GAAL ALGEBRA LINEAR TEXTO 04 COMBINAÇÃO LINEAR E SUB ESPAÇOS GERADOS 2012 1

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Universidade Salvador – UNIFACS 
GAAL - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
Cursos de Engenharia 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
Algebra Linear 
 
Texto 04: Combinação Linear e Subespaços Gerados 
 
 
Combinação Linear 
 
Dados dois ou mais vetores de um espaço vetorial, esses vetores podem ser “combinados” 
usando-se as duas operações de um espaço vetorial: adição e multiplicação por um escalar. 
O vetor resultante é chamado de uma combinação linear. 
 
Exemplo: Seja V = R
2
. 
O vetor ( 7, 6 ) é uma combinação linear dos vetores v 1 = ( 2, 1 ) e v2 = ( 1, 3 ), uma vez 
que podemos escrever ( 7, 6 ) = 3 (2, 1 ) + ( 1, 3 ) = 3v1 + v2 . 
 
De uma maneira geral temos a seguinte definição: 
Definição: Seja V um espaço vetorial real, v1, v2, ...,vn  V e 1, 2,... ,n,  R. Então o 
elemento v = 1v1 + 2 v2 + ...+ nvn é chamado de combinação linear de v1, v2, ...vn 
 
Exemplos e Contra Exemplos: 
 
1. O vetor v = ( 2, 2, 3 ) é uma combinação linear dos vetores v1 = ( 1, 0, 0) e 
v2 = ( 0, 2, 3), uma vez que v = 2v1 + v2. 
 2 
2. A matriz 






13
21
 é uma combinação linear das matrizes 
























10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01 . De fato: 






13
21
=
























10
00
01
00
3
00
10
2
00
01
 
 
3. O vetor ( 1, 1, 2 ) não é combinação linear de ( 1, 0, 1 ) e ( 2, 1, 1 ). 
Vamos verificar se existem escalares a e b tais que ( 1,1, 2) = a (1,0,1) + b ( 2, 1, 1) 
 ( 1,1, 2) = a (1,0,1) + b ( 2, 1, 1)  (1, 1, 2 ) = ( a, 0, a ) + ( 2b, b, b )  








2ba
1b
1b2a
 
O sistema anterior é impossível! ( Substituindo b = 1 na 1
a
 equação obtemos a = – 1 e 
estes valores não satisfazem a 3
a
 equação) 
 
4. Todo vetor de R2 é uma combinação linear dos vetores ( 1, 0 ) e ( 0, 1). De fato: dado 
um vetor qualquer do R
2
 ( x, y ) = x(1,0) + y(0,1) 
 
5. Todo vetor do R3 é uma combinação linear dos vetores (1, 0, 0), ( 0, 1, 0 ) e ( 0, 0, 1 ). 
De fato: (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) 
 
6. Toda matriz do M2 ( R ) é uma combinação linear das matrizes 
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1























, , ,
. De fato: 






























10
00
w
01
00
z
00
10
y
00
01
x
wz
yx 
 
 
 
 
 3 
Espaço Gerado 
 
Consideremos v1, v2, ...,vn vetores de um determinado espaço vetorial V. Alguns vetores de V 
podem ser combinação linear de v1, v2, ...vn e outros não. Se nós construirmos um conjunto W 
consistindo de todos os vetores que podem ser dados como combinação linear de v1, v2, ...vn então 
W será um subespaço de V. 
 
Teorema: Seja V espaço vetorial sobre R, v1, v2, ...,vn  V, 1, 2,...,n,  R. e 
 W = { v  V; v = 1v1 + 2 v2 + ...+ nvn }. Então W é um subespaço vetorial chamado de 
subespaço gerado por v1, v2, ...,vn e denotado por W = [v1, v2, ...,vn ] e v1, v2, ...,vn são 
chamados de geradores de W. 
 Pode também ser usada a seguinte notação: Sendo S = { v1, v2, ...,vn } então W = ger (S) ou 
W = ger { v1, v2, ...,vn } 
 
Vejamos a demonstração para o caso particular W = [v1,v2] 
i) Observemos inicialmente que W   pois 0 = 0v1+ 0v2 = 0  W. 
ii) Sejam w1 e w2  W. 
Temos que w1 = 1v1 + 2 v2 e w2 = 1v1 + 2 v2. 
 Então w1 + w2 = (1 + 1) v1 + (2 + 2 ) v2  W 
iii) Seja w  W e   R. Então  w = ( 1v1 + 2 v2) = (1)v1 + (2 )v2  W. 
 
Observação: Se W = [v1, v2, ...,vn ] então v1, v2, ...,vn  W 
 
Exemplos : 
1. Consideremos o vetor do plano v = ( 1, 0 ) e W = [( 1,0)]. O espaço gerado por v é o conjunto 
de todas as combinações lineares do vetor ( 1,0 ) o que no plano cartesiano corresponde ao eixo 
OX. 
2. W = [ ( 1,1) ] é o conjunto de todas as combinações lineares do vetor ( 1, 1) o que corresponde 
no plano à reta y = x. 
3. Se v = ( xo, yo)  R
2 
 v  0 então [ v ] = { k( xo, yo); k  R } que é uma reta no plano. 
 
4. W = [(1, 2 ), ( 1,1)]. Qualquer combinação linear de v1=( 1, 2 ) e v2 = ( 1,1 ) é um vetor do R
2
. 
Além disso, qualquer vetor do R
2
 pode ser escrito como combinação linear de v1 e v2. Vejamos: 
 4 
(x, y ) = a( 1, 2 ) + b( 1,1 )  x = a + b e y = 2a + b. Encontrando a e b em função de x e y 
obtemos : a = y –x e b = 2x – y. Assim, qualquer vetor ( x, y ) pode ser escrito como 
( x, y ) = (y –x) ( 1, 2 ) + (2x –y) (1,1) 
Exemplos: i) (2,3) = 1.(1,2) + 1. (1,1) ii) ( 1, 4 ) = 5 ( 1, 2 ) + 6 ( 1,1 ) 
Podemos então concluir que W = R
2
. 
 
5. R2 = [ ( 1, 0 ), ( 0, 1 ) ]. É fácil verificar que qualquer vetor do plano é combinação de (1, 0 ) e 
( 0, 1). De fato: ( x, y ) = x(1, 0 ) + y ( 0, 1) 
 
6. W = [ ( 1, 1, 1 ) ] é o conjunto de todas as combinações lineares do vetor ( 1, 1, 1 ) que 
corresponde à reta do espaço que tem a direção do vetor ( 1, 1, 1) 
 
7. W = [(1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ) ] é um subespaço do R3 que corresponde ao plano XY 
(x, y, 0 ) = x ( 1, 0, 0 ) + y ( 0, 1, 0 ) 
8. W = [ ( 1, 1, 0), (0, 0, 1 )] corresponde ao plano determinado pelos dois vetores 
 
9. R3 = [ ( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ) ( 0, 0, 1 ) ]. Qualquer vetor do espaço pode ser escrito como 
combinação linear desses três vetores ( x, y, z ) = x (1, 0, 0 ) + y ( 0, 1, 0 ) + z ( 0, 0, 1 ) 
 
O resultado a seguir nos diz que se retirarmos ou acrescentarmos a um conjunto de geradores um 
elemento que pertence ao espaço gerado, o espaço gerado permanece o mesmo 
 
Teorema: Seja V espaço vetorial sobre R e v1, v2, ...vn  V. Se v  [v1, v2, ...vn ], então 
[v1, v2, ...vn , v ] = [v1, v2, ...vn ]. 
 
Exemplos: 
1. [ (1, 1, 0 ) ] = [ (1, 1, 0 ), ( 2, 2, 0 ) ] 
2. [ ( 1, 0 ), ( 0, 1 ) ] = [ (1, 0 ), ( 0, 1 ), ( 1, 1 ) ] 
3. [(1,0), (2,1), (3,1)] = [(1,0), ( 2,1 )] 
 
 
 
 
 
 5 
Exercícios: 
 
1) Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços: 
 
a) W = { ( x, y )  R2; y = x } 
Solução: Devemos tomar um vetor genérico de R
2
 v = (x, y) e obter vetores dos quais ele é 
combinação linear. 
( x, y )  W  (x, y ) = ( x, x ) = x ( 1,  1 ) 
Logo, W = [ ( 1, 1 ) ] 
 
b) W = { (x, y, z )  R3; x = y + z } 
Solução: Devemos tomar um vetor genérico de R
3
 v = (x, y, z ) e obter vetores dos quais ele é 
combinação linear. 
v = (x, y, z )  W  v = ( y + z, y, z ) = ( y, y, 0 ) + ( z, 0, z ) = y(1, 1, 0 ) + z ( 1, 0, 1 ) 
Logo, W = [ ( 1, 1, 0 ) , ( 1, 0, 1 ) ] 
 
c) 
W
x y
z w
M (R);w x z2





   






 
Solução: 
v
x y
z w
W v
x y
z x z
x
x
y
z z
x y z





   






 





 





 






 





 





 







0
0
0
0 0
0 0 1 0
0 1
0 1
0 0
0 0
1 1
 
Logo, 
W 

























1 0
0 1
0 1
0 0
0 0
1 1
, ,
 
 
2) Encontre as equações que caracterizam os seguintes subespaços:a) W= [ (1, 0, 1 ), ( 1, 2, 1 ) ] 
 
Solução: 
Um elemento genérico v = ( x, y, z ) de W é combinação linear dos vetores (1, 0, 1 ) e ( 1, 2, 1 ), 
ou seja, ( x, y, z ) = a ( 1, 0, 1 ) + b( 1, 2, 1 ) o que nos leva ao sistema 
 6 
a b x
2b y
a b z
 

 





 
 Assim, vamos verificar que condições devemos ter para que o sistema acima tenha solução 
1 1 x
0 2 y
1 1 z
1 1 x
0 2 y
0 0 z x
1 1 x
0 1 y / 2
0 0 z x


































 
Vemos que o sistema terá solução se z – x = 0 
Logo, W = { (x, y, z )  R3; x = z } 
 
b) 
W 


















1 0
3 1
1 2
4 3
,
 
Solução: 
x y
z w
W
x y
z w
a
1 0
3 1
b
1 2
4 3
a b 2b
3a 4b a 3b





  





 





 





 

 






, o que nos leva ao 
seguinte sistema: 
a b x
2b y
3a 4b 3
a 3b w
 

 
 







. Escalonando o sistema obtemos: 
1 1 x
0 2 y
3 4 z
1 3 w
1 1 x
0 2 y
0 1 z 3x
0 2 w x
1 1 x
0 1 y / 2
0 1 z 3x
0 2 w x
1 1 x
0 1 y / 2
0 0 z 3x y / 2
0 0 w x y











































 
 












 
O sistema terá solução se w – x – y = 0 e 2z – 6x – y = 0 
Logo, 
W
x y
z w
M (R);z
6x y
2
 e w x y2





  

 






 
 
 
Referências Bibliográficas 
- Álgebra Linear – Alfredo Steinbruch / Paulo Winterle 
- Álgebra Linear – Boldrini / Costa / Figueiredo / Wetzler 
- Álgebra Linear – Caliolli 
- Álgebra Linear com Aplicações – Anton / Rorres