Lista e Gabarito - Vetores

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Lista de Exerćıcios 4
Gex102 - Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
UFLA - Departamento de Ciências Exatas
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Vetores
0. Responda:
(a) Qual a diferença entre um segmento orientado e um vetor?
(b) Quando que dois vetores são iguais?
(c) Quando que dois vetores são paralelos ou colineares?
1. Escreva as combinações de vetores como um único vetor.
(a)
−→
AB +
−−→
BC
(b)
−−→
BD −
−−→
AD
(c)
−→
CA +
−−→
AD
(d)
−−→
CD +
−−→
DA +
−→
AB
(e)
−→
AA +
−−→
CD +
−−→
EE
2. Considere os vetores desenhados abaixo. Agora desenhe os seguinte vetores:
(a) ~u + ~v
(b) ~v + ~w
(c) ~v + ~u + ~w
(d) ~u + ~w
(e) ~u− ~v
(f) ~u− ~w − ~v
(g) 1
2
~u
(h) ~u + 2~w
(i) ~u+ 2~w− 1
2
~v+ 2(−1
2
~u− ~w)
3. A figura a seguir é constitúıda de nove quadrados congruentes.
1
Verifique cada afirmação quanto a ser verdadeira ou falsa. O śımbolo ⊥ significa ortogonali-
dade, isto é, perpendiculares. A notação || ~u|| significa tamanho do vetor ~u.
(a)
−→
AB =
−→
OF (b)
−−→
AM =
−−→
PH (c)
−−→
BC =
−→
OP (d)
−→
BL = −
−−→
MC (e)
−−→
DE = −
−−→
ED
(f)
−→
AO =
−−→
MG (g)
−−→
KN =
−→
FI (h)
−→
AC//
−→
HI (i)
−→
JO//
−→
LD (j)
−→
AJ =
−→
FG
(k)
−→
AB ⊥
−−→
EG (l)
−−→
AM ⊥
−→
BL (m)
−→
PE ⊥
−−→
EC (n)
−−→
PN ⊥
−−→
NB (o)
−−→
PN ⊥
−−→
AM
(p)||−→AC|| = ||−→FP || (q)||−→IF || = ||−−→MF || (r)||−→AJ|| = ||−→AC|| (s)||−→AO|| = 2||−−→NP || (t)||−−→AM|| = ||−→BL||
4. (a) Mostre que dado um triângulo qualquer ABC, o segmento MN formado pelos pontos
médios M e N de AB e BC, respectivamente, é paralelo a AC e tem comprimento igual
a metade de AC.
(b) Seja ABCD um quadrilátero. Mostre que o quadrilátero MNPQ formado pelos pontos
médios dos lados de ABCD determinam um paralelogramo. Dica: utilize o exerćıcio
anterior.
5. Considere os vetores no espaço −→u = (−1, 4,−2) e −→v = (3, 1,−5). Calcule:
(a) 2−→u − 2−→v (b) −→u −
√
3−→v (c) −−→v + 2−→u .
6. (a) Os vetores ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1) são chamados vetores canônicos do
espaço. Escreva ~u = (2, 1, 3) como soma dos vetores ~i, ~j e ~k.
(b) Quais as coordenadas do vetor 3~i− 2~i + 5~k?
7. Esboce graficamente os seguintes vetores:
(a) ~a = (4, 6)
(b) ~b = (−3, 5)
(c) ~c = (2, 2, 0)
(d) ~d = (0,−5, 3)
(e) ~e = (2, 1, 3)
(f) ~f = (−2,−5)
2
8. Encontre as componentes do vetor de ponto inicial P1 e ponto final P2 .
(a) P1 = (5, 6) e P2 = (3, 2)
(b) P1 = (4,−6) e P2 = (−3,−3)
(c) P1 = (−4, 0, 3) e P2 = (−5, 5, 0)
9. Sejam ~u = (4, 2, 1), ~v = (0, 5, 2) e ~w = (−4, 2, 4). Encontre os seguintes vetores:
(a) ~u− ~v
(b) 4~w − 2~v
(c) 3(~u− 2~v)
(d) −3(~v − 8~w)
(e) ~x tal que 2~u− ~v + ~x = 7~x− ~w
10. Escreva o vetor −→u = (7,−1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor −→v = (1,−1)
e outro paralelo ao vetor −→w = (1, 1).
11. Sendo os pontos A = (1,−1, 3) e B = (3, 1, 5), até que ponto se deve prolongar o segmento
AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor?
12. Mostre que os pontos A = (3,−2), B = (5, 2) e C = (9, 10) estão em linha reta, ou seja, são
colineares.
3
GABARITO Lista de Exerćıcios 3(Parte 1)
UFLA - Departamento de Ciências Exatas
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Vetores
1. (a)
−→
AC
(b)
−→
BA
(c)
−−→
CD
(d)
−−→
CB
(e)
−−→
CD
2. No item i) desenvolva primeiro a expressão usando as propriedades de vetores.
3. (a) V
(b) V
(c) F
(d) V
(e) V
(f) V
(g) F
(h) V
(i) F
(j) F
(k) V
(l) V
(m) F
(n) V
(o) V
(p) V
(q) V
(r) F
(s) V
(t) V
4. (a) Vetorize todos os segmentos. Por exemplo, os segmento AB representa o vetor
−→
AB, etc.
Devemos justificar a relação
−−→
MN = 1
2
−→
AC ou 2
−−→
MN =
−→
AC. Temos
−−→
AM +
−−→
MN =
−−→
AN (1)
−−→
AN +
−−→
NC =
−→
AC (2).
Logo, substituindo
−−→
AN de (1) na expressão (2), obtemos
−−→
AM +
−−→
MN +
−−→
NC =
−→
AC (3).
Do enunciado, sabemos que
−−→
AM =
−−→
MB e que
−−→
NC =
−−→
BN , pois M é ponto médio de AB
e N é ponto médio de BC. Substituindo na expressão (3), teremos:
−−→
MB +
−−→
MN +
−−→
BN =
−→
AC (4).
Mas
−−→
MB +
−−→
BN =
−−→
MN . Com isso, em (4) teremos 2
−−→
MN =
−→
AC.
Obs: Não existe um único caminho para a resposta!
(b) Considere o triângulo ABD. Os pontos M e Q são pontos médios de AB e AD, respec-
tivamente. Pelo item (a), sabemos que MQ é paralelo a BD e que 2MD = BD. De
forma inteiramente análogo, considerando o triângulo BCD, obtemos que NP é paralelo
a BD e que 2NP = BD. Logo os lados MQ e NP são de mesmo tamanho e paralelos.
Repita este racioćınio para os triângulos ABC e ADC, para concluir que MN e QP são
de mesmo tamanho e paralelos.
5. (a) (−8, 6, 6)
(b) (−1− 3
√
3, 4−
√
3,−2 + 5
√
3)
(c) (−5, 7, 1)
6. (a) 2~i +~j + 3~k.
4
(b) (3,−2, 5) .
7. Utilize por exemplo o site https://www.geogebra.org/3d?lang=pt para se autochecar. Exemplo:
no canto esquerdo, onde está escrito Entrada digite ”u=(1,2,3)” e o vetor será desenhado.
8. (a) −→v = (−2,−4)
(b) −→v = (−7, 3)
(c) −→v = (−1, 5,−3)
9. (a) (4,−3,−1)
(b) (−16,−2, 12)
(c) (12,−24,−9)
(d) (−96, 33, 90)
(e) (2
3
, 1
6
, 2
3
)
10. ~u1 = (4,−4) e ~u2 = (3, 3)
11. Até o ponto (9, 7, 11).
12.
−→
AB = (2, 4) e
−→
AC = (6, 12) são dois vetores formados pelos pontos dados começando em A.
Note que são múltiplos um do outro com mesma origem, logo são paralelos e por isso pertencem
a mesma reta.
5