Lista 4 Álgebra Subgrupos

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Lista 4 - Subgrupos
1. Em cada ı´tem a seguir, verifique se H e´ subgrupo de G.
(a) (G = Q∗, ·) e H = {x ∈ Q; x > 0} (b) (G = R∗, ·) e H = {a+ b√2 ∈ R∗; a, b ∈ Q}
(c) (G = Q∗, ·) e H =
{
1 + 2m
1 + 2n
∈ Q; m,n ∈ Z
}
(d) (G = R∗, ·) e H = {a+ b 3√2 ∈ R∗; a, b ∈ Q}
(e) (G = C∗, ·) e H = {cos θ + isen θ; θ ∈ R}
(f) (G = Q− {1},∆) e H = {0,±2,±4, ...}. Em que x∆y = x+ y − xy
(g) (G = GL2(R), ·) e H =
{(
cosa sena
−sena cosa
)
; a ∈ R
}
. Em que GL2(R) representa o
conjunto das matrizes invers´ıveis de ordem 2.
(h) (G = Z∗13, ·) e H =
{
1, 5, 8, 12
}
(i) (G = Z∗11, ·) e H =
{
1, 2, 5, 7
}
(j) (G = D3, ◦) e H =
{
e, fpi
2
, fpi
6
, f 5pi
6
}
(k) (G = D4, ◦) e H =
{
e,Rpi
2
, Rpi, R 3pi
2
}
2. Determine todos os subgrupos do grupo (Z4,+).
3. Determine todos os subgrupos do grupo (Z∗11, ·).
4. Determine todos os subgrupos do grupo (D4, ◦).
5. Sejam G um grupo, bem como H1, H2 ⊂ G subgrupos de G. Mostre que H1 ∩ H2 e´ um
subgrupo de G.
6. Sejam G um grupo, bem como H1, H2 ⊂ G subgrupos de G. Mostre que H1 ∪H2 e´ subgrupo
de G, se e somente se H1 ⊂ H2, ou H2 ⊂ H1.
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