Problemas da Tangente, Velocidade e Limite de Função

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Aula 3
Os problemas da tangente e
da velocidade. O limite de
uma função.
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Quarta-feira, 24 de Fevereiro de 2014
O Problema da Tangente
Tangente = “tocando”.
Uma tangente é uma reta que toca uma curva e deve ter a
mesma inclinação da curva no ponto tocado.
Secante = “corta”.
Uma secante é uma reta que intersecta uma curva em dois
pontos.
Reta:
y = mx + b.
Exemplo:
Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x2 no
ponto P(1,1).
Considere um ponto Q(x , x2), com P 6= Q, ou seja, x 6= 1.
A inclinação da reta secante PQ é
mPQ =
x2 − 1
x − 1 .
Para Q(0,0), temos mPQ = 1.
Para Q(0.5,0.25), temos mPQ = 1.5.
Para Q(0.9,0.81), temos mPQ = 1.9.
Para Q(2,4), temos mPQ = 3.
Para Q(1.5,2.25), temos mPQ = 2.5.
Para Q(1.1,1.21), temos mPQ = 2.1.
Esses resultados sugerem que a reta tangente tem inclinação
m = 2.
Sua equação é
y − 1 = 2(x − 1)⇐⇒ y = 2x − 1.
Numa linguagem mais formal, dizemos que a inclinação da reta
tangente é o limite das inclinações das retas secantes.
Simbolicamente, escrevemos:
lim
Q→P
mPQ = m,
No exemplo,
lim
x→1
x2 − 1
x − 1 = 2.
O Problema da Velocidade
Velocidade Média =
Mudança de posição
tempo decorrido
Velocidade média de uma bola lançada do alto da Torre CN,
em Toronto, a 450m acima do solo.
Intervalo de Tempo (s) Velocidade Média (m/s)
5 ≤ t ≤ 6 53.9
5 ≤ t ≤ 5.1 49.49
5 ≤ t ≤ 5.01 49.049
5 ≤ t ≤ 5.001 49.0049
Podemos dizer que a velocidade instantânea em t = 5 s é
v = 49 m/s.
O Limite de Uma Função
O problema da tangente e o problema da velocidade são
equivalentes do ponto de vista matemático. Eles estão
relacionados ao conceito de limite de uma função.
Ideia do conceito de limite de uma função:
Suponha que uma função f seja definida próximo de a.
Escrevemos
lim
x→a f (x) = L ⇐⇒ f (x)→ L quando x → a,
e dizemos
“O limite de f (x), quando x tende a a, é L”
se pudermos tomar f (x) arbitrariamente próximos de L
tomando x próximo de a.
lim
x→1
x − 1
x2 − 1 = 0.5.
lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
=
1
6
.
Cuidado, construir uma tabela com a calculadora pode dar
valores falsos!
lim
x→0
sin x
x
= 1.
lim
x→0
sin
pi
x
não existe.
Considere a função de Heaviside:
H(x) =
{
0, x < 0
1, x ≥ 0.
lim
x→0
H(x) não existe.
Limites Laterais
Limite à esquerda
Dizemos que o limite à esquerda de f (x) quando x tende a a é
igual a L e escrevemos
lim
x→a−
f (x) = L,
se pudermos tornar os valores de f (x) arbitrariamente
próximos de L para x suficientemente próximo de a com x < a.
Limite à direita
Dizemos que o limite à direita de f (x) quando x tende a a é
igual a L e escrevemos
lim
x→a+
f (x) = L,
se pudermos tornar os valores de f (x) arbitrariamente
próximos de L para x suficientemente próximo de a com x > a.
Relação entre os Limites
lim
x→a f (x) = L ⇐⇒ limx→a− f (x) = L e limx→a+ f (x) = L.
Limites Infinitos
Limite Infinito
A notação
lim
x→a f (x) = +∞,
significa que podemos fazer os valores de f (x) tão grande
quanto quisermos tomando x suficientemente próximo de a,
x 6= a.
Limite Menos Infinito
Analogamente,
lim
x→a f (x) = −∞,
significa que podemos fazer os valores de f (x) arbitrariamente
grandes, porém negativos, tomando x suficientemente próximo
de a, x 6= a.
Limites Laterais:
Notação analoga para limites laterais infinito e menos infinito!
lim
x→0
1
x2
= +∞.
lim
x→3+
2x
x − 3 = +∞ e limx→3−
2x
x − 3 = −∞.
Assíntota Vertical
A reta x = a é uma assíntota vertical de y = f (x) se o limite à
esquerda ou à direita (ou ambos), quando x tende a a, é
infinito ou menos infinito.
A função tan(x) possui assíntotas verticais em
x = (2n + 1)pi/2, para qualquer n ∈ Z.