Resolução 2ªProva de GA 2011

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Resoluc¸a˜o da Segunda Prova de GASL 2011.1
Daniel Rotmeister Teixeira de Barros
28 de Maio de 2016
O objetivo desse texto e´ ajudar os alunos que esta˜o cursando a disciplina de Geometria Anal´ıtica
e Sistemas Lineares a se prepararem para as provas e exercitarem a teoria que e´ vista em sala de aula.
Sugesto˜es para a melhoria do texto, correc¸o˜es da parte matema´tica ou soluc¸o˜es alternativas eu agra-
deceria se fossem enviadas para os meus emails drotmeister@yahoo.com ou icemathelp@gmail.com .
Ao escrever as soluc¸o˜es das questo˜es tentei ser claro e conciso, espero que na˜o hajam passagens
obscuras.
Nas questo˜es 1 e 2, considere o paralelep´ıpedo1 obl´ıquo representado abaixo no sistema tridimen-
sional de eixos cartesianos.
Figura 1: Paralelep´ıpedo tridimensional obl´ıquo.
Questa˜o 1.
a) Determine as coordenadas do ve´rtice F .
b) Usando a´lgebra de vetores, ca´lculo a a´rea da face ABEF do paralelep´ıpedo.
Soluc¸a˜o:
a) A partir da Figura 1 observa-se que o ve´rtice F possui a mesma componente x do ponto
A, mesma componente y do ponto C e a mesma componente z do ponto D. Assim, as coordenadas
do ve´rtice F sa˜o dadas por F = (10, 20, 15).
1A Figura 1 desse texto na˜o foi retirada da prova original. Entretanto, o conteu´do da mesma na˜o foi alterado.
1
b) Como o problema restringe a soluc¸a˜o ao uso da a´lgebra de vetores, usaremos a interpretac¸a˜o
geome´trica da norma de um produto vetorial. Sejam V e W dois vetores no espac¸o. A norma do
produto vetoral, V ×W , e´ numericamente igual a` a´rea do paralelogramo determinado por V e W .
Dessa forma, se V :=
−−→
AB e W :=
−→
AE temos que a a´rea da face ABEF e´ dada pela norma do
produto vetorial V ×W .
V ×W =
∣∣∣∣∣∣
i j k
0 20 0
0 6 15
∣∣∣∣∣∣ = 300i + 0j + 0k
∴ ||V ×W || = 300
Portanto, a a´rea da face ABEF e´ 300 u.a.
Questa˜o 2.
a) Determine equac¸o˜es parame´tricas para a reta que passa pelos ve´rtices A e D do parale-
lep´ıpedo.
b) Determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m a face ABEF do paralelep´ıpedo.
Soluc¸a˜o:
a) O vetor
−−→
AD = (5− 10, 6− 0, 15− 0) = (−5, 6, 15) e´ paralelo a` reta que passa pelos ve´rtices
A e D do paralelep´ıpedo. Como A = (10, 0, 0) pertence a` reta, temos que as equac¸o˜es parame´tricas
sa˜o dadas por  x = 10− 5ty = 6t
z = 15t
onde t ∈ R.
b) Vamos encontrar a equac¸a˜o geral do plano pi que conte´m a face ABEF do paralelep´ıpedo.
Sabemos que a equac¸a˜o do plano e´ da forma
ax+ by + cz + d = 0
em que os coeficientes de x, y e z sa˜o as componentes do vetor normal. Percebemos que podemos
escolher o vetor i = (1, 0, 0) como o vetor normal a` face ABEF . Como o plano pi passa pelo ponto
A = (10, 0, 0), segue que
x+ 10 = 0
Questa˜o 3.
a) Determine a projec¸a˜o ortogonal do vetor V = −3i + 17j + 11k na direc¸a˜o do vetor
W = −2i + 5j + 4k.
b) Escreva o vetor V como a soma de dois vetores V = V1 + V2 tais que V1 e´ paralelo ao
vetor W e V2 e´ ortogonal a W .
Soluc¸a˜o:
a) Sendo V = (−3, 17, 11) e W = (−2, 5, 4), temos que ||W || = √(−2)2 + 52 + 42 = 3√5 e
proj VW =
(
V ·W
||W ||2
)
W =
[
(−3) · (−2) + 17 · 5 + 11 · 4
(3
√
5)2
]
W = (−6, 15, 12)
2
b) Temos que
V ·W = (−3) · (−2) + 17 · 5 + 11 · 4 = 135
||W ||2 = (−2)2 + 52 + 42 = 45.
V1 = proj
V
W =
(
V ·W
||W ||2
)
W = (−6, 15, 12)
V2 = V − V1 = (−3, 17, 11)− (−6, 15, 12) = (3, 2,−1)
Questa˜o 4.
a) Escreva equac¸o˜es parame´tricas para a reta r que passa pelo ponto P = (0, 2, 3) na direc¸a˜o
do vetor V = (−1, 1, 2).
b) Dado o ponto A = (3, 5, 1) encontre o(s) ponto(s) X pertencente(s) a` reta r tal(is) que−−→
PX · −−→AX = 2 (isto e´, o produto escalar entre os vetores −−→PX e −−→AX e´ igual a 2).
Soluc¸a˜o:
a) As equac¸o˜es parame´tricas da reta r sa˜o x = −ty = 2 + t
z = 3 + 2t
onde t ∈ R.
b) Se o ponto X pertence a` reta r, enta˜o X = (−t, t+2, 2t+3). Dessa forma, −−→PX = (−t, t, 2t)
e
−−→
AX = (−t− 3, t− 3, 2t+ 2).
−−→
PX · −−→AX = t2 + 3t+ t2 − 3t+ 4t2 + 4t = 2
6t2 + 4t− 2 = 0 ⇒ t = 1
3
ou t = −1
Portanto, os pontos X pertencentes a` reta r que satisfazem a condic¸a˜o do enunciado sa˜o P =
(1, 1, 1) ou P =
(
1
3
,
7
3
,
11
3
)
.
Questa˜o 5.
Classifique cada uma das afirmac¸o˜es abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se verdadeira,
prove; se falsa, prove ou deˆ um contra-exemplo.
a) O aˆngulo entre os vetores U = (0, 1, 0) e V = (1,
√
6,−1) e´ igual a pi
6
.
b) Se V e W sa˜o vetores tais que V ·W = 0 enta˜o V = 0 ou W = 0.
c) Os vetores U = (1, 2, 3), V = (−4, 7, 2) e W = (−1, 13, 11) sa˜o coplanares.
Soluc¸a˜o:
a) A afirmativa e´ verdadeira. Como U · V = ||U || ||V || · cos θ, onde θ e´ o aˆngulo entre os
vetores, temos que
U · V = 0 · 1 + 1 ·
√
6 + 0 · (−1) =
√
6
3
||U || = 1
||V || =
√
12 + (
√
6)2 + (−1)2 = 2
√
2
⇒ cos θ = U · V||U || · ||V || =
√
6
2
√
3
=
√
3
2
∴ θ = pi
6
b) A afirmativa e´ falsa. Considere V = (a, b) e W = (−b, a), onde a, b ∈ R∗. Enta˜o
V ·W = (−b) · a+ a · b = 0, mas V 6= 0 e W 6= 0.
c) A afirmativa e´ verdadeira. Sejam U, V e W vetores no espac¸o. Estes vetores sa˜o coplanares
(isto e´, sa˜o paralelos a um mesmo plano) se, e somente se,
(V ×W ) · U =
∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣ = 0
Como U = (1, 2, 3), V = (−4, 7, 2) e W = (−1, 13, 11), temos que
(V ×W ) · U =
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
−4 7 2
−1 13 11
∣∣∣∣∣∣ = 0
Portanto, os vetores sa˜o coplanares.
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