Respostas dos exerc¡cios avan‡ados

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Respostas do problemas ímparesRespostas selecionadas
CAPÍTULO 1
Exercícios avançados
1. (a) y  f(U) ⇔ x  U tal que y = f(x). Como x  U  V, g = f(x)  
f(V).
(b) x  f −1(W) ⇔ f(x)  W. Como W  Z, f(x)  Z e x  f −1(Z).
(c) y  f(U  V ) ⇔ x  U  V tal que f(x) = y. Se x  U, y  
f(U) e se x  V, y  f(V). Logo, y  f(U)  f(V ). Isso prova que 
f(U  V )  f(U)  f(V). As outras inclusões são análogas.
(d) x  f −1(W  Z) ⇔ f(x)  W  Z. Se f(x)  W, x  f −1(W), 
e se f(x)  Z, x  f −1(z). Logo x  f−1(W)  f−1(Z), ou seja, 
f −1(W  Z)  f −1(W)  f −1(Z). As outras inclusões são análogas.
3. g : B → A, tal que g o f(x) = x, x  A. Se f(x1) = f(x2), então x1 = 
g(f(x1)) = g(f(x2)) = x2. Não é única: g(y) = y2, se y  0 e g(y) = c, 
se y  0 é inversa à esquerda de f Ax B = " x, A = R+, B = R , 
para todo c real.
5. (a) Sobrejetora. g A y B = " y .
(b) Bijetora. g A y B = " y .
(a) Bijetora. g(y) = y2.
(a) Injetora. g(y) = y2. 
7. Nem par nem ímpar.
–4
f(x)
x
–1 –1–2
21
1
f(x)
3
x
9. (a) x0  a ⇒ f(x0)  f(a) ⇒ x1  a ⇒ f(x1)  f(a) ⇒ x2  a; o 
resultado geral segue do princípio de indução finita.
(b) xn  a se n for ímpar e xn  a se for n par.
11. 
x
y
–1
1
2
3
4
–2
–3
–4
1–1 2–2 3–3 4–4 5–5
x
y
–1
1
2
3
4
–2
–3
–4
1–1 2–2 3–3 4–4 5–5
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2 Cálculo
CAPÍTULO 2
Exercícios avançados
1. 1, 258, depois de 7 iterações, com erro menor que 0,008.
3. 
x
y
–1
1
2
3
4
–2
–3
–4
1–1 2–2 3–3 4–4 5–5
5. 0  |f(x) . g(x)|M . |f(x)| perto de a. O resultado segue do 
teorema do confronto.
7. (a) limx→ f(x) = limx→– f(x) = 1
(b) limx→0+ f(x) = limx→0− f(x) = 0 = f(0), logo f é contínua em 
zero.
(c) Com a resolução do computador, o gráfico coincide com o 
da função nula perto da origem.
(d) f é muito "achatada" perto da origem (f (k) (0) = 0, k  N).
9. (a) − (iii); (b) − (i); (c) − (ii); (d) − (iv).
11. (a) cos x.
 (b) y = " 32 x −
" 3�
12 +
1
2
CAPÍTULO 3
Exercícios avançados 
1. a = 0, b = " 2
3. (a) Asenh x B
r = a e
x − e−x
2 b =
ex + e−x
2 = cosh x. A outra relação 
é análoga.
(b) cosh x e cosh x, respectivamente.
5. (a) Como o triângulo é retângulo, sen θ = rr + h 
(b) −2" 3
7. Verdadeiro. A derivada de um polinômio de grau n é um poli-
nômio de grau n − 1, se n  1, e a derivada de um polinômio de 
grau zero é identicamente nula.
9. (a) Sim, pois, se f(x + T) = f(x), então f '(x + T) = f '(x).
 (b) Sim, período 2T.
11. 
a = " 2,
a" 2
2 ,
" 2
2
b : y 1 = −x + " 2 e y 2 = x
a" 2
2 , −
" 2
2
b : y 1 = x − " 2 e y 2 = − x
a = −" 2,
a−" 22 ,
" 2
2 b : y 1 = x + " 2 e y 2 = − x
a− " 22 , −
" 2
2 b : y 1 = −x − " 2 e y 2 = x
CAPÍTULO 4
Exercícios avançados
1. (a) 1x− a −
1
x− b , (b) ln x, (há mais de uma resposta correta). 
3. Basta observar que p Ak 1B+ = a ap ln bp b
Ak B
 e usar indução finita.
5. Observe que |xn+1 − a| = |g(xn) − g(x)| = g'(c)|xn − a|  M|xn − x0| 
(pelo teorema do valor médio) e use indução finita.
7. Use o teorema do valor médio para mostrar que xn+1 −a e xn −a 
têm sinais opostos.
9. g"(x)  0 implica que g'(x) = f '(x) − f '(a) é crescente e, portanto, 
g'(x)  0 se x  a e g'(x)  0 se x  a. Assim, a é um mínimo 
de g e g(x)  g(a) = 0.
11. P3 = x − x
3
3! ; P3(0, 5) = 0, 479, E  0, 003
CAPÍTULO 5
Exercícios avançados
1. Observe que Sk+1i=1 Aa i − a i−1 B = Ski=1 Aa i − a i−1B + Aak+1 − akB e 
use indução finita.
3. m = minx[a,b] f(x), M = maxx[a,b] f(x). Como g é positiva, mg(x) 
 f(x)g(x)  Mg(x). Integrando, obtemos m 2
b
a g Ax B dx � 2
b
a f Ax B g Ax B dx �M 2
b
a g Ax B dx 
m 2
b
a g Ax B dx � 2
b
a f Ax B g Ax B dx �M 2
b
a g Ax B dx. Se 2
b
a g AxB dx = 0, o resul-
tado é trivialmente verdadeiro. Caso contrário, observe que 
m � 2
b
a f Ax B g Ax B dx
2
b
a g Ax Bdx
� M e use o teorema do valor intermediá-
rio. Esse teorema ainda é válido se g for sempre negativa, mas 
não se g trocar de sinal em [a, b], como mostra o exemplo f(x) 
= g(x) = x, –1  x  1.
5. Verdadeira, pois f '(x) = 0 para todo x.
7. Verdadeira, pois, se existir x0 em [a, b], tal que f(x0) = d  0, 
então existirá um subintervalo de [a, b] de comprimento não 
nulo tal que f Ax B � d2 , pois f é contínua. Absurdo, pois, nesse 
caso, 2
b
a f Ax B dx � 0.
9. Basta fazer a mudança de variável y = −x na integral 2
a
0 f Ax B dx . 
Não vale se o extremo inferior for não nulo.
11. g Ax B = e
x 2
2
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3Respostas selecionadas
CAPÍTULO 6
Exercícios avançados
1. (a) �9
 (b) �3
 (c) � 15
3. A = 15 , xCM =
5
6 , yCM =
5
18 ; V Aa B =
1
5
. 2� 518 =
�
9 , V b =
1
5
. 2� 56 =
�
3A B
A = 15 , xCM =
5
6 , yCM =
5
18 ; V Aa B =
1
5
. 2� 518 =
�
9 , V b =
1
5
. 2� 56 =
�
3A B , V(c) =
1
5
. 2� a1− 56 b =
�
15
.
5. (a) a. 5�12 −
4
� b.
5" 3�
48 −
" 3
� (b) a.
5�
12 −
4
� b.
5" 3�
48 −
" 3
�
7. f Ax = 8 ae x4 − 1bB . É única.
9. a7544 + 45�b a40 +
9�
2
b
−1
L 7,3
11. 49 (9 − h
2)32 + 2h23 " 9 − h2 + 6h aarcsen
h
3 −
�
2
b
CAPÍTULO 7
Exercícios avançados
1. (a) M: área abaixo dos retângulos mais altos, m: área abaixo dos 
retângulos mais baixos.
(b) M =
S
n−1
i=0
a −1
n+ i(a −1) ; m = S
n
i=1
a −1
n+ i(a −1) . 
(c) n = 5, m = 0, 66
1 a
1
(a)
ln a
a –1
n
y
x
3. P2 = 1 + x +
x 2
2 , P2 A0 ,5B = 1 , 63, E � 0,06
5. m = p − q; a relação continuaria válida.
7. Basta usar as definições de senh e cosh e efetuar os produtos 
nos segundos membros.
9. Retângulo c− " 2
2
, " 2
2
d × c0 , e−
1
2 d .
11. P = ab, a cosh ba b ; L : y − a =
− x
senh ba
; G A0, a B − Aa senh ba , 0B G = a cosh
b
a
P = ab, a cosh ba b ; L : y − a =
− x
senh ba
; G A0, a B − Aa senh ba , 0B G = a cosh
b
a .
CAPÍTULO 8
Exercícios avançados
1. 65 A1 + " x B
5
3 − 3A1 +"x B
2
3 .
3. 18 ln `
x−1
x+1 ` −
1
4 arctg x +
1
8"2
ln x
2 − "2x +1
x2 + "2 + 1
− 1
4"2
arctg "2x1 − x2 .
5. Observe que a 2
dx
xn" a+ bx
+ b 2
dx
xn−1 " a+ bx
= 2
"a+bx
xn dx 
Faça integração por partes na última integral e isole a integral 
pedida. (Errata: Na última integral do enunciado do exercício, 
onde está " ax + b leia-se " a + bx, " ax + b leia-se " a + bx ).
7. Observe que 2
dx
(x 2 − a 2 )
n
2 −1
= −a2 2
dx
(x2 − a2 )
n
2
+ 2
x2dx
(x2 − a2 )
n
2
 
Faça integração por partes na última integral e isole a integral 
pedida. 
9. 2
a
1
sen x
x dx = −
cos a
a + cos 1−2
a
1
cos x
x2 dx . Como `
cos x
x2 ` �
1
x2 ,2
�
1
cos x
x2 dx 
`
cos x
x2 ` �
1
x2 ,2
�
1
cos x
x2 dx é convergente. Além disso, limaS�
cos a
a = 0 e assim 
2
�
1
sen x
x dx é convergente.
11. P A� 180B = 1
" � 2
2" 2
1
" 2
e−y
2
dy + 1
"� 2
�
2" 2 e
−y2dy. Pelo Exer-
cício 10, a última integral é menor que 10−5. Usando a fórmula do 
erro do método dos trapézios, concluímos que n = 29 é suficiente 
para garantir um erro menor que o pedido. P( 180) ≈ 0, 16.
CAPÍTULO 9
Exercícios avançados
1. f Ax B = axn ou f Ax B = ax 1n , a � 0 .
3. y Ax B = 1 ; 35 a1 + A x − 1B a
2x
3 + 1b
3
2 b .
5. yr= yx ; xÅ1−
y 2
x 2 ; família ortogonal yr =
− x
y; x" x2− y2
.
7. y' – Qy = –P.
9. u' = (q + 2ry1) u + ru2.
11. y = 0: instável; y = 1: estável.
0
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