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Continuidade e cálculo de
limites usando suas
propriedades.
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Cálculo de limites usando suas propriedades
Seja c uma constante e suponha que existam os limites
lim
x→a f (x)e limx→a g(x).
Então, valem as equações:
I. lim
x→a [f (x) + g(x)] = limx→a f (x) + limx→a g(x).
II. lim
x→a [f (x)− g(x)] = limx→a f (x)− limx→a g(x).
III. lim
x→a [cf (x)] = c limx→a f (x).
IV. lim
x→a [f (x)g(x)] = limx→a f (x) limx→a g(x).
V. lim
x→a
[
f (x)
g(x)
]
=
limx→a f (x)
limx→a g(x)
, se lim
x→a g(x) 6= 0.
VI. lim
x→a [f (x)]
n =
[
lim
x→a f (x)
]n
.
VII. lim
x→a c = c e limx→a x = a.
Exemplos
Calcule os limites, se existirem:
a) lim
x→5
(2x2 − 3x + 4).
b) lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5− 3x .
c) lim
x→1
x2 − 1
x − 1
d) lim
x→1
g(x), g(x) =
{
x + 1, x 6= 1,
pi, x = 1.
e) lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
.
f) lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
g) lim
x→0
|x |
x
h) lim
x→4
f (x), f (x) =
{√
x − 4, x > 4,
8− 2x , x < 4.
Exemplos
Calcule os limites, se existirem:
a) lim
x→5
(2x2 − 3x + 4) = 39.
b) lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5− 3x = −
1
11
.
c) lim
x→1
x2 − 1
x − 1 = 2
d) lim
x→1
g(x) = 2, g(x) =
{
x + 1, x 6= 1,
pi, x = 1.
e) lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
= 6.
f) lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
=
1
6
g) lim
x→0
|x |
x
não existe!
h) lim
x→4
f (x) = 0, f (x) =
{√
x − 4, x > 4,
8− 2x , x < 4.
Limite e Desigualdades
Se f (x) ≤ g(x), para x próximo mas diferente de a, e
limx→a f (x) e limx→a g(x) existem, então
lim
x→a f (x) ≤ limx→a g(x).
Teorema do Confronto:
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), para x próximo mas diferente de a, e
lim
x→a f (x) = L = limx→a h(x),
então
lim
x→a g(x) = L.
Exemplo
Mostre que
lim
x→0
x2 sin
(
1
x
)
= 0.
Continuidade
Função Contínua em a
Uma função f é contínua em a se
lim
x→a f (x) = f (a).
Observação:
I f (a) está definida.
I limx→a f (x) existe.
I limx→a f (x) = f (a).
Se f não é contínua em a, dizemos que f é descontínua em a
ou f possui uma descontinuidade em a.
Continuidade em I
Dizemos que f é contínua em um intervalo I se f é contínua em
todo x ∈ I.
Continuidade Lateral
I f é contínua à direita se
lim
x→a+
f (x) = f (a).
I f é contínua à esquerda se
lim
x→a−
f (x) = f (a).
I f é contínua se e somente se
lim
x→a−
f (x) = f (a) = lim
x→a+
f (x).
Propriedades de Funções Contínuas
Sejam f e g funções contínuas em a e c uma constante. Nesse
caso, são também contínuas em a as funções:
I f + g.
I f − g.
I c · f .
I g · g.
I f/g se g(a) 6= 0.
São funções contínuas em seus domínios:
I Polinômios.
I Funções racionais.
I Funções trigonométricas.
I Funções trigonométricas inversas.
I Funções exponenciais.
I Funções logarítmicas.
Continuidade da Composta:
Se g for contínua em a e f em g(a), então f ◦ g é contínua em
a.
Teorema do Valor Intermediário:
Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. Se y0 é um
número entre f (a) e f (b), então existe x0 ∈ (a,b) tal que
f (x0) = y0.
Exemplo
Mostre que existe uma raiz da equação
4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0,
entre 0 e 1.