metodos probabilisticos contínuos

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Métodos Estatísticos
Nara Reges F. P. Pereira
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Engenharia de Produção
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Modelos Probabilísticos Contínuos
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Distribuição Normal
A distribuição normal é a mais importante de todas, na probabilidade e
estatística. Muitas populações numéricas possuem distribuições que
podem ser ajustadas aproximadamente por uma curva normal
apropriada.
Exemplos: Alturas, pesos e outras características físicas, erros de
medidas em experimentos científicos, tempos de reação em
experimentos psicológicos, medidas de inteligência e aptidão e
numerosas medidas e indicadores econômicos.
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Distribuição Normal
Definição: Diz-se que uma v.a. contínua X tem uma distribuição
normal com parâmetros µ e σ (ou µ e σ2), em que −∞ < µ <∞ e
0 < σ, se a f.d.p. de X for
f (x ;µ, σ) = 1√
2piσ
e
−(x−µ)2
2σ2 , −∞ < x <∞
Notação: A afirmação de que X é distribuído normalmente com
parâmetros µ e σ2 normalmente é abreviada como
X ∼ N(µ, σ2).
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Distribuição Normal
A esperança e a variância para esta distribuição são dadas por
E(X ) = µ e Var(X ) = σ2
O gráfico de f (x ;µ, σ) é simétrico em torno de µ e tem forma de sino,
de modo que o centro do sino é a média da distribuição. O valor σ é a
distância de µ até os pontos de inflexão da curva.
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Distribuição Normal
Valores grandes de σ produzem gráficos bem dispersos em torno
de µ;
Valores pequenos de σ produzem gráficos com um pico acima de
µ e a maior parte da área sob o gráfico bem próximo a µ.
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Distribuição Normal Padrão
Observe que
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
1√
2piσ
e
−(x−µ)2
2σ2 dx .
Nenhuma das técnicas padrão de integração pode ser usada para
este cálculo.
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Distribuição Normal Padrão
Definição: A distribuição normal com os valores dos parâmetros
µ = 0 e σ = 1 é denominada distribuição normal padrão. Uma variável
aleatória que tenha distribuição normal padrão é denominada variável
aleatória normal padrão e é representada pro Z . A f.d.p. de Z é
f (z;0,1) = 1√
2pi
e
−z2
2 −∞ < z <∞.
O gráfico de f (z;0,1) é chamado curva normal padrão. A função de
distribuição acumulada de Z é
P(Z ≤ z) =
∫ z
−∞
f (y ;0,1)dy
que representaremos por Φ(z).
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Distribuição Normal Padrão
Os valores de Φ(z) = P(Z ≤ z) serão obtidos pela tabela. E assim
podemos obter a probabilidade em qualquer intervalo.
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Distribuição Normal Padrão
Example
Determine as seguintes probabilidades normais padrão:
P(Z ≤ 1,25) =
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Distribuição Normal Padrão
Example
Determine as seguintes probabilidades normais padrão:
P(Z ≤ 1,25) = 0,8944
P(Z > 1,25) =
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Distribuição Normal Padrão
Example
Determine as seguintes probabilidades normais padrão:
P(Z ≤ 1,25) = 0,8944
P(Z > 1,25) = 1− P(Z ≤ 1,25) = 0,1056
P(Z ≤ −1,25) =
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Distribuição Normal Padrão
Example
Determine as seguintes probabilidades normais padrão:
P(Z ≤ 1,25) = 0,8944
P(Z > 1,25) = 1− P(Z ≤ 1,25) = 0,1056
P(Z ≤ −1,25) = 0,1056 por simetria
P(−0,38 ≤ Z ≤ 1,25) =
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Distribuição Normal Padrão
Example
Determine as seguintes probabilidades normais padrão:
P(Z ≤ 1,25) = 0,8944
P(Z > 1,25) = 1− P(Z ≤ 1,25) = 0,1056
P(Z ≤ −1,25) = 0,1056 por simetria
P(−0,38 ≤ Z ≤ 1,25) = Φ(1,25)− Φ(−0,38) =
0,8944− 0,3520 = 0,5424
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Distribuição Normal Padrão
Quando X ∼ N(µ, σ2), as probabilidades que envolvem X são
calculadas por "padronização". A variável padronizada é (X − µ)/σ.
Pela padronização, qualquer probabilidade que envolva X é expressa
como uma probabilidade que envolve uma v.a. normal padrão Z , de
forma que podemos usar a tabela.
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Distribuição Normal Padrão
Theorem
Se X tem distribuição normal com média µ e desvio padrão σ, então
Z = X − µ
σ
tem distribuição normal padrão. Dessa forma,
P(a ≤ X ≤ b) = P
(
a− µ
σ
≤ Z ≤ b − µ
σ
)
= Φ
(b − µ
σ
)
−Φ
(
a− µ
σ
)
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Distribuição Normal Padrão
Theorem
P(X ≤ a) = Φ
(
a− µ
σ
)
P(X ≥ b) = 1− Φ
(
b − µ
σ
)
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Distribuição Normal Padrão
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Distribuição Normal Padrão
Example
O tempo que um motorista leva para reagir às luzes de freio em um
veículo em desaceleração é crucial para evitar colisões traseiras. O
artigo "Fast-rise brake lamp as a collision-prevention
device"(Ergonomics, 1993: 391-395) sugere que o tempo de reação
de uma resposta no trânsito a um sinal de frenagem com luzes de
freio convencionais pode ser modelado com uma distribuição normal
de média 1,25 segundo e desvio padrão 0,46 segundo. Qual é a
probabilidade de que o tempo de reação esteja entre 1,00 e 1,75
segundo? Se representarmos por X o tempo de reação, calcule a
probabilidade.
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Distribuição Normal Padrão
Example
P(1,00 ≤ X ≤ 1,75) = P
(
1,00− 1,25
0,46 ≤ Z ≤
1,75− 1,25
0,46
)
= P(−0,54 ≤ Z ≤ 1,09)
= Φ(1,09)− Φ(−0,54)
= 0,8621− 0,2946
= 0,5675.
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Distribuição Normal Padrão
Example
Se considerarmos que 2 segundos é um tempo de resposta muito
longo, a probabilidade de que o tempo real de resposta exceda esse
valor será?
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Distribuição Normal Padrão
Example
Se considerarmos que 2 segundos é um tempo de resposta muito
longo, a probabilidade de que o tempo real de resposta exceda esse
valor será?
P(X > 2) = P
(
Z > 2− 1,250,46
)
= P(Z > 1,63)
= 1− Φ(1,63)
= 0,0516.
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FIM!
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