algebra linear

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Educação a Distância
GRUPO
ÁLGEBRA LINEAR
Prof. André Marcelo Santos de Souza
Prof. Roy Wilhelm Probst
UNIASSELVI
2012
NEAD
Caderno de Estudos
Copyright  UNIASSELVI 2012
Elaboração:
Prof. André Marcelo Santos de Souza
Prof. Roy Wilhelm Probst
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo Da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
UNIASSELVI – Indaial.
CENTRO UNIVERSITÁRIO
LEONARDO DA VINCI
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040, Bairro Benedito
89130-000 - INDAIAL/SC
www.uniasselvi.com.br
512.5
S729a Souza, André Marcelo Santos de
 Álgebra linear / André Marcelo Santos de Souza; Roy Wilhelm 
Probst. Indaial : Uniasselvi, 2012.
 
 195 p. : il
 
 ISBN 978-85-7830- 586-4
1.	 Álgebra linear.
 I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
ÁLGEBRA LINEAR
APRESENTAÇÃO
Prezado(a) acadêmico(a)!
 Neste Caderno de Estudos, você será levado a estudar a base da matemática 
algébrica. Tentamos produzir um caderno que seja instrutivo e, ao mesmo tempo, compreensível. 
Levamos em conta que você estudará sozinho(a) e estará tendo contato com alguns desses 
conceitos pela primeira vez. Esperamos ter conseguido esse intento.
 Apesar de, na primeira leitura, o assunto poder parecer obscuro, tente ler várias 
vezes o texto refazendo os exercícios e os exemplos, a fim de memorizar o aprendido. Você 
verá que não é nenhum monstro e nada muito difícil, só depende de vontade e dedicação.
 Vale lembrar ainda que este caderno traz um curso introdutório de álgebra 
linear e você deve se sentir curioso e instigado a procurar outros livros para completar seu 
aprendizado.
 Esperamos, sinceramente, que você consiga se divertir enquanto aprende e que, 
após o estudo desse caderno, você consiga notar a evolução da sua matemática, nos seus 
conceitos e nas suas definições, pois a melhoria constante tem que ser o objetivo de todo(a) 
acadêmico(a).
Prof. André Marcelo Santos de Souza
Prof. Roy Wilhelm Probst
iii
ÁLGEBRA LINEAR iv
UNI
Eu sou o UNI, já me apresentei nos cadernos anteriores. Estarei 
com você durante os estudos de deste caderno. Desejamos a 
você uma caminhada tranquila e rica em reflexões. Sempre 
que ocorrerem dúvidas as anotem e as esclareçam nos dias de 
atendimento.
ÁLGEBRA LINEAR v
SUMÁRIO
UNIDADE 1 – MATRIZES ................................................................................................. 1
TÓPICO 1 – MATRIZES .................................................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 3
2 CONCEITOS BÁSICOS ................................................................................................. 3
3 PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES .............................................................................. 7
3.1 MATRIZ QUADRADA .................................................................................................. 7
3.2 MATRIZ NULA ............................................................................................................. 7
3.3 MATRIZ COLUNA ........................................................................................................ 8
3.4 MATRIZ LINHA ............................................................................................................ 8
3.5 MATRIZ DIAGONAL .................................................................................................... 9
3.6 MATRIZ IDENTIDADE ................................................................................................. 9
3.7 MATRIZ TRIANGULAR ............................................................................................. 10
3.8 MATRIZ SIMÉTRICA .................................................................................................. 11
4 OPERAÇÕES COM MATRIZES ................................................................................... 11
4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ........................................................................................... 11
4.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR ........................................ 12
4.3 MATRIZ TRANSPOSTA ............................................................................................. 13
4.4 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ............................................................................. 13
4.5 PROPRIEDADES ...................................................................................................... 18
4.6 EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE OPERAÇÕES COM MATRIZES ....................... 19
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................. 23
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 24
TÓPICO 2 – ESCALONAMENTO E DETERMINANTE .................................................. 27
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 27
2 ESCALONAMENTO .................................................................................................... 28
2.1 MATRIZ ESCALONADA ............................................................................................ 28
2.2 OPERAÇÕES SOBRE LINHAS DE MATRIZES ....................................................... 29
2.3 ESCALONANDO MATRIZES .................................................................................... 31
3 DETERMINANTE ......................................................................................................... 36
3.1 DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 1 ...................................................... 36
3.2 DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 2 ...................................................... 37
3.3 DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 3 ...................................................... 37
3.4 USANDO ESCALONAMENTO PARA CALCULAR O DETERMINANTE .................. 40
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................. 43
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 44
TÓPICO 3 – MATRIZ INVERSA ..................................................................................... 45
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 45
ÁLGEBRA LINEAR vi
2 MATRIZ INVERSA ....................................................................................................... 45
2.1 DEFINIÇÃO ............................................................................................................... 45
2.2 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 ......................... 46
2.3 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO DETERMINANTE ......................... 53
2.4 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO O ESCALONAMENTO ................. 55
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................... 60
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................. 65
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 66
AVALIAÇÃO .................................................................................................................... 67
UNIDADE 2 – SISTEMAS LINEARES, ESPAÇOS VETORIAIS E 
 TRANSFORMAÇÕES LINEARES ..........................................................69
TÓPICO 1 – SISTEMAS LINEARES .............................................................................. 71
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 71
2 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ........................................................... 71
2.1 VISUALIZAÇÃO DOS TIPOS DE SISTEMAS EM R² ............................................... 73
3 MATRIZ RELACIONADA A UM SISTEMA LINEAR .................................................... 74
3.1 MATRIZ AMPLIADA ................................................................................................... 77
4 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR UTILIZANDO ESCALONAMENTO .......... 78
5 CLASSIFICANDO UM SISTEMA EM SPD, SPI OU SI ............................................... 87
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................. 93
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 94
TÓPICO 2 – ESPAÇO VETORIAL – PARTE 1 ............................................................... 95
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 95
2 VETORES .................................................................................................................... 95
2.1 VETORES NO R² ...................................................................................................... 95
2.1.1 Operações com vetores ......................................................................................... 98
2.2 VETORES NO Rn. .................................................................................................... 99
3 ESPAÇOS VETORIAIS .............................................................................................. 100
4 SUBESPAÇOS VETORIAIS ...................................................................................... 106
RESUMO DO TÓPICO 2 ............................................................................................... 108
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 109
TÓPICO 3 – ESPAÇO VETORIAL (PARTE 2) .............................................................. 111
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 111
2 COMBINAÇÃO LINEAR ............................................................................................. 111
3 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR .......................................................... 112
4 BASE DE ESPAÇO VETORIAL ................................................................................. 114
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................ 118
AUTOATIVIDADE .......................................................................................................... 119
ÁLGEBRA LINEAR vii
TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES ........................................................... 121
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 121
2 O QUE É TRANSFORMAÇÃO LINEAR .................................................................... 121
3 TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ .................................................................. 123
4 NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ................................. 126
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................ 131
RESUMO DO TÓPICO 4 ............................................................................................... 135
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 136
AVALIAÇÃO .................................................................................................................. 137
UNIDADE 3 – PRODUTO INTERNO, AUTOVETORES E AUTOVALORES, 
 MUDANÇA DE BASE ............................................................................ 139
TÓPICO 1 – AUTOVALORES E AUTOVETORES ....................................................... 141
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 141
2 DEFINIÇÃO ................................................................................................................ 143
3 SUBESPAÇO ASSOCIADO AO AUTOVALOR λ ...................................................... 147
4 MÉTODO PRÁTICO PARA DETERMINAR OS AUTOVALORES ............................ 148
5 POLINÔMIO CARACTERÍSTICO .............................................................................. 154
6 MULTIPLICIDADE ALGÉBRICA E GEOMÉTRICA DE UM AUTOVALOR DE T ..... 155
RESUMO DO TÓPICO 1 ............................................................................................... 157
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 158
TÓPICO 2 – PRODUTO INTERNO ............................................................................... 159
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 159
2 DEFINIÇÃO ................................................................................................................ 159
3 PRODUTO INTERNO USUAL ................................................................................... 160
4 EXEMPLOS DE PRODUTOS INTERNOS NÃO USUAIS ......................................... 161
5 ORTOGONALIDADE DE VETORES ......................................................................... 163
6 NORMA DE UM VETOR ............................................................................................ 164
7 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES ........................................................................... 166
8 BASE ORTONORMAL .............................................................................................. 168
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................ 169
RESUMO DO TÓPICO 2 ............................................................................................... 172
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 174
TÓPICO 3 – MUDANÇA DE BASE .............................................................................. 175
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 175
2 BASE .......................................................................................................................... 175
3 BASE .......................................................................................................................... 178
4 A MATRIZ INVERSA DA MATRIZ MUDANÇA DE BASE ......................................... 187
ÁLGEBRA LINEAR viii
RESUMO DO TÓPICO 3 ............................................................................................... 191
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 192
AVALIAÇÃO .................................................................................................................. 193
REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 195
Á
L
G
E
B
R
A
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I
N
E
A
R
UNIDADE 1
MATRIZES
ObjETIvOS DE ApRENDIZAgEM
 A partirdesta unidade o(a) acadêmico(a) estará apto(a) a:
•	 reconhecer uma matriz;
•	 definir e fazer operações com matrizes;
•	 identificar as principais propriedades das matrizes;
•	 classificar as matrizes quanto ao tipo;
•	 calcular o determinante de uma matriz quadrada;
•	 escalonar uma matriz qualquer;
•	 calcular a matriz inversa.
TÓPICO 1 – MATRIZES
TÓPICO 2 – ESCALONAMENTO E DETERMINANTE
TÓPICO 3 – MATRIZ INVERSA
pLANO DE ESTUDOS
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um 
deles, você encontrará atividades que reforçarão o seu aprendizado.
Á
L
G
E
B
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A
L
I
N
E
A
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Á
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MATRIZES
1 INTRODUÇÃO
2 CONCEITOS BÁSICOS
TÓPICO 1
UNIDADE 1
O estudo de álgebra linear, geralmente, começa com o estudo de matrizes. Essa 
prática acontece devido às várias aplicações e facilidades proporcionadas ao relacionarmos 
os conceitos de álgebra linear com matrizes.
Embora isso não seja obrigatório, seguiremos esse roteiro no Caderno de Estudos, pois 
acreditamos que facilitará o seu aprendizado.
O quadro que segue mostra a quantidade diária em kg que cada animal deve comer 
para cada tipo de ração (X, Y, Z).
 ANIMAL
RAÇÃO Boi Ovelha Cachorro Gato
X 20 3 1 0,3
Y 18 2 0,8 0,3
Z 15 2 1,2 0,2
Ao retirarmos os significados das linhas e das colunas, ficamos apenas com os 
valores:
UNIDADE 1TÓPICO 14
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
Essa organização em linhas e colunas dos valores sem a preocupação do que eles 
representam chama-se matriz. Num conceito intuitivo, matriz é uma tabela de valores.
A matriz geralmente é representada por uma letra maiúscula do alfabeto e seus 
elementos dispostos dentro de colchetes como acima. Mas podem aparecer também entre 
parênteses, como é mostrado a seguir.
Cada item da matriz é denominado elemento da matriz. Esses elementos podem ser 
de qualquer natureza, podem ser números, funções ou até mesmo outras matrizes.
Para facilitar a sua localização, cada elemento é associado a sua posição na matriz, e 
essa posição é dada pela combinação entre a linha e a coluna em que se encontra. Chamando 
a matriz de A, usamos números indexados para representar, conforme os exemplos a seguir:
a11 = elemento da 1ª linha com a 1ª coluna, lê-se “a um um” não pode ser dito “a 
onze”
a12 = elemento da 1ª linha com a 2ª coluna, lê-se “a um dois”
a32 = elemento da 3ª linha com a 2ª coluna, lê-se “a três dois”
amn = elemento da m-ésima linha com a n-ésima coluna.
ATEN
ÇÃO!
Vejam que o primeiro número indexado ao ‘a’ na representação do 
elemento se refere à linha e o segundo, à coluna.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 5
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
ATEN
ÇÃO!
Notem que o i representa a linha e o j a coluna.
Exemplo:
O número de linhas e colunas que uma determinada matriz possui nos fornece a ordem 
desta matriz.
 Veja os exemplos:
a matriz A tem ordem 2x3
a matriz B tem ordem 2x5
a matriz C tem ordem 3x4
IMP
OR
TAN
TE! �
A ordem da matriz segue a mesma ideia das dos elementos, 
primeiro informa-se o total de linhas e depois, o de colunas.
Assim, outra forma é representar, a generalização é dada por ou seja, A é 
uma matriz de ordem m por n.
UNIDADE 1TÓPICO 16
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
Esse tipo de representação pode ser utilizado para construir os elementos de uma 
matriz, por exemplo:
Utilizaremos a fórmula aij = i + 2j para construir todos os elementos da matriz A, onde i 
representa a linha e j a coluna.
Duas matrizes A e B serão ditas iguais entre si quando forem de mesma ordem e todos 
os elementos das posições correspondentes forem iguais entre si. Por exemplo:
Verifique as igualdades entre os elementos correspondentes: 
a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 e a22 = b22.
De maneira geral, podemos dizer que duas matrizes A e B de ordem m x n serão iguais 
entre si quando aij = bij para i = 1, 2, 3,…m e j = 1, 2, 3,…, n.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 7
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
3 PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES
3.1 MATRIZ QUADRADA
3.2 MATRIZ NULA
Uma matriz será quadrada quando o número de linhas e colunas for igual. Nesse caso 
teremos ordens do tipo 1x1, 2x2, 3x3, 4x4, e assim por diante. Mas como já sabemos que o 
número de linhas e colunas são iguais nas matrizes quadradas, não precisamos informar a 
linha e a coluna, basta falar a ordem. Por exemplo, uma matriz 1x1 é, simplesmente, de ordem 
1; uma matriz 2x2 é, simplesmente, de ordem 2; 3x3 é de ordem 3; 4x4 é de ordem 4 e assim 
sucessivamente.
Exemplos de matrizes quadradas:
Quando todos os elementos de uma matriz A forem iguais a 0, a matriz A será chamada 
de matriz nula. Em outras palavras, A = [aij]mxn será nula quando aij = 0 para todo i = 1, 2, 
3,…,m e para todo j = 1, 2, 3,…,n
Exemplos de matriz nula:
IMP
OR
TAN
TE! �
Nas matrizes do exemplo anterior, A é de ordem 2, B é de ordem 
1 e C é de ordem 4.
UNIDADE 1TÓPICO 18
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
3.3 MATRIZ COLUNA
3.4 MATRIZ LINHA
Uma matriz é denominada matriz coluna quando é composta por uma única coluna, ou 
seja, são as matrizes de ordem 1x1, 2x1, 3x1, 4x1, 5x1,…, mx1.
Exemplos:
A matriz composta por uma única linha é denominada matriz linha. São matrizes de 
ordem 1x1, 1x2, 1x3, 1x4,…, 1xn.
Exemplos:
A= [a b c] B= [0 1] C= [10 - 3 9 1]
IMP
OR
TAN
TE! �
Esse tipo de matriz é muito importante para a Álgebra Linear, pois 
usualmente é utilizado para representar vetores.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 9
Á
L
G
E
B
R
A
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I
N
E
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R
3.5 MATRIZ DIAGONAL
3.6 MATRIZ IDENTIDADE
Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que os elementos fora da diagonal 
principal valem zero. Os elementos da diagonal podem ou não ser iguais a zero. Logo, uma 
matriz é diagonal se:
É uma matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal valem 1 e os restantes 
valem 0. Matematicamente, a matriz identidade é definida assim:
Exemplos de matrizes diagonais:
Reparem que ambas as matrizes possuem elementos diferentes de 0 na diagonal (essa 
diagonal é denominada diagonal principal, onde todos os elementos aij têm i=j).
Exemplos:
UNIDADE 1TÓPICO 110
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
UNI
Essa matriz chama-se identidade por ser o elemento neutro da 
multiplicação entre matrizes. Contudo, conversaremos mais sobre 
esse detalhe no item que envolve operações com matrizes.
Note que simbolizamos essa matriz pela letra I, referenciando o nome Identidade.
3.7 MATRIZ TRIANGULAR
Uma matriz é dita triangular quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal 
são zero. Mais especificamente:
· uma matriz triangular superior é aquela em que os elementos abaixo da diagonal são 
zero:
· uma matriz triangular inferior é aquela em que os elementos acima da diagonal são zero:
Exemplos:
As matrizes A e B são triangulares superiores, enquanto que as matrizes C e D são 
triangulares inferiores.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 11
Á
L
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E
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R
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L
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R
3.8 MATRIZ SIMÉTRICA
4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
4 OPERAÇÕES COM MATRIZES
Uma matriz A = [A]ij será dita simétrica quando for quadrada e tiver aij = aji.
Exemplos:
ATEN
ÇÃO!
ATEN
ÇÃO!
Uma matriz diagonal é uma matriz triangular superior e inferior.
Vejam que os termos abaixo da diagonal principal são uma “reflexão” 
dos termos da parte acima da diagonal principal.
Sejam duas matrizes A e B de ordem m x n. Então a matriz C = A + B terá a ordem m 
x n e seus elementos serão definidos como cij = aij + bij, para i=1, 2, 3…m e j=1, 2, 3,…, n.
UNI-ATENÇÃO: Para subtração de matrizes utilizamos a mesma ideia: dada duas 
matrizes A e B de ordem m x n, a matriz C = A – B terá ordem m x n e seus elementos são 
definidoscomo cij = aij – bij, para i = 1,2,3,…,m e j = 1,2,3,…,n.
UNIDADE 1TÓPICO 112
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
Exemplos:
(a)
(a)
(b)
(b)
4.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR
Escalar, para quem nunca ouviu esse termo, no nosso caso, nada mais é que um 
número real. Para multiplicar um número qualquer por uma matriz, basta multiplicar todos os 
elementos da matriz por esse número. Ou seja,
Exemplos:
UNIDADE 1 TÓPICO 1 13
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
(a)
(b)
4.3 MATRIZ TRANSPOSTA
Dada uma matriz A = aij mxn, sua transposta é definida por A
t = aji nxm . Ou seja, a 
primeira linha da matriz A será a primeira coluna da matriz transposta AT, a segunda linha da 
matriz A será a segunda coluna da matriz transposta AT, e assim sucessivamente para todas 
as linhas de A. Veja os exemplos:
Observe a 1ª linha de A e a compare com a 1ª coluna de AT. Agora repita essa observação 
para as demais linhas de A em comparação com as colunas de AT.
Vejam que a primeira linha de B é igual à primeira coluna de BT e a segunda linha de 
B é a segunda coluna de BT.
4.4 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Sendo A = aij mxn e B = bij nxp , a matriz C = A·B será dada por .
O primeiro fato a observar é que só podemos multiplicar matrizes quando o número de 
colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. 
UNIDADE 1TÓPICO 114
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
ATEN
ÇÃO!
Note que na definição A tem n colunas e B tem n linhas. Essa 
igualdade tem que ocorrer para que a multiplicação possa ser 
calculada.
Após estarmos certos que a multiplicação entre as matrizes é possível (o número de 
colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda), passamos ao cálculo. Vamos 
expor um exemplo para mostrar como proceder.
Começamos com duas matrizes A e B, onde é possível fazer o produto A·B
Como A possui duas colunas e B possui duas linhas, podemos calcular C = A·B
Sabemos que a matriz C terá ordem 3x4 devido à definição, pois a ordem da matriz 
resultado da multiplicação de duas matrizes herda o número de linhas da primeira e o número 
de colunas da segunda. Observe:
Basta agora definirmos os elementos cij da matriz resultado C.
Para ficar mais fácil na hora de calcular podemos lembrar que:
c11 é o resultado da multiplicação da 1ª linha de A com a 1ª coluna de B
c12 é o resultado da multiplicação da 1ª linha de A com a 2ª coluna de B
c13 é o resultado da multiplicação da 1ª linha de A com a 3ª coluna de B
UNIDADE 1 TÓPICO 1 15
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
c14 é o resultado da multiplicação da 1ª linha de A com a 4ª coluna de B
c21 é o resultado da multiplicação da 2ª linha de A com a 1ª coluna de B
c22 é o resultado da multiplicação da 2ª linha de A com a 2ª coluna de B
c23 é o resultado da multiplicação da 2ª linha de A com a 3ª coluna de B
c24 é o resultado da multiplicação da 2ª linha de A com a 4ª coluna de B
e assim por diante...
Portanto:
Com isso, finalmente, teremos:
Outros exemplos (resolvidos mais rapidamente)
Determine A • B nas situações a seguir, quando possível.
UNIDADE 1TÓPICO 116
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
(a)
Resolução
Primeiramente, temos que verificar se a multiplicação é possível. Para isso, olhamos 
a ordem das matrizes.
A primeira tem ordem 2x2, a segunda 2x3. Como o número de colunas da primeira é 
igual ao número de linhas da segunda, a multiplicação é possível.
A matriz resultado terá ordem 2x3, uma vez que o número de linhas da primeira matriz 
é 2 e o número de colunas da segunda é 3.
Logo,
Calculando os elementos cij multiplicando a linha i da primeira matriz com a coluna j 
da segunda, teremos:
c 11 = (-2)∙(1)+(4)∙(-2)=-2-8=-10
c 12 = (-2)∙(2)+(4)∙(5)=-4+20=16
c 13 = (-2)∙(3)+(4)∙(0)=-6+0=-6
c 21 = (1)∙(1)+(2)∙(-2)=1-4=-3
c 22 = (1)∙(2)+(2)∙(5)=2+10=12
c 23 = (1)∙(3)+(2)∙(0)=3+0=3
Portanto,
UNIDADE 1 TÓPICO 1 17
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
(b)
ATEN
ÇÃO!
Vejam que o elemento c11 da matriz resultado foi calculado 
multiplicando a 1ª linha da matriz A pela 1ª coluna da matriz B. 
Todos os outros são calculados de forma semelhante.
Como temos uma matriz de ordem 2x3 multiplicando uma matriz 3x1, esta multiplicação 
é possível e resultará numa matriz 2x1.
DIC
AS!
Se não compreendeu o motivo da conclusão acima, volte e estude 
as explicações anteriores a este exemplo.
Calculando os elementos c11 e c21, teremos
c 11=(-2)∙(-1)+1∙2+0∙1=2+2+0=4
c 21=(-4)∙(-1)+2∙2+1∙1=4+4+1=9
Logo, temos o resultado da multiplicação:
UNIDADE 1TÓPICO 118
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
IMP
OR
TAN
TE! �
Se você não está conseguindo acompanhar os cálculos, utilize 
as informações contidas no nosso primeiro caso, faça todos os 
cálculos separadamente e confira a resposta. Nunca esqueça: 
todas as linhas da primeira matriz multiplicam todas as colunas 
da segunda matriz.
4.5 PROPRIEDADES
As propriedades a seguir são válidas para todas as matrizes quando a operação em 
questão for possível.
(i) Em geral, A·B ≠ B·A, para A e B duas matrizes quaisquer, isto é, não é válida a propriedade 
comutativa da multiplicação para matrizes.
(ii) A·I = I·A = A , onde I é a matriz identidade de ordem apropriada e A é uma matriz 
qualquer.
(iii) A·(B+C) = A·B + A·C, quaisquer que sejam A, B e C matrizes (propriedade distributiva à 
esquerda).
(iv) (A + B) ·C = A·C + B·C quaisquer que sejam A, B e C matrizes (propriedade distributiva à 
direita).
(v) (A·B) ·C = A·(B·C), para A, B e C matrizes (propriedade associativa).
(vi) (A·B)T = BT·AT , para A e B matrizes.
ATEN
ÇÃO!
Fique atento à ordem das matrizes na propriedade (vi).
(vii) 0·A = 0 e A·0 = 0 , para toda matriz A(onde 0 é a matriz nula de ordem apropriada).
UNIDADE 1 TÓPICO 1 19
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B
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OR
TAN
TE! �
4.6 EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE OPERAÇÕES COM MATRIZES
É possível A·B = 0, sem termos A = 0 ou B = 0.
Para exemplificar o que o uni acabou de informar considere as matrizes: e 
, note que A ≠ 0 e B ≠ 0. (onde 0 é a matriz nula de ordem apropriada)
Com isso teremos 
(a) Os quadros a seguir mostram a produção, em milhares de toneladas de soja, feijão e milho 
das regiões sul, sudeste, centro-oeste e norte nos anos 2007 e 2008, respectivamente. (Dados 
fictícios)
 Produto
Região Soja Feijão Milho
Sul 5000 20 100
Sudeste 3500 75 200
Centro-oeste 2000 80 150
Norte 1500 20 0
Produção de 2007
Produção de 2008
 Produto
Região Soja Feijão Milho
Sul 7500 18 130
Sudeste 4500 22 220
Centro-oeste 1800 75 250
Norte 1750 25 100
Se quisermos verificar o total da produção de soja, feijão e milho por região, basta 
somarmos as duas tabelas. Usando somente os valores dos quadros, teremos uma soma de 
matrizes. Veja:
UNIDADE 1TÓPICO 120
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Ou seja, para termos a solução basta ler a matriz resultado lembrando o significado de 
cada linha e de cada coluna.
(b) Agora observe o seguinte quadro que representa o número de peças de tecido (X,Y,Z,W) 
necessárias para produzir cada tipo de roupa (A,B,C).
 Malha
Roupa X Y Z W
A 1 0 1 1
B 0 2 1 2
C 2 1 1 0
Os preços por unidade de cada tecido (X,Y,Z,W) estão no seguinte quadro:
Malhas Preços (em R$)
X 12,00
Y 15,00
Z 8,00
W 6,00
Se quisermos saber quanto custa cada tipo de roupa (A, B, C), basta multiplicar as 
matrizes dos valores do primeiro quadro com os valores do segundo quadro. Veja:
Logo, o custo da roupa A é R$ 26,00, da roupa B é R$ 50,00 e da roupa C é R$ 
47,00.
(c) Digamos que o número de transistores e o número de alto falantes necessários para montar 
alguns modelos de TV estão dispostos na tabela a seguir:UNIDADE 1 TÓPICO 1 21
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Modelo A Modelo B Modelo C
Transistores 13 18 20
Alto falantes 2 3 4
Suponhamos ainda que a próxima tabela mostre o número total de encomendas dos 
modelos de TV para os meses de janeiro e fevereiro.
Janeiro Fevereiro
Modelo A 12 6
Modelo B 24 12
Modelo C 12 9
Como determinar o número de transistores e de alto falantes necessários para montar 
todas as TVs em cada mês?
Resolução:
Veja que queremos a informação do número total de transistores de alto falantes em 
cada mês, ou seja, gostaríamos de algo assim:
Janeiro Fevereiro
Transistores
Alto falantes
Para isso, basta multiplicar a primeira matriz pela segunda (vamos deixar os títulos e 
operar apenas com os valores)
Essa última matriz indica a resposta, ou seja, 
Janeiro Fevereiro
Transistores 828 474
Alto falantes 144 84
UNIDADE 1TÓPICO 122
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DIC
AS!
Caso você tenha tido dificuldade em entender como foram 
multiplicadas as matrizes, volte ao tópico que faz essa explicação 
detalhadamente e prossiga do jeito ensinado. Você verá que os 
resultados serão os mesmos.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 23
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RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, tratamos especificamente de matrizes. A seguir, resumimos o que 
vimos para facilitar a fixação do estudo.
•	 Uma organização em linhas e colunas é chamada de matriz.
•	 Cada ente da matriz é denominado elemento.
•	 O elemento pode ser de qualquer natureza: pode ser número, função ou até mesmo outra 
matriz.
•	 Representamos uma matriz por uma letra maiúscula e nesse caderno os elementos estarão 
dispostos entre colchetes, apesar de existirem outras formas de representação.
•	 A ordem de uma matriz é a informação da quantidade de linhas e colunas.
•	 Duas matrizes são iguais quando todos os elementos correspondentes tiverem o mesmo 
valor.
•	 Estudamos alguns tipos de matrizes: quadrada, nula, coluna, linha, diagonal, identidade, 
triangular superior, triangular inferior e simétrica.
•	 Vimos também algumas operações: soma de matrizes, multiplicação por escalar, matriz 
transposta e multiplicação de matrizes.
•	 Só podemos somar matrizes de mesma ordem.
•	 Para multiplicar matrizes o número de colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número 
de linhas da segunda. Já a matriz resultante (produto) terá o número de linhas da primeira 
matriz e o número de colunas da segunda matriz.
•	 Na multiplicação de matrizes, não vale a propriedade comutativa, isto é, podemos ter 
A.B≠B .A, para duas matrizes quaisquer A e B.
UNIDADE 1TÓPICO 124
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AUT
OAT
IVID
ADE �
Para verificar se você entendeu todos os conceitos apresentados no Tópico 1, responda 
a essas atividades.
1 Construa as matrizes:
 e 
2 Relacione as colunas, quanto ao tipo de matrizes.
(a) matriz simétrica 
(b) matriz triangular superior 
(c) matriz triangular inferior 
(d) matriz diagonal 
3 Calcule, quando possível, as operações a seguir:
a) 
b) 
UNIDADE 1 TÓPICO 1 25
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A
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c) 
d) 
e) 
f) 
4 Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo 
e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela 
matriz:
 
(Qualquer semelhança dos números com a realidade é mera coincidência).
a) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, 
respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, 
respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 unidades monetárias. Qual é o preço unitário de 
cada tipo de casa?
c) Qual o custo total do material empregado?
UNIDADE 1TÓPICO 126
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ESCALONAMENTO E DETERMINANTE
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
UNIDADE 1
Podemos pensar neste tópico como uma introdução para os tópicos seguintes, uma vez 
que muitos dos cálculos de álgebra linear podem ser feitos com o auxílio de escalonamento 
de matrizes.
Existem relatos que na China antiga já eram resolvidos sistemas lineares usando um 
tipo de matriz e que também existia algo como um determinante, porém só no século XIX é 
que Cauchy e Jacobi realizaram trabalhos formais sobre o tema.
No presente tópico veremos que toda matriz quadrada tem um número relacionado a 
ela, chamado de determinante. Embora o cálculo do determinante para matrizes de ordem 
grande seja muito caro computacionalmente, inviabilizando a aplicação de seus conceitos em 
questões práticas, vale a pena estudá-lo pela beleza da parte teórica e pela riqueza histórica. O 
importante no determinante não é seu cálculo explícito, mas as propriedades que ele possui.
Estudaremos ainda como escalonar matrizes e a utilidade deste procedimento. E, 
também, usaremos o escalonamento como uma forma de encontrar o determinante, embora este 
não seja o único jeito, e nem de longe a aplicação mais importante para o escalonamento.
Esses conceitos ajudarão, e muito, na resolução dos sistemas lineares, bem como para 
verificar se os sistemas admitem ou não soluções.
UNIDADE 1TÓPICO 228
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2.1 MATRIZ ESCALONADA
Para nós, a matriz escalonada será uma matriz que satisfaça as seguintes 
condições:
(i) O primeiro valor não nulo de cada linha será denominado pivô.
(ii) Abaixo de cada pivô, só existirão valores nulos na coluna em questão.
Essas condições são suficientes para dar uma forma que lembra uma escada, pois 
todas as matrizes que as satisfizerem ficarão mais ou menos assim:
ATEN
ÇÃO!
Você notou que, se observarmos os elementos nulos abaixo dos 
pivôs (em destaque), existe, aparentemente uma escada na 
matriz?
IMP
OR
TAN
TE! �
Não deixem de verificar se as condições descritas acima são 
satisfeitas na matriz dada.
Outros exemplos de matrizes escalonadas, destacando os pivôs.
2 ESCALONAMENTO
UNIDADE 1 TÓPICO 2 29
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2.2 OPERAÇÕES SOBRE LINHAS DE MATRIZES
Toda matriz está relacionada a conjuntos com certas propriedades. Esses conjuntos estão 
fortemente ligados entre si e ao tipo de sistema linear que a matriz representa, estudaremos 
um pouco sobre eles posteriormente.
O mais interessante é que podemos fazer determinadas operações entre as linhas de 
qualquer matriz sem alterar esses espaços, o que, evidentemente não altera seus resultados 
e propriedades.
Como vocês verão no decorrer deste caderno, é mais fácil trabalhar com a matriz 
escalonada. Então usaremos as operações sobre linhas de matrizes para transformar uma 
matriz qualquer em uma escalonada.
UNI
Preste bem atenção nas operações permitidas, pois não é qualquer 
operação que não altera os conjuntos relacionados às matrizes.
São três as operações sobre linhas de matrizes:
(i) Permutação entre linhas
Nada mais é que trocar uma linha inteira por outra. Por exemplo, escrever a 4ª linha no 
lugar da 2ª linha e vice-versa.
Esta operação é denotada por Li ↔ Lj, onde i e j representam o número da linha em 
questão.
Exemplo:
Observem que as linhas 1 e 4 foram permutadas 
(trocadas).
UNIDADE 1TÓPICO 230
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(ii) Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero
Dada uma linha qualquer i da matriz, multiplica-se todos os elementos dessa linha por 
um escalar (número real) diferente de 0.
Representaremos esta multiplicação da linha i pelo escalar c por: Li → c·Li
Exemplo:
Observem que a “nova” linha 1 é o resultado da multiplicação entre o escalar 2 e a 
“velha” linha 1.
(iii) Soma da linha i com uma linha j multiplicadapor c não nulo.
Representação: Li → Li + c.Lj
Substituiremos uma linha, somando a esta linha outra linha qualquer multiplicada por 
um escalar c.
Vejam o exemplo com atenção:
Como mostra a representação L2 → L2 + 2·L1, a “antiga” linha 2 foi substituída pela soma 
da linha 2 com a linha 1 multiplicada por 2. 
Outros exemplos de operações sobre linhas de matrizes:
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Nesse exemplo 2, usamos várias operações na mesma matriz. Isso é sempre válido 
e, na verdade, faremos isso sempre que for preciso escrever a matriz escalonada. Note que 
a matriz do exemplo b ainda não está escalonada, mas está bem próxima a isso. Refaça os 
passos numa folha de estudo para fixar e compreender os resultados. Você consegue visualizar 
a operação que deveria ser feita em B para torná-la uma matriz escalonada?
2.3 ESCALONANDO MATRIZES
Agora aplicaremos as operações vistas no item anterior com o objetivo de escrever a 
matriz dada de forma escalonada.
Apesar de, no início do aprendizado, ser um cálculo longo, ele está longe de ser difícil. 
Basta prestar atenção nos detalhes, que são poucos, e não aparecerão dificuldades.
É importante lembrar que queremos “zerar” todos os números abaixo dos pivôs em cada 
coluna. Então o primeiro passo é identificar quem será seu pivô e após isso, fazer operações 
sobre linhas de matrizes até que todos os elementos abaixo dele sejam zeros. 
Veja o exemplo detalhado a seguir:
Considere a matriz:
O primeiro pivô será o elemento a11 que, no nosso exemplo, é 1. Temos que nos 
preocupar em zerar os elementos abaixo de a11=1, ou seja, a21=3 e a31=2.
Como o pivô está na linha 1, esta linha será usada de base e, nesta primeira etapa, a 
usaremos para conseguir zerar os elementos que desejarmos.
Como só podemos fazer as operações permitidas, teremos que somar a linha 2 (que 
UNIDADE 1TÓPICO 232
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contém o elemento 3 que queremos zerar) com a linha 1 (do pivô) multiplicada por algum 
escalar c. Vejam que esta é a terceira operação descrita no item 2.2.
Todo o esforço se reduz a determinar qual o escalar c que, multiplicado com a linha do 
pivô (no caso a 1) e somado com a linha do elemento a zerar (no caso, a linha dois), consegue 
zerar o elemento efetivamente.
Para determinar esse escalar c basta dividir o elemento que se deseja zerar pelo oposto 
do pivô. 
Ou seja:
ATEN
ÇÃO!
Note que dividimos o 3 (elemento que queremos zerar) pelo (-1), 
que é o oposto de 1. Essa “troca” de sinal é o que caracteriza 
o oposto do pivô, e sempre terá que ocorrer para determinar o 
escalar c.
Definido o escalar c, a “nova” linha 2 será a soma entre a “atual” linha 2 com a linha do 
pivô multiplicado por c (ou seja, com a linha 1 multiplicado por -3).
Teremos então:
Conseguimos zerar o elemento 3 da linha 2. Agora repetiremos o processo para zerar 
o elemento a31 = 2. Ainda usaremos como base a linha 1, pois o pivô pertence a esta linha.
Determinando o c:
UNIDADE 1 TÓPICO 2 33
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Continuando o processo:
Os pivôs desta matriz escalonada são a11=1, a22 = 1 e a34 = -2.
Tivemos sorte: a matriz já está escalonada, mas nem sempre isso ocorrerá tão rápido. A 
seguir, teremos mais exemplos com menos comentários e maior ênfase nos cálculos necessários 
para determinar o escalar c.
Exemplo 1:
Seja a matriz A apresentada a seguir:
Como, para determinar o escalar c precisamos dividir o elemento que queremos zerar pelo 
pivô, se o pivô for igual a 1, o trabalho será reduzido. Com isso, sempre que possível, fazemos 
o pivô “virar” 1 multiplicando a linha por um número (segunda operação do item 2.2)
Nesse caso, ficaria ainda mais fácil se nós permutarmos a linha 3 com a linha 1, antes 
de nos preocuparmos em transformar o pivô em valor 1. Isso porque todos os elementos da 
linha 3 são pares, enquanto o mesmo não acontece com os elementos da linha 1.
Logo,
Não é difícil observar que, primeiramente, trocamos a linha 1 pela linha três (L1↔L3) e 
após isso, multiplicamos a linha 1 por ½.
Nosso primeiro pivô então será o elemento a11=1, e teremos que zerar os elementos 
a21= -5 e a31= 2. 
UNIDADE 1TÓPICO 234
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Para zerar a21= -5, determinamos o c:
Então:
Para zerar a31= 2, determinamos o c,
Então:
A matriz ainda não está escalonada, pois abaixo do pivô a22 = 6, temos um elemento 
diferente de zero. Temos que zerá-lo, mas antes podemos fazer nosso pivô se transformar em 
1 a fim de facilitar os cálculos.
Logo,
Temos agora o pivô a22 = 1. Portanto o escalar c necessário para zerar o elemento 
a32=3, será dado por:
UNIDADE 1 TÓPICO 2 35
Á
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Então,
IMP
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TAN
TE! �
Note que a linha base nesta última etapa é a segunda. Isso 
ocorre porque o pivô está nesta linha. Notem também que não 
utilizamos o sinal de = entre as matrizes simplesmente porque 
as matrizes não são iguais, apenas conservam propriedades 
importantes entre si.
Os pivôs da matriz escalonada são os elementos a11 = 1, a22 = 1 e a33 = -2.
Exemplo 2:
Neste exemplo, só colocaremos os cálculos. Veja se você consegue acompanhá-lo. 
Para isso preste atenção na representação das operações que estamos fazendo abaixo da 
matriz.
Seja a matriz:
UNIDADE 1TÓPICO 236
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Pronto, a matriz está escalonada e seus pivôs são os elementos a11=1, a22=2 e 
a33=-1.
3 DETERMINANTE
3.1 DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 1
O determinante é um número relacionado a matrizes quadradas. Agora nós veremos 
como calcular o determinante de matrizes de ordem 1, 2 e 3. Depois, veremos como calcular 
o determinante utilizando escalonamento para calcular o determinante de matrizes.
Embora possamos calcular o determinante de matrizes de ordens superiores utilizando 
o método de Laplace (visto no ensino médio), não o mostraremos nesse caderno e nos 
concentraremos nas matrizes de ordem menor pelos motivos já ditos na introdução deste tópico. 
Entretanto, o método envolvendo escalonamento de matrizes pode ser utilizado para calcular 
determinante de matrizes de ordem superior como veremos mais à frente.
Adotaremos duas representações para determinantes de uma matriz quadrada A: 
(i) escrevemos det (A) ou;
(ii) simplesmente escrevemos os elementos da matriz A entre barras paralelas ao invés 
de usar colchetes.
Exemplo:
As matrizes de ordem 1 tem uma linha e uma coluna, ou seja, possuem apenas um 
elemento. Este elemento será o determinante da matriz.
UNIDADE 1 TÓPICO 2 37
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3.2 DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 2
Exemplos:
a) Se A = [-2], então det (A) = -2.
b) Se B = [54], então det (B) = 54.
c) Se C = [a], então det (C) = a.
As matrizes de ordem 2 têm duas linhas e duas colunas. Para calcularmos o determinante 
destas matrizes, basta multiplicarmos os elementos da diagonal principal e subtrairmos o 
resultado do produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:
Exemplo:
1) Calcule o determinante das matrizes de ordem 2 a seguir:
3.3 DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 3
Utilizaremos a regra de Sarrus para calcular esse determinante, que consiste em quatro 
passos:
UNIDADE 1TÓPICO 238
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2º) Multiplicar os termos da diagonal principal, bem como os termos das duas outras diagonais 
que criamos no passo 1.
Ao final deste passo, sempre teremos três valores: no nosso exemplo, 3·4·8 = 96, 2·6·7 
= 84 e 1·5·9 = 45.
3º) Multiplicar os termos da diagonal secundária, bem como os termos das duas outras diagonais 
que criamos no passo 1.
Ao final desse passo sempre, teremos três valores: no nosso exemplo, 3·5·7 = 105, 
1·6·8 = 48 e 2·4·9= 72.
4º) Somar os três valores do passo 2. Somar os três valores do passo 3. Efetuar a subtração 
entre esses dois resultados obtidos.
No passo 2 conseguimos 96+84+45 = 225. No passo 3 temos 105+48+72 = 225. Logo, 
o determinante será (225) – (225) = 0.
1º) Repetir as duas primeiras colunas da matriz, após a terceira coluna. Veja:
UNIDADE 1 TÓPICO 2 39
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ÇÃO!
Sempre teremos que fazer o total do passo 2 subtraído do total 
do passo 3. Não podemos fazer ao contrário, pois a subtração 
não é comutativa.
Outros exemplos de ordem 3:
a) 
IMP
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TAN
TE! �
Não vá adiante sem entender muito bem esse exemplo. Se 
você teve dificuldade em entender os valores apresentados, 
faça os 4 passos separadamente e compare os resultados.
b)
UNIDADE 1TÓPICO 240
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ÇÃO!
Faça alguns exemplos de matrizes triangular superiores de ordem 
3 para verificar essa afirmação.
(ii) Ao permutar duas linhas de uma matriz, o determinante dessa matriz apenas muda de sinal, 
não alterando seu valor absoluto.
(iii) Ao multiplicarmos uma linha de uma matriz por um escalar c, o determinante dessa matriz 
também ficará multiplicado por c. Ou seja, considerando det (A) = a, se multiplicarmos uma 
linha da matriz A por c obtendo uma matriz A1, então teremos que det (A1) = a·c
É útil, em alguns casos, sabermos também as seguintes propriedades:
(i) Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz forem iguais a zeros, 
então o determinante dessa matriz será igual a zero.
(ii) O determinante de uma matriz com duas linhas ou colunas iguais é zero.
IMP
OR
TAN
TE! �
Podemos generalizar esta propriedade dizendo que se uma 
matriz possui linhas (ou colunas) múltiplas uma das outras, 
então o determinante é zero.
3.4 USANDO ESCALONAMENTO PARA CALCULAR O DETERMINANTE
O que nos motiva a usar escalonamento para calcular o determinante são as seguintes 
afirmações:
(i) O determinante de uma matriz triangular superior é dado pela multiplicação dos termos da 
diagonal principal.
UNIDADE 1 TÓPICO 2 41
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ATEN
ÇÃO!
Este método pode ser utilizado para matrizes de ordem maior, 
mas temos que tomar cuidado com a multiplicação de linhas por 
um escalar ou permutação de linhas.
(iii) det (A·B) = det (A)·det (B) – Teorema de Binet
Pelas afirmações e propriedades citadas note que, se tomarmos os devidos cuidados 
e fazermos as devidas correções ao final do cálculo, podemos reduzir o determinante a um 
produto dos termos da diagonal principal. Para isso, basta escalonar uma matriz até obter uma 
matriz triangular superior, o que vimos como fazer no item 2 deste tópico.. 
Exemplo:
a) Calculemos o determinante da matriz do exemplo b do item 3.3 usando escalonamento.
Chegamos a uma matriz triangular superior. Vamos multiplicar os termos da diagonal 
principal para calcular o determinante: 1·7·(-3) = -21. Portanto, o determinante da matriz é igual 
a -21, conforme já havíamos demonstrado.
Veja que, nesse caso, não foi necessário fazer nenhuma correção sobre o valor 
encontrado, pois não multiplicamos nenhuma linha por uma constante e nem permutamos 
duas linhas.
b) Por escalonamento, calcule o determinante da matriz 
UNIDADE 1TÓPICO 242
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Como a última matriz é triangular superior, temos que:
Porém para chegar à última matriz multiplicamos a linha dois por -½ . Assim o 
determinante da última matriz deve ser multiplicado por (-2):
ATEN
ÇÃO!
Não vá adiante sem entender esse exemplo, pois ele é muito 
importante. Refaça-o em outra folha explicitando os passos 
dados, se for preciso.
UNIDADE 1 TÓPICO 2 43
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RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, vimos que:
•	 Toda matriz quadrada A tem um número relacionado a ela denominado determinante de A.
•	 O determinante da matriz de ordem 1 é igual ao elemento da matriz.
•	 Para calcular o determinante da matriz de ordem 2, fazemos o produto dos elementos da 
diagonal. 
•	 Principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
•	 A regra de Sarrus é utilizada para calcular o determinante de matrizes de ordem 3.
•	 Ao escalonar uma matriz, mantemos propriedades importantes e facilitamos alguns 
cálculos.
•	 Quando utilizamos escalonamento para calcular o determinante, precisamos fazer correções 
no valor obtido sempre que multiplicamos uma linha por um escalar ou permutamos 
linhas.
UNIDADE 1TÓPICO 244
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AUT
OAT
IVID
ADE �
Para fixar os conceitos estudados no Tópico 2, responda aos seguintes 
exercícios:
1 Calcule o determinante das matrizes a seguir.
a) b) c) 
2 Usando a regra de Sarrus, calcule:
a) b) 
3 Faça o escalonamento utilizando as operações sobre linhas de matrizes.
 
a) b) 
4 Use o escalonamento e calcule o determinante das duas matrizes dadas no exercício 
2.
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MATRIZ INVERSA
1 INTRODUÇÃO
2 MATRIZ INVERSA
2.1 DEFINIÇÃO
TÓPICO 3
UNIDADE 1
Você iniciará agora o estudo de matriz inversa. Neste tópico aprenderá os conceitos, 
propriedades e três métodos de como determinar a inversa de uma matriz. 
Para isso, no primeiro momento, faremos o cálculo da mesma forma que apresentado 
nos cursos de ensino médio. Esta abordagem fará com que você relembre ou, em alguns casos, 
aprenda este método. A seguir, usaremos o determinante da matriz para determinar a inversa 
e, finalmente, apresentaremos o método que envolve o escalonamento da matriz. 
É importante salientar desde já que o método do escalonamento parecerá muito difícil 
em comparação aos outros, contudo é o melhor método para calcular a inversa de matrizes de 
ordem grande, e, em aplicações práticas, as matrizes são, geralmente, de ordens elevadas. 
Portanto, tente entender bem o processo quando este for apresentado.
Seja uma matriz quadrada A, a matriz inversa A-1 será uma matriz tal que:
A .A -1=A -1.A=1
UNIDADE 1TÓPICO 346
Á
L
G
E
B
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A
L
I
N
E
A
R
IMP
OR
TAN
TE! �
Note que esta definição indica que a multiplicação da matriz A pela 
sua inversa tem que resultar na matriz identidade. Além disso, a 
matriz inversa tem que poder multiplicar a esquerda e a direita 
a matriz A. Isso implica que, para ter inversa, a matriz A precisa 
ser quadrada como informado na definição e ter determinante 
diferente de zero.
2.2 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2
Agora vamos relembrar como calcular a inversa de uma matriz de ordem 2 usando os 
métodos ensinados no ensino médio.
ATEN
ÇÃO!
Caso você não tenha aprendido no ensino médio como calcular a 
matriz inversa, não tem problema, pois daremos dois exemplos 
bem detalhados que, serão suficientes para que você aprenda.
Exemplo 1:
Neste primeiro exemplo, comentaremos todos os passos que efetuaremos no cálculo 
da inversa. Isso será bom para que você entenda bem o método. Para isso, começaremos a 
explanação sobre o cálculo da matriz inversa utilizando a seguinte matriz:
É em relação a essa matriz que determinaremos a matriz inversa A-1. Para calcular, 
lembre-se da definição:
A .A -1=A -1.A=1
Como , então temos que determinar uma matriz A-1 que pode ser multiplicada 
de ambos os lados de A.
UNIDADE 1 TÓPICO 3 47
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OR
TAN
TE! �
Como já falamos só existe a inversa de matrizes quadradas. E mais 
do que isso, a inversa A-1 terá sempre a mesma ordem da matriz 
A, além disso, a identidade I também terá essa mesma ordem.
DIC
AS!
Lembre-se que nem sempre é possível multiplicar matrizes. Caso 
não se lembre das definições de multiplicação de matrizes, volteao tópico que explica essa operação.
Como a matriz A é uma matriz de ordem 2x2 (duas linhas e duas colunas), a matriz 
inversa A-1 tem que ser da mesma ordem de A, ou seja, 2x2.
Logo, aplicando a definição de matriz inversa, temos:
A .A -1=A -1.A=1
Note que não conhecemos a matriz inversa A-1, mas sabemos que ela tem a mesma 
ordem de A, ou seja, ordem 2x2. Podemos então substituir na equação A-1 pela matriz 
na definição. Também substituiremos na definição a matriz identidade I pela matriz identidade 
de ordem 2, . 
Voltando ao cálculo temos:
Efetuando a multiplicação das matrizes do lado esquerdo, conseguiremos:
UNIDADE 1TÓPICO 348
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Isso implica:
Para essas duas matrizes serem iguais, é necessário que todos os elementos de 
posições correspondentes sejam iguais, ou seja:
Notem que, dessas quatro igualdades, em duas aparecem os termos a e c e nas outras 
duas aparecem os termos b e d. Separando então essas quatro equações (igualdades) em 
relação aos termos a,b,c e d teremos dois sistemas lineares:
Basta agora resolver estes dois sistemas para encontrar os valores a, b, c e d e, 
consequentemente, os elementos da matriz inversa A-1.
DIC
AS!
Embora termos um tópico sobre sistemas lineares, acreditamos 
que todos tenham tido contato com esses sistemas pequenos 
tanto no ensino fundamental, quanto no médio. Caso você não 
entenda a próxima explicação, é importante que pegue um 
livro de matemática da sétima série e faça um estudo sobre os 
sistemas lineares de ordem 2.
Vamos resolver o primeiro sistema linear:
UNIDADE 1 TÓPICO 3 49
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Da primeira igualdade, temos a informação:
b+2d=0
Que é o mesmo que escrever:
b=-2d
Agora, utilizaremos essa igualdade para substituir a incógnita b da segunda igualdade 
do sistema pela expressão -2d. Ou seja,
2b+5d=1
2∙(-2d )+5d=1
Resolvendo essa igualdade teremos:
-4d+5d=1
d=1
Agora sabemos que d=1, e. Então, retornando à igualdade b= -2d, teremos:
b= -2d
b=-2∙(1)
b= -2
IMP
OR
TAN
TE! �
Veja que já resolvemos o sistema, uma vez que b = -2 e d = 1. 
Repetiremos o processo no outro sistema para determinar a e c, 
e com isso teremos a matriz inversa.
O outro sistema,
Pegando a primeira equação (igualdade), e isolando a incógnita a, teremos:
a+2c=1
a=1-2c
Substituindo essa igualdade na segunda equação, e desenvolvendo:
UNIDADE 1TÓPICO 350
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2a+5c=0
2(1-2c )+5c=0
2-4c+5c=0
2+c=0
c=-2
Retornando para a expressão a=1-2c , e substituindo o valor c=-2
a=1-2c
a=1-2(-2)
a=1+4
a=5
Chegamos então aos quatro valores das incógnitas: a = 5, b = -2, c = -2, d = 1. Logo 
a matriz inversa será:
DIC
AS!
Se você quiser ter certeza que calculou a matriz inversa A-1 
corretamente, basta efetuar a multiplicação A.A -1, no nosso 
exemplo, . Se essa multiplicação resultar na 
identidade , você terá calculado corretamente, caso 
contrário, refaça os cálculos.
A apresentação deste primeiro exemplo ficou bastante longa por causa do detalhamento 
de todo o processo. O próximo exemplo será feito omitindo alguns detalhes.
Exemplo 2: Calcule a inversa da matriz
Como dito no exemplo 1, seremos mais sucintos na explicação dos passos, mas 
faremos exatamente da mesma maneira, caso não entenda algum motivo, volte ao exemplo 
UNIDADE 1 TÓPICO 3 51
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1 e compare as situações.
Da definição de matriz inversa:
A ∙ =A -1∙A= I
Teremos:
Efetuando a multiplicação do termo do lado esquerdo da igualdade:
Analisando a igualdade termo a termo, teremos quatro equações (igualdades):
Separando em dois sistemas em relação às incógnitas a, b, c, d:
Resolvendo o primeiro:
Isolando a incógnita b na primeira igualdade:
-b+2d=0
2d=0+b
2d=b
Como b=2d, substituiremos essa informação na segunda igualdade:
-3b+d=1
-3(2d )+d=1
-6d+d=1
UNIDADE 1TÓPICO 352
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-5d=1
d= - 1 
 5
Voltando à igualdade b=2d e substituindo d=- 1 , conseguiremos:
 5
b=2d
Temos que resolver o outro sistema:
Isolando a incógnita a na primeira equação:
-a+2c=1
-a=1-2c
a=-1+2c
Substituindo essa informação na segunda equação do sistema e resolvendo,
-3a+c=0
-3 ∙ ( -1+2c )+c=0
3-6c+c=0
-5c=-3
c= -3 
 -5
c= 3 
 5
Com o valor de c= 3 , na igualdade a=-1+2c , teremos:
 5
a=-1+2c
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Como já determinamos os valores dos elementos a, b, c, d da matriz inversa A -1, 
segue que
UNI
Faça a multiplicação A ∙A -1 para verificar se resulta na matriz 
identidade e conferir se os cálculos estão corretos.
2.3 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO DETERMINANTE
No item anterior, vimos como calcular a matriz inversa de uma matriz de ordem 2 
utilizando a definição e resolvendo o sistema linear. Agora veremos como utilizar o determinante 
da matriz para determinar a inversa.
Definição: Seja uma matriz , onde a, b, c e d são números reais tais que 
det (A) ≠0. Então a inversa de A será dada por A -1 = 
IMP
OR
TAN
TE! �
A generalização dessa definição para matrizes de ordem maior 
que 2 é possível, porém exige a definição de cofator de elementos 
e de matriz de cofatores. Como usaremos o escalonamento para 
matrizes de ordem maior que 2, não faremos a generalização 
nesse Caderno de Estudos, mas você pode encontrá-la no livro 
de Álgebra Linear, de Boldrini.
UNIDADE 1TÓPICO 354
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Exemplo 1: Calcule a inversa de 
Sabemos da definição que 
Então, precisamos calcular det(A), ou seja:
Então, voltando à definição:
ATEN
ÇÃO!
Veja como é rápido efetuar essa inversa, porém a generalização 
é difícil. Portanto, é importante aprender os outros métodos.
UNIDADE 1 TÓPICO 3 55
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Exemplo 2: Calcule a inversa da matriz 
Calculando o determinante de A:
det(A)=[(-2) ∙3-1∙9]
det(A)=-6-9
det(A)=-15
Então, da matriz A, sabemos que a = -2, b = 9, c = 1 e d = 3. Usando a definição da 
inversa é só efetuar as devidas substituições.
2.4 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO O ESCALONAMENTO
Conforme mencionamos, não costumamos utilizar o método do determinante para 
encontrar a matriz inversa de matrizes cuja ordem é superior a 2. Para estes casos, utilizaremos 
o método que envolve o escalonamento da matriz. 
Para explicar como determinar a inversa de uma matriz utilizando o escalonamento, não 
faremos a generalização do processo, mas utilizaremos vários exemplos. Acreditamos que, 
assim, será mais fácil para você entendê-lo. Entretanto, esse método é de fácil generalização, 
por isso vale a pena aprender a fazê-lo de maneira correta para utilizar quando for necessário 
determinar matrizes de ordem grande.
UNIDADE 1TÓPICO 356
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DIC
AS!
Preste bastante atenção no desenvolvimento do exemplo, e vá 
repassando os passos numa folha de anotações para compreender 
corretamente o que precisa ser feito.
ATEN
ÇÃO!
Esse método é de fácil generalização, portanto, vale a pena 
aprender a fazê-lo de maneira correta para utilizar quando for 
necessário determinar matrizes de ordem grande.
Começaremos com exemplos de matrizes de ordem 2, depois faremos um de ordem 3 
para que você perceba que o processo é o mesmo.
Exemplo 1: Determine a inversa da matriz
Resolução:
O primeiro passo será escalonar A. Para isso, vamos escrever a matriz estendida de 
A da seguinte maneira:
Veja que essa matriz estendida possui a matriz A do lado esquerdo do traço vertical e 
a matriz identidade do lado direito do traço vertical.
O objetivo agora é fazer operaçõessobre as linhas da matriz (as mesmas utilizadas no 
escalonamento) para transformar a matriz A que aparece no lado esquerdo do traço vertical 
em uma matriz identidade.
UNIDADE 1 TÓPICO 3 57
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No lado esquerdo do traço está a matriz identidade. Nesse momento, a matriz inversa 
de A, aparece do lado direito do traço direito, ou seja,
UNI
Viu como não é difícil? Basta utilizar operações sobre linhas de 
matrizes para chegar à matriz inversa.
Exemplo 2: Exiba a inversa da matriz 
Resolução
Escrevendo a matriz expandida:
Utilizando as operações sobre linhas de matrizes para transformar o lado esquerdo do 
traço vertical em uma matriz identidade:
UNIDADE 1TÓPICO 358
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Pronto! A inversa é:
Agora encontraremos a inversa de uma matriz de ordem 3. Claramente, a quantidade 
de operações sobre linhas de matrizes que serão necessárias para chegarmos à identidade 
do lado esquerdo do traço vertical será maior. Apesar disso, o método é exatamente o mesmo 
utilizado para matrizes de ordem 2.
Exemplo 3: Dada a matriz A, a seguir, determine a sua inversa
UNIDADE 1 TÓPICO 3 59
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Resolução:
Matriz expandida:
Utilizando operações sobre linhas de matrizes para chegar à matriz identidade do lado 
esquerdo do traço vertical da matriz expandida:
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Pronto! Do lado direito do traço vertical da matriz expandida temos a inversa:
IMP
OR
TAN
TE! �
Refaça os cálculos do escalonamento num rascunho para entender 
bem o procedimento. É muito importante que você não continue 
sem ter certeza que compreendeu o processo.
LEITURA COMPLEMENTAR
A MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Letícia Menezes Panciera
 Márcio Violante Ferreira
No presente trabalho foram desenvolvidas situações-problemas envolvendo o estudo de 
matrizes e sistemas de equações lineares para alunos do Ensino Médio, através da metodologia 
da Modelagem Matemática. Descrevemos aqui uma experiência de sala de aula, realizada na 
disciplina de Fundamentos de Geometria Analítica e Álgebra Linear, do Curso de Mestrado 
Profissionalizante em Ensino de Física e Matemática, do Centro Universitário Franciscano de 
Santa Maria – UNIFRA–RS.
Muitas vezes, os educadores de Matemática encontram dificuldades em desenvolver 
determinados conteúdos matemáticos mostrando a aplicação dos mesmos para seus alunos. A 
Modelagem Matemática, como uma metodologia de ensino, vem ao encontro da nova visão de 
Educação Matemática, que valoriza não apenas adquirir conhecimentos, mas o desenvolvimento 
de capacidades, atitudes e valores, relacionando a Matemática com o mundo real.
Segundo Bassanezi (2002), o qual se utiliza desta modalidade, o uso da modelagem 
conduz para o ensino de conteúdos matemáticos conectados com outras formas de 
conhecimento.
UNIDADE 1 TÓPICO 3 61
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O tema abordado para o desenvolvimento dessa experiência foi perda de peso em um 
programa de dieta e com exercícios preestabelecidos, determinando as calorias que se vai 
queimar e, também, o controle do fluxo de veículos nas ruas de mão única no horário de rush 
no centro de uma cidade.
Segundo D’ Ambrósio (1998), devemos contemplar os nossos alunos com problemas 
significativos, ao invés de situações artificiais e repetitivas. Os conteúdos matemáticos da 
Educação Básica devem ter conexões com o meio social dos alunos, para que possam utilizá-
los na sua vida cotidiana.
No entanto, sugerimos duas aplicações de grande relevância, pois fazem parte do 
cotidiano dos alunos, para resolver matrizes e sistemas lineares utilizando a metodologia da 
Modelagem Matemática.
Tendo em vista uma melhoria na qualidade de vida desses adolescentes, vamos abordar 
o conteúdo de matrizes através de um programa que relacione atividades físicas e as calorias 
que eles vão perder, estimulando também a atividade física entre os adolescentes.
Pesquisas mostram que pessoas que incluem atividades físicas no seu programa de 
emagrecimento têm menor chance de recuperar o peso perdido do que as que só mudaram a 
dieta. Além de promover o controle de peso, a atividade física melhora sua força e flexibilidade, 
diminui o risco de enfermidade cardíaca, ajuda a controlar a pressão sanguínea e diabetes e 
ainda pode melhorar a sensação de bem-estar e diminuir o estresse.
Situação-problema 1
Fernando é um aluno que pesa 73 quilos. Ele quer perder peso por meio de um programa 
de dieta e de exercícios. Após consultar a tabela 1, ele montou o programa de exercícios na 
tabela 2. Quantas calorias ele vai queimar por dia se seguir esse programa?
TABELA 1 - CALORIAS QUEIMADAS POR HORA
Peso Caminhar a 
3km/h
Correr a 9km/h Andar de 
bicicleta a 9km/h
Jogar futebol
69 213 651 304 420
73 225 688 321 441
77 237 726 338 468
81 249 764 356 492
Suponhamos um acompanhamento deste aluno através de um programa de exercícios 
ao longo da semana.
UNIDADE 1TÓPICO 362
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Caminhar Correr Andar de 
bicicleta
Jogar futebol
Segunda-feira 1,0 0,0 1,0 0,0
Terça-feira 0,0 0,0 0,0 2,0
Quarta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0
Quinta-feira 0,0 0,0 0,5 2,0
Sexta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0
TABELA 2 - HORAS POR DIA PARA CADA ATIVIDADE
Após este levantamento, vamos cruzar as informações:
As informações do aluno Fernando estão localizadas na tabela 1, segunda linha. Essa 
informação pode ser representada por uma matriz X 4x1 e as da tabela2, através de uma 
matriz A 5x4.
Então, por meio destas informações podemos dizer quantas calorias Fernando vai 
queimar após cada dia de exercício físico, simplesmente calculando A . X:
Se formarmos o produto AX, a primeira linha de A.X vai representar as calorias que ele 
vai queimar na segunda-feira:
1,0. 225 + 0,0. 688 + 1,0. 321 + 0,0. 441 = 546
O produto da segunda linha de A . X representa as calorias para terça-feira:
0,0. 225 + 0,0. 688 + 0,0. 321 + 2,0. 441 = 882
O produto da terceira linha de A .X representa as calorias para quarta-feira:
0,4. 225 + 0,5. 688 + 0,0. 321 + 0,0. 441 = 434
O produto da quarta linha de A .X representa as calorias para quinta-feira:
0,0. 225 + 0,0. 688 + 0, 5 . 321 + 2,0. 441 = 1042,5
O produto da quinta linha de A .X representa as calorias para sexta-feira:
0,4. 225 + 0,5. 688 + 0,0. 321 + 0,0. 441 = 434
A matriz A é de ordem 5 x 4, e a matriz X é de ordem 4 x 1 e a matriz-produto A.X é de 
ordem 5 x 1. Podemos, então, perceber que a multiplicação de duas matrizes somente é possível 
UNIDADE 1 TÓPICO 3 63
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se o número de colunas da primeira for o mesmo que o número de linhas da segunda.
Logo, Fernando vai queimar 546 calorias na segunda-feira, 882 calorias na terça-feira, 
434 calorias na quarta-feira, 1.042,5 calorias na quinta-feira e 434 calorias na sexta-feira com 
este programa de dieta e exercícios.
[...]
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Abordar estas situações-problemas nas aulas de Matemática possibilita um conhecimento 
matemático mais significativo, pois o aluno fará parte do levantamento de dados para o 
desenvolvimento da aplicação, viabilizando um maior interesse, entusiasmo e motivação pelas 
aulas e observando que a Matemática está presente no nosso cotidiano.
Os conteúdos possuem diferentes aplicabilidades e é preciso mostrar isso aos alunos, 
como forma de contribuir para a sua formação integral para a vida e para o trabalho. A aplicação 
de situações reais com o desenvolvimento do conteúdo de sistemas lineares e matrizes para a 
interpretação e análise nas aulas de Matemática faz com que os alunos enxerguem o quanto 
a Matemática é importante e faz parte do nosso dia a dia.
Conclui-seque o uso desta metodologia nas aulas de Matemática, além de servir como 
motivação para introduzir novas ideias, propicia, também, a compreensão e interpretação de 
um problema real onde o aluno está inserido e faz parte deste processo como cidadão.
Desta forma, o ensino da Matemática cumpre a sua função de contribuir na formação do 
indivíduo, tratando de assuntos e questões do dia a dia, com a intenção de mostrar, conhecer 
e até mesmo alertar.
REFERÊNCIAS 
BARBOSA, Jonei Cerqueira. O que pensam os professores sobre a modelagem 
matemática? Zetetiké, v. 7, n. 11, p. 67-85, 1999.
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática: uma 
UNIDADE 1TÓPICO 364
Á
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G
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B
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I
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E
A
R
nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1998.
FONTE: Disponível em: <http://www.unifra.br/eventos/jornadaeducacao2006/2006/pdf/artigos/
matem%C3% A1tica/A%20MODELAGEM%20MATEM%C3%81TICA%20NO%20ENSINO%20DE%20
MATRIZES.pdf>. Acesso em: 28 jul. 2012. 
UNIDADE 1 TÓPICO 3 65
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Neste tópico, aprendemos que:
•	 Só existe inversa de matrizes quadradas com determinante não nulo.
•	 Se uma matriz quadrada A admite inversa A-1, então A.A-1 = I
•	 Para determinar a matriz inversa, podemos escolher dentre três métodos:
(I) Aplicação da definição: A ∙A -1=A -1∙A= I 
(II) Método do determinante para ordem 2:
(III)Dada uma matriz com det (A) ≠ 0,
(III) Método do escalonamento, que consiste em escrever a matriz expandida e operar as linhas 
das matrizes até conseguir a matriz identidade do lado esquerdo do traço vertical.
RESUMO DO TÓPICO 3
UNIDADE 1TÓPICO 366
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
AUT
OAT
IVID
ADE �
1 Utilizando a definição (1º apresentado no tópico), determine as inversas das 
matrizes:
2 Utilizando o método do determinante, calcule as inversas das matrizes:
3 Calcule as inversas das matrizes utilizando o método do escalonamento.
UNIDADE 1 TÓPICO 3 67
Á
L
G
E
B
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A
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I
N
E
A
R
AVAL
IAÇÃ
O
Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final 
da Unidade 1, você deverá fazer a Avaliação referente a esta 
unidade.
UNIDADE 1TÓPICO 368
Á
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A
R
UNIDADE 2
SISTEMAS LINEARES, ESpAÇOS 
vETORIAIS E TRANSFORMAÇÕES 
LINEARES
ObjETIvOS DE ApRENDIZAgEM
A partir desta unidade, o(a) acadêmico(a) estará apto(a) a:
	relacionar uma matriz a um sistema linear;
	solucionar um sistema linear usando a forma matricial;
	classificar um sistema linear quanto à quantidade de soluções;
	entender e conceituar vetores;
	visualizar vetores no plano;
	definir espaços vetoriais;
	compreender transformações lineares;
	aplicar transformações lineares.
TÓPICO 1 – SISTEMAS LINEARES
TÓPICO 2 – ESPAÇO VETORIAL – PARTE 1
TÓPICO 3 – ESPAÇO VETORIAL – PARTE 2
TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES
pLANO DE ESTUDOS
Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No final de 
cada um deles, você encontrará atividades que reforçarão o seu 
aprendizado.
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SISTEMAS LINEARES
1 INTRODUÇÃO
2 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
TÓPICO 1
UNIDADE 2
Os conceitos primitivos sobre sistemas lineares já são apresentados no ensino 
fundamental. Depois disso, os conceitos vão evoluindo gradativamente no decorrer da vida 
acadêmica. Infelizmente, não podemos dizer que todos os alunos consigam entender a 
importância desse tema.
 
Se pensarmos na matemática como uma ciência a ser aplicada em problemas práticos, 
sistemas lineares são a chave para as soluções desses problemas. Claro que nem todos os 
problemas são resolvidos por um sistema linear, mas boa parte deles são. Assim, sua importância 
é gigantesca. A solução de equações lineares é o problema central da álgebra linear.
Nesta unidade, estudaremos que existem sistemas possíveis de serem resolvidos e 
que apresentam uma única solução (possíveis determinados). Veremos também que alguns 
sistemas possuem várias soluções possíveis (possíveis indeterminados), enquanto outros, 
simplesmente não possuem solução (sistemas impossíveis). Aprenderemos como identificar 
cada caso e a solucionar os sistemas que apresentarem soluções.
Para isso, relacionaremos uma matriz a cada sistema linear e veremos como o 
escalonamento dessa matriz relacionada nos dá todas as “pistas” necessárias sobre o sistema 
linear original.
Se quisermos generalizar um sistema linear, podemos dizer que relacionamos n variáveis 
em m equações diferentes, como representado a seguir:
UNIDADE 2TÓPICO 172
Á
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R
Ao tentar resolver um sistema linear, estamos procurando os valores para x1, x2, x3,…, 
xn que façam as m equações envolvidas no sistema serem verdadeiras.
UNI
Quando dizemos que uma equação é verdadeira, estamos nos 
referindo que ao substituirmos cada x1, x2, x3,…, xn pelos seus 
respectivos valores obtemos os resultados b1, b2, b3,…, bm como 
informado em cada equação do sistema.
Infelizmente nem todos os sistemas lineares apresentam soluções que consigam 
satisfazer todas as equações simultaneamente, o que caracteriza que o referido sistema não 
tem solução.
Temos então três tipos de sistemas lineares:
(i) Sistemas Possíveis e Determinados (SPD)
Quando só há uma possibilidade de resposta para x1, x2, x3,…, xn de modo a satisfazer 
o sistema. Por esse motivo, dizemos que é determinado: há uma única solução.
(ii) Sistemas Possíveis e Indeterminados (SPI)
Nesse tipo de sistemas, há infinitas possibilidades de combinações para x1, x2, x3,…, 
xn, que satisfazem o sistema linear. Logo este sistema é possível, mas é indeterminado, pois 
não há uma única e determinada solução, mas infinitas.
(iii) Sistemas Impossíveis (SI)
Como o próprio nome diz, são os sistemas que não têm soluções, ou seja, não há 
combinação possível para x1, x2, x3,…, xn de modo a satisfazer, simultaneamente, todas as m 
equações do sistema.
UNIDADE 2 TÓPICO 1 73
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2.1 VISUALIZAÇÃO DOS TIPOS DE SISTEMAS EM R²
Quando o sistema SPD, SPI ou SI tiver duas ou três incógnitas, poderemos representá-
los em R² ou R³, respectivamente. Faremos isso no plano R² devido à facilidade interpretativa. 
Os conceitos vistos em R² podem ser generalizados para o espaço R³ e também para um espaço 
Rn qualquer, embora seja impossível a visualização geométrica de espaços além de R³.
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As representações R, R², R³, estão sendo cada vez mais usadas 
no mundo matemático para representarem a reta, o plano e o 
espaço, respectivamente. Por isso, a representação é utilizada 
para os chamados hiperplanos Rn quando o n é maior que 3, 
que são impossíveis de visualizar, mas que a matemática estuda 
perfeitamente.
Para entender a representação geométrica de um sistema no plano R², vocês têm que 
lembrar que cada equação do sistema representa uma reta no plano cartesiano. E, ainda, 
que um sistema R² tem apenas duas variáveis. O número de equações não é fixo, ele pode 
variar de uma até m equações, porém, sem perda de generalidade, usaremos como exemplos, 
sistemas com duas equações.
(i) Sistema Possível e Determinado (SPD)
Um sistema apresentar uma única solução significa que as equações que o compõem 
são retas concorrentes cujo ponto de intersecção é a solução do sistema.
UNIDADE 2TÓPICO 174
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B
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(ii) Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
As equações que compõem o sistema representam duas retas coincidentes, ou seja, 
estão uma “em cima” da outra. Como todos os pontos de uma também são pontos da outra,