Geometria Plana: Axioma das Paralelas

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Geometria Plana
Aula 05
Elaine Pimentel
UFRN
20 de Marc¸o de 2014
Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Marc¸o de 2014 1 / 13
Motivac¸a˜o
Ate´ agora: na˜o foi necessa´rio usar o postulado das paralelas.
Ou seja, para qualquer geometria onde sejam va´lidos os axiomas de
incideˆncia, ordem, medic¸a˜o e de congrueˆncia, os resultados provados
ate´ agora continuara˜o sendo va´lidos.
Hoje vamos mostrar mais alguns resultados e partir para o axioma das
paralelas.
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Nesta aula
1 Ainda sem o axioma das paralelas
2 Agora com o axioma das paralelas
3 Para Casa
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1 Ainda sem o axioma das paralelas
2 Agora com o axioma das paralelas
3 Para Casa
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Teorema do aˆngulo externo
Def1 Se ABC e´ um triaˆngulo, seua aˆngulos ABˆC ,BCˆA,CAˆB sa˜o
chamados aˆngulos internos. Os suplementos desses aˆngulos sa˜o
chamados externos.
Teor1 Todo aˆngulo externo de um triaˆngulo mede mais do que qualquer dos
aˆngulos internos a ele na˜o adjacentes.
Prop1 A soma das medidas de quaisquer dois aˆngulos internos de um
triaˆngulo e´ menor que 180o .
Cor1 Todo triaˆngulo possui, pelo menos, dois aˆngulos internos agudos.
Cor2 Se duas retas distintas m e n sa˜o perpendiculares a uma terceira,
enta˜o m e n na˜o se interceptam.
Prop2 Dada uma reta m e um ponto P fora dela, existe uma u´nica reta l
perpendicular a m passando por P.
Prop3 Se dois lados de um triaˆngulo na˜o sa˜o congruentes, enta˜o seus
aˆngulos opostos na˜o sa˜o congruentes e o maior aˆngulo e´ oposto ao
maior lado.
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Desigualdade triangular
Prop4 Se dois aˆngulos de um triaˆngulo na˜o sa˜o congruentes, enta˜o os lados
que se opo˜em a estes aˆngulos teˆm medidas distintas e o maior lado
opo˜e-se ao maior aˆngulo.
Teor2 Em todo triaˆngulo, a soma dos comprimentos de dois lados e´ maior
do que o comprimento do terceiro lado.
Teor3 Dados treˆs pontos distintos A,B,C , tem-se que AC ≤ AB + BC . A
igualdade ocorre se e somente se B pertencer ao segmento AC .
Prop5 Sejam a, b, c treˆs nu´meros positivos. Suponha que
| a− b |< c < a + b. Enta˜o pode-se construir um triaˆngulo cujos
lados medem a, b e c .
Teor4 Sejam ABC e DEF dois triaˆngulos retaˆngulos cujos aˆngulos retos sa˜o
Cˆ e Fˆ . Se AB = DE e BC = EF , enta˜o ABC = DEF .
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O axioma das paralelas
AV Por um ponto fora de uma reta dada pode-se trac¸ar uma u´nica reta
paralela a esta reta.
Prop1 Se a reta m e´ paralela a`s retas r e s, enta˜o r e s sa˜o paralelas ou
coincidentes.
Prova. Suponha que r e s na˜o sa˜o coincidentes e sa˜o paralelas a` reta
m. Se r e s na˜o fossem paralelas, elas teriam um ponto de intersec¸a˜o
P.
Mas enta˜o r e s seriam distinas, paralelas a` m e passando por P.
Absurdo.
Cor1 Se uma reta corta uma de duas paralelas, enta˜o corta tambe´m a
outra.
Prova. Se uma reta cortasse somente uma de duas paralelas, enta˜o
ter´ıamos uma reta paralela a duas retas na˜o paralelas.
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Ta´ muito dif´ıcil!!!
A nossa definic¸a˜o de paralelas na˜o e´ ta˜o fa´cil de usar na pra´tica:
retas sa˜o infinitas em comprimento, como provar que duas retas na˜o se
interceptam?
Maneira simples: comparac¸a˜o dos aˆngulos 1 e 2:
Prop2 Se 1ˆ = 2ˆ enta˜o m e n sa˜o paralelas.
Prova. Suponha que m intercepta n em P. No triaˆngulo ABP, 1ˆ e´ aˆngulo
externo e 2ˆ e´ aˆngulo interno na˜o adjacente a 1ˆ e vice-versa. Pelo teorema
do aˆngulo externo, 1ˆ 6= 2ˆ. Absurdo.
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Aˆngulos correspondentes
Observe que 1ˆ = 7ˆ, 2ˆ = 8ˆ, 3ˆ = 5ˆ e 4ˆ = 6ˆ por serem opostos pelo ve´rtice.
Se 1ˆ = 2ˆ, enta˜o 1ˆ = 7ˆ = 2ˆ = 8ˆ.
Ale´m disso, 3ˆ + 2ˆ = 180o .
Inversamente, se 3ˆ + 2ˆ = 180o enta˜o 1ˆ = 2ˆ. Logo:
Prop3 Se, ao cortarmos duas retas com uma transversal, obtivermos
3ˆ + 2ˆ = 180o enta˜o as retas sa˜o paralelas.
Prop4 Se, ao cortarmos duas retas com uma transversal os aˆngulos
correspondentes forem congruentes, enta˜o as retas sa˜o paralelas.
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A rec´ıproca tambe´m vale
Prop5 Se duas retas paralelas sa˜o cortadas por uma transversal, enta˜o os
aˆngulos correspondentes sa˜o congruentes.
Prova. Sejam m e n duas retas paralelas cortadas por uma transversal t
nos pontos A e B, respectivamente.
Considere uma reta m′ passando por A e formando com a transversal
quatro aˆngulos correspondentes aos aˆngulos correspondentes formados por
n com a mesma transversal.
De acordo com a proposic¸a˜o anterior, m′ e´ paralela a n.
Mas m′ passa por P, logo, pelo AV, m′ = m.
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HOJE NA˜O TEM PARA CASA!!!!!!
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