P2 cálculo 1 gabarito Taynara

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Cieˆncias Exatas - Departamento de Matema´tica
Professora: Taynara Andrade
Nome: Matrı´cula:
2a Prova de Ca´lculo I - T03 - 13/11/2017 - GABARITO
SO´ SERA˜O ACEITAS AS RESPOSTAS COM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.
1. (2.0) Escolha 2 dentre as 4 afirmac¸o˜es abaixo para dizer se e´ verdadeira ou falsa. Se a
afirmac¸a˜o for verdadeira, justifique e se for falsa, deˆ um contra-exemplo ou justifique.
( ) A derivada de e(x
3senx) e´ 3x2cosxex
3senx.
( ) O polinoˆmio de Taylor de ordem 8, p8(x), de f(x) = cosx em volta de c = 0 e´
p8(x) = 1− x
2
2! +
x4
4! +
x6
6! +
x8
8! .
( ) Se f ′(x0) = 0 enta˜o x0 e´ um ponto de mı´nimo ou ma´ximo local.
( ) Se f(x) = x3 − 3x− 4 em [−3, 3], enta˜o -3 e´ o ponto de mı´nimo absoluto e 3 e´ o ponto
de ma´ximo absoluto.
2. (1.5) Uma escada de 5m esta´ apoiada em uma parede. Num dado instante, o pe´ da
escada esta´ a 3m da base da parede da qual se afasta a 1m/s. Com que velocidade se
move o topo da escada ao longo da parede neste instante?
3. Considere a equac¸a˜o x2 − xy2 + y3 = 3.
(a) (1.0) Expresse dydx em termos de x e y, onde y = f(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel dada
implicitamente pela equac¸a˜o acima.
(b) (0.5) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva de f no ponto (2, 1).
4. Considere a func¸a˜o f(x) = 2+ x1+x2 .
(a) (0.4) Determine o domı´nio de definic¸a˜o de f.
(b) (0.8) Verifique que f ′(x) = 1−x
2
(1+x2)
2 e f ′′(x) = 2x
3−6x
(1+x2)
3 .
(c) (0.8) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
(d) (0.8) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
(e) (0.6) f possui pontos de inflexa˜o? Por queˆ?
(f) (0.8) Determine as assı´ntotas horizontais e verticais ao gra´fico de f, caso existam.
(g) (0.8) Esboce o gra´fico de f.
Boa Prova!
1
1. (F) A derivada de e(x
3senx) e´ 3x2cosxex
3senx.
Esta afirmac¸a˜o e´ falsa pois, pela regra do produto e pela regra da cadeia temos[
e(x
3senx)
] ′
=
[
x3senx
] ′
ex
3senx =
(
3x2senx+ x3cosx
)
e(x
3senx).
(F) O polinoˆmio de Taylor de ordem 8, p8(x), de f(x) = cosx em volta de c = 0 e´
p8(x) = 1− x
2
2! +
x4
4! +
x6
6! +
x8
8!
Esta afirmac¸a˜o e´ falsa pois, sabemos que o polinoˆmio de Taylor de f em volta de
c = 0 e´ dado pela fo´rmula
p8(x) = f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)
2!
x2 +
f ′′′(0)
3!
x3 +
f(4)(0)
4!
x4 + ·+ f
(n)(0)
n!
xn + ·+ f
(8)(0)
8!
x8.
Como f(x) = cosx, temos que f(0) = 1. Ainda,
f ′(x) = −senx⇒ f ′(0) = 0
f ′′(x) = −cosx⇒ f ′′(0) = −1
f ′′′(x) = senx⇒ f ′′′(0) = 0
f(4)(x) = cosx⇒ f ′(0) = 1
Fazendo isso sucessivamentes temos que, as derivadas de ordem ı´mpar sa˜o nulas e
as derivadas de ordem par, se alternam entre -1 e 1. Logo
p8(x) = 1−
x2
2!
+
x4
4!
−
x6
6!
+
x8
8!
.
(F) Se f ′(x0) = 0 enta˜o x0 e´ um ponto de mı´nimo ou ma´ximo local.
Esta afirmac¸a˜o e´ falsa, temos o seguinte contra-exemplo: Se f(x) = x3, enta˜o f ′(0) =
0. Mas o ponto 0 na˜o e´ um ponto de ma´ximo ou mı´nimo, na verdade ele e´ um ponto
de inflexa˜o pois f ′′(x) = 6x, f ′′(0) = 0 e a concavidade de f ′′ muda nesse ponto.
(v) Se f(x) = x3 − 3x− 4 em [−3, 3], enta˜o -3 e´ o ponto de mı´nimo absoluto e 3 e´ o ponto
de ma´ximo absoluto.
Esta afirmac¸a˜o e´ verdadeira. Temos que f ′(x) = 3x2 − 3, donde ±1 sa˜o os pontos
crı´ticos de f. Temos tambe´m que f ′′(x) = 6x. Como f ′′(1) = 6 > 0 e f ′′(−1) = −6 < 0,
pelo teste da segunda derivada, segue que 1 e´ ponto de mı´nimo local e -1 e´ ponto
de ma´ximo local. Pore´m como a func¸a˜o esta´ definida em um intervalo fechado e f
e´ contı´ntua , pelo teorema de Weirstrass, sabemos que existem pontos de extremos
absolutos e devemos achar esse extremos dentre os pontos ±1, e± 3. Temos que
f(−3) = −27+ 9− 4 = −22
f(−1) = −1+ 3− 4 = −2
f(1) = 1− 3− 4 = −6
f(3) = 27− 9− 4 = 14
Assim, -3 e´ ponto e´ mı´nimo absoluto e 3 e´ ponto de ma´ximo absoluto.
2
2. Denotamos
x = x(t): Distaˆncia entre o pe´ da escada e a base da parede no instante t.
y = y(t): Distancia entre a base da parede e o topo da escada no instante t.
Dados do problema:
• Equac¸a˜o: x2 + y2 = 25
• dxdt = 1m/s
• Problema: Calcular dydt |t=t0 onde x(t0) = 3
Derivando ambos os lados da equac¸a˜o em relac¸a˜o a t obtemos:
d
dt
[
x2 + y2
]
=
d
dt
[25] ⇒ d
dt
[
x2
]
+
d
dt
[
y2
]
= 0
⇒ d
dx
[
x2
] dx
dt
+
d
dy
[
y2
] dy
dt
= 0
⇒ 2xdx
dt
+ 2y
dy
dt
= 0.
Portanto,
dy
dt
= −
x
y
dx
dt
Assim,
dy
dt
|t=t0 = −
x(t0)
y(t0)
dx
dt
|t=t0
Quando x e´ igual a 3, ja´ que x2 + y2 = 25, segue que y e´ igual a 4. Logo,
dy
dt
|t=t0 = −
3
4
· 1 = −3
4
.
3. (a) Temos que x2 − xy2 + y3 = 3. Derivando ambos os membros em relac¸a˜o a x temos
que
d
dx
[
x2 − xy2 + y3
]
=
d
dx
[3] ⇒ d
dx
[
x2
]
−
d
dx
[
xy2
]
+
d
dx
[
y3
]
= 0
⇒ 2x−
(
d
dx
[x]y2 + x
d
dx
[
y2
])
+
d
dy
[
y3
] dy
dx
= 0
⇒ 2x− y2 − 2xydy
dx
+ 3y2
dy
dx
= 0
⇒
(
3y2 − 2xy
) dy
dx
= y2 − 2x
⇒ dy
dx
=
y2 − 2x
3y2 − 2xy
.
(b) No ponto (2, 1) temos que
m =
dy
dx
=
12 − 2.2
3.12 − 2.2.1
= 3
3
Assim, a equac¸a˜o da reta tangente a` curva de f no ponto (2, 1) e´
y− 1 = 3(x− 2),
isto e´,
y = 3x− 5.
4. (a) Dom(f) = R
(b) Como f(x) = 2+ x1+x2 , temos que
f ′(x) = [2] ′ +
[
x
1+ x2
] ′
= 0+
1.
(
1+ x2
)
− x (2x)
(1+ x2)2
=
1+ x2 − 2x2
(1+ x2)2
=
1− x2
(1+ x2)2
e
f ′′(x) =
−2x
(
1+ x2
)2
−
(
1− x2
)
2
(
1+ x2
)
2x
(1+ x2)4
=
(
1+ x2
) (
−2x
(
1+ x2
)
− (1− x2) (4x)
)
(1+ x2)4
=
2x3 − 6x
(1+ x2)3
(c) Analisando o sinal de f ′ temos que
f ′(x) = 0 ⇔ 1− x
2
(1+ x2)2
= 0
⇔ 1− x2 = 0
⇔ x = ±1.
Assim, f ′(x) < 0 se x < −1 e x > 1 e f ′(x) > 0, se −1 < x < 1. Donde f e´ crescente
em (−1, 1) e f e´ decrescente em (−∞,−1)∪ (1,∞).
(d) Analisando o sinal de f ′′ temos que
f ′′(x) = 0 ⇔ 2x
3 − 6x
(1+ x2)3
⇔ 2x3 − 6x = 0
⇔ x3 − 3x = 0
⇔ x(x2 − 3) = 0
⇔ x = 0 ou x = ±
√
3.
4
Portanto,
f ′′(x) > 0 se −
√
3 < x < 0 ou x >
√
3
e
f ′′(x) < 0 se x < −
√
3 ou 0 < x <
√
3.
Portanto, a concavidade e´ para cima se −
√
3 < x < 0 e x >
√
3 e a concavidade e´
para baixo se x < −
√
3 e 0 < x <
√
3.
(e) Os pontos 0,−
√
3,
√
3 sa˜o pontos de inflexa˜o, pois nestes pontos a func¸a˜o muda de
concavidade.
(f) f na˜o possui assı´ntota vertical, pois f e´ contı´nua em R, mas possui uma assı´ntota
horizontal, na reta y = 2, pois
lim
x→±∞ x1+ x2 = limx→±∞ 12x = 0,
usando L’Hospital. Assim,
lim
x→±∞ f(x) = limx→±∞ 2+ x1+ x2 = limx→±∞ 2+ limx→±∞ x1+ x2 = 2+ 0 = 2.
(g)
5