆ1029)ˆ16.0ˆ0705.0()ˆ8.17808ˆ7.6466( +−−−+−−= ααr
 m/s a 2C 5.151−={ 7.4957 0705.0 −−=− BCCa α17355.34 BC −−= α16.00 2BC rad/s 1 9.08470−=α{iˆjˆ
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MECANISMO “MOVIMENTO PLANO GERAL”
O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado de pistão biela e manivela de um motorO mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado de pistão, biela e manivela de um motor
a combustão. Para a manivela de raio R e biela de comprimento L, no instante mostrado θ e o a
manivela AB possui uma velocidade angular w no sentido anti-horário, determine:
a) A velocidade angular da biela BC;a) A velocidade angular da biela BC;
b) A velocidade do pistão P.
LBC=175 mm
L
R
70º
Фθ
C
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SOLUÇÃO COMPUTACIONAL DO PROBLEMA
Velocidade angular da biela BC 
Velocidade do pistão C
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ANÁLISE COMPUTACIONAL DO MODELO PROPOSTO
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ANÁLISE COMPUTACIONAL DO MODELO PROPOSTO
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COMENTÁRIOS SOBRE O ESTUDO REALIZADO
Para um perfeito funcionamento do sistema é importante manter a velocidade 
l d t ã d i ( t A)angular de rotação do eixo (ponto A).
Não se deve permitir desalinhamento do eixo, pois o mesmo pode ocasionar
vibrações que interferem directamente na velocidade angular do sistema e na
velocidade linear do pistão, gerando anomalias nas curvas apresentadas.
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