Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 64 3.2 - Método da força Virtual Unitária (MFVU): Efeito da variação de temperatura Seja a estrutura composta por elementos de barra reta de altura h representada na figura 13 em que se impõe a variação de temperatura te na “face” ou “fibra” externa ou superior da barra e a variação de temperatura ti na “face” ou “fibra” interna ou inferior da barra. Ao longo da altura h da seção das barras da estrutura, a variação de temperatura possui uma lei de comportamento linear. Fig. 13: estrutura sob o efeito de temperatura Uma viga livre sem vínculos externos submetida à variação de temperatura pode sofrer um alongamento ou um encurtamento ao longo de seu eixo longitudinal, fazendo com que a barra adquira uma curvatura que pode ser voltada para cima ou para baixo, conforme ilustrado na figura 13. O alongamento ou encurtamento da fibra que passa pelo centro de gravidade da seção transversal da barra devido à variação de temperatura provoca deslocamentos relativos internos entre as seções adjacentes distantes dx, conforme ilustrado na figura 13. Considerando o coeficiente de dilatação térmica do material e dx a distância entre duas seções adjacentes, estas por sua vez, adquirem deslocamentos relativos composto de duas partes: a) deslocamento relativo axial (longitudinal): d = . tg . dx (19) b) rotação relativa entre essas seções: d= [ (ti - te)/h ] . dx (20) pequenos ângulos (d: tg d = d = cateto oposto / cateto adjacente dti . dx - te . dx) / h = [ (ti - te) / h ] . dx te h/2 s s . te.dx h dx C.G. h ti te . ti. dx . tg . dx C. G. = centro geométrico da seção, ou seja, o centróide da seção tg = temperatura no centróide da seção dx d h te ti ti > te ti te > ti te = temperatura na fibra externa ou superior ti = temperatura na fibra interna ou inferior d d d h ti.dx - te.dx Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 65 O deslocamento () em uma dada direção, em uma determinada seção s de uma estrutura devido à ação da temperatura é determinado por meio da equação geral do MFVU, ou seja, da equação (6). Considerando que a estrutura esteja apenas sob a ação da temperatura e que os apoios da estrutura não apresentam deslocamentos prescritos, ou seja, os apoios não apresentam recalques (deslocamentos prescritos = conhecidos), a equação (6), pode ser escrita da seguinte forma: 𝜹𝑹_ 𝒋 = 𝟎 → 𝒐𝒔 𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐𝒔 𝒏ã𝒐 𝒂𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒎 𝒓𝒆𝒄𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐; 𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀 𝟎 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 + �̅� . 𝒅𝜽 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (6) 𝜹 = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀 𝟎 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 + �̅� . 𝒅𝜽 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Visto que a estrutura está somente sob a ação da temperatura, ação esta, que gera apenas deslocamento relativo axial longitudinal (d) das seções transversais e rotação relativa entre essas seções transversais (d) da estrutura, o que permite escrever a equação anterior da seguinte forma: 𝜹 = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 𝟎 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Substituindo as equações (19) e (20) na equação anterior obtém-se a equação que permite calcular o deslocamento de qualquer seção transversal de uma estrutura usual (vigas, pórticos plano, grelhas e treliças) sob o efeito da temperatura, a qual é dada por: d = . tg . dx (19) d= [ (ti - te)/h ] . dx (20) 𝜹 = ∑ [ ∫ �̅� . 𝜶 . 𝒕 𝒈 . 𝒅𝒙 + �̅� . [𝜶 . (𝒕𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉]. 𝒅𝒙 𝟎 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 66 𝜹 = ∑ [ ∫ �̅� . 𝜶 . 𝒕 𝒈 . 𝒅𝒙 𝟎 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 + ∫ �̅� . [𝜶 . (𝒕𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝒅𝒙 𝟎 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (21) A equação (21) é a expressão geral do MFVU para estruturas compostas por vários elementos ((peça do tipo barra: reta ou curva ex: vigas, treliças, pórticos planos e grelhas)) sujeitas ao Efeito da variação de temperatura; Para estruturas usuais , tg, te, ti são constantes ao longo das barras, e para barras com h constante, o que permite retirar estes termos da integral, e desta forma a equação (21) pode ser escrita da seguinte forma: 𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . ∫ �̅� . 𝒅𝒙 𝟎 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 + [𝜶 . (𝒕𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . ∫ �̅� . 𝒅𝒙 𝟎 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (22) Na equação acima as integrais �̅� . dx = 𝑨𝑵𝟎̅̅ ̅̅ e �̅� . dx = 𝑨𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅ se identificam como o valor das áreas dos diagramas de esforço normal 𝑨𝑵𝟎̅̅ ̅̅ e do momento fletor 𝑨𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅ das barras da estrutura sob a ação da força virtual unitária, assim a equação anterior pode ser escrita da seguinte forma: VIGAS, PÓRTICOS PLANOS E GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . 𝑨𝑵𝟎̅̅ ̅̅ + [𝜶 . (𝒕 𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅ ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (23) Barra de seção constante ao longo comprimento A eq. (23) é válida apenas para barras de seção constante, caso de barras com seções variáveis deve ser utilizado a eq. (22). TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; Visto que a contribuição do momento pode ser desprezada, e como geralmente o esforço normal de cada barra também é constante ao longo de comprimento, permite escrever a equação (22) da seguinte forma. 𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . �̅� . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂] 0 𝑖=1,2,𝑛(24) Barra de seção constante ao longo comprimento Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 67 Para o emprego das equações (22), (23) e (24), a seguinte convenção de sinais para os esforços virtuais é adotada: �̅� (+ ), barra tracionada; �̅� ( - ), barra comprimida; �̅� (+ ), fibras internas e inferiores tracionadas; �̅� ( - ), fibras externas e superiores tracionadas; Efeito combinado: Deslocamento devido ao efeito combinado de força externa + variação de temperatura; Para estruturas usuais o deslocamento total é determinado somando-se o deslocamento provocado por cada efeito calculado em separado, e ao final soma-se estes deslocamentos de forma a obter deslocamento total; Fibras internas Fibras externas + �̅� �̅� + �̅� + �̅� - �̅� - - �̅� Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 68 Resumo2: Método da Força Virtual Unitária (MFVU): Efeito da variação de temperatura Este método é utilizado para calcular um determinado deslocamento de uma seção transversal qualquer de uma estrutura isostática submetida a ação da temperatura. Por exemplo, para o pórtico isostático plano submetido à ação da temperatura ilustrado na figura 14, a seção transversal C apresenta um deslocamento vertical V e um deslocamento horizontal h devido à ação da temperatura. Fig. 14: Pórtico isostático plano deformado devido a ação da temperatura. A seguir é apresentando o procedimento para determinar o deslocamento vertical da seção transversal C; Vale ressaltar que o procedimento apresentando a seguir é válido para calcular qualquer tipo de deslocamento de uma seção transversal s de uma estrutura isostática (VIGAS, PÓRTICOS, GRELHAS E TRELIÇAS) sob a ação da temperatura; h v te ti te temperatura externa; ti temperatura interna; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 69 1º Passo: considera-se a estrutura submetida apenas à ação de uma força virtual unitária externa compatível ao deslocamento a ser determinado, sendo esta força aplicada sobre a seção transversal em questão. Esta força virtual unitária externa compatível é definida consultando a tabela 2; Por exemplo: Ex1: deseja-se calcular o deslocamento horizontal de uma seção s qualquer: Tabela 2: aplica-se uma força unitária virtual horizontal sobre a seção s. Ex2: deseja-se calcular o deslocamento vertical de uma seção s qualquer: Tabela 2: aplica-se uma força unitária virtual vertical sobre a seção s. Para determinar o deslocamento vertical da seção transversal c do pórtico isostático plano aplica-se uma força virtual unitária vertical sobre a seção c; Fig. 14: Estrutura sujeita à ação da força virtual unitária externa OBS1: Para vigas, pórticos planos e grelhas esboçar o diagrama de esforço normal virtual �̅�, e o diagrama de momento fletor virtual �̅�, devido EXCLUSIVAMENTE a ação da força virtual unitária; OBS2: Para grelhas sob o efeito da temperatura NÃO É NECESSÁRIO ESBOÇAR O DIAGRAMA DE MOMENTO TORÇOR VIRTUAL �̅� OBS3: Para treliça NÃO É NECESSÁRIO ESBOÇAR NENHUM DIAGRAMA DE ESFORÇO, basta apenas calcular o esforço normal virtual de cada barra �̅�, devido EXCLUSIVAMENTE a ação da força virtual unitária; �̅� = 𝟏 : força virtual unitária compatível ao tipo de deslocamento que deseja-se determinar �̅� = 𝟏 Esboçar o diagrama de normal virtual e momento virtual: 𝑵 ̅̅ ̅ ; �̅� devido EXCLUSIVAMENTE a ação da força virtual unitária �̅� = 𝟏 s �̅� = 𝟏 s Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 70 2º Passo: Calcula-se as propriedades da seção transversal das barras da estrutura, o somatório da área do diagrama do esforço normal de cada barra da estrutura e o somatório da área do diagrama do momento fletor de cada barra da estrutura; Propriedades: t = ti - te (variação de temperatura ao longo da seção) 0C tg (temperatura no centro de gravidade da seção) 0C Somatório das áreas dos diagramas das barras: Somar as áreas do diagrama do esforço normal virtual das barras da estrutura 𝑨𝑵𝟎̅̅ ̅̅ bem como somar as áreas do diagrama de momento fletor virtual das barras da estrutura 𝑨𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅ e inserir estes valores na expressão a seguir; O somatório das áreas dos diagramas obedece a seguinte convenção de sinais: �̅� (+ ), barra tracionada: 𝑨�̅� = + �̅� ( - ), barra comprimida: 𝑨�̅� = − �̅� (+ ), fibras internas e inferiores tracionadas: 𝑨�̅� = + �̅� ( - ), fibras externas e superiores tracionadas: 𝑨�̅� = − te + 25 0C ti + 13,5 0C 50 cm 15 cm + 25 0C + 13,5 0C tg = ? 0C Fibras internas Fibras externas + �̅� �̅� + �̅� + �̅� - �̅� - - �̅� Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 71 3º Passo: Inserir os valores obtidos nos passos 1 e 2 nas seguintes equações: VIGAS, PÓRTICOS PLANOS E GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; Inserir o valor do somatório das áreas do diagrama de esforço normal das barras da estrutura 𝑨�̅� bem como, o valor do somatório das áreas do diagrama de momento fletor virtual das barras da estrutura 𝑨�̅�obtidos nos PASSOS 1 e 2, respectivamente, na expressão a seguir; 𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . 𝑨𝑵𝟎̅̅ ̅̅ + [𝜶 . (𝒕 𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅ ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (23) Barra de seção constante ao longo comprimento TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; Inserir o valor do somatório das áreas do diagrama de esforço normal das barras da estrutura 𝑨�̅� obtidos no PASSOS 1, na expressão a seguir 𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . �̅� . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂] 0 𝑖=1,2,𝑛 (24) Barra de seção constante ao longo comprimento Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 72 Exemplo6: Calcule para a estrutura devido a forças externas e variação de temperatura presentados abaixo os seguintes deslocamentos a) a rotação do ponto a devido à variação de temperatura. b) o deslocamento horizontal do ponto c devido ao efeito combinado (Forças externas + variação de temperatura); Seção transversal das barras E = 205 GPa; υ = 0,3; = 1,2 .10-5/0C; Resolução: Item a) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação no ponto a. =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força momento virtual unitária no ponto a. Caso 3 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ Ma= 0 + Vd . 6,0 + 1,0 = 0 Vd = 1/6 = - 0,167 Vd = 0,167 + Fy = 0 Va - Vd = 0 Va = 0,167 d x= 5+tg -50C ti =+15 0C 50 kN 4,0 m a 6,0 m 3,0 m b c 1ª 2ª 3ª 10 kN/m Ha = 0 Mu = 1 4,0 m a 6,0 m 3,0 m b c d va = 0,167 Vd = 0,167 1ª 2ª 3ª 40 cm 7 cm te = - 5 0C 150C tg = ? 5+15 = 20 h h/2 h / 20 = (h/2) / x x = (h/2) . (20/h) x = 20/2 = 10 x = 5 + tg tg = x - 5 = 10 - 5 = 5 tg = 50C C.G. s1 s2 s1 s2 s1’ s2’ 40 cm 40 cm 40 cm Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 73 3 - Cálculo da rotação relativa do ponto a (a =?) 𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕 𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ] 0 𝑖=1,2,𝑛 ti - te = 15 - (-5) = 20 = {1,2 . 10-5 . 5 . [(-0,167 . 4) + (0,167 . 3)]} + {1,2 . 10-5. 20/0,40 . [ (-1.4) + (-1.6/2) ]} = { -1,002 . 10-5 } + {- 420,0 . 10-5} = - 421 . 10-5 = - 0,0042 rad = -0,0042 rad lembrete: 2rad = 3600 O valor negativo indica que o sentido arbitrado está errado, ou seja, o ponto a sofre uma rotação de 0,0042 rad no sentido horário, contrário ao arbitrado inicialmente. Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto c devido ao efeito combinado (Forças externas + variação de temperatura). =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária no ponto b. Caso 2 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ Ma= 0 + Vd . 6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 Vd = 4/6 = 0,67 + Fy = 0 Va + Vd = 0 Va = - 0,67 = 0,67 Ha = 1 Fu = 1 4,0 m a 6,0 m 3,0 m b c d va = 0,67 Vd = 0,67 1ª 2ª 3ª Diagrama de momento fletor virtual e esforço normal virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑵 ̅̅ ̅ - devido à ação força virtual unitária 𝑴 ̅̅̅̅ 𝑵 ̅̅ ̅ Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 74 3 - Esboçar o diagrama real: M 4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto c (c =?) devido ao efeito combinado (Forças externas + variação de temperatura); 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ]] 0 𝑖=1,2,𝑛 + ∑ [𝜶 . 𝒕𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕 𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Forças externas Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento do ponto c Barra 1: + - 1/3.L.Mb.Mub + 1/3.L.Mm.Mub - 1/3 . 4. 120 . 4 + 1/3 . 4 . 20 . 4 = - 533,33 Mb = 120 kN.m Mub = 4 Mub = 4 Mm = 20 kN.m Diagrama de momento fletor virtual e esforço normal virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑵 ̅̅ ̅ - devido à ação força virtual unitária 𝑴 ̅̅̅̅ 𝑵 ̅̅ ̅ Diagrama de momento fletor real: M - devido à ação das forças reais externas; OBS: é a mesma estrutura sob o mesmo carregamento externo real do exemplo 1 desta apostila portanto o diagrama real M é o mesmo do exemplo 1; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 275 Barra 2: -1/3.L.Ma.Mua -1/3 . 6 . 120 . 4 = - 960 Expressando EI em: kN.m2 Momento de inércia da seção: I = Iz = b.h3/12 = 3,73 . 10- 4 m4 Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 . 109 N/m2 = 205 . 106 kN/m2 EI = 205 . 106 kN/m2 . 3,73 . 10- 4 m4 = 7,65 . 10 4 kN.m2 Forças externas Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: Contribuição das forças externas: 𝜹𝒇 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ]] 0 𝑖=1,2,𝑛 f = 1 . [ - 533,33 - 960 + 0 ] = - 1493,33 f = - 0,01952 m = - 19,52 mm E.I (7,65 . 104) Variação de temperatura Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: Contribuição da variação de temperatura: 𝜹𝒕 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕 𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ] 0 𝑖=1,2,𝑛 ti - te = 15 - (-5) = 20 t= {1,2 . 10-5. 5 .[(0,67 . 4)+(1. 6)+(-0,67. 3)]} + {1,2 . 10-5. (20/0,40) .[(4 . 4/2)+(4 .6/2)] } t= { 40,0 . 10-5 } + {1200 . 10-5} = 1240 .10-5 = 0,0124 m = 12,4 mm Deslocamento total devido ao efeito combinado: total = f + t = - 19,52 + 12,4 = - 7,12 mm O valor negativo indica que o sentido arbitrado está errado, ou seja, o ponto a sofre um deslocamento horizontal de 7,12 mm para a esquerda, contrário ao arbitrado inicialmente. Exemplo7: Calcule para a estrutura devido ao acréscimo uniforme de temperatura no valor de 30 0C a rotação relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rótula d; Seção transversal das barras E = 25 GPa; υ = 0,2; = 1,0 . 105/0C; e a 18 kN 3,0 m 1,5 m 5,0 m b c 1ª 2ª 4ª q= 15 kN/m 50 cm 3,0 m 2,0 m d 3ª Ma = 120KN.m Mua = 4 50 cm 25 cm 50 cm 50 cm 50 cm Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 76 Resolução: Item a) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rótula d. =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento unitária em d. Caso 4 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ 1ª ordem: Md = 0 + He . 5,0 + 1,0 = 0 p/inferior He = -1/5 = - 0,20 He = 0,20 + Fx = 0 Hb - He = 0 Hb = 0,2 Md = 0 + - Hb . 2,0 + Vb . 4,5 + 1,0 = 0 p/esquerda 4,5 Vb = 0,2 . 2,0 - 1,0 Vb = -0,6/4,5 = -0,133 Vb = 0,133 + Fy = 0 - Vb + Ve = 0 Ve = 0,133 2ª ordem: Ma= 0 + Hb’ . 3,0 + Ma = 0 Ma = -0,6 Ma = 0,6 Hb = 0,2 3,0 m 1,5 m d Mu = 1 Mu = 1 300C 300C tg = ? h = 50 cm Acréscimo uniforme de temperatura: Todas as fibras estão sob o efeito de uma mesma temperatura, inclusive o centróide da seção. Então: tg = 300C C.G. e a 3,0 m 5,0 m b c 1ª 2ª 4ª 2,0 m 3ª d Mu = 1 Mu = 1 e b c 2ª 4ª 3ª 5,0 m 3,0 m 1,5 m 3,0 m 2,0 m Q. 1ª ordem He = 0,2 Vb = 0,133 Ve = 0,133 a 3,0 m b 1ª Hb’ = 0,2 Vb’ = 0,133 Q. 2ª ordem Ha = 0,2 Va = 0,133 Ma = 0,6 s s s’ s’ s s Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 77 3 - Cálculo da rotação relativa do ponto d ( =?) 𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕 𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ] 0 𝑖=1,2,𝑛 ti - te = 30 - (30) = 0 Para acréscimos uniformes de temperatura a contribuição do momento fletor é nula. Então: 𝜹 = ∑ [𝛼 . 𝑡 𝑔 . 𝐴�̅� + [𝛼 . (0)/ℎ] . 𝐴�̅� ] 0 𝑖=1,2,𝑛 → 𝜹 = ∑ [𝛼 . 𝑡 𝑔 . 𝐴�̅� ] 0 𝑖=1,2,𝑛 = {1,0x10-5. 30 . [(0,133 . 3) + (-0,014 . 2,5) + (-0,2 .3) + (-0,133 . 5) ] } = -27,03x10-5 = - 0,00027 rad = - 0,00027 rad lembrete: 2rad = 3600 O valor negativo indica que o sentido arbitrado está errado, ou seja, as barras 3 e 4 sofrem uma rotação relativa de 0,00027 rad no sentido contrário ao arbitrado inicialmente. O sentido correto é ilustrado ao lado. Diagrama de momento fletor virtual e esforço normal virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑵 ̅̅ ̅ - devido à ação força virtual unitária 𝑴 ̅̅̅̅ 𝑵 ̅̅ ̅ Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 78 Exemplo8: Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (Forças externas + variação de temperatura) a rotação relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a rótula c; Seção transversal das barras E = 200 GPa; υ = 0,3; = 1,2 . 105/0C; Resolução: Item a) OBS: b = 40 cm; h = 50 cm; Momento de inércia da seção: I = Iy = b3 tb/6 = 2,133 . 10-4 m4 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a rótula c. =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momentovirtual unitária em torno da rótula c. Caso 4 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ Q. 1ª ordem ∑ Mcp/inferior = 0 + - Hd . 5 - 1 = 0 Hd = -1/5 = -0,2 Hd = 0,2 Então: Hb = 0,2 d a 18 kN 3,0 m 5,0 m b 1ª 2ª 3ª q= 15 kN/m 5,0 m 2,0 m c t* t = 2,0 cm t* = 2,5 cm 40 cm 50 cm t x= ? 100C 300C tg =10 + x 20 h h/2 h / 20 = (h/2) / x x = (h/2) . (20/h) x = 20/2 = 10 tg = 10 + x = 10 +10 tg = 200C C.G. s1 s2 s1 s2 s1’ s2’ ti =+30 0C te = +10 0C d a 3,0 m 5,0 m b 1ª 2ª 3ª 5,0 m 2,0 m c Mu = 1 Mu = 1 c Mu = 1 d b Vb = 0,12 Vd = 0,12 Hb = 0,2 Hd = 0,2 ∑ Mcp/esquerda = 0 + - Hb . 2 + Vb . 5 + 1 = 0 - 0,2 . 2 + Vb . 5 + 1 = 0 5. Vb = 0,4 - 1 Vb = - 0,12 Vb = 0,12 Então: Vd = 0,12 2ª 3ª 40 cm 40 cm 40 cm Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 79 Q. 2ª ordem 3 - Esboçar o diagrama real: M Q. 1ª ordem ∑ Mcp/inferior = 0 + - Hd . 5 = 0 Hd = 0 Então: Hb = 18 kN a b 1ª Vb’ = 0,12 Hb’ = 0,2 Va = 0,12 Ha = 0,2 ∑ Ma = 0 + - Hb . 3 + Ma = 0 - 0,2 . 3 + Ma = 0 Ma = 0,6 3,0 m d a 3,0 m 5,0 m b 1ª 2ª 3ª 5,0 m 2,0 m c c d b Vb = 44,7 kN Vd = 30,3 kN Hb = 18 kN Hd = 0 ∑ Mcp/esquerda = 0 + - Hb . 2 - R . 2,5 + Vb . 5 = 0 Vb = 44,7 kN Então: Vd = 75 – 44,7 = 30 ,3 kN 2ª 3ª 18 kN 18 kN q= 15 kN/m R= 75 kN Ma = 0,6 Diagrama de momento fletor virtual e esforço normal virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑵 ̅̅ ̅ - devido à ação força virtual unitária 𝑴 ̅̅̅̅ 𝑵 ̅̅ ̅ Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 80 Q. 2ª ordem 4 - Cálculo da rotação relativa do ponto d (d =?) devido ao efeito combinado (Forças externas + variação de temperatura); 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ]] 0 𝑖=1,2,𝑛 + ∑ [𝜶 . 𝒕𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕 𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Expressando EI em: kN.m2 EI = 200 . 106 kN/m2 . 2,133 . 10-4 m4 = 42,66 . 10 3 kN.m2 Forças externas Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento do ponto d Barra 1: + 1/3.L.Mb.Mub + 1/3 . 3. 54 . 0,6 = 32,4 Barra 2: -1/3.L.Mm.Mub -1/3 . 5,39 . 46,880 . 1 = - 84,228 a b 1ª Vb’ = 44,7 kN Hb’ = 18 kN Va = 44,7 kN Ha = 18 kN ∑ Ma = 0 + - Hb . 3 + Ma = 0 - 18 . 3 + Ma = 0 Ma = 54 kN.m 3,0 m Ma = 54 kN.m Mm = 46,88 KN.m Mub = 1 Mb = 54 KN.m Mub = 0,6 15 . 5,02 8 46,88 kN.m 46,88 kN.m Diagrama de momento fletor real: M - devido à ação das forças reais externas Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 81 Contribuição das forças externas: 𝜹𝒇 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ]] 0 𝑖=1,2,𝑛 f = 1 . [ 32,4 – 84,228 ] = 1 . [ – 51,828 ] E.I 42,66 . 103 f = - 0,001215 rad Variação de temperaturaParcela contribuinte de cada barra da estrutura: Contribuição da variação de temperatura: 𝜹𝒕 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕 𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ] 0 𝑖=1,2,𝑛 ti - te = 30 - (10) = 20 t= {1,2 . 10-5. 20 . [(0,12 . 3) + (-0,14 . 5,39) + (-0,12 .5) ] } + {1,2 . 10-5. 20/0,40 . [(0,6 . 3/2) + (-1,0 . 5,39/2) + (-1,0 .5/2) ] } t= -23,8704 . 10-5 - 257,7 . 10-5 = - 0,00282 rad Deslocamento total devido ao efeito combinado: total = f + t = - 0,001215 + (- 0,00282 ) = - 0,004035 rad lembrete: 2rad = 3600 O valor negativo indica que o sentido arbitrado está errado, ou seja, as barras 2 e 3 sofrem uma rotação relativa de 0,004035 rad no sentido contrário ao arbitrado inicialmente. O sentido correto é ilustrado ao lado. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 82 Exemplo9: A estrutura a seguir (mesma do exemplo3) está submetida ao carregamento externo indicado e a um acréscimo de temperatura no valor de 30 0C nas fibras superiores e nenhum acréscimo de temperatura nas fibras inferiores. Determine os seguintes deslocamentos: a) a rotação absoluta da corda bc da grelha devido apenas ao efeito de temperatura; b) o deslocamento vertical do ponto c devido ao efeito combinado (Forças externas + variação de temperatura); Seção transversal das barras E = 205 GPa; υ = 0,3; = 1,2 .10-5/0C Resolução: Item a) 1 - O deslocamento solicitado:Determinar a rotação absoluta da corda bc da grelha. bc =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicado um par de forças virtuais unitárias no ponto b e no ponto c. Caso 6 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ OBS: Nos casos de deslocamento solicitado provocado pelo efeito combinado (forças externas + variação de temperatura) Esboçar também 𝑻 ̅̅ ̅ Tab = 0 + - Fu . 1,5 + Ta = 0 Ta = 1 Tbc = 0 + Ma = 0 1ª 300C 300C tg =? h = b = 15 cm C.G. tg 30 h/2 h/30 = (h/2)/tg 15/30 = (7,5)/tg tg = 15 a 2,0 m b c 2ª Fu = 1/1,5 1,5 m X Y Z Fu = 1/1,5 Va = 0 Ma = 0 Ta = 1 s s s s s’ 3 kN.m a 2,0 m b c 1ª 2ª 8 kN/m 6 kN 1,0 m 4 kN.m d 1,5 m X Y Z 15 cm 20 cm 1,5 cm 15 cm 15 cm Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 83 3 - Cálculo da rotação absoluta da corda bc ( =?) 𝜹𝒕 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕 𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ] 0 𝑖=1,2,𝑛 ti - te = 0 - (30) = - 30 Como a grelha não apresenta esforço normal virtual, a contribuição do esforço normal é nula. t= {1,2 . 10-5. [ (0 - 30)/0,15] . [(-1 . 1,5/2) ] } bc= 180 . 10-5 = 1,8 . 10-3 rad O valor positivo indica que o sentido arbitrado está correto, ou seja, a corda bc sofre uma rotação absoluta de 1,8 . 10-3 rad no sentido horário, conforme arbitrado inicialmente. item b): 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto c devido ao efeito combinado (Forças externas + variação de temperatura); OBS1: A estrutura deste exemplo 9 é a mesma do exemplo3 - mesma estrutura; - mesmo carregamento real externo; OBS2: No exemplo 3 foi determinado o deslocamento vertical do ponto c devido à ação do carregamento externo; OBS3: Então falta apenas determinar o deslocamento vertical do ponto c devido à ação da variação de temperatura e somar os efeitos sobre o ponto OBS4: Mas por questões didáticas todos procedimentos para calcular o deslocamento total devido ao efeito combinado são apresentados de forma direta a seguir; : a b c 1 , 5 Diagrama de momento fletor virtual e esforço normal virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑵 ̅̅ ̅ - devido à ação força virtual unitária 𝑴 ̅̅̅̅ 𝑵 ̅̅ ̅ = 0 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 84 Deslocamento vertical do ponto c devido ao efeito combinado (forças externas + variação de temperatura: 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto c. = ? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em c Caso 1 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas virtuais: apenas para forças externas 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑻 ̅̅ ̅ apenas para variação de temperatura 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ Neste caso, efeito combinado 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑻 ̅̅ ̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅̅ + Fz = 0 Va = 1 Tab = 0 + - Fu . 1,5 + Ta = 0 Ta = 1,5 Tbc = 0 + Ma + 1. 2,0 = 0 Ma = - 2,0 Ma = 2,0 a 2,0 m b c 1ª 2ª Fu = 1 1,0 m d 1,5 m X Y Z Va = 1 Ma = 2 Ta = 1,5 Diagrama de momentos (fletor e torçor) virtuais e esforço normal virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑻 ̅̅ ̅ 𝒆 𝑵 ̅̅ ̅ - devido à ação força virtual unitária 𝑴 ̅̅̅̅ 𝑵 ̅̅ ̅ = 0 𝑻 ̅̅ ̅ Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 85 3 - Esboçar os diagramas reais: M e T + Fz = 0 Va = 6 + R Va = 18 kN Tab = 0 + Ta - 4 - R . 0,75 = 0 Ta = 13 kN.m Tbc = 0 + Ma + Va . 2,0 - 6 . 1,0 + 3 = 0 Ma = - 33 kN.m Ma = 33 kN.m 4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto c (c = ?) devido ao efeito combinado (Forças externas + variação de temperatura); Expressando EI e GJ em: kN.m2 EI = 205 . 106 kN/m2 . 4,2188 . 10- 5 m4 = 8,6485 . 10 3 kN.m2 GJ = 78,85 . 106 kN/m2 . 10,7187. 10- 5 m4 = 8,4517 . 10 3 kN.m2 a 2,0 m b c 1ª 2ª R = 12 kN 1,0 m d 1,5 m X Y Z Va = 18 kN Ma = 33 kN.m Ta = 13 kN.m 3 kN.m 6 kN 4 kN.m Diagrama de momento fletor real e momento torçor real: M ; T - devido à ação das forças reais externas 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] + �̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑮 . 𝑱 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 + ∑ [𝜶 .𝒕𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕 𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 86 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] + �̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑮 . 𝑱 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 + ∑ [𝜶 . 𝒕𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕 𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Deslocamento vertical do ponto c devido a ação das forças externas (f): Este deslocamento já foi determinado no item b do exemplo3, sendo este dado por: f = 0,0107 m = 10,7 mm O ponto c da grelha desloca verticalmente 12,5 mm para baixo. Deslocamento vertical do ponto c devido a ação da variação de temperatura (t): 𝜹𝒕 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . 𝑨�̅� + [𝜶 . (𝒕 𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨�̅� ] 0 𝑖=1,2,𝑛 ti - te = 0 - (30) = - 30 Como a grelha não apresenta esforço normal virtual, a contribuição do esforço normal é nula. t= {1,2 . 10-5. [ (0 - 30)/0,15] . [(-1,5 . 1,5/2) ] + [(-2 . 2,0/2) ] } t= 750 . 10-5 m = 7,5 mm O ponto c da grelha desloca verticalmente 7,5 mm para baixo Deslocamento vertical total do ponto c devido ao efeito combinado (Forças externas + variação de temperatura); total = f + t = 10,7 + 7,5 = 18,2 mm O valor positivo indica que o sentido arbitrado está correto, ou seja, o ponto c sofre um deslocamento vertical de 18,2 mm para baixo, conforme arbitrado inicialmente. a b c a b c Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 87 A seguir é apresentado o material que será disponibilizado pelo professor para consulta no dia da avaliação; Dica: Treinar o uso deste material disponibilizado no dia da avaliação por meio da resolução de exercícios das listas; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 88 A tabela 1 apresenta as propriedades de seção A, Iy, Iz, fy, fz e J para as seções transversais mais usuais. tabela 1: propriedades para as seções transversais mais usuais. b h h>b 𝐼𝑧 = 𝑏ℎ3 12 𝐼𝑦 = ℎ𝑏3 12 𝐽 = 𝑏ℎ3 12 + ℎ𝑏3 12 = 𝑏ℎ3 + ℎ𝑏3 12 𝐴 = 𝑏 . ℎ 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,2 z y z y r 𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 = 𝜋𝑟4 4 𝐽 = 𝜋𝑟4 4 + 𝜋𝑟4 4 = 𝜋𝑟4 2 𝐴 = 𝜋𝑟2 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,11 z y r t 𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 ≅ 𝜋𝑟 3𝑡 𝐽 = 𝜋𝑟3𝑡 + 𝜋𝑟3𝑡 ≅ 2𝜋𝑟3𝑡 𝐴 ≅ 2𝜋𝑟𝑡 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 2,0 z y b h>b h th th tb tb 𝐼𝑧 ≅ ℎ2 6 (ℎ𝑡ℎ + 3 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 𝑓𝑧 = 𝐴 2𝑏𝑡𝑏 𝑓𝑦 = 𝐴 2ℎ𝑡ℎ 𝐼𝑦 ≅ 𝑏2 6 (𝑏𝑡𝑏 + 3 ℎ𝑡ℎ) 𝐴 ≅ 2( 𝑏𝑡𝑏 + ℎ𝑡ℎ) z y b h tb tb th 𝐼𝑧 ≅ ℎ2 12 (ℎ𝑡ℎ + 6 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 𝑓𝑧 = 𝐴 2𝑏𝑡𝑏 𝑓𝑦 = 𝐴 ℎ𝑡ℎ 𝐼𝑦 ≅ 𝑏3𝑡𝑏 6 𝐴 ≅ ( ℎ𝑡ℎ + 2𝑏𝑡𝑏 ) Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 89 Cada tipo de deslocamento a ser determinado exige a aplicação de uma força virtual unitária externa compatível com o deslocamento a ser calculado, conforme apresentado na tabela 2 a seguir. Tabela 2: Escolha do Modelo de força virtual unitária Deslocamento ( ) a calcular da seção s Força virtual unitária 1 - translação vertical, ou seja, deslocamento linear vertical de uma seção s 2 - translação horizontal, ou seja, deslocamento linear horizontal de uma seção s 3 - rotação, ou seja, deslocamento angular de uma seção s 4 - rotação relativa entre duas barras i e j que concorrem para a mesma rótula 5 - rotação relativa entre duas seções s e s’ de uma mesma barra 6 - rotação absoluta de uma corda AB 7 - rotação relativa de 2 cordas AB e CD 8 - variação do comprimento de uma corda que une 2 pontos A e B �̅�𝒖 = 𝟏 s s s s s s s s s s �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 s s �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 i i j j �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 s s s’ s’ �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 A B �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 (AB = L) A B C D C (AB = L1) (CD = L2) �̅�𝒖𝟏 A B �̅�𝒖 = 𝟏 �̅�𝒖𝟏 = 𝟏/𝑳𝟏 �̅�𝒖𝟐 = 𝟏/𝑳𝟐 �̅�𝒖𝟐 �̅�𝒖 = 𝟏 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 90 A tabela de integração desenvolvida pelo pesquisador A. N. Vereshchagin fornece equações que geram resultados numericamente iguais aos obtidos no processo de integração. Esta tabela é apresentada a seguir como tabelas 3a e 3b. Tabela 3a: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) 1/2.L.M.Mub 1/2.L.M.Mua 1/2.L.M.(Mua+ Mub) 1/2.L.M.(Mua+ Mub) 1/3.L.Mb.Mub 1/6.L.Mb.Mua 1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 1/6.L.Ma.Mub 1/3.L.Ma.Mua1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/3.L.Mm.Mub 1/3.L.Mm.Mua 1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) 1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) # # 1/6.L.(Ma - 2Mb).Mub 1/6.L.(2Ma - Mb).Mua 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- Mb.(Mua+2Mub)] 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- Mb.(Mua+2Mub)] OBS1: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra deve ser inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. Exemplos: Mub Mua M Mb Ma Ma Mb Ma par. 2º grau Mm Mb Ma Mb Mua Mub Mua Mub # # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb Mb Mub Mb Mub Mb Mub Mb Mub - 1/3.L.Mb.Mub 1/3.L.Mb.Mub 1/3.L.Mb.Mub - 1/3.L.Mb.Mub Mua ou Mub tracionando lado oposto ao do Ma: inserir o sinal de ( - ) no início da equação Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 91 Tabela 3b: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) ***** ***** L.M.Mu 1/2.L.M.( Mua - Mub) 1/2.L.M.(- Mua + Mub) 1/2.L.Mb.Mu 1/6.L.(Mua - 2Mub).Mb 1/6.L.(-Mua +2Mub).Mb 1/2.L.Ma.Mu 1/6.L.(2Mua - Mub).Ma 1/6.L.(-2Mua + 2Mub).Ma 1/2.L.(Ma+Mb).Mu 1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- Mub.(Ma+2Mb)] 1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ Mub.(Ma+2Mb)] 1/2.L.(Ma+Mb).Mu 1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- Mub.(Ma+2Mb)] 1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ Mub.(Ma+2Mb)] 2/3.L.Mm.Mu 1/3.L.(Mua - Mub).Mm 1/3.L.(- Mua + Mub).Mm # # 1/2.L.(Ma - Mb).Mu 1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ Mub(-Ma+2Mb)] 1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ Mub(Ma - 2Mb)] # # 1/2.L.(-Ma + Mb).Mu 1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ Mub(Ma - 2Mb)] 1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ Mub(-Ma+2Mb)] OBS: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra deve ser inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. Exemplos: Mb Mub Mb Mub Mb Mub Mb Mub - 1/3.L.Mb.Mub 1/3.L.Mb.Mub 1/3.L.Mb.Mub - 1/3.L.Mb.Mub M Mb Ma Ma Mm Ma Mb Ma Mu Mua Mub Mub Mua Para os casos: Mua = Mub ; Mua > Mub E Mua < Mub Mb Ma par. 2º grau Mb Mb # # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb # # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 92 1- Deslocamentos devido ao efeito de forças reais externas: VIGAS E PÓRTICOS PLANOS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (estruturas usuais: vigas, pórticos) Onde: i = Número da barra_i da estrutura EI em kN.m2 GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] + �̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑮 . 𝑱 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (estruturas usuais: grelhas) Onde: i = Número da barra_i da estrutura EI e GJ em kN.m2 TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 𝜹 = ∑ [ �̅�𝑵 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑬 . 𝑨 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (estruturas usuais: treliças planas) Onde: i = Número da barra_i da estrutura EA em kN.m2 2- Deslocamentos devido ao efeito da temperatura: VIGAS, PÓRTICOS PLANOS E GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . 𝑨 𝑵𝟎̅̅ ̅̅ + [𝜶 . (𝒕𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨 𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅ ] 0 𝑖=1,2,𝑛 TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . �̅� . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂] 0 𝑖=1,2,𝑛 3- Deslocamentos devido ao efeito de deslocamentos prescritos: VIGAS, PÓRTICOS PLANOS, TRELIÇAS E GRELHAS USUAIS: 𝜹 = - ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) Onde: = deslocamento de uma seção s qualquer a ser determinado; R_ j = deslocamento prescrito (recalque de apoios), ou seja, recalque em cada apoio; �̅�𝒋 = reações de apoio da estrutura devido à ação da força virtual unitária externa; Os deslocamentos devido ao efeito dos deslocamentos prescritos são apresentados a seguir no tópico 3.3. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 93 2 Lista de exercícios: 1) Calcule para a estrutura abaixo os seguintes deslocamentos: a) o deslocamento horizontal do ponto c devido apenas a variação de temperatura. b) a rotação relativa do ponto do b devido ao efeito combinado (força externas + variação de temperatura). Seção transversal das barras E = 25 GPa; υ = 0,2; = 1,0 . 10-5/0C; 2) Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (força externa + acréscimo uniforme de temperatura no valor de 30 0C)os seguintes deslocamentos: a) o deslocamento vertical do ponto b. b) a rotação relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a rótula c. Seção transversal das barras E = 205 GPa; υ = 0,3; = 1,2 . 10-5/0C; 3) Calcule para a estrutura devido aos acréscimos de temperatura apresentados abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotação relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rótula d. b) o deslocamento vertical do ponto c. Seção transversal das barras E = 23 GPa; υ = 0,2; = 1,0 . 10-5/0C; e 7 kN.m ti =+50 0C 6,0 m 5 kN 4,0 m a b c 1ª 2ª 3ª q= 8 kN/m d 2,0 m 4,0 m 60 cm 15 cm te = - 5 0C ti =+30 0C 3,0 m 4,0 m 7 kN 4,0 m a b c 1ª 2ª 3ª q = 10 kN/m d 4,0 m 50 cm 15 cm te = + 30 0C ti =+38 0C 4,0 m 7 kN.m 2,0 m a b 1ª 2ª 3ª q = 13 kN/m 40 cm 15 cm te = -10 0C d c 2,0 m 4,0 m 3,0 m 4ª 60 cm 60 cm 60 cm 50 cm 50 cm 50 cm 40 cm 40 cm 40 cm 40 cm Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 94 4) Calcule para a estrutura devido ao decréscimo uniforme de temperatura no valor de - 25 0C apresentado abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotação relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a rótula c. b) o deslocamento horizontal do ponto b. Seção transversal das barras E = 205 GPa; υ = 0,3; = 1,2 . 10-5/0C; 5) Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (força externa + variação de temperatura) os seguintes deslocamentos: a) a rotação relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rótula d. b) o deslocamento vertical do ponto c. Seção transversal das barras E = 25 GPa; υ = 0,2; = 1,0x10-5/0C; 6) Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (força externa + variação de temperatura) os seguintes deslocamentos: a) o deslocamento horizontal do ponto d. Seção transversal b) o deslocamento vertical do ponto d. E = 25 GPa; υ = 0,2; = 1,0 . 10-5/0C; d 4,0 m 3,0 m 1,5 m ti = - 25 0C e 4,0 m 7 kN a d b 3ª 4ª q = 10 kN/m 30 cm 15 cm te = - 25 0C c 4,0 m 6ª ti = - 25 0C 2ª te = - 25 0C f g 5ª 1ª te = + 15 0C e a 18 kN 3,0 m 1,5 m 5,0 m b c 1ª 2ª 4ª q= 15 kN/m 35 cm 2,0 m 3,5 m 2,0 m 3ª f ti = + 30 0C 30 cm 30 cm 30 cm 35 cm 3,5 kN.m 1,5 m 1,5 m 3,0 m 3 kN 4 kN 2,667 kN/m 5,333 kN/m 2 kN.m 0,80 m 0,80 m 1,60 m te = + 45 0C ti = 0 0C 55 cm 15 cm a 1ª b c d 2ª 3ª Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 95 7) Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (força externa + variação de temperatura) os seguintes deslocamentos: a) o deslocamento vertical do ponto b. Seção transversal b) a rotação relativa do ponto b. E = 205 GPa; υ = 0,3; = 1,2 . 10-5/0C; 8) A estrutura a seguir está submetida ao carregamento externo indicado e a uma variação de temperatura caracterizada por uma temperatura - 10 0C nas fibras superiores e de 25 0C nas fibras inferiores. Determine os seguintes deslocamentos: a) a rotação absoluta da corda ab devido ao efeito combinado. b) o deslocamento vertical do ponto a devido ao efeito combinado. Seção transversal das barras E = 205 GPa; υ = 0,3; = 1,2 . 10-5/0C; 6 kN 4 kN/m 1,5 kN 2,0 m 3,0 m 3,0 m 8 kN/m 4 kN.m 6 kN.m 2 kN.m 0,60 m 0,90 m 0,90 m 3 kN te = - 25 0C ti = +13 0C a 1ª b c d 2ª 3ª t* = 1,5 cm 15 cm 40 cm t = 1,5 cm t 3,0 m 3 kN X Y Z 2 kN/m 4 kN 3,5 m 2,0 m 2,5 m 2 kN a b a c a d a e a f a 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 35 cm 45 cm t = 2,0 cm t 35 cm Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 96 9) A estrutura a seguir está submetida ao carregamento externo indicado e a uma variação de temperatura caracterizada por uma temperatura - 15 0C nas fibras superiores e - 5 0C nas fibras inferiores. Determine os seguintes deslocamentos: a) a rotação absoluta da corda fg devido ao efeito combinado. b) o deslocamento vertical do ponto g devido ao efeito combinado. Seção transversal das barras E = 26 GPa; υ = 0,2; = 1,0 . 10-5/0C 10) A estrutura a seguir está submetida ao carregamento externo indicado e a uma variação de temperatura caracterizada por uma temperatura +45 0C nas fibras superiores e 10 0C nas fibras inferiores. Determine os seguintes deslocamentos: a) o deslocamento vertical do ponto a devido ao efeito combinado. b) o deslocamento vertical do ponto f devido ao efeito combinado. Seção transversal das barras E = 26 GPa; υ = 0,2; = 1,0 . 10-5/0C 3,5 m 3 kN X Y Z 2 kN/m 4 kN 3,0 m 2,0 m 2,5 m 2 kN 2 kN.m 5 kN.m 3 kN.m 45 cm 20 cm 45 cm 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª a b c d e f g 60 cm 15 cm 60 cm 3,5 m 1 kN X Y Z 3 kN/m 2 kN 3,0 m 2,0 m 2,5 m 3 kN 4 kN 4,0 m 2 kN.m 4 kN.m 1ª e 4ª d f a b a c 2ª 3ª 5ª
Compartilhar