Lei de coulomb e intensidade do campo elétrico

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LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DO CAMPO ELE´TRICO
1. Revisa˜o - coordenadas cilı´ndricas e esfe´ricas
• Coordenadas cilı´ndricas: podemos definir os vetores unita´rios (ver-
sores) nas direc¸o˜es ρ, φ e z como aˆρ, aˆφ e aˆz; os versores devem
sempre apontar no sentido crescente dos valores das coordenadas.
1
As varia´veis dos sistemas de coordenadas retangulares e cilı´ndricas
podem ser facilmente relacionadas,
x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (1)
As varia´veis cilı´ndricas tambe´m podem ser expressas em termos de
x, y e z,
ρ =
√
x2+ y2 (ρ ≥ 0), tanφ = y
x
. (2)
• Coordenadas esfe´ricas: podemos definir os vetores unita´rios em qual-
quer ponto - aˆr na direc¸a˜o radial r, aˆφ no sentido de crescimento do
aˆngulo φ, e aˆθ no sentido de crescimento do aˆngulo θ (os versores
devem sempre apontar no sentido crescente dos valores das coorde-
nadas).
A passagem do sistema de coordenadas esfe´ricas para cartesianas
pode ser feita da seguinte maneira:
x = r sin θ cosφ, y = r sin θ sinφ, z = r cos θ. (3)
A transformac¸a˜o no sentido inverso e´ realizada com a ajuda das relac¸o˜es
r =
√
x2+ y2+ z2 (r ≥ 0), (4)
cos θ =
z√
x2+ y2+ z2
(0◦ ≤ θ ≤ 180◦), (5)
tanφ =
y
x
. (6)
2. Campos ele´tricos de distribuic¸o˜es contı´nuas de carga
• Vamos agora considerar distribuic¸o˜es contı´nuas de carga ao longo de
linhas, superfı´cies e volumes. O objetivo e´ calcular o campo ele´trico
gerado por tais distribuic¸o˜es.
• Densidades:
– ρL: densidade linear de carga (C/m);
– ρS: densidade superficial de carga (C/m2);
– ρV : densidade volume´trica de carga (C/m3).
• A intensidade de campo ele´trico devido a cada uma dessas distribui-
c¸o˜es pode ser obtida a partir da soma das contribuic¸o˜es elementares
de campo devido a cada um dos numerosos ”elementos” de carga que
constituem a distribuic¸a˜o. Lembrando que o campo gerado por uma
carga pontual pode ser escrito como
E =
Q
4piε0R2
aˆR. (7)
• Linha de cargas:
ρL =
dQ
dl
→ dQ = ρLdl→ Q =
∫
L
ρLdl, (8)
logo
E =
∫
L
dQ
4piε0R2
aˆR =
∫
L
ρLdl
4piε0R2
aˆR. (9)
• Superfı´cie de cargas:
ρS =
dQ
dS
→ dQ = ρSdS → Q =
∫
S
ρSdS, (10)
logo
E =
∫
S
dQ
4piε0R2
aˆR =
∫
S
ρSdS
4piε0R2
aˆR. (11)
• Volume de cargas:
ρV =
dQ
dV
→ dQ = ρV dV → Q =
∫
V
ρV dV, (12)
logo
E =
∫
V
dQ
4piε0R2
aˆR =
∫
V
ρV dV
4piε0R2
aˆR. (13)
Exemplo 1: Ca´lculo do campo ele´trico gerado por uma linha de carga−
considere uma linha de carga com densidade uniforme ρL localizada
ao longo do eixo z e estendendo-se de A ate´ B (figura abaixo). Uti-
lizando a simetria do problema, podemos tomar dl = dz′, logo: dQ =
ρLdz
′.
Para calcular o campo ele´trico gerado pela linha em um ponto P (x, y, z)
qualquer atrave´s da equac¸a˜o (9) precisamos tambe´m identificar o ve-
tor R e seu mo´dulo, ale´m do vetor aˆR. Identificando o vetor posic¸a˜o
de um elemento qualquer como (x′, y′, z′) = (0,0, z′), podemos es-
crever
R = (x, y, z)− (0,0, z′) = xaˆx+ yaˆy+ (z − z′)aˆz (14)
ou
R = ρaˆρ+ (z − z′)aˆz. (15)
Logo,
R2 = |R|2 =
[√
ρ2+ (z − z′)2
]2
= ρ2+ (z − z′)2 (16)
e
R =
√
ρ2+ (z − z′)2. (17)
Temos enta˜o
E =
∫
L
ρLdl
4piε0R2
aˆR =
ρL
4piε0
∫
L
dz′
R2
aˆR =
ρL
4piε0
∫
L
dz′
R3
R (18)
E =
ρL
4piε0
∫
L
ρaˆρ+ (z − z′)aˆz[
ρ2+ (z − z′)2
]3/2dz′. (19)
Pela figura podemos definir
sinα =
(z − z′)
R
=
(z − z′)
[ρ2+ (z − z′)2]1/2, (20)
cosα =
ρ
R
=
ρ
[ρ2+ (z − z′)2]1/2, (21)
e
tanα =
sinα
cosα
=
(z − z′)
ρ
→ z − z′ = ρ tanα (22)
z′ = z − ρ tanα→ dz
′
dα
= −ρ sec2α→ dz′ = −ρ sec2αdα. (23)
Tambe´m temos, da equac¸a˜o (21),
R =
ρ
cosα
= ρ secα. (24)
Com o auxı´lio das equac¸o˜es (17) e (20)-(24), a equac¸a˜o (19) torna-se
E =
ρL
4piε0
∫
L
ρaˆρ+ (z − z′)aˆz[
ρ2+ (z − z′)2
]1/2 dz′[ρ2+ (z − z′)2] =
ρL
4piε0
∫
L
(cosαaˆρ+ sinαaˆz)
(−ρ sec2αdα)
R2
=
−ρL
4piε0
∫
L
(cosαaˆρ+ sinαaˆz)
(ρ sec2αdα)
ρ2 sec2α
=
−ρL
4piε0ρ
∫ α2
α1
(cosαaˆρ+ sinαaˆz) dα. (25)
Logo, para uma linha finita de carga,
E =
−ρL
4piε0ρ
(sinαaˆρ − cosαaˆz)α2α1 =
ρL
4piε0ρ
(− sinαaˆρ+ cosαaˆz)α2α1
E =
ρL
4piε0ρ
[(sinα1 − sinα2) aˆρ+ (cosα2 − cosα1) aˆz] . (26)
Para uma linha infinita de carga, α1 → pi/2 e α2 → −pi/2, logo
E =
ρL
4piε0ρ
[(sinpi/2+ sinpi/2) aˆρ+ (cospi/2− cospi/2) aˆz] ,
E =
ρL
2piε0ρ
aˆρ, (27)
i.e., o campo ele´rico gerado por uma linha infinita tem apenas a com-
ponente na direc¸a˜o de aˆρ∗.
∗Se a linha na˜o estiver sobre o eixo z, ρ deve ser entendida como a distaˆncia, tomada
perpendicularmente a` linha, da distribuic¸a˜o de carga ate´ o ponto de interesse e aˆρ deve
ser entendido como o vetor unita´rio ao longo dessa direc¸a˜o perpendicular.
Exemplo 2: Campo ele´trico gerado por uma laˆmina infinita de carga−
considere uma laˆmina infinita de carga no plano xy, a qual possui uma
densidade uniforme de carga ρS. A carga associada a um elemento
de a´rea dS e´ dada por dQ = ρSdS, e portanto
Q =
∫
S
ρSdS. (28)
A contribuic¸a˜o do elemento de a´rea 1 para o campo ele´trico E no
ponto P (0,0, h) e´ dada por
dE =
dQ
4piε0R2
aˆR =
ρSdS
4piε0R2
aˆR. (29)
Verificamos que
R = −(xaˆx+yaˆy)+haˆz = −ρaˆρ+haˆz, R =
√
ρ2+ h2, (30)
e
dQ = ρSdS = ρSdρ(ρdφ) = ρSρdρdφ. (31)
Portanto, dE torna-se
dE =
ρSdS
4piε0R3
R =
ρSρdρdφ (−ρaˆρ+ haˆz)
4piε0
(
ρ2+ h2
)3/2 . (32)
Devido a` simetria da distribuic¸a˜o de carga, verificamos que para cada
elemento 1 existe um elemento 2 cuja contribuic¸a˜o ao longo de aˆρ
se cancela com a contribuic¸a˜o do elemento 1. Quando consideramos
toda a distribuic¸a˜o de carga, as contribuic¸o˜es na direc¸a˜o aˆρ se can-
celam e portanto Eρ = 0, restando apenas a componente de E na
direc¸a˜o z. Logo,
E =
∫
S
dEz =
∫
S
ρSρdρdφ (haˆz)
4piε0
(
ρ2+ h2
)3/2 = ρSh4piε0
∫
S
ρdρdφ(
ρ2+ h2
)3/2aˆz.
(33)
Considerando os limites de integrac¸a˜o, φ varia entre 0 e 2pi, enquanto
ρ vai de 0 a infinito:
E =
ρSh
4piε0
∫ 2pi
0
dφ
∫ ∞
0
ρdρ(
ρ2+ h2
)3/2aˆz =
2piρSh
4piε0
∫ ∞
0
ρdρ(
ρ2+ h2
)3/2aˆz = ρSh2ε0
∫ ∞
0
ρdρ(
ρ2+ h2
)3/2aˆz. (34)
Fazendo u = ρ2 + h2, temos du = 2ρdρ, com u variando de h2
(quando ρ = 0) a infinito (quando ρ→∞). Enta˜o,
E =
ρSh
2ε0
∫ ∞
h2
du
2u3/2
aˆz =
ρSh
4ε0
aˆz
∫ ∞
h2
u−3/2du = ρSh
4ε0
u−1/2
(−1/2)|
∞
h2
aˆz =
−ρSh
2ε0
1
u1/2
|∞
h2
aˆz = −ρSh
2ε0
aˆz
[
1
∞ −
1
(h2)1/2
]
= −ρSh
2ε0
aˆz
(
0− 1
h
)
,
(35)
logo,
E =
ρS
2ε0
aˆz. (36)
Portanto, o campo ele´trico gerado pela laˆmina e´ normal a mesma e
independente da distaˆncia entre a laˆmina e o ponto onde estamos
calculando o campo.
Em geral, para uma laˆmina infinita de carga, temos
E =
ρS
2ε0
aˆn, (37)
onde aˆn e´ um vetor unita´rio normal a` laˆmina.
Uma aplicac¸a˜o da expressa˜o acima e´ o ca´lculo do campo ele´trico en-
tre as placas de uma capacitor de placas paralelas. Na regia˜o entre
as placas (carregadas com cargas iguais e opostas) o campo e´ dado
por (figura abaixo)
E = −2 ρS
2ε0
aˆz = −ρS
ε0
aˆz. (38)
Exemplo 3: Uma laˆmina finita 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, sobre o plano
z = 0, tem uma densidade de carga dada por ρS = xy(x2+ y2+
25)3/2 nC/m2. Determine
(a) a carga total na laˆmina;
(b) o campo ele´trico em (0,0,5);
(c) a forc¸a experimentada por uma carga de - 1 mC localizada em
(0,0,5).
(a) A carga total na laˆmina e´ dada por
Q =
∫
ρSdS =
∫ 1
0
∫ 1
0
xy(x2+ y2+25)3/2dxdy, (39)
onde Q esta´ em nC. Podemos integrar primeiramente em x e depois
em y. Tomando u = x2+ y2+25, temos du = 2xdx e
Q =
∫ 10
∫ 1
0
y(x2+y2+25)3/2xdxdy =
∫ 1
0
y
[∫ y2+26
y2+25
u3/2
2
du
]
dy =
1
2
∫ 1
0
y
(u5/2
5/2
)y2+26
y2+25
 dy = (40)
1
5
∫ 1
0
y
[
(y2+26)5/2 − (y2+25)5/2
]
dy =
1
5
[∫ 1
0
y(y2+26)5/2dy −
∫ 1
0
y(y2+25)5/2dy
]
. (41)
Fazendo substituic¸a˜o de varia´veis em cada uma das integrais acima
(por exemplo, v = y2+26, dv = 2ydy e w = y2+25, dw = 2ydy),
teremos
1
10
[
(y2+26)7/2
(7/2)
− (y
2+25)7/2
(7/2)
]1
0
=
2
70
[
(27)7/2 − (26)7/2 − (26)7/2+ (25)7/2
]
=
1
35
[
(27)7/2 − 2(26)7/2+ (25)7/2
]
=
1
35
(102,3− 179,2+ 78,1) 103 = 34,3, (42)
i.e.,Q = 34,3 nC.
(b) O campo ele´trico gerado pela laˆmina sera´
E =
∫
S
dQ
4piε0R2
aˆR =
∫
S
ρSdS
4piε0R3
R, (43)
onde R = r− r′ = (0,0,5)− (x, y,0) = (−x,−y,5). Portanto,
R =
√
x2+ y2+25, (44)
e
E = 10−9
∫
S
xy(x2+ y2+25)3/2(−xaˆx − yaˆy+5aˆz)dxdy
4piε0(x2+ y2+25)3/2
=
10−9(9× 109)
∫
S
xy(−xaˆx − yaˆy+5aˆz)dxdy =
9
(
−
∫
S
x2yaˆxdxdy −
∫
S
xy2aˆydxdy+5
∫
S
xyaˆzdxdy
)
=
9
(
−
∫ 1
0
y
∫ 1
0
x2dxdyaˆx −
∫ 1
0
y2
∫ 1
0
xdxdyaˆy+5
∫ 1
0
y
∫ 1
0
xdxdyaˆz
)
=
9
(
−1
3
∫ 1
0
ydyaˆx − 1
2
∫ 1
0
y2dyaˆy+
5
2
∫ 1
0
ydyaˆz
)
=
9
(
−1
6
aˆx − 1
6
aˆy+
5
4
aˆz
)
= −1,5aˆx − 1,5aˆy+11,25aˆzV/m, (45)
ou E = (−1,5;−1,5; 11,25) V/m.
(c) Se uma carga com q = −10−3 C for colocada em (0,0,5), a
forc¸a eletrosta´tica sobre ela sera´
F = qE = −10−3(−1,5;−1,5; 11,25) = (−1,5;−1,5; 11,25)mN.
(46)
Exemplo 4: Os planos x = 2 e y = −3 esta˜o carregados com 10
nC/m2 e 15 nC/m2, respectivamente. DeterminarE em (1,1,-1) devido
a`s duas distribuic¸o˜es de carga.
O campo E no ponto (1,1,-1) nada mais e´ que a soma vetorial dos
campos gerados por cada disribuic¸a˜o de carga nesse ponto. Con-
siderando E1 o campo gerado pelo plano infinito x = 2 (−aˆx) e E2
o campo gerado pelo plano infinito y = −3 (aˆy) no ponto (1,1,-1),
temos
E = E1+ E2, (47)
onde
E1 = −
ρS
2ε0
aˆx = − 10× 10
−9
2× 8,854× 10−12aˆx = −565aˆx, (48)
E2 =
ρS
2ε0
aˆy =
15× 10−9
2× 8,854× 10−12aˆy = 847aˆy, (49)
logo
E = −565aˆx+847aˆyV/m. (50)
Figuras:
• http://slideplayer.com/slide/5286049/
• https://www.wyzant.com/resources/lessons/science/physics/magnetism
Refereˆncias:
• SHADIKU, M. N. O., Elementos de Eletromagnetismo. Editora Bookman, 5a edic¸a˜o, 2012.