Teoria de Limites e Derivadas_texto 3

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Limites infinitos e no Infinito 
 
2 
 
 
Olá, seja bem-vindo(a)! 
Estudamos até agora as situações em que o limite de uma função, quando 𝑥 se 
aproxima de um número real 𝑎 . No entanto, há casos em que queremos analisar o 
comportamento de uma função 𝑓(𝑥) quando 𝑥 cresce ou decresce infinitamente, 
chamados de limites no infinito! 
Também temos o caso em que o valor da função 𝑓(𝑥) tende a assumir um valor 
muito grande, ou seja, ele tende a assumir um valor que vai de mais infinito ou a menos 
infinito a medida que a variável 𝑥 se aproximar de um certo valor, chamamos de limites 
infinitos! 
Vamos lá? 
 
1. LIMITES NO INFINITO 
 
Vamos começar com os limites no infinito, ou seja, vamos estudar o que acontece 
com o valor da função quando 𝑥 tende a +∞ e a −∞. 
Vamos analisar a função: 
 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
 
Observe que a medida em que 𝑥 cresce, a função 𝑓(𝑥) se aproxima de 0: 
 
 Tabela 1 - Aproximação dos valores de x 
𝒙 100 10.000 1.000.000 
𝑓(𝑥) 0,01 0,0001 0,000001 
 FONTE: SOARES (2021) 
 
Tomando 𝑥 grande o bastante, podemos fazer a função 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 tão próximo de 
0 quanto quisermos. Portanto, temos 
 
lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 0 
 Limites infinitos e no Infinito 
 
3 
 
Por outro lado, a medida em que 𝑥 decresce, a função 𝑓(𝑥) também se aproxima 
de 0, logo temos também 
 
lim
𝑥→−∞
1
𝑥
= 0 
 
Graficamente temos: 
 
 Figura 1 - Gráfico da função 
𝟏
𝐱
 
 
 FONTE: STEWART (2005) 
 
Dizemos que 
1
𝑥
 tende a 0, quando 𝑥 tende a infinito. A reta 𝑦 = 0 (o eixo 𝑥) é uma 
assíntota horizontal da curva 𝑦 =
1
𝑥
. 
 Vamos para a definição formal de limites no infinito? 
 Dizemos que 𝑓(𝑥) possui limite 𝐿 quando 𝑥 tende a +∞, e escrevemos 
 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
Se, à medida que 𝑥 se distancia da origem no sentindo positivo, 𝑓(𝑥) fica cada 
vez mais próximo de 𝐿. 
Dizemos que 𝑓(𝑥) possui limite 𝐿 quando 𝑥 tende a −∞, e escrevemos 
 
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
 
 Limites infinitos e no Infinito 
 
4 
 
Se, à medida que 𝑥 se distancia da origem no sentindo negativo, 𝑓(𝑥) fica cada 
vez mais próximo de 𝐿. 
** As propriedades dos limites que já estudamos não se alteram quando 
substituímos 𝑥 → 𝑎 por 𝑥 → +∞ ou 𝑥 → −∞. O símbolo ∞ não representa um número 
real! 
Para nos auxiliar nos cálculos de limites no infinito, podemos definir dois 
teoremas. Se 𝑛 é um número inteiro positivo, então: 
 
1. lim
𝑥→±∞
1
𝑥𝑛
= 0 
 
2. lim
𝑥→±∞
𝑘 = 𝑘 
 
Exemplo 1 – Calcule lim
𝑥→∞
(3 +
1
𝑥
) 
Aplicando as propriedades de limites: 
 
lim
𝑥→∞
3 + lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 3 + 0 = 3 
 
** lim
𝑥→∞
1
𝑥
 , quando substituímos a tendência na função encontramos 
1
∞
, ou seja, 1 
divididos por um valor muito grande é igual a 0 (zero), conforme o teorema apresentado! 
 Exemplo 2 - Calcule lim
𝑥→−∞
(
𝜋√2
𝑥3
) 
 Primeiro podemos reescrever a função 𝑓(𝑥) =
𝜋√2
𝑥3
 por 𝑓(𝑥) = 𝜋√2.
1
𝑥3
, certo? 
Assim facilita no momento de aplicarmos o limite da função, então: 
 
lim
𝑥→−∞
𝜋√2.
1
𝑥3
= lim
𝑥→−∞
𝜋√2 . lim
𝑥→−∞
1
𝑥3
= 𝜋√2. 0 = 0 
 
 O lim
𝑥→−∞
𝜋√2 é igual a 𝜋√2 , pois 𝜋√2 é uma constante. O lim
𝑥→−∞
1
𝑥3
 , quando 
substituímos a tendência na função encontramos 
1
−∞
, ou seja, 1 divididos por um valor 
muito grande negativo é igual a 0 (zero), conforme o teorema apresentado! 
 Limites infinitos e no Infinito 
 
5 
 
1.1 LIMITES DE FUNÇÕES RACIONAIS QUANDO 𝒙 → ±∞ 
 
Para calcularmos o limite no infinito de uma função racional, podemos dividir o 
numerador e o denominador pela maior potência de 𝑥 que aparece no denominador. 
Assumimos que 𝑥 ≠ 0, já que estamos interessados apenas em valores grandes de 𝑥. 
• Denominador e numerador de mesmo grau: 
Vamos analisar o lim
𝑥→+∞
3𝑥2+5𝑥−3
2𝑥2+1
. 
Temos uma função racional onde o numerador e o denominador tem o mesmo 
grau, ou seja, temos um polinômio de grau 2 em ambos, 𝑥2. 
Se 𝑥 → 𝑎, poderíamos substituir o 𝑥 por 𝑎 na função 𝑓(𝑥), mas nesse caso em que 
temos 𝑥 → ∞, se substituirmos na função, vamos obter a seguinte indeterminação: 
 
lim
𝑥→+∞
3𝑥2 + 5𝑥 − 3
2𝑥2 + 1
=
3. ∞2 + 5. ∞ − 3
2. ∞2 + 1
=
∞
∞
 
 
Desta forma, vamos dividir o numerador e o denominador pela maior potência, 
𝑥2: 
lim
𝑥→+∞
3𝑥2
𝑥2
+
5𝑥
𝑥2
−
3
𝑥2
2𝑥2
𝑥2
+
1
𝑥2
, 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 =
3 +
5
𝑥
−
3
𝑥2
2 +
1
𝑥2
 
 
Aplicando as propriedades de limites para cada termo da função: 
 
lim
𝑥→+∞
3 + lim
𝑥→+∞
𝑥
5
− lim
𝑥→+∞
3
𝑥2
lim
𝑥→+∞
2 + lim
𝑥→+∞
1
𝑥2
=
3 + 0 − 0
2 + 0
=
3
2
 
 
Então: lim
𝑥→+∞
3𝑥2+5𝑥−3
2𝑥2+1
=
3
2
 
 
• Grau do numerador menor que o grau do denominador 
 
Vamos analisar o lim
𝑥→−∞
2𝑥+3
3𝑥3−2
 
 Limites infinitos e no Infinito 
 
6 
 
Temos uma função racional onde o grau do numerador é menor que o grau do 
denominador, então dividimos pela maior potência do denominador, 𝑥3: 
 
lim
𝑥→−∞
2𝑥
𝑥3
+
3
𝑥3
3𝑥3
𝑥3
−
2
𝑥3
=
2
𝑥2
+
3
𝑥3
3 −
2
𝑥3
 
 
Aplicando as propriedades de limites para cada termo da função: 
 
lim
𝑥→−∞
2
𝑥2
+ lim
𝑥→−∞
3
𝑥3
lim
𝑥→−∞
3 − lim
𝑥→−∞
2
𝑥3
=
0 + 0
3 − 0
=
0
3
= 0 
 
Então: lim
𝑥→−∞
2𝑥+3
3𝑥3−2
= 0 
 
• Grau do numerador maior que o grau do denominador 
 
Vamos analisar o lim
𝑥→−∞
2𝑥2+4𝑥−5
3𝑥+4
 
Temos uma função racional onde o grau do numerador é maior que o grau do 
denominador, então dividimos pela maior potência do denominador, 𝑥: 
 
lim
𝑥→−∞
2𝑥2
𝑥
+
4𝑥
𝑥
−
5
𝑥
3𝑥
𝑥
+
4
𝑥
=
2𝑥 + 4 −
5
𝑥
3 +
4
𝑥
 
 
Aplicando as propriedades de limites para cada termo da função: 
 
lim
𝑥→−∞
2𝑥 + lim
𝑥→−∞
4 − lim
𝑥→−∞
5
𝑥
lim
𝑥→−∞
3 + lim
𝑥→−∞
4
𝑥
=
−∞ + 4 − 0
3 + 0
=
−∞
3
= −∞ 
 
** −∞ é um valor muito grande negativo, então um valor muito grande dividido 
por 3 é igual a um valor muito grande negativo! 
 
 Limites infinitos e no Infinito 
 
7 
 
DICA 
 
No cálculo de limites no infinito de funções racionais, poderemos considerar 
apenas o limite no infinito do quociente entre os termos de maiores graus, tanto no 
numerador, como no denominador, observe: 
 
lim
𝑥→+∞
3𝑥5 − 2𝑥2 + 5𝑥 − 1
2𝑥7 + 5𝑥3 − 2𝑥2
= lim
𝑥→+∞
3𝑥5
2𝑥7
=
3𝑥5
𝑥7
2𝑥7
𝑥7
=
3
𝑥2
2
=
0
2
= 0 
 
2. LIMITES INFINITOS 
 
O valor da função tende a assumir um valor muito grande, ou seja, ele tende a 
assumir um valor que vai a +∞ ou a −∞ a medida em que a variável 𝑥 se aproximar de 
um certo valor. 
 Agora o valor da função tende a um valor muito grande ou muito pequeno a 
medida em que o 𝑥 se aproxima de um certo valor. 
 Vamos analisar: 
 
lim
𝑥→0
1
𝑥2
 
 
Observe que a medida em que 𝑥 se aproxima 0, 𝑥2 também se aproxima de 0, e 
1
𝑥2
 fica muito grande. 
 
 Tabela 2 - Aproximação dos valores de x 
𝒙 1 0,05 0,001 
𝑓(𝑥) 1 400 1.000.000 
 FONTE: SOARES (2021) 
 
 Podemos evidenciar esse comportamento pela gráfico, Figura 2, da função 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
 quando tornamos os valores de 𝑥 próximos de 0. Desta forma, os valores de 𝑓(𝑥) não 
tendem a um número, e não existe lim
𝑥→0
1
𝑥2
. 
 Limites infinitos e no Infinito 
 
8 
 
 Figura 2 - Gráfico da função 
𝟏
𝐱𝟐
 
 
 FONTE: STEWART (2005) 
 
 Podemos descreveresse comportamento da seguinte forma: 
 
lim
𝑥→0
1
𝑥2
= ∞ 
 
 De uma forma geral podemos definir da seguinte maneira: 
 
• Seja 𝑓(𝑥)uma função definida em ambos os lados de 𝑎, exceto possivelmente 
em 𝑎. Então: 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞, 
 
significa que podemos fazer os valores de 𝑓(𝑥) ficarem tão grandes quanto 
quisermos, tomando valores de 𝑥 suficientemente próximos de 𝑎, mas não igual a 
𝑎. 
 
• Seja 𝑓(𝑥) uma função definida em ambos os lados de 𝑎, exceto possivelmente 
em 𝑎. Então: 
• 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = −∞, 
 
significa que podemos fazer os valores de 𝑓(𝑥) ficarem tão grandes, porém 
negativos, quanto quisermos, tomando valores de 𝑥 suficientemente próximos de 
𝑎, mas não igual a 𝑎. 
 Limites infinitos e no Infinito 
 
9 
 
 Os seguintes teoremas são úteis para a pesquisa do comportamento de 
determinadas funções. Se 𝑛 é um número inteiro positivo, então: 
 
• lim
𝑥→0+
1
𝑥𝑛
= +∞ 
 
• lim
𝑥→0−
1
𝑥𝑛
= {
+∞, 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟
−∞, 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟
 
 
Exemplo 1 – Calcule o lim
𝑥→0
(𝑥2 + 2√𝑥
3
+
1
𝑥2
) 
Aplicando as propriedades de limites: 
 
lim
𝑥→0
 𝑥2 + lim
𝑥→0
 2√𝑥
3
+ lim
𝑥→0
1
𝑥2
= 0 + 0 +
1
02
= ? ? ? 
 
** Como a aproximação não é exatamente zero e sim muito próximo de zero, fica 
1(um) divididos por um valor muito pequeno, então: 
 
lim
𝑥→0
 𝑥2 + lim
𝑥→0
 2√𝑥
3
+ lim
𝑥→0
1
𝑥2
= 0 + 0 +
1
02
= +∞ 
 
 Podemos observar que a propriedade demostrada, lim
𝑥→0+
1
𝑥𝑛
= +∞, é válida. 
 
Exemplo 2 – Calcule o lim
𝑥→3+
𝑥
𝑥−3
 
 
 Aplicando as propriedades de limites quando 𝑥 se aproxima de 3 (três) pela 
direita: 
 
lim
𝑥→3+
𝑥
lim
𝑥→3+
𝑥 − 3
=
3
3 − 3
=
3
0
? ? ? 
 
** Como a aproximação não é exatamente 3 (três) e sim um valor maior e muito 
próximo de 3 (três), então: 
 Limites infinitos e no Infinito 
 
10 
 
lim
𝑥→3+
𝑥
lim
𝑥→3+
𝑥 − 3
=
3
3,001 − 3
=
3
0,0001
= +∞, 
 
 pois 3(três) divididos por um número muito pequeno positivo é +∞, conforme a 
propriedade lim
𝑥→0+
1
𝑥𝑛
= +∞. 
 
Exemplo 3 – Calcule o lim
𝑥→3−
𝑥
𝑥−3
 
Aplicando as propriedades de limites quando 𝑥 se aproxima de 3 (três) pela 
esquerda: 
 
lim
𝑥→3−
𝑥
lim
𝑥→3−
𝑥 − 3
=
3
3 − 3
=
3
0
? ? ? 
 
** Como a aproximação não é exatamente 3 (três) e sim um valor menor e muito 
próximo de 3 (três), então: 
 
lim
𝑥→3−
𝑥
lim
𝑥→3−
𝑥 − 3
=
3
2,9999 − 3
=
3
−0,0001
= −∞ 
 
pois 3(três) divididos por um número muito pequeno negativo é −∞, conforme a 
propriedade lim
𝑥→0−
1
𝑥𝑛
= −∞, 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟. 
 
 Exemplo 4 - Calcule o lim
𝑥→3
𝑥
𝑥−3
 
Aplicando as propriedades de limites quando 𝑥 é igual a 3, propriedade 
fundamental de limites de uma divisão, chegamos a seguinte conclusão: 
 
lim
𝑥→3
𝑥
𝑥 − 3
=
3
0
, 
Para aplicarmos a propriedade fundamental de limites é necessário que o 
denominador seja diferente de 0 (zero): 
 
 Limites infinitos e no Infinito 
 
11 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
, lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0 
 
 Neste caso é necessário analisarmos ambas as aproximações, conforme fizemos 
nos exemplos 2 e 3. Assim chegamos a conclusão que o limite da função quando 𝑥 se 
aproxima pela direita é diferente do limite da função quando 𝑥 se aproxima pela esquerda, 
lim
𝑥→3−
𝑥
𝑥−3
≠ lim
𝑥→3+
𝑥
𝑥−3
, então podemos dizer que o limite da função 
𝑥
𝑥−3
 não existe, pois o 
limite de uma função 𝑓(𝑥) quando 𝑥 se aproxima de a, somente existe se os limites 
laterais são iguais: 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) 
 
 Toda vez que acontecer 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜
0
, precisamos analisar os limites laterais da função. 
 
3. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 
 
Em muitas aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que 
se aproximam de uma reta a medida em que x cresce ou decresce. 
É possível traçar com facilidade um esboço do gráfico de uma função se 
conhecermos as assíntotas horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam. 
Assíntotas são as linhas horizontais e verticais que no gráfico servem para 
traçarmos a função, onde a função vai tender para este valor, o que encontrarmos da 
assíntota, porém não “toca” esta reta, pois a assíntota são os limites laterais vertical e 
horizontal da função. 
 
3.1 ASSÍNTOTA VERTICAL 
 
Dizemos que a reta 𝑥 = 𝑎 é uma assíntota vertical do gráfico de 𝑓, se pelo menos 
uma das afirmações seguintes for verdadeira: 
 
 
 Limites infinitos e no Infinito 
 
12 
 
• lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = ∞ 
• lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = −∞ 
• lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = ∞ 
• lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = −∞ 
 
Para localizarmos possíveis assíntotas verticais 𝑥 = 𝑎 de funções da forma 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 
devemos simplesmente procurar valores de a para quaisquer 𝑔(𝑎) = 0 
Vamos analisar o gráfico 𝑓(𝑥) =
1
(𝑥+2)2
 
 
 Figura 3 - Gráfico da função 
 
 FONTE: SOARES (2021) 
 
Neste caso podemos focar nossa atenção no denominador da função e aproximá-
lo de 0 (zero), desta forma encontramos a assíntota vertical. Se nos aproximar do valor 
de 𝑎 por ambos os lados, tanto pela direita quanto pela esquerda, observamos que o valor 
da função tende a +∞: 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = +∞, 
 
ou seja, 𝑥 = 𝑎 é a assíntota vertical. 
 
3.2 ASSÍNTOTA HORIZONTAL 
 
Dizemos que a reta 𝑦 = 𝑏 é uma assíntota horizontal do gráfico de 𝑓, se pelo 
menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: 
 Limites infinitos e no Infinito 
 
13 
 
• lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 
• lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 
Então fica claro que para encontrarmos assíntotas horizontais, devemos calcular 
limites quando 𝑥 → +∞ ou quando 𝑥 → −∞ 
 Vamos analisar o gráfico 𝑓(𝑥): 
 
 Figura 4 - Gráfico da função 
 
 FONTE: SOARES (2021) 
 
 Podemos observar no gráfico que à medida que 𝑥 → −∞ cada vez mais o valor 
da função se aproxima da linha pontilhada, ou seja, cada vez mais o valor da função se 
aproxima de 2 (dois): 
 
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 2, 
 
 então a reta 𝑦 = 2 é a assíntota horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Limites infinitos e no Infinito 
 
14 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
 
FACCIN, Giovani Manzeppi. Elementos de cálculo diferencial e integral. [livro 
eletrônico]. Curitiba: Intersaberes, 2015. 
 
 
FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Buss Mírian. Cálculo A. [livro eletrônico]. São 
Paulo: Pearson, 2006. 
 
 
STEWART, James. Cálculo. Volume I. Edição 4. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2005.