Caderno de Atividades: Geometria Analítica e Álgebra Linear

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1
Caderno de Atividades:
GEOMETRIA ANALÍTICA
E ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Carlos Vidigal
Profª. Érika Vidigal
2
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Carga Horária Semestral: 80
Carga Horária Semanal: 4
FINALIDADE:
Aplicar e desenvolver o raciocínio analítico na resolução de problemas da Geometria Analítica;
Conhecer a Geometria Analítica no espaço através dos vetores no R2 e R3 e estabelecer as
relações com a Geometria Analítica no plano; Fortalecer o relacionamento da Geometria
Analítica com as outras disciplinas afins; e adquirir uma nova visão da matemática através do
estudo dos vetores e resolução de exercícios.
EMENTA:
Coordenadas no plano e no espaço: vetores; produto interno e ângulos; distância; desigualdade
triangular; produto vetorial; produto misto. Cálculo de área e volume através de produto vetorial
e misto.
Retas e planos: equações cartesianas e paramétricas; posições relativas; distância e ângulos.
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.
AVALIAÇÃO
1ª. Avaliação Individual – 20 pontos
2ª. Avaliação Individual – 20 pontos
Demais Avaliações – 20 pontos
Avaliação Continuada – 40 pontos
Bibliografia Básica
[1] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: Pearson
Makron Books, 2008.
[2] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria analítica. 2. ed. São Paulo:
Pearson Makron Books, 2006.
[3] WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books,
2008.
Bibliografia Complementar
- BOULOS, P.; CAMARGO, I. Introdução à geometria analítica no espaço. São Paulo:
Makron Books do Brasil, 1997.
- CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3. ed.
São Paulo: Prentice Hall, 2008
- CAROLI, Alésio de; CALLIOLI, Carlos A.; FEITOSA, Miguel O. Matrizes vetores
geometria analítica: teoria e exercícios. São Paulo: Nobel, 1984.
- NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
- POOLE, David. Álgebra linear. São Paulo: Thomson, 2004.
Este símbolo sugere uma
Leitura Obrigatória do livro
texto.
Este símbolo indica uma série de
Exercícios Sugeridos do livro
texto.
3
MATRIZES
1) Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j.
R.:








78
45
12
2) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que 22 jiaij 
R.:








181310
1385
1052
3) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por  





jise
jise
a
ji
ij
,0
,1
R.:











011
101
110
4) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por 


 jiseji
jiseji
aij
,
,
R.:








2
1
4
3
3
2
1
2
[1] pág 369 a 392
4
5) Dê um exemplo de:
a) Matriz Quadrada
b) Matriz identidade
c) Matriz Nula
d) Matriz Linha
e) Matriz Coluna
f) Matriz Triangular
g) Matriz Diagonal
5
1) Determine x e y, sabendo que 








16
7
3
32
yx
yx
R.: x = 5 e y = -1
2) Determine a, b, x e y, sabendo que 


 





70
13
2
2
bayx
bayx
R.: x = 1 , y = 2 , a = 2 e b = -5
3) Dada as matrizes







 










z
xBeyA
84
13
560
215
36
420
, calcule x, y e z para que B = At.
R.: x = 2 , y = 8 e z = 2
6
Operações com matrizes
1) Dada a matriz











210
432
011
A , obtenha a matriz X tal que tAAX 
R.:










450
561
012
A
2) Sendo A = (aij)1x3 tal que jiaij  2 e B = (bij)1x3 tal que 1 jibij , calcule A+B.
R.:  222
3) Ache m, n, p e q, de modo que: 








51
87
3
2
qq
nn
pp
mm
R.: 12,2,5  qepnm
7
4) Para 




450
123
A 




113
024
B , resolva 02  BAX .
R.: 




9113
262
Multiplicação de Matrizes
1) Efetue:
a) 







2
3
41
35
R.: 


11
21
b)  









3
0
2
531
R.: [17]
8
c) 

 


 30
12
41
25
R.: 


 132
110
2) Dada a matriz







 

100
001
012
A , calcule A2.
R.:










100
012
023
3) Sabendo que 




11
02
10
21
NeM , calcule MN-NM.
R.: 




20
22
9
Questões teóricas:
1) Se 0BA  , então podemos afirmar que 0A  ou 0B  ? Verifique sua resposta com as
matrizes 



11
11
A e 



 11
11
B .
2) Suponha que 0A  e CABA  , então podemos afirmar que B =C ? Verifique sua resposta
usando as matrizes










041
011
021
A ,









222
111
321
B e









111
111
321
C .
3) Podemos dizer que a seguinte igualdade   222 2 BBAABA  é verdadeira?
4) Sendo A = 


43
21 e B = 


21
02 , mostre que   ttt ABBA ..  .
10
Aplicações
1) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos jogos Pan-americanos do Rio de
Janeiro em 2007.
Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos aij
representam o número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao
conjunto {1, 2, 3}.
Para fazer uma outra classificação desses países, são atribuídos às medalhas o seguintes
valores:
- ouro: 3 pontos
- prata: 2 pontos
- bronze: 1 ponto
Esses valores compões a matriz









1
2
3
V
Determine, a partir do cálculo do produto AV, o número de pontos totais obtidos pelos três
países separadamente.
11
2) (UFMG) Milho, soja e feijao foram plantados nas regiões P e Q com a ajuda dos
fertilizantes x, y e z. A matriz A indica a área plantada de cada cultura, em hectares por
região:
A matriz B indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura:
a) Calcule a matriz C = AB.
b) Explique o significado de C23, o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C.
12
Exercícios Complementares
1. Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por 


 jiseji
jiseji
aij
,
, .
2. Construa a matriz quadrada A de ordem 3, definida por: 
 


jij
ji
aij
se1i
se2
2
ji
.
3. Sendo A = (aij)1x3 tal que jiaij  2 e B = (bij)1x3 tal que 1 jibij , calcule A+B .
4. Sabendo que 




11
02
10
21
NeM , calcule MN - NM .
5. Dada a matriz







 

100
001
012
A , calcule A2.
6. Sendo A = 


43
21 e B = 


21
02 , mostre que   TTT ABBA ..  .
7. Sendo 









534
201
321
M , 








100
010
001
N e 











023
102
110
P , calcule:
a) N – P + M
b) 2M – 3N – P
c) N – 2(M – P)
8. Dadas as matrizes 


a
a
A
0
0 e 


1
1
b
b
B , determine a e b, de modo que AB = I, em que I é a
matriz identidade.
9. Considere as seguintes matrizes:












45
100
734 xx
A ,







 

22
05
43
B , 




11
1
x
xx
C e









41
510
100
D .
Determine o valor de x para que se tenha: A + BC = D .
10. Sabendo que as matrizes abaixocomutam, 


2a
aa e 


33
30 , determine o valor de a.
11. Se A e B são matrizes tais que:









x
A 1
2
e









1
2
1
B , então para qual valor de x a matriz
B.AY t será
nula?
13
12. O produto M.N da matriz 








1
1
1
M pela matriz  111N ;
a) não se define.
b) É a matriz identidade de ordem 3
c) É uma matriz de uma linha e uma coluna.
d) É uma matriz quadrada de ordem 3.
e) Não é uma matriz quadrada.
13. Considere as matrizes: ijaA  , 4 x 7 onde jiaij  ijbB  , 7 x 9 onde ibij  ijcC  , tal que C = AB.
O elemento 63C :
a) é -112.
b) é -18.
c) é -9.
d) é 112.
e) não existe.
14. Dadas as matrizes 



 31
02
A e 


 
13
2
12B , então a matriz -2AB é igual a:



 
714
28 b) 


 
714
28 c) 





714
28 d) 



714
28 e) 





714
28
15. A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p. A afirmação falsa é:
a) A + B existe se, e somente se, n = p.
b) tAA  implica m = n
c) A.B existe se, e somente se, n = p
d) tB.A existe se, e somente se, n = p.
e) B.At sempre existe.
16. Efetue:
a) 







2
3
41
35 b)  









3
0
2
531 c) 

 


 30
12
41
25
17. Dada a matriz











210
432
011
A , obtenha a matriz X tal que tAAX  .
14
18. Numa fábrica de manipulação, para fazer dois tipos de medicamentos (I e II), o farmacêutico
precisa das substâncias A, B e C, expressa na tabela abaixo, em gramas:
As substâncias podem ser compradas em dois fornecedores: F1 e F2. O custo por grama das
substâncias em cada fornecedor, está expresso em reais na tabela seguinte:
Após construir a matriz cujos elementos indicam o preço de custo dos medicamentos por
fornecedor, calcule os valores das despesas se a compra for toda feita no mesmo fornecedor.
19. Um proprietário de dois restaurantes deseja contabilizar o consumo dos seguintes produtos:
arroz, carne, cerveja e feijão. No 1° restaurante são consumidos, por semana, 25 kg de arroz, 50
kg de carne, 200 garrafas de cerveja e 20 kg de feijão. No 2° restaurante são consumidos,
semanalmente, 28 kg de arroz, 60 kg de carne, 150 garrafas de cerveja e 22 kg de feijão.
Existem dois fornecedores, cujos preços, em reais, destes itens são:
A partir destas informações:
a) Construa uma matriz 2x4 que descreva o consumo desses produtos pelo proprietário no 1° e
no 2° restaurantes, e uma matriz 4x2 que descreva os preços dos produtos nos dois
fornecedores;
b) Calcule o produto das duas matrizes anteriores, de modo que este represente o gasto semanal
de cada restaurante com cada fornecedor e determine o lucro semanal que o proprietário terá
comprando sempre no fornecedor mais barato, para os dois restaurantes.
15
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1)








2
1
4
3
3
2
1
2
2) 







789
3234
1681
3)  222 4) 




20
22
5)










100
012
023
7) a) 







65-7
3-11
232
b) 







78-11
5-3-0
551-
c) 







9-10-14-
612-
4-6-1-
8) a = 1 e b = 0 9) x = 2 10) a = 1 11) x = - 4 12) D 13) E 14) E 15)
C
16) a) 


11
21 b) [17] c) 


 132
110 17)










450
561
012
X 18) F1: R$ 790; F2: R$ 830 19) R$
164
Não se esqueça de ler e estudar o livro e fazer os exercícios:
[1] pág.: 393 (1 a 28)
pág.: 414 (1 a 6)
16
DETERMINANTES
1) Calcule:
2213
42
x
10:. R
2) Resolva a equação: 3 2 0
1 5
x
x
 
R.: 17
3
S     
3) Resolva a equação: 0
11
53 

x
x
R.:  4,2S  
[1] pág 423 a 461
17
4) Sendo 




12
31
20
31
BeA , calcule:
a) det(A+B).
R.: -6
b) det(A.B).
R.: -3
5) Calcule o determinante da matriz











341
025
132
A
R.: det A = 15
18
6) Resolva a equação 0
423
121
53
x
x
R.:
4
23x
7) Dada as matrizes













121
32
011
93
2
xBe
x
A , determine x para que det A = det B
R.:
2
13x
19
8) Resolva a equação 0
44
4 
x
xx
xxx
R.:  40,S 
9) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que: 






jise,ji
jise,ji
jise,
mij
0
. Ache o valor do determinante
de M.
R.: 48
20
10)Calcule o determinante da matriz P2 , em que P é a matriz











220
112
112
P
R.: 64
11)Calcule o determinante da matriz A utilizando a definição de Laplace:
a)











301
430
112
A
R.: det A = 11
21
b)











126
540
312
A
R.: det A = -74
Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha.
1231
1251
4134
1312


R.: -180
22
Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha.
6230
1251
3124
0132




R.: 13
Calcule os determinantes usando triangulação:
R.: 15











341
025
132
A
23
R.: 11
R.: -36











301
430
112
B
114
321
121











C










1231
1251
4134
1312
D
24
R.: -180
Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A = 


32
85
.
A-1 = 




52
83










1231
1251
4134
1312
D
25
Determine a inversa das matrizes:
a) 


01
43
A
R.: 




4
3
4
1
10
b) 











121
131
231
B
R.:











011
110
311
26










121
432
211
C












137
012
2511
1C









110
211
321
D
R.: Não existe 1D
27
Aplicação
Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial.
Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:
A B C D E F G H I J K L M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
N O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz 33
assim:









ADI
VA
XUP
, que usando a correspondência numérica fica: M =








149
2201
242116
Agora seja C uma matriz qualquer 33 inversível, por exemplo: C =











102
212
011
Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos












7133
22145
183722
CM
Transmitimos esta nova matriz CM  . Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da
multiplicação pela inversa de C, isto é, fazendo   1 CCM e posterior transcrição dos números
para letras. C é chamada de matriz chave para o código.
Com base nessas informações, supondo que você tenha recebido a matriz











17172
303510
333411
CM ,
traduza a mensagem.
28
Exercícios Complementares
1) Dadas as matrizes 



 12
01
A e 



31
20
B , calcule:
a) det (A²)
b) det (B²)
c) det (A² + B²)
R.: a) 1 b) 4 c) 18
2) Determine a solução da equação 0
2
83  x
x R.: {-2,2}
3) Sendo 



 31
21
A e 



12
10
B , dê o valor de:
a) det (A). det(B)
b) det (A.B)
R.: a) -10 b) -10
4) Seja a matriz A = (aij) de ordem 3, tal que:







jise1
ejise,
jise1,
ij Rkka . Calcule k, de modo que o
determinante da matriz A seja nulo. R.: k
= 0
5) (UFPR) Considere as matrizes









xzy
xyz
zyx
A e 





xzyz
zxyx
B e 



42
64
C . Sabendo que a
matriz B é igual à matriz C. Calcule o determinante da matriz A.
R.: 72
29
6) Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo









3
2
1
A ,  532B e












413
012
201
C .
R.: zero
7) Calcule o determinante da matriz A =












6230
1251
3124
0132
, utilizando o método da triangulação.
R.: 13
8) Calcule o determinante da matriz










0412
5632
3221
1111
, utilizando o Teorema de Laplace.:
R.: -3
9) (UEL – PR) A soma dos determinantes
ab
ba
ab
ba  é igual a zero
a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b.
b) se e somente se a = b.
c) se e somente se a = - b. R.: a)
d) se e somente se a = 0.
e) se e somente se a = b = 1.
10) (Mack – SP) A solução da equação 0
02/13/2
51
321


x
a) 1 b) 58 c) -58 d) 967 e) 2
R.: d)
11) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – i², o determinante da matriz A é:
a) 0 b) 11 c) 2 d) 3 e) 4
R.: d)
30
12)A matriz 



1
1
x
x , na qual x é um número real, é inversível se, e somente se:
a) 0x b) 1x c)
2
1x d)
2
1
e
2
1  xx e) 1e1  xx
R.: e)
[1] pág.: 461 (1 a 22)
pág.: 499 (1 a 20)
31
SISTEMAS LINEARES
1) Expresse matricialmente os sistemas:
a)




03
52
yx
yx
b)






253
0
12
cba
ca
cba
2) A expressão matricial de um sistema S é:






 
7
4
13
52
b
a
. . Determine as equações de S.
3) Resolver o sistema




25
72
yx
yx .
R.:   13  ,S
[1] pág 505 a 515
32
4) Resolver o sistema




2
5
yx
yx .
R.: S
5) Resolver o sistema






1
10543
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
R.:   012 ,,S 
6) Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.
a)




086
043
21
21
xx
xx
R.: SPI
b)






03
0422
0
zyx
zyx
zyx
R.: SPI
c)






04
03
02
yx
zyx
zyx
R.: SPD
33
7) Determine a e b para que o sistema




byx
ayx
44
126 seja indeterminado.
R.: a = 6 e b = 8
8) Calcule os valores de a para que o sistema




04
123
yax
yx seja compatível e determinado.
R.: 6a
9) Dê os valores de a para que o sistema






542
2
zyax
azyx
azy
seja compatível e determinado.
R.: 1e4  aa/Ra
34
10) Dê o valor de a para que o sistema






054
02
02
azyx
azyx
yax
seja impossível.
R.: 1ou4  aa
11)Determine o valor de k para que o sistema






kxy
zx
yz
332
224
143
seja indeterminado.
R.: k = 5
12)Ache m para que o sistema






023
054
032
zmyx
zyx
zyx
tenha soluções próprias.
R.:
13
3m
35
Escalonamento de Sistemas Lineares
1) Resolva os sistemas:
a)






105
024
623
z
zy
zyx
S={(-2,1,2)}
b)







90
325
642
1329
w
wz
wzy
wzyx
S = 
c)




063
0
zy
zyx
Solução geral: (-3k, 2k, k).
d)




132
22
tz
tzyx
Solução geral: 

  ,,,
2
31
4
352
2) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
36
a)






02
833
132
zy
zyx
zyx
R.: Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)}
b)




5232
2
zyx
zyx
R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k, k)}
37
c)




032
3
zyx
zyx
R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)}
Aplicações
1. As quantidades dos produtos que Elaine, Pedro e Carla compraram num mercado estão
esquematizadas na tabela a seguir:
Produto
A
Produto
B Produto C
Elaine 1 2 2
Pedro 3 3 2
Carla 2 3 1
Sabendo que Elaine gastou R$ 33,00, Pedro gastou R$ 49,00 e Carla gastou R$ 36,00,
quanto custou o produto C?
R.: R$ 8,00
38
2) Ruth vende, em reais, sacolas descartáveis dos tipos I, II e III, a preços de x, y e z,
respectivamente. Os resultados de suas vendas, ao longo de três dias consecutivos, estão
representados na tabela a seguir.
Com base nessa tabela, o valor de x + y + z é igual a:
a) R$ 30,00
b) R$ 25,00
c) R$ 20,00
d) R$ 15,00
e) R$ 10,00
39
Exercícios Complementares
1) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.




432
52
yx
yx R.: {(1,2)}




93
143
yx
yx R.: {(3,2)}
2) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:






3233
932
22
zyx
zyx
zyx
R.: {(1,2,3)}






03
05
010
zy
zx
yx
R.: {(6,4,1)}
3) Resolva as equações matriciais:












 13
9
31
12
y
x
. R.: 



5
2

























 8
2
2
115
632
741
z
y
x
. R.:








1
2
1
4) Determinar m, de modo que o sistema






4
0
2
zyx
zmyx
yx
seja impossível. R.: m = -1
5) Qual o valor de p para que o sistema






2
0
4
yx
zpyx
zypx
admita uma solução única?
R.:  1 p/Rp
6) Para quais valores de k o sistema linear






2
323
1
kzy
zyx
zyx
é possível e determinado?
R.: 


 
4
1k/Rk
7) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
40
a)






02
833
132
zy
zyx
zyx
R.: Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)}
b)




5232
2
zyx
zyx R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k, k)}
c)




032
3
zyx
zyx R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)}
d)






14633
10422
52
zyx
zyx
zyx
R.: Sistema impossível S
8) Um agricultor plantou três diferentes culturas, cobrindo uma área total de 80 hectares
(ha). Para
isso, ele usou 2.800 kg do adubo A e 3.500 kg do adubo B, conforme mostrado neste quadro:
Adubo A
(kg/ha)
Adubo B
(kg/ha)
Cultura I 20 30
Cultura II 30 10
Cultura III 40 60
Por hectare plantado, as culturas I, II e III deram um lucro de, respectivamente, R$ 200,00,
R$ 100,00 e R$ 400,00. Com base nesses dados, CALCULE o lucro total do agricultor.
R.: R$ 24.000,0
9) Matias quis saberquantos quilogramas tinha seu gato, sue cachorro e ele próprio, mas
dispunha de uma balança que só era confiável para cargas com mais de 50 kg. Então:
- subiu na balança com o cachorro, sem o gato – ela registrou 95 kg;
- subiu, em seguida, com o gato, sem o cachorro – a balança acusou 54 kg;
- por último, ele colocou o cachorro e o gato na balança – ela marcou 51 kg.
Quantos quilogramas tem cada um?
R.: 49, 46,5
41
10) Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele
convertesse um arremesso, receberia R$10,00 do clube e, caso errasse, pagaria R$5,00 ao
clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, recebeu a quantia de
R$50,00. Quantos arremessos ele acertou?
R.: 10 arremessos
11) Uma loja de departamentos, para vender um televisor, um DVD e um aparelho de som,
propôs a seguinte oferta: o televisor e o DVD juntos custam R$1200,00; o DVD e o som
juntos custam R$1100,00 e o televisor com o som custam juntos R$1500,00. Quanto
pagará um cliente que comprar os três produtos?
R.: R$1900,00
12) Uma loja vende produtos como os listados na tabela e seus preços. Sabendo que qualquer
mochila custa R$20,00, calcule o preço pago por um par de meias e um conjunto de
roupas íntimas.
R.: R$ 25,00
PRODUTO
Preço(R$)Mochila
Par
de
Meias
Conj.
Roupas
íntimas
Camisa Jeans
Tipo 1 2 2 4 2 250,00
Tipo 2 2 2 3 1 180,00
Tipo 3 3 3 5 3 345,00
Tipo 4 2 2 2 1 160,00
13)No estacionamento de um shopping há 80 veículos, entre carros e motos. Sabe-se também
que o número de rodas é igual a 260. Determine o número de carros e motos.
R.: 50 carros e 30 motos
Não se esqueça de estudar o livro texto!!!
[1] pág.: 576 (1 a 23)
42
PONTOS EM R2 E R3
1) Marque cada ponto no espaço
tridimensional:
2) Determine as coordenadas dos pontos:
3) Observando a peça a seguir, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto
indicado.
x
y
z
A (2, 0, 0)
B (2, 4, 0)
C (0, 4, 0)
D (0, 4, 3)
E (0, 0, 3)
F (2, 0, 3)
G (2, 4, 3)
H (0, 0, 0)
43
Vetores: Tratamento Geométrico
1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho).
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
2) Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os
com origem no ponto A:
AKAC)d
DCAC)c
BDAB)b
CNAC)a




OEAO)h
ANAK)g
BLAM)f
EOAC)e




PBBNBL)l
NFPNLP)k
CBBC)j
NPMO)i




3) Dados os vetores , , , e , abaixo representado, obtenha graficamente os vetores e
.
a) = + + b) = 2 - +
Capítulo 1:
Vetores
- Págs.: 14 a 17 ( 1,2,3,4,5,12)
EDDE)e
MCBL)d
OPBC)c
PHAM)b
OFAB)a





FG//AJ)j
LD//JO)i
HI//AC)h
FIKN)g
MGAO)f


AMPN)o
NBPN)n
ECPE)m
BLAM)l
EGAB)k





|BL||AM|)t
NP2AO)s
|AC||AJ|)r
MFIF)q
|FP||AC|)p





44
VETORES - TRATAMENTO ALGÉBRICO
1) Dados    2,0,1 e 3,5, 4v w     ,obtenha v w  , 3v , w e 2w v  .
2) Encontrar os números 1a e 2a tais que 2211 vavav  , sendo )2,10(v , )5,3(1 v e
)2,1(2 v .
3) Obtenha as coordenadas do vetor 1 2P P
 no plano e AB no espaço sendo    1 21,3 , 4, 2 ,P P  
   0, 2,5 e 3, 4, 1A B    .
45
4) Dados os pontos A(-1, 2,0), B(3, -1,1) e C(-2, 4, 0), determinar o ponto D de modo que
ABCD
2
1
5) Sendo A(-2, 4) e B(4,1) extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que
dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento.
6) Dados os vetores (3, 1)u  

e ( 1, 2)v  

, determine o vetor x tal que: 14( ) 2
3
u v x u x       
Exemplo 4
46
7) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A(3, -2, 4), B(5, 1, -3)
e C(0, 1, 2).
8) Os vetores ( 3, 2)u  

e (6, 4)v  

são paralelos?
9) Determine o módulo de:
a)
b)
c)
10) Determine o versor de 3 4v i j  .
47
11)Dado o vetor ( 2,1)v   , achar o vetor paralelo a v que tenha:
a) o mesmo sentido de v e três vezes o módulo de v ;
b) sentido contrário ao de v e a metade do módulo de v ;
c) o mesmo sentido de v e módulo 4;
d) sentido contrário de v e módulo 2.
12)Seja o triângulo de vértices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e C(1, -1, -2). Calcular o comprimento da
mediana do triângulo relativa ao lado AB.
48
13)Determine o valor de "m" se o módulo do vetor v = (2m+2, m-1, 2m - 7) se | v | = 13.
14) Sabe-se que o vetor (3, 6, -7) é paralelo ao vetor (3x, y + 2, 21). Calcule os valores de x e y.
Capítulo 1:
Vetores
- Págs.: 40 a 45 (1 a 14, 16 a 23, 29 a 35, 37 a 40, 43 a 47, 49 a 56)
49
PRODUTO ESCALAR
1) Sejam os vetores u = (3,2,1) e v = (-1, -4, -1). Calcular:
a) 2 u
b) ( u + v ).(2 u – v )
c) < u , u >
d) 0 . u 
2) Dados os vetores u = 3i -5j + 8k e v = 4i -2j – k, calcular u . v .
3) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular  BC.AB
50
4) Sendo | u | = 4 e | v | = 2 e u . v = 3, calcular (3 u – 2 v )(- u + 4 v ).
5) Sendo | u | = 2, | v | = 3 e 60º o ângulo entre u e v , calcular:
a) u . v
b) | u + v |2
c) | u – v |2
51
6) Dados os vetores (1,3, 5)v   e (4, 2,8)u   , decomponha v

como 1 2v v v 
  
sendo
1 2/ / ev u v u    .
7) Um triângulo no espaço tridimensional é formado pelos vértices
     1,2,3 , 2, 2,0 e 3,1, 4A B C  . Determine o ponto H, pé da altura relativa ao lado AB.
Capítulo 2:
Produto
Escalar
- Págs.: 66 a 70 ( 1 a 30, 36, 40 a 49)
52
PRODUTO VETORIAL
1) Calcule eu v v u  sendo 5 4 3u i j k   e v i k  .
2) Por que para qualquer vetor u de 3   0uu ?
3) Mostre que u v é ortogonal a u

e a v

sendo 5 4 3u i j k   e v i k 

.
53
4) Dados os vetores  1, 1,1u   e (2, 3, 4)v   , calcule:
a) a área do paralelogramo determinado por eu v  .
b) a altura do paralelogramo relativo à base definida pelo vetor u .
5) Dados os vetores  2,1, 1u   e (1, 1, )v a  , calcular o valor de “a” para que a área do
paralelogramo determinado por u e v seja igual a 62 .
54
6) Seja um triângulo eqüilátero ABC de lado 10cm. Calcule AB AC  .
7) Sejam os vetores  1, 1, 4u    e (3, 2, 2)v   . Determinar um vetor que seja:
a) ortogonal a u e v .
b) ortogonal a u e v e unitário.
c) ortogonal a u e v e tenha módulo 4.
55
8) A operação u . v + u x v é possível ou não? Justifique sua resposta.
9) A operação u .[( v + u ) x v ] é possível ou não. Justifique sua resposta. O resultado é um vetor
ou um escalar?
Capítulo 3:
Produto
Vetorial
- Págs.: 87 a 89 (1 a 3, 8, 9, 12, 14 a 17, 20, 21, 23 a 25, 27)
56
PRODUTO MISTO
1) Calcule o produto misto dos vetores 2 3 5 , 3 3 e 4 3 2u i j k v i j k w i j k            .
2) Calcule o produto misto dos vetores , eu AB v AC w AD        sendo que
       1,2,4 ; 1,0, 2 ; 0,2,2 e 2,1, 3A B C D     .
3) Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores 2 , 3 e 5u i v j w k     .
57
4) Determine o volume da caixa, em forma de um paralelepípedo, de lados adjacentes
, eAB AC AD
   , sendo    2,1, 1 ; 3,0,2 ;A B    4, 2,1 e 5, 3,0C D  . Calcular a altura desta caixa
relativa à base definida por AB e AC .
5) Para que valor de m os pontos        ,1,2 ; 2, 2, 3 ; 5, 1,1 e 3, 2, 2A m B C D     são coplanares?
58
6) Sabendo que os vetores      2,1, 4 , , 1,3 e 3,1, 2AB AC m AD         determinam um
tetraedro de volume 3, calcular o valor de m. Calcular a altura deste paralelepípedo
relativo à base definida por AB e AC .
Capítulo 4:
ProdutoMisto
- Págs.: 99 a 101 (1, 2, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 16, 18)
59
Algumas Aplicações
1. Uma peça maciça de cristal tem o formato de um paralelepípedo determinado pelos
vetores 1v (0, -1, 2), 

2v (-4, 2, -1) e 

3v (3, 4, -2). Extraiu-se desse paralelepípedo
uma peça no formato de um tetraedro cujas arestas coincidem com as arestas do
paralelepípedo. Qual o volume de cristal desse tetraedro?
2
11 u. v.
2. Na figura, a seguir, é possível verificar a trajetória descrita por uma partícula. As várias
posições que ela ocupou estão indicadas por letras seguidas de números que representam
os instantes, em segundos, da passagem da partícula por esses pontos.
Determine o comprimento do vetor deslocamento, para essa partícula.
R: 5m
60
3. Determine a distância(d) necessária para posicionarmos a piscina junto ao prédio, de
forma que a mesma receba o sol da manhã a partir das 8:00hrs. O desenho abaixo mostra
de forma esquemática a situação descrita, onde os pontos A(-25,15,23), B(-30,-5,3) e
C(10,-5,3) são conhecidos.
R: 35m
4. O seguinte sistema de forças atua sobre uma partícula: F1 = 4j+5k, F2 =-5i +j + 3k, F3 =i -
2j + 4k, F4 = 4i - 3j- 2k. Ache a resultante deste sistema de forças. A partícula estará em
equilíbrio? Qual o efeito da força resultante sobre a partícula?
61
5. Um pintor pediu para o engenheiro lhe informar a quantidade de massa corrida que ele
precisaria pegar no depósito para emassar uma área triangular de uma rampa inclinada.
O engenheiro determinou através das coordenadas cartesianas os três vértices desse
triângulo: (4,2,1), (1,0,1) e (1,2,0). Sabendo que cada galão de massa corrida rende o
equivalente a 10 metros quadrados para cada demão, quantos galões o pintor precisará
para emassar essa área aplicando duas demãos?
R. 1 galão
6. Uma caixa de madeira se encontra no ponto A. Um trabalhador pode movê-la para o ponto
B (-1,0) ou para o ponto C = (-3,2). Utilizando seus conhecimentos de álgebra linear,
chegou a conclusão que . Nessas condições, quais as coordenadas do ponto A?
R: (1/3, -4/3)
62
7. Na torre da figura abaixo, determine o ângulo formado entre os cabos AB e AC.
R: Aprox. 41,69o
8.Um ônibus parte em linha reta do ponto (1,2,3) ao ponto (3,1,5). Se o gasto é de R$10,00
por unidade de comprimento, qual o gasto total no deslocamento?
R: R$30,00
63
9. Uma molécula de metano tem quatro átomos de hidrogênio (H) nos pontos indicados na
figura abaixo e um átomo de carbono (C) na origem. Determine o ângulo de ligação H-C-
H.
R: Aprox. 109,47º
10.A figura abaixo representa uma cozinha que deve ter as paredes revestidas de azulejos até
o teto. Sabendo que cada porta tem 1,60m2 de área e que a janela tem uma área de 2m2,
quantos metros quadrados de azulejos são necessários para a realização do revestimento?
R: 12,80m2
Dados:
A(3, -3, 2)
B(3, -1, 2)
C(2, -1, 2)
D(2, -1, 5)
E(3, -1, 5)
64
A RETA
1) a) Determine equações da reta r que passa por (1, 1, 4)A  e é paralela a (2,3, 2)v   .
b) Para t = 1, t =-3 e t = 0; determine os pontos pertencentes a reta r.
2) Dado o ponto (2,3, 4)A  e o vetor (1, 2,3)v  

, pede-se:
a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v .
b) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4.
c) Verificar se os pontos (4, 1, 2) e (5, 4,3)D E   pertencem a r.
d) Determinar para que valores de m e n o ponto ( ,5, )F m n pertence a r.
3) Verifique se as retas 1 2 eL L são paralelas, em cada caso.
65
a) 1
2
1
: 1 3 ; 2 2 ; 3
2
3
: 2 9 ; 1 6 ; 1
2
L x t y t z t
L x t y t z t
      
      
b) 1
2
: 3 2 ; 1 3 ; 2 4
: 1 ; 4 ; 8 3
L x t y t z t
L x t y t z t
      
       
4) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por (3, 1, 2) e (1, 2, 4)A B  .
5) Dadas as equações simétricas 3 5
2 2 1
x y z    . Determine o ponto inicial, o vetor diretor da
reta e equações paramétricas da reta.
66
6) Seja 2 4 3:
1 2 3
x y z
r
     , determine as equações reduzidas na variável x.
7) Determine o ângulo  entre as retas r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t(-2,0,5) e s:
3
3
2
13 
 zyx
.
8) Determine o valor de “m”, para que as retas r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t (1,m,5) e
2
1 3
:
2 3
x y z
s
m
    sejam ortogonais.
67
9) Sejam 1 2 eL L as retas cujas equações paramétricas são:
1
2
: 1 2 ; 2 ; 4 2
: 9 ; 5 3 ; 4
L x t y t z t
L x t y t z t
     
      
a) Mostre que 1 2 eL L intersectam no ponto  7, 1, 2  .
b) Determine o ângulo agudo formado entre 1 2 eL L em seu ponto de interseção.
c) Obtenha as equações paramétricas para a reta que é perpendicular a 1 2 eL L e que
passa no seu ponto de interseção.
Capítulo 5:
A reta - Págs.: 118 a 123 (1 a 9, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 24, 28)
68
O PLANO
1) Obtenha a equação geral do plano que passa pelo ponto (2, 1,3)A  e tem (3, 2, 4)n   como
vetor normal.
2) A reta
5 3
: 4 2
1
x t
r y t
z t
      
é ortogonal ao plano  que passa pelo ponto )2,3,1(A . Determine a
equação geral de  .
3) Escreva uma equação geral do plano  que passa pelo ponto (2,1,3)A e é paralelo ao plano
: 3 4 2 5 0x y z     .
69
4) Determine a equação geral do plano  representado na figura a seguir:
5) Seja o plano  que passa pelo ponto (2, 2, 1)A  e é paralelo aos vetores
 (2, 3,1) e 1,5, 3u v      . Obtenha uma equação vetorial e um sistema de equações
paramétricas de .
70
6) Dado o plano  determinado pelos pontos (1, 1, 2), (2,1, 3) e ( 1, 2,6)A B C    obtenha um
sistema de equações paramétricas e uma equação geral de  .
Capítulo 6:
O plano - Págs.: 141 a 149 (1 a 23)