1ª Listade Exercícios de Álgebra Abstrata

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Universidade do Estado do Rio Grande do Norte
Faculdade de Cieˆncias Exatas e Naturais
Departamento de Matema´tica e Estatı´stica
Introduc¸a˜o a ´Algebra Abstrata Prof a. Ana Shirley Monteiro
1a Lista de Exercı´cios
RELAC¸O˜ES DE EQUIVALEˆNCIA; NU´MEROS INTEIROS; SEMI-GRUPOS;
GRUPOS; HOMOMORFISMOS DE GRUPOS; SUBGRUPOS
1. Enuncie e demonstre todos os resultados vistos em sala de aula.
2. Seja R a relac¸a˜o em Z dada por:
x R y ⇔ x− y e´ divisı´vel por 5
Mostre que R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
3. Mostre que a relac¸a˜o S definida em N× N por:
(a, b) S (c, d) ⇔ a+ d = b+ c
e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. Determine cl((1, 2)).
4. Mostre que a relac¸a˜o T definida em Z× Z∗ por:
(a, b) S (c, d) ⇔ ad = bc
e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. Determine cl((1, 2)).
5. Seja P uma partic¸a˜o de um conjunto A. Defina a relac¸a˜o RP como a
seguir:
x RP y ⇔ ∃B ∈ P ; x, y ∈ B
Mostre que RP e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia sobre A.
6. Seja S um conjunto na˜o-vazio, e seja R uma relac¸a˜o definida sobre S.
Suponha va´lidas as seguintes propriedades:
i) x R x, ∀x ∈ S;
ii) x R y e y R z implica z R x.
Prove que R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. Mostre tambe´m que qual-
quer relac¸a˜o de equivaleˆncia satisfaz i) e ii).
7. Prove, usando induc¸a˜o, as seguintes fo´rmulas:
a) 12 + 32 + . . .+ (2n− 1)2 = n(4n
2 − 1)
3
, ∀n ∈ N;
b) 13 + 23 + . . .+ n3 =
[
n(n+ 1)
2
]2
, ∀n ∈ N;
c) d
n
dxn
(1 + x)−1 = (−1)n n! 1
(1 + x)n+1
, ∀n ∈ N .
8. Mostre que se a = an10n + an−110n−1 + . . . + a110 + a0 e´ um inteiro
positivo qualquer enta˜o a ≡ (an + an−1 + . . . + a1 + a0)mod 9.
9. Em cada item a seguir temos definida uma operac¸a˜o em Z×Z. Verifique se
a mesma e´ associativa.
a) (a, b) ? (c, d) = (ac, 0)
b) (a, b) � (c, d) = (a+ c, bd)
c) (a, b) 2 (c, d) = (ac, ad+ bd)
10. Considere a operac¸a˜o ? em R definida por:
x ? y = ax+ by + cxy,
onde a, b, c ∈ R sa˜o nu´meros fixados. Obtenha as condic¸o˜es sobre a, b e c
para que ? seja associativa.
11. Determine quais dos seguintes pares sa˜o semi-grupos.
a) (Z, ∗), onde ∗ e´ definida por a ∗ b = a− b.
b) (R, ∗), onde ∗ e´ definida por a ∗ b = a+ b+ ab
c) (Q, ∗), onde ∗ e´ definida por a ∗ b = a+ b
5
d) (Z× Z, ∗), onde ∗ e´ definida por (a, b) ∗ (c, d) = (ad+ bc, bd)
e) (Q− {0}, ∗), onde ∗ e´ definida por a ∗ b = a
b
12. Estabelec¸a as condic¸o˜es sobre m,n ∈ Z de modo que a operac¸a˜o ? sobre Z
dada pela lei x ? y = mx+ ny:
a) seja associativa;
b) seja comutativa;
c) admita elemento identidade.
13. Dado (G, ?) grupo e a1, a2, . . . , an ∈ G, mostre que:
(a1 ? a2 ? . . . ? an)
−1 = a−1n ? . . .a
−1
2 ? a
−1
1
14. Seja A o cojunto das func¸o˜es de R em R. Mostre que (A,+) e´ um grupo
com relac¸a˜o a adic¸a˜o de func¸o˜es.
15. Seja K o conjunto formado pelas matrizes:(
1 0
0 1
)
,
(
1 0
0 −1
)
,
( −1 0
0 1
)
e
( −1 0
0 −1
)
Mostre que o par (K, ·) e´ um grupo abeliano e construa sua ta´bua.
Este grupo e´ conhecido como Grupo de Klein.
16. Mostre que sa˜o grupos os seguintes pares:
a) (3Z,+) b) ({5k; k ∈ Z}, ·) c) ({1,−1, i,−i}, ·)
17. Seja G = {0, 4, 8, 12} ⊂ Z16. Mostre que (G, + ) e´ grupo e construa sua
ta´bua.
18. SejaQ o conjunto formado pelas matrizes:(
1 0
0 1
)
,
(
i 0
0 −i
)
,
(
0 1
−1 0
)
,
(
0 i
i 0
)
,
( −1 0
0 −1
)
,
( −i 0
0 i
)
,
(
0 −1
1 0
)
e
(
0 −i
−i 0
)
.
Mostre que (Q , · ) e´ grupo na˜o-abeliano.
Ale´m disso, mostre que, tomando:
e =
(
1 0
0 1
)
, a =
(
i 0
0 −i
)
e b =
(
0 i
i 0
)
,
tem-se: a4 = e, b2 = a2 e b−1ab = a3.
Este grupo e´ conhecido como Grupo dos Quate´rnios.
19. Considere o conjunto G = {a + b√2 ∈ R∗; a, b ∈ Q}. Mostre que o par
(G , · ) e´ um grupo abeliano.
20. SejaG1, G2, ..., Gn uma famı´lia de grupos. Mostre que o produto cartesiano
G1×G2× ...×Gn e´ um grupo com relac¸a˜o a operac¸a˜o bina´ria “coordenada
a coordenada”, isto e´, a operac¸a˜o dada por:
(g1, g2, ..., gn)(g
′
1, g
′
2, ..., g
′
n) = (g1g
′
1, g2g
′
2, ..., gng
′
n)
onde para cada i ∈ {1, ..., n}, gi, g′i ∈ Gi.
21. Mostre que sa˜o grupos multiplicativos os seguintes conjuntos:
a) M1 =
{(
1 n
0 1
)
; n ∈ Z
}
.
b) M2 =
{(
a b
−b a
)
; a, b ∈ R e a2 + b2 6= 0
}
.
c) M3 =
{(
a 0
0 b
)
; a, b ∈ R∗
}
.
22. Seja M o conjunto formado pelas matrizes:
I =
(
1 0
0 1
)
, A =
(
0 1
1 0
)
, B =
(
0 1
−1 −1
)
,
C =
( −1 −1
0 1
)
, D =
( −1 −1
1 0
)
e E =
(
1 0
−1 −1
)
Mostre que (M, . ) e´ grupo e construa sua ta´bua de multiplicac¸a˜o.
23. Mostre que o par (R , � ) e´ grupo abeliano, a operac¸a˜o � sendo definida
por:
a � b = a+ b− 5
24. Mostre que o par (R − {1},⊥) e´ um grupo abeliano, a operac¸a˜o ⊥ sendo
definida por:
a ⊥ b = a+ b− ab
25. Mostre que o par (R × R∗,⊕) e´ um grupo abeliano, a operac¸a˜o ⊕ sendo
definida por:
(a, b)⊕ (c, d) = (a+ c, bd)
26. Mostre que o par (R∗ × R, ⊗ ) e´ grupo na˜o-abeliano, a operac¸a˜o ⊗ sendo
definida por:
(a, b) ⊗ (c, d) = (ac, bc+ d)
27. Mostre que o par (R, M ) e´ grupo abeliano, a operac¸a˜o M sendo definida
por:
a M b = 3
√
a3 + b3
28. Seja G = {1, 2, 3, 4} munido da operac¸a˜o O tal que a O b = r, onde r e´
o resto da divisa˜o do produto ab por 5. Mostre que o par (G, O ) e´ grupo
abeliano e construa sua ta´bua.
29. Seja G = {x ∈ R; −1 < x < 1} munido da operac¸a˜o 2 definida por:
a 2 b =
a+ b
1 + ab
Mostre que o par (G, 2 ) e´ grupo abeliano.
30. Mostre que o par (R∗, �) e´ grupo, sendo a operac¸a˜o � definida por:
a � b =
{
ab, se a > 0
a/b, se a < 0
31. Seja G = {(cosx, sen x); x ∈ R} munido da operac¸a˜o ⊕ definida por:
(cos a, sen a) ⊕ (cos b, sen b) = (cos(a+ b), sen(a+ b))
Mostre que o par (G, ⊕ ) e´ grupo abeliano.
32. Seja 2 a operac¸a˜o em R− {1} definida por:
a 2 b =
1
2
(a− 1)(b− 1) + 1
Mostre que o par (R− {1}, 2 ) e´ grupo abeliano.
33. Sejam as func¸o˜es f1, f2, f3, f4 : R∗ → R assim definidas:
f1(x) = x, f2(x) =
1
x
, f3(x) = −x, f4(x) = −1
x
Mostre que o par ({f1, f2, f3, f4}, ◦) e´ um grupo abeliano, sendo ◦ a
operac¸a˜o de composic¸a˜o de func¸o˜es e construa sua ta´bua de multiplicac¸a˜o.
34. SejamG o conjunto formado pelas func¸o˜es reais g1, ..., g6 : R−{0, 1} → R
definidas por:
g1(x) = x, g2(x) =
1
x
, g3(x) = 1− x,
g4(x) =
x− 1
x
, g5(x) =
x
x− 1 , g6(x) =
1
1− x
Mostre que G e´ grupo na˜o-abeliano com a operac¸a˜o de composic¸a˜o de
func¸o˜es e construa sua ta´bua de multiplicac¸a˜o.
35. Sejam h1, h2, h3, h4 : R2 → R2 func¸o˜es definidas como a seguir:
h1(x, y) = (x, y), h2(x, y) = (−x, y) ,
h3(x, y) = (x,−y), h4(x, y) = (−x,−y)
Mostre que o par ({h1, h2, h3, h4}, ◦) e´ um grupo abeliano, sendo ◦ a
operac¸a˜o de composic¸a˜o de func¸o˜es e construa sua ta´bua de multiplicac¸a˜o.
36. Mostre que um grupo finito e´ abeliano se, e somente se, sua ta´bua de multiplicac¸a˜o
e´ uma matriz sime´trica.
37. Seja (G,2) um grupo e � operac¸a˜o em G definida por a � b = b 2 a.
Mostre que o par (G, �) tambe´m e´ grupo.
38. Seja G um grupo tal que a2 = e para todo a ∈ G. Mostre que G e´ abeliano.
39. Seja G um grupo tal que (ab)2 = a2b2 para todos a, b ∈ G. Mostre que G e´
abeliano.
40. Se G e´ grupo tal que (ab)n = anbn para treˆs inteiros consecutivos, enta˜o,
ab = ba.
41. Mostre que um grupo no qual todas as m-e´simas poteˆncias comutam entre
si e todas as n-e´simas poteˆncias comutam entre si, com m e n relativamente
primos, e´ abeliano.
42. Dado (G, ∗) grupo qualquer e a, b, c ∈ G, resolva as seguintes equac¸o˜es:
a) x ∗ c ∗ b ∗ a−1 = b−1
c) a−1 ∗ b ∗ x ∗ c−1 ∗ b = a
d) a−1 ∗ b−1 ∗ c1 ∗ x ∗ b ∗ c−1 ∗ a−1 = a
43. Seja (G, ∗) grupo e a, b∈ G tais que a ∗ b = b ∗ a. Mostre que tambe´m
comutam os elementos:
a) a−1 e b−1 b) a e b−1
c) a2 e b2 d) a e a ∗ b
44. Em um grupo (G, ∗) os elementos a e b sa˜o tais que a−1 ∗ b2 ∗ a = b ∗ a.
Mostre que a = b.
45. Sejam (G, ∗) grupo e a e b elementos em G que na˜o comutam. Mostre que
os elementos do conjunto {e, a, b, a ∗ b, b ∗ a} sa˜o todos distintos.
46. Mostre que a func¸a˜o sinal s : (R∗, . ) → ({−1, 1}, . ) dada por s(x) = 1,
se x > 0 e s(x) = −1, se x < 0 e´ um homomorfismo e determine seu
nu´cleo.
47. Mostre que f : (Z4, +) → ({1,−1, i,−i}, . ) dada por f(x) = ix e´ um
isomorfismo.
48. Seja pi : R2 → R a func¸a˜o definida por pi(x, y) = x. Mostre que pi e´
homomorfismo e encontre seu nu´cleo.
49. Sejam G um grupo e a ∈ G. Mostre que a func¸a˜o Ia : G → G dada por
Ia(g) = aga
−1, ∀g ∈ G, e´ um automorfismo, denominado automorfismo
interno de G determinado por a.
50. Seja G = {z ∈ C ; zn = 1 para algum n ∈ Z+}. Prove que para qualquer
inteiro fixado k > 1 a func¸a˜o de G sobre si mesmo definida por z → zk e´
um homomorfismo sobrejetor mas na˜o e´ um isomorfismo.
51. Encontre o nu´cleo de cada um dos seguintes homomorfismos:
a) φ : Z→ Zn, dada por φ(x) = x ;
b) ρ : G→ Z2, onde G e´ o grupo dos quate´rnios e ρ(a) = 0, ρ(b) = 1.
52. Seja f : Z×Z → Z×Z dada por f(x, y) = (x−y, 0). Prove que f e´ um
homomorfismo do grupo aditivo Z× Z em si mesmo e determine Nuc(f).
53. Sejam G = GLn(R) o grupo das matrizes n × n invertı´veis com entradas
reais e ϕ : G→ R∗ dada por ϕ(A) = detA. Mostre que ϕ e´ um homomor-
fismo e determine seu nu´cleo.
54. Seja φ : G → H um homomorfismo entre grupos e x ∈ G qualquer.
a) Mostre que φ(xn) = (φ(x))n, ∀n ∈ Z+.
b) Mostre que φ(x−1) = (φ(x))−1 e deduza que φ(xn) = (φ(x))n,
∀n ∈ Z.
55. Seja φ : (G, ∗) → (H, �) um epimorfismo entre grupos. Mostre que se
(G, ∗) e´ abeliano enta˜o, (H, �) tambe´m o e´.
56. Se φ : (G, ∗) → (H, �) e´ um isomorfismo entre grupos mostre que (G, ∗)
e´ abeliano se, e somente se (H, �) e´ abeliano. Se φ : (G, ∗) → (H, �) e´
um homomorfismo, qual a condic¸a˜o adicional sobre φ para que G abeliano
implique H abeliano.
57. Seja G grupo no qual se definem operac¸o˜es � e 2 tais que:
a � b = b 2 a, ∀a, b ∈ G
Mostre que a func¸a˜o ψ : G → G definida por ψ(a) = a−1 e´ um isomor-
fismo de (G,2) em (G, �).
58. Prove que um grupo G e´ abeliano se, e somente se, a func¸a˜o ϕ : G → G,
dada por ϕ(x) = x−1, e´ um homomorfismo.
59. Mostre que um grupo G e´ abeliano se, e somente se, a func¸a˜o ϕ : G → G,
dada por ϕ(x) = x2, e´ um homomorfismo.
60. Determine todos os subgrupos dos seguintes grupos:
a) (Z6,+)
b) Grupo de Klein
c) (Z∗, ·)
61. Sejam G grupo e H,K < G. Mostre que:
a) H ∩K < G
b) H ∪K < G ⇔ H ⊂ K ou K ⊂ H .
62. Sejam A e B grupos. Prove que os seguintes conjuntos sa˜o subgrupos do
produto direto A×B.
a) {(a, 1) ; a ∈ A} b) {(1, b) ; b ∈ B}
c) {(a, a) ; a ∈ A}, onde assumimos B = A(chamado subgrupo diagonal).
63. SejaA um grupo abeliano e n ∈ Z fixado. Prove que os seguintes conjuntos
sa˜o subgrupos de A:
a) {an ; a ∈ A} b) {a ∈ A ; an = 1}
64. Mostre que o par ({(1, b); b ∈ R},2) e´ subgrupo do grupo (R∗ × R,2),
sendo a operac¸a˜o 2 definida por (a, b) 2 (c, d) = (ac, ad+ b).
65. Sejam M2(R)∗ grupo das matrizes reais quadradas de ordem 2 invertı´veis e
H =
{(
1 x
0 1
)
; x ∈ R
}
. Mostre que (H, · ) < (M2(R)∗, · )
66. Seja G grupo abeliano e e o elemento identidade deste. Mostre que o con-
junto H = {x ∈ G; x2 = e} e´ subgrupo de G.
67. Seja G um grupo, H subgrupo de G e a um elemento de G. Mostre que o
conjunto K = {a h a−1; h ∈ H} e´ subgrupo de G.
68. Seja G um grupo abeliano e H um subgrupo do mesmo. Mostre que o con-
junto K = {x ∈ G; x2 ∈ H} e´ subgrupo de G.
69. Seja G um grupo e H um subgrupo do mesmo. Mostre que o conjunto
K = {x ∈ G; x a x−1 ∈ H, ∀a ∈ H} e´ subgrupo de G e que H e´ sub-
grupo de K.
70. Dado G grupo, definimos o centro de G como sendo o conjunto:
Z(G) = {x ∈ G ; xg = gx, ∀x ∈ G}
a) Mostre que Z(G) < G.
b) Mostre que G e´ abeliano se, e somente se, Z(G) = G.
71. Dados G e H grupos e φ : G→ H homomorfismo, mostre que Nuc φ < G
e Im φ < H .
72. Dados G grupo e H,K ⊂ G, mostre que:
HK < G ⇔ HK = KH
73. Dados G grupo e a ∈ G, mostre que o conjunto:
CG(a) = {g ∈ G ; g−1a g = a}
e´ subgrupo de G, denominado centralizador de a em G.
74. Dados G grupo e H < G, mostre que o conjunto:
NG(H) = {g ∈ G ; g−1H g = H}
e´ subgrupo de G, denominado normalizador de H em G.
“Que teu corac¸a˜o deposite toda a sua confianc¸a no Senhor!
Na˜o te firmes em tua pro´pria sabedoria!”
Pv 3,5