Lista#04Limites

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 04 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
x→ 1 x→ a 
x→ 0 x→ 0 
x→ a x→0 
x→ 0 x→ 0 
x→ 0 x→ 0 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS # 04 
LIMITES 
1) Calcule os seguintes limites: 
a) lim 
x
)ax(sen
 R = a b) lim 
bx
)ax(tg
a e b ≠0 R = 
b
a
 
 c) lim 
2x
)xcos(1
 R = 
2
1
 d) lim 
)x(sen
)x(sen)x(tg
2

 R = 0 
 e) lim 
)x(sen
)xcos(1 
 R = 0 f) lim 
ax
)a(sen)x(sen


 R = cos(a) 
 g) lim 
)x3(senx
)x2(senx


 R = 
4
1

 h) lim 
x
)x1ln( 
 R = 

 
 i) lim 










 3x1
3
x1
1 R = – 1 j) lim 
ax
)acos()xcos(


 R = – sen(a) 
 
2) Explique por que as funções a seguir são descontínuas para o ponto dado xo. 
 a) f(x) = ln│x – 2│ para xo = 2 b) f(x) = 






0xse,x
0xse,e
2
x para xo = 0 
 c) f(x) = 








1xse,2
1xse,
1x
1
 para xo = 1 d) f(x) = 





1xse,x4
1xse,x1 2 para xo = 1 
 e) f(x) = 









3xse,5
3xse,
3x
12xx2
 para xo = – 3 f) f(x) = 









1xse,1
1xse,
1x
xx
2
2
 para xo = 1 
 3) Esboce o gráfico para as funções abaixo: 
 a) f(x) = 
5x
6x2


 b) f(x) = 
1x
x5

 
 c) f(x) = 
4x
x2
2 
 d) f(x) = 
1x
x1


 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 04 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
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RESOLUÇAO DA LISTA DE LIMITES # 04 
 
1) a) 
0
0
x
)ax(sen
lim
0x







 → Indeterminação → Usaremos o Limite Fundamental 
 







 x
)ax(sen
a
a
lim
0x
 = 






 ax
)ax(sen
alim
0x
 = 












 ax
)ax(sen
lima
0x
 = a 
 
 b) 


















 bx
)axcos(
)ax(sen
lim
bx
)ax(tg
lim
0x0x
 = 


















 bx
1
)axcos(
)ax(sen
lim
0x
 
 
























 )axcos(b
1
lim
)x(
)ax(sen
lim
0x0x
= 

























 )axcos(
1
b
1
lim
)x(
)ax(sen
a
a
lim
0x0x
 
 a
























 )axcos(
1
lim
b
1
)ax(
)ax(sen
lim
0x0x
 = 
b
a
)0cos(
1
b
1
a 
 
 
c) 





 

2
0x x
)xcos(1
lim
 = 










 )xcos(1
)xcos(1
x
)xcos(1
lim
2
0x
 =  
 










 )xcos(1
1
x
)x(cos1
lim
2
2
0x
 
 




























 )xcos(1
1
lim
x
)x(sen
lim
0x
2
2
0x
 = 

























 )xcos(1
1
lim
x
)x(sen
lim
0x
2
0x
 = 
2
1
 
d) 







 
 )x(sen
)x(sen)x(tg
lim
2
0x
 = 













 )x(sen
)x(sen
)xcos(
)x(sen
lim
2
0x
 = 



















 )x(sen
1
)xcos(
1
)]x(sen[
lim
2
0x
 
 








 )x(sen
1
)xcos(
)xcos(1
lim
0x
 = 










 )xcos(1
)xcos(1
)x(sen
1
)xcos(
)xcos(1
lim
0x 











 ))xcos(1(
1
)x(sen
1
)xcos(
)x(cos1
lim
2
0x
 = 










 ))xcos(1(
1
)x(sen
1
)xcos(
)x(sen
lim
2
0x
 
 








 ))xcos(1(
1
)xcos(
)x(sen
lim
0x
 = 








 ))xcos(1(
1
)x(tglim
0x
 = 
2
0
)0cos(1
)0(tg


 = 0 
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3/7 
 
e) 





 
 )x(sen
)xcos(1
lim
0x
 = 










 )xcos(1
)xcos(1
)x(sen
)xcos(1
lim
0x
 = 











 )xcos(1
1
)x(sen
)x(cos1
lim
2
0x
 










 )xcos(1
1
)x(sen
)x(sen
lim
2
0x
 = 
  







 )xcos(1
1
)x(senlim
0x
 = 0
2
1

 = 0 
f) 








 ax
)a(sen)x(sen
lim
ax
 = 
























 











 
 ax
2
ax
cos
2
ax
sen2
lim
ax
 
 






























 
 ax
2
ax
sen2
lim
ax 















 

 2
ax
coslim
ax
 = 






























 

2
)ax(2
2
ax
sen2
lim
ax
cos(a) 































 

2
)ax(
2
ax
sen
lim
ax
cos(a) = cos(a) → (Limite Fundamental) 
g) 








 )x3(senx
)x2(senx
lim
0x
 = 



























x
)x3(sen
1x
x
)x2(sen
1x
lim
0x
 = 



























x
)x3(sen
1
x
)x2(sen
1
lim
0x
 
 Utilizando as propriedades de limites e o limite fundamental 
 






































x
)x3(sen
lim)1(lim
x
)x2(sen
lim)1(lim
0x0x
0x0x
 = 






































x
)x3(sen
3
3
lim)1(lim
x
)x2(sen
2
2
lim)1(lim
0x0x
0x0x
 
 




























x3
)x3(sen
lim3)1(
x2
)x2(sen
lim2)1(
0x
0x
 = 
4
1
31
21



 
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CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 04 
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4/7h) 





 
 x
)wx1ln(
lim
0x
 = 








)wx1ln(
x
l
lim
0x
 = 












x
1
0x
)wx1ln(lim
 
 Fazendo 
t
1
xt
x
1

, quando x → 0 então t → ∞ 
 Reescrevendo em função da variável t → 
















t
t t
w
1lnlim
 
 Fazendo 


w
t
t
w
, quando t → ∞ então ө → 0 
 Reescrevendo em função da variável ө temos: 
  
w
0
1
1limln













 = ln
 we
 = w[ln(e)] = w 
 
i) 











3
1x x1
3
x1
1
lim
 = 











3
2
1x x1
2xx
lim
 = 
  







 1xx)x1(
)2x()1x(
lim
2
1x
 
 
  







 1xx)1x(
)2x()1x(
lim
2
1x
 = 
  








 1xx
)2x(
lim
2
1x
 = 
1
111
21
2




 
j) 








 ax
)acos()xcos(
lim
ax
 → fazendo a substituição do cos(x) – cos(a) 
























 











 

 ax
2
ax
sen
2
ax
sen2
lim
ax
 = 
























 











 


2
)ax(
2
2
ax
sen
2
ax
sen2
lim
ax
 





























 





 

















 


2
ax
2
ax
sen
lim
2
ax
senlim
axax
 = 
)1(
2
aa
sen 










 

 = – sen(a) 
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CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 04 
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5/7 
Logo, 
 )x(flim
3x 
 = – 7 
Logo, 
 
2
1
)x(flim
1x


 
 – – + + + + + 
 3 
x 
x 
x 
 – – – – + + + 
 5 
 – – – – + + + 
 3 5 
logo, a reta x = 5 é assíntota vertical 
 
2) a) A função não está definida para x = 2. Temos Df = R – {2} 
 b) O limite de f(x) quando x tende a zero não existe. Limites laterais diferentes. 
 c) O limite de f(x) quando x tende a um não existe. Limites laterais diferentes. 
 d) O limite de f(x) quando x tende a um não existe. Limites laterais diferentes. 
 e) 
  7)x(flim
3x


 
 
  7)x(flim
3x


 
 f(–3) = – 5 → logo 
 )x(flim
3x 
 ≠ f(–3) → NÃO É CONTÍNUA 
 f) 
 
2
1
)x(flim
1x


 
 
 
2
1
)x(flim
1x


 
 f(1) = 1 → logo 
 )x(flim
1x
 ≠ f( =1) → NÃO É CONTÍNUA 
 
3) a) Assíntota Horizontal → 
 )x(flim
x 
 = 2 → logo, a reta y = 2 é assíntota horizontal 
 Assíntota Vertical → prováveis candidatas → raízes do denominador 
 x – 5 = 0 → x = 5 → 
 
0
4
)x(flim
5x


 → logo, a raiz x = 5 é assíntota vertical 
 Estudo do sinal para a função f(x) 
 Numerador → 
 Denominador → 
 Função f(x) → 
 
  

)x(flim
5x
 
 
  

)x(flim
5x
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 04 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
6/7 
x 
y 
x = 5 
y = 2 
3 
5
6
 
 – – + + + + + 
 0 
x 
x 
x 
 – – – – + + + 
 1 
 – – – – + + + 
 0 1 
logo, a reta x = 1 é assíntota vertical 
y = 5 
x = 1 
y 
x 
D = R – {1} 
 
 
 
 
 
Im = R – {5} 
 
 
 
 
 
 
 
Intersecções com os Eixos Cartesianos 
 I) 
OX


 → 
)0,3(P3x0
5x
6x2
1


 
II) 
OY


 → 
 
5
6,0P
5
6y
51
612
y 2



 
D = R – {5} 
Im = R – {2} 
 
b) Assíntota Horizontal → 
  5)x(flim
x


 → logo, a reta y = 5 é assíntota horizontal 
 Assíntota Vertical → prováveis candidatas → raízes do denominador 
 x – 1 = 0 → x = 1 → 
 
0
5
)x(flim
5x


 → logo, a raiz x = 1 é assíntota vertical 
 Estudo do sinal para a função f(x) 
 Numerador → 
 Denominador → 
 Função f(x) → 
 
  

)x(flim
1x
 
 
  

)x(flim
1x
 
Intersecções com os Eixos Cartesianos 
I) 
OX


 → 
)0,0(P0x0
1x
x2
0

 
II) 
OY


 → 
 0,0P0y
10
02
y 0



 
 
c) 









 4x
x2
lim
2x









 2x x
x2
lim 








 x
x2
lim
x






 x
x2
lim
x
2)2(lim
x


 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 04 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
7/7 
y = 2 
y = – 2 
y 
x 
+ + + + – – – 
 1 
 3 
x 
x 
x 
 – – + + + + + 
 –1 
 – – + + + + + 
 –1 1 
logo, a reta x = –1 é assíntota vertical 
x = – 1 
y = – 1 
1 
1 









 4x
x2
lim
2x









 2x x
x2
lim 








 x
x2
lim
x






 x
x2
lim
x
2)2(lim
x


 
Logo, as retas y = 2 e y = – 2 são assíntotas horizontais 
Não existe assíntota vertical, o denominador não possui raízes. 
 04x2
 não existe raiz para o denominador, logo, não existe assíntota vertical 
Intersecções com os Eixos Cartesianos 
I) 
OX


 → 
)0,0(P0x0
4x
x2
0
2


 
II) 
OY


 → 
 0,0P0y
40
02
y 0
2




 
D = R Im = ] – 2, 2[ 
 
d) Assíntota Horizontal → 
 )x(flim
x 
 = 2 → logo, a reta y = 2 é assíntota horizontal 
 Assíntota Vertical → prováveis candidatas → raízes do denominador 
 x – 5 = 0 → x = 5 → 
 
0
4
)x(flim
5x


 → logo, a raiz x = 5 é assíntota vertical 
 Estudo do sinal para a função f(x) 
 Numerador →Denominador → 
 Função f(x) → 
 
  

)x(flim
1x
 
 
  

)x(flim
1x
 
 D = R – {– 1} Im = R – {– 1} 
 
OX


 → 
)0,1(P1x0
1x
x1
1


 e 
OY


→ 
 1,0P1y
10
01
y 2


