Equação da Continuidade em Regime Permanente

Prévia do material em texto

Módulo 5: Conteúdo programático – Eq da continuidade em Regime 
Permanente 
Bibliografia: Bunetti, F. Mecânica dos Fluidos , São Paulo, Prentice Hall, 2007. 
 
Escoamento dos Fluidos - Equações Fundamentais 
 
 
Propriedades 
 
 
• Intensivas: são aquelas que independem do tamanho do sistema, isto é, da quantidade de matéria. 
 
 Exemplos : temperatura, pressão, massa específica, viscosidade absoluta, etc. 
 
 
 
 
• Extensivas : são 
aquelas cujos 
valores dependem 
do tamanho do 
sistema, isto é, da 
quantidade de 
matéria. 
 
 Exemplos : volume, massa, energia cinética, peso, etc. 
 
 
intensivae propriedadPro.ext =
m
 
 
 
 
Métodos para solução de problemas: 
 
 - Sistema: é uma quantidade fixa de massa composta sempre pelas mesmas partículas. 
Separando o sistema do meio, temos a fronteira que é permeável à energia e 
impermeável à massa. A fronteira pode ser real ou imaginária, fixa ou móvel, 
deformável ou indeformável. 
 Exemplo: 
 
 - Volume de Controle: é uma região de nosso estudo. Separando o Volume de Controle do 
meio, temos a superfície de controle. A superfície de controle pode ser real ou 
imaginária, fixa ou móvel, deformável ou indeformável à energia, permeável 
ou impermeável à massa. 
 
 Exemplo: 
 
 
Teorema do Transporte de Reynold’s 
 
 
 Introdução: O teorema de Reynold’s transforma as equações válidas para sistemas em equações 
válidas para volume de controle. 
 
 amF sistsist
rr
×= VmP sistsist
rr
×= 
 
 0=
dt
dmsist
 
 
 
 N = propriedade extensiva qualquer 
 
 
m
N
=η ⇒ propriedade intensiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da definição do cálculo: 
 
 
( )
x
xFxxF
xdx
dF
∆
−∆+
→∆
=
)(
0
lim 
 
 
( ) ( )[ ]
t
sisttNttN
dt
sistdN
t ∆
−∆+
=
→∆ 0
lim 
 entrada(-) 
 
t
NN
tt
vc
N
NNN
t
sist
dt
dN
∆
−+
∆+
−+
→∆
=
11132
0
lim
48476
 
 
 saída tN vc 
 
 fluxos
dt
vcdN
dt
sistdN += 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Propriedade em cada ponto pode ser dada por ∀= ddm ... ρηη 
 
 ∫=∫= l.... dAdmN
vcvc
ρηη 
 
 Por definição: 
 
 
∫
∫
×=
∆
=
∆
−
=
→∆→∆
sc
tt
dAnVfluxo
t
dA
t
NNfluxo
...
...limlim
0
13
0
rr
l
ρη
ρη
 
 
∫
∫
×+
∀
=
sc
vc
sist
dAnV
dt
dd
dt
dN
...
..
rrρη
ρη
 
nV r
r
× {projetar o vetor velocidade na direção da normal á 
superfície de escoamento} 
∀== ddA
dAdm
elementar volume .
..=
l
l ρ
 
 
 
Equação da continuidade 
 
 
 
A equação da continuidade analisa num volume de controle a propriedade extensiva massa. Assim sendo, 
no teorema de Reynolds temos: 
∫
∫
×+
∀
=
sc
vc
sist
dAnV
dt
dd
dt
dN
...
..
rrρη
ρη
 
mN = e 1===
m
m
m
Nη 
 
∫
∫
×+
∀
=
sc
vc
sist
dAnV
dt
dd
dt
dm
...1
..1
rrρ
ρ
 
 
 
Mas 0=
sistdt
dm
 conservação da massa e 1===
m
m
m
Nη logo: 
 
 
0...
.
=×+
∀
∫
∫
sc
vc dAnV
dt
dd
rrρ
ρ
 Eq. da continuidade 
 
 
CONCEITO DE REGIME PERMANENTE 
 
 
Regime Permanente: Ocorre quando todas as propriedades num mesmo ponto não variam com o passar 
do tempo. O oposto de regime permanente é o que chamamos de regime variável. 
 
 
Para regime permanente:: 0
..1
=
∀∫
dt
dd
vc
ρ
 resultando : 
 
0.. =×∫
sc
dAnV r
r
ρ (Regime Permanente ) 
 
 
 
 Propriedades Uniformes na Seção de Escoamento: Entendemos como seção de escoamento, todo 
plano colocado perpendicularmente ao mesmo. As propriedades são consideradas uniformes na seção de 
escoamento, quando num certo instante, todos os seus pontos têm o mesmo valor de uma certa 
propriedade. Caso contrário, as propriedades são consideradas não uniformes. 
 
 
 
 
 
 
1º Exercício Resolvido - Equação da continuidade em Regime Permanete e 
propriedades uniformes 
 
No esquema abaixo, um fluido incompressível em regime permanente, escoa apresentando propriedades 
uniformes nas superfícies de controle 1 e 2. Sendo conhecidas a velocidade média em 1, a área 1 e a área 
2. Determinar a velocidade média em 2. 
 
 
 
 
 
Solução. Tendo em vista o escoamento ser em regime permanente temos: 
 
 
 
0.. =×∫
sc
dAnV r
r
ρ 
 
 
 
No presente problema são dois fluxos, sendo um de entrada ( secção 1 ) e outro de saída ( secção 2) logo: 
 
 
 
0....
21
=×+× ∫∫ dAnVdAnV
rrrr ρρ 
 
 
O fluxo 1 é negativo 0)( <nxV vr (entrada no VC) e o fluxo 2 é positivo 0)( >nxV vr (saída do VC) 
As propriedades são uniformes assim sendo: 
 
 
 
0.... 222111
21
=+−=×+× ∫∫ AVAVdAnVdAnV mm ρρρρ
rrrr
 
 
Como o escoamento o é incompressível 21 ρρ = resultando: 
 
 
2211 AVAV mm = ou 
2
11
2 A
AVV mm = 
2º Exercício Resolvido Equação da continuidade em Regime Permanente e 
propriedades não uniformes 
 
 Exercício: No esquema abaixo, está ocorrendo um escoamento de um fluido incompressível, em regime 
permanente. A massa específica é uniforme em todas as superfícies de controle do escoamento. Para a 
superfície de controle 1, a distribuição de velocidades é dada por: 
 














−×=
2
1
1 1 R
rVV máx . Para a superfície de controle 2, a distribuição de velocidade é dada por: 












−×=
2
2 1 R
rVV máx . Supondo dados: Vmáx1, A1, A2, determinar Vmáx2. 
 
 
 
 
 
 
 
Solução. Tendo em vista o escoamento ser em regime permanente temos: 
 
 
 
0.. =×∫
sc
dAnV r
r
ρ 
 
 
 
No presente problema são dois fluxos, sendo um de entrada ( secção 1 ) e outro de saída ( secção 2) logo: 
 
 
 
0....
21
=×+× ∫∫ dAnVdAnV
rrrr ρρ 
 
 
O fluxo 1 é positivo 0)( >nxV vr (saída do VC) e o fluxo 2 é negativo 0)( <nxV vr (entrada do VC) 
A propriedade não é uniforme assim sendo: 
 
 
 
0....
2
222111
21 1
=+−=×+× ∫∫∫∫ dAVdAVdAnVdAnV
A
ρρρρ r
rrr
 
 
Como o escoamento o é incompressível 21 ρρ = resultando: 
 
 
∫∫ =
2
22211
1
dAVdAV
A
ρ 
 
 
 
∫∫














−=














−
21
0
2
2max0
2
1
1max 2121
RR
rdr
R
rVrdr
R
rV pipi 
 
Integrando temos: 
 
 
 
∫∫














−=














−
21
0
2
2max0
2
1
1max 1212
RR
rdr
R
rVrdr
R
rV pipi 
 
 
 
∫∫














−=
















−
21
0
2
2
2max0 2
1
3
1max
RR
R
drr
rdrV
R
drr
rdrV 
 
∫∫














−=















−
21
0
2
2
2max0 2
1
3
1max
RR
R
drr
rdrV
R
drr
rdrV 
 
 
Substituindo os extremos 
 
21
01
32
2max
0
2
1
42
1max 3242
RR
R
rrV
R
rrV 











−=
















− 
 
 
















−=
















−
1
3
2
2
2
2max2
1
4
1
2
1
1max 3242 R
RRV
R
RRV 
 
 












−=











−
6
2
6
3
44
2 22
2
2
2max
2
1
2
1
1max
RRVRRV 
 
 






=





64
2
2
2max
2
1
1max
RVRV 
 






=





64
2
2
2max
2
1
1max
RVRV 
 
 
 






= 2
2
2
1
1max2max
5,1
R
RVV 
 
 
1º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO 
 
 O dispositivo abaixo esquematizado mistura água quente (entra por 1) com água fria (entra por 2) , tendo 
todas as entradas e a saída o diâmetro de 30 mm. Pode-se considerar o escoamento em regime 
permanente, propriedades uniformes e fluido incompressível. Supondo que o processo exige que a 
velocidade média de escoamento na seção de saída seja de 1,5 m/s, e que smVV /5,121 == , calcular o 
diâmetro na secção 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO 
 
 No esquema temos o escoamento de fluido sobre uma placa plana fixa. A distribuição de velocidade 
dentro da camada limite formada, obedece à equação: 






−×= 2
2230 δδ
yyV , onde δ é a espessura da camada limite. 
Em CD a espessura da camada limite é de 5mm. O fluido que escoa é o ar, em regime permanente, sua 
massa específica é de 1,2 kg/m3 e velocidade antes de atingir a placa igual a 30 m/s. A largura da placa é 
de 0,60m. Determinar a vazão em massa que cruza BCC´B´. Considerar o ar como fluido 
incompressível. 
 
 
 
 
 
 
 
3º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO 
 
O dispositivo abaixo esquematizado mistura água quente (entra em 1) com água fria (entra em 2). Pode-
se considerar o escoamento em regime permanente, fluido incompreensível e propriedades uniformes na 
seção de saída. Na seção de entrada da água quente , o duto tem raio de 12 mm e a distribuição de 
velocidades em unidades do Sistema Internacional é dada por : 
2
1
1 1(3 





−=
R
rV ). Na seção de entrada 
de água fria , o duto tem raio de 15 mm e a distribuição de velocidades em unidades do Sistema 
Internacional é dada por : 





−=
1
2 1(4 R
rV ). Determinar: 
 
a) A velocidade máxima da seção de entrada da água quente ( smV /31max = ) 
b) A velocidade média da seção de entrada da água quente ( smVm /5,1= ) 
c) A velocidade média de saída da água morna.(seção 3) ( )/3,23 smVm = 
 
 
 
 
 
 
 
4º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO 
 
Um tanque com base quadrada com aresta 1 m e altura 2m está inicialmente vazio. Um tubo circular com 
diâmetro 25 mm é capaz de encher o referido tanque em 1000 s. O perfil de velocidade do escoamento do 
tubo de alimentação obedece a seguinte equação: 7
1)1max(
R
rVV −= . Determinar: 
a) A vazão volumétrica média ( )/2 sLQ = 
b) A velocidade média do escoamento ( )/1,4 smVm = 
c) A velocidade máxima do escoamento ( smV /9,4max = ) 
d) A vazão em massa considerando que o fluido é água cuja massa específica é 1000 kg/m³ 
( )/2 skgm =& 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO 
 
 
Dentre os vários itens de conforto disponibilizados pelo desenvolvimento da tecnologia 
no século XX, indiscutivelmente se destaca o uso do ar condicionado não só em 
instalações destinadas ao conforto térmico humano mas também em aplicações 
industriais como num laboratório de metrologia. Um sistema de ar condicionado 
controla a temperatura e a umidade do ar fornecido ao ambiente climatizado. O 
controle de umidade é feito num equipamento chamado de desumidificador. Considere 
um desumidificador que recebe ar úmido, isto é, ar misturado com vapor de agua com 
vazão horária de 300 kg/h. No desumidificador devido à retirada de calor, consegue-se 
condensar 6 kg/h de vapor. Para que o nível de ruído seja aceitável, o ar fornecido ao 
ambiente climatizado não deve ultrapassar a velocidade de 15m/s. Pode-se supor o 
sistema trabalhando em regime permanente com propriedades uniformes e fluido 
incompressível. Determinar : 
a) A quantidade de ar úmido fornecida ao ambiente condicionado. 
b) o diâmetro do duto de seção circular que conduz o ar ao ambiente condicionado 
considerando que a massa especifica é de 1 kg/m³. 
Respostas: Item a – m= 294 kg/h Item b – D= 83 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO 
 
Um propulsor a jato (motor de avião) queima 2 kg/s de combustível em regime 
permanente quando o avião voa com velocidade constante de 200 m/s. São dados : a 
massa específica do ar em (1) = 1,2 kg/m3 , massa específica da mistura em (2) = 0,5 
kg/m3 ; área de entrada em (1) = 0,5 m2; área de saída (2) = 0,2 m2. Determinar : 
a) a velocidade de saída dos gases queimados 
b) a relação em massa de ar e combustível na câmara de combustão sabendo que 
somente 30% do ar admitido participa da queima. 
Respostas: smVgas /1220= e 18=
comb
ar
 
 
 
 Ar novo (1) Motor de (2) gases queimados 
 Avião 
 
 Combustível