estatística normal

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A Curva normal é uma forma de representar a distribuição da dispersão da população, da mesma forma que o histograma.
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A distribuição Normal é a mais importante das distribuições estatísticas, tanto na teoria como na prática: 
Representa a distribuição de freqüência de muitos fenômenos naturais;
Serve como aproximação da distribuição Binomial, quando n é grande;
As médias e as proporções de grandes amostras seguem a distribuição Normal (Teorema do Limite Central).
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_1002184970.doc
A
C
B
x
f(x)
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Uma conseqüência importante do fato de uma distribuição Normal ser completamente caracterizada por sua média e desvio-padrão é que a área sob a curva entre um ponto qualquer e a média é função somente do número de desvios-padrões que o ponto está distante da média.
Como existem uma infinidade de distribuições normais (uma para cada média e desvio-padrão), transformamos a unidade estudada seja ela qual for (peso, espessura, tempo, etc.) na unidade Z, que indica o número de desvios-padrão a contar da média, ou seja, procedemos uma mudança de variável de X a Z.
Z é chamada de variável Normal Padronizada ou Normal Reduzida.
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Dessa forma, o cálculo de probabilidades (área sob a curva) pode ser realizado através de uma distribuição Normal padronizada, onde o parâmetro é a variável reduzida Z.
A distribuição Normal pode ser representada por uma equação matemática dada por:
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A solução está apresentada em tabelas da distribuição Normal padronizada onde se entra com a variável reduzida Z (número de desvios-padrões distantes da média) e encontra-se F(Z) ou vice-versa.
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A variável reduzida mede a magnitude do desvio em relação à média, em unidades de desvio -padrão.
 Z = 1,5 significa uma observação está desviada 1,5 desvios padrão para cima da média.
A variável reduzida é muito útil para comparar distribuições e detectar dados atípicos.
Dados são considerados atípicos quando Z > 3.
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O cálculo da variável reduzida Z faz uma transformação dos valores reais em valores codificados. 
Essa transformação é feita descontando-se a média para eliminar o efeito de localização (tendência central) e dividindo-se pelo desvio-padrão para eliminar o efeito de escala (variabilidade).
Uma vez calculada a variável reduzida Z, consulta-se a tabela Normal padronizada para identificar a probabilidade acumulada à esquerda de Z, ou seja, a probabilidade de ocorrerem valores menores ou iguais a um certo valor de Z consultado. 
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 Suponha que o teor de sulfito em uma população seja normalmente distribuído com média 100 e desvio-padrão 10. Então o teor está em torno de 100 a uma distância as vezes maior, as vezes menor que 10.
 Queremos saber qual a probabilidade de uma amostra, que seja retirada ao acaso possuir teor menor ou igual a 110.
Pela parte da tabela abaixo obtemos o valor de forma direta: 
 P( x <110) = P( Z < 1) = 0,8413=84%, mas pela nossa tabela seria:
P(x<110)=P(Z<1)= 0,5+P(0<z<1)=0,5+0,3413=0,8413
Obs: vale o mesmo comentário do slide 144.	 
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Se quiséssemos saber a probabilidade do teor de sulfito ser maior que 111,6, iniciamos calculando o valor de Z:
Encontramos o valor de probabilidade 0,8770. 
P( Z > 1,16) = 1 - P(Z < 1,16) = 1 - 0,8770 = 0,1230=12,3% (pela parte da tabela do slide 139) ou 
P(Z > 1,16) = 0,5 – P(0< Z< 1,16) = 0,5 – 0,3770 = 0,1230=12,3% (pela nossa tabela).
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Da mesma forma, se quiséssemos a probabilidade do teor estar entre 120 e 130, teríamos que fazer o seguinte raciocínio, usando a nossa tabela:
P(120 < X < 130) = P(X <130) – P(X < 120) =
= P(Z< 3) – P(Z< 2) = 
=0,9987 – 0,9772 = 0,0215 
ou seja, 2,15% de chance de um teor estar entre 120 e 130
ou: P(120 < X < 130) = P(100<X <130) – P(100<X < 120) =
= P(0<Z< 3) – P(0<Z< 2) = 
=049987 – 0,4772 = 0,0215 
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Como a distribuição pode apresentar aproximações razoáveis para casos amostrais podemos também determinar o Z como a seguir:
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Um processo de produção de sucos embala garrafas cujo volume varia segundo uma distribuição normal com média de 267 mL e desvio padrão de 5 mL. Se a especificação para o volume é de 260 a 275 mL, qual a porcentagem de garrafas fora da especificação, com esta média e desvio-padrão?
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Cálculo de z: pela nossa tabela
P(X  275): então temos que padronizar o valor (275-267)/5=1,60(NA TABELA 0,4452) assim,P(Z1,60)=0,5-0,4452=0,0548=5,48%
P(X 260): padronizando teremos (260-267)/5=-7/5=-1,40(NA TABELA 0,4192), assim P(Z -1,40)=0,5-0,4192=0,0808=8,08%
0
-1,40
1,60
+3
-3
13,56% ESTARIAM FORA DE ESPECIFICAÇÃO
86,44 % ESTARIAM DENTRO DA ESPECIFICAÇÃO
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O peso bruto de latas de conserva é uma v.a. normal, com media 1000g e desvio padrão 20g.
(a) Qual a probabilidade de uma lata pesar menos de 980g?
(b) Qual a probabilidade de uma lata pesar mais de 1010g?
RESOLUÇÃO:
A)Z= (980-1000)/20=-1→ P(z<-1)=0,5-0.3413=0,1587=15,87%
B) Z=(1010-1000)/20=0,5 → P(z>0,5)=0,5-01915=0,3085=30,85%
1060
940
1000
980
1010
31%
15,87%
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A combinação linear de variáveis com distribuições normais independentes é também variável com distribuição normal.
Por exemplo, se X e Y são variáveis aleatórias com distribuições normais, então:
 , onde a,b e c são constantes também terá distribuição normal com:
 e 
Ou seja, a soma ou a diferença de 2 v.a. normais também é normal. 
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Um produto pesa em média, 10g, com desvio-padrão de 2g. É embalado em caixas com 50 unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam 500g, com desvio-padrão de 25g. Admitindo-se uma distribuição normal dos pesos e independência entre as variáveis dos pesos do produto e da caixa, calcule a probabilidade de uma caixa cheia pesar mais de 1050g.
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