GAAL ÁLGEBRA LINEAR TEXTO 07 NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO

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Universidade Salvador – UNIFACS 
GAAL - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
Cursos de Engenharia 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
Álgebra Linear 
 
Texto 07 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear 
 
Sendo T: V  W uma transformação linear, vamos estudar dois subespaços importantes 
dos espaços V e W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dada a transformação T: R
3
  R3 ; T(x, y, z) = ( 0, y, 0), temos que: 
Im(T) = { (x, y, z )  R3 ; T(x, y, z ) = (0, y, 0) }= { (0, y, 0 ); y  R } = [(0, 1, 0 ) ] 
 
A imagem corresponde ao eixo OY e é um subespaço do R
3
. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determinar a imagem da seguinte transformação linear 
 
1) T: R
3
  R3 
T(x, y, z ) = ( x, y, 0 ) (Projeção ortogonal sobre o plano XY ) 
T(1, 0, 0 ) = ( 1, 0, 0 ) 
T(0, 1, 0 ) = ( 0, 1, 0 ) 
T(0, 0, 1) = ( 0, 0, 0 ) 
A imagem de T , indicada por Im(T) é o conjunto dos vetores w de W tais que existe um 
vetor v em V que satisfaz T(v) = w, ou seja, 
 
Im( T ) = { w  W;  v  V; T(v) = w } W 
 
Im(T) é um subespaço vetorial de W podendo também ser indicado por T(V) 
 
 
Seja T: V  W uma transformação linear e V = [ v1, v2, ...vn ], então 
[T(v1), T(v2),...,T(vn) ] = Im(T) 
O resultado acima nos diz que a imagem de uma transformação linear é gerada pelas imagens 
de um conjunto de geradores do domínio da transformação 
 2 
Assim, Im(T) = [ ( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ) , ( 0, 0, 0 ) ] = [ ( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ) ] ( O plano XY ) 
 
2)T: R
2
  R2 
T(x, y) = (  x, y) (Reflexão em torno de OY ) 
T(1, 0) = ( 1, 0 ) 
T(0, 1) = ( 0, 1) 
Im( T ) = [ ( 1, 0 ), (0, 1) ] = R2 
 
Observemos que no exemplo anterior a imagem da transformação coincidiu com o 
contradomínio. Quando isto acontece dizemos que a transformação é sobrejetora 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Dada a transformação T: R
3
  R3 ; T(x, y, z) = ( 0, y, 0), temos que: 
N(T) = { (x, y, z )  R3 ; T(x, y, z ) = (0, 0, 0) } 
(0, y, 0 ) = (0, 0, 0 )  y = 0. 
Logo, N(T) = { (x, y, z )  R3 ; y = 0 } = { ( x, 0, z ); x, z  R } = [ ( 1, 0, 0 ), ( 0, 0, 1 ) ] 
 
Observemos que o núcleo é o plano XZ. 
 
 
2) T: R
3
  R3 
T(x, y, z ) = ( x, y, 0 ) (Projeção ortogonal sobre o plano XY ) 
N( T) = { (x, y, z )  R3; T(x, y, z ) = (x, y, 0 ) = ( 0, 0, 0 ) } 
Temos assim que x = 0 e y = 0. Logo, N(T) = { (x, y, z )  R3; x = y = 0 } = [ (0, 0, 1 ) ] 
( eixo OZ ) ( Veja que N(T) é um subespaço do R
3
 ) 
 
3)T: R
2
  R2 
T(x, y) = (  x, y) (Reflexão em torno de OY ) 
N( T) = { (x, y)  R2; T(x, y ) = (  x, y) = ( 0, 0) }  N( T) = { ( 0,0) } 
Seja T: V  W uma transformação linear. O núcleo de T, indicado por N(T) é o conjunto de 
todos os vetores v de V tais que T(v) = 0, ou seja, 
N(T) = { v  V; T(v) = 0 } V 
N(T) é um subespaço vetorial de V podendo também ser indicado por ker(T) e chamado de 
kernel 
 
 3 
 
O conceito de função injetora se estende naturalmente para as transformações lineares. 
Afinal uma transformação linear é uma função!!. Vamos relembrar a definição 
 
 
 
 
 
 
Um resultado nos garante que 
 
 
 
 
 
Do exemplo 3) visto anteriormente podemos concluir que T(x, y) = (  x, y) é uma 
transformação injetora uma vez que calculamos N(T) = { ( 0,0 ) } 
 
 
Consideremos o seguinte exemplo: Sendo T: R
2
  R ; T(x, y) = x + y, determinar N(T) e 
Im(T). 
N(T) = { (x, y )  R2 ; x + y = 0 } = { (x, – x ) ; x  R } = [ ( 1, – 1 ) ]  dim( N(T) ) = 1 
Im(T) = R  dim ( Im(T) ) = 1 
Temos assim que: dim R
2
 = dim (Im(T) )+ dim(N(T)) 
 
Este resultado vale geralmente e está expresso no seguinte teorema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos agora relacionar as dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear 
ao posto da matriz a ela associada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema do Núcleo e da Imagem 
Se T: V  W é uma transformação linear, então dim V = dim(N(T)) + dim(Im(T)) 
 
 
Seja T: V  W uma transformação linear,  e  bases de V e W respectivamente e 
A = 
 T
 Então: 
1) dim Im(T) = posto de A 
2) dim N(T) = nulidade de A = número de colunas  posto de A 
 
Uma transformação T: V  W é injetora se dados u e v  V temos que 
T(u) = T(v)  u = v  u  v  T(u)  T(v) 
T é injetora  N(T) = { 0 } 
 4 
Vamos dar uma idéia da demonstração para o caso em que V = R
n
; W = R
m
 e as 
bases são canônicas 
1) Seja A = [T]  Mmxn( R ) e seja Ai  R
m
 ( como vetor coluna ) a i-ésima coluna de A. 
Então se  = { v1, v2, ...vn }, [T(vi)] = Ai, logo Im(T) é gerada pelos Ais. Podemos então 
extrair uma base para Im(T). O número de elementos desta base é o número de vetores L.I. 
Usando o fato que o posto de uma matriz é igual ao da sua transposta, colocando os Ais na 
forma de vetores linha e escalonando a matriz correspondente, obtemos o posto de A 
 
2) Se T: Rn  Rm temos que n = dim N( T) + dim Im(T)  dim N(T) = n  p([ T ]) 
 
 
Observações: 
 O posto de 
 T
 independe da base considerada. 
 Im(T) corresponde ao espaço gerado pelas colunas de A ( ou linhas da matriz 
transposta de A ) 
 A solução do sistema homogêneo AX = 0 corresponde ao N(T). 
 
Exemplo: Encontre Im(T) e N(T) das seguintes transformações e suas respectivas 
dimensões, através da matriz associada. 
 
1) : R
3
  R3 ; T(x, y, z) = ( 0, y, 0) 
 
T( 1, 0, 0 ) = (0, 0, 0 ) 
T( 0, 1, 0 ) = (0, 1, 0 ) 
T( 0, 0, 1 ) = ( 0, 0, 0 ) 
 
A matriz A = [ T ] = 










000
010
000
~ 










000
000
010
. O posto de A é 1 e Im(T) = [ ( 0, 1, 0 ) ] 
cuja dimensão é 1. 
O núcleo tem portanto dimensão 2 
O núcleo de T é a solução do sistema AX = 0, ou seja, 































0
0
0
z
y
x
000
010
000
  y = 0  
N(T) = [ ( 1, 0, 0), ( 0, 0, 1 ) ] cuja dimensão é dois. 
dim R
3
 = dim N(T) + dim Im(T) 
 
2) T: R
3
  R3 
T(x, y, z ) = ( x, y, 0 ) (Projeção ortogonal sobre o plano XY ) 
T(1, 0, 0 ) = ( 1, 0, 0 ) 
T(0, 1, 0 ) = ( 0, 1, 0 ) 
T(0, 0, 1 ) = ( 0, 0, 0 ) 
 5 
 
A = [T ] = 










000
010
001
. 
O posto de A é 2 que corresponde à dimensão de Im(T) = [ ( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ) ] 
 
Mesmo sem calcular o núcleo já sabemos que A tem nulidade 1 e portanto dim N(T) = 1 
 
O núcleo de T corresponde à solução do sistema AX= 0 
 
































0
0
0
z
y
x
000
010
001
x = 0 e y = 0. 
Como já tínhamos calculado anteriormente N(T) = [(0,0,1)] 
 
 
3) T: R
2
  R2 
T(x, y) = (  x, y) (Reflexão em torno de OY ) 
T(1,0) = ( 1, 0 ) 
T(0, 1) = ( 0, 1 ) 
A = [ T ] = 






10
01 . O posto de A é 2, logo a nulidade é 0. Isto equivale aos resultados já 
encontrados Im(T) = R
2
 e N(T) = { ( 0,0 ) } 
De fato a solução do sistema 


















0
0
y
x
10
01 é x = y = 0 
 
 
 
Um resultado importante que pode ser obtido através da matriz de uma transformação T é 
o seguinte 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Verifique que a transformação T(x, y) = (  x, y) (Reflexão em torno de OY ) 
é inversível e calcule a sua inversa 
 
SejaT: V  V um operador linear. Se A = [ T ] é inversível, ou seja, linha – 
equivalente à identidade, então a transformação T também tem inversa e [ T
1
 ] = A 
1
 
 6 
Solução: A = [ T ] = 






10
01
  A –1 = A = 






10
01
, ou seja, a inversa da transformação 
é ela própria. De fato: Esta transformação é a reflexão em torno do eixo OY cuja inversa é 
ela própria 
 
2) Verifique que a transformação T: R
2
  R2 ; T(x, y ) = (x+2y, y) ( Cisalhamento na 
direção do eixo OX de fator 2 ) é inversível e calcule a sua inversa 
 
T( 1, 0 ) = (1, 0 ) 
T( 0, 1 ) = ( 2, 1 ) 
A = [ T ] = 






10
21  A 
–1
 = 





 
10
21 . Logo, T
1
 : R
2
  R2 ; T1 (x, y ) = (x 2y, y ) 
( Cisalhamento na direção do eixo OX de fator  2 ) 
 
 
Por exemplo, se tomarmos o vetor v = ( 1, 1 ) temos que T( 1, 1 ) = ( 3, 1 ) 
Aplicando o vetor T
1
 (3, 1 ) = ( 1, 1 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
- Álgebra Linear – Alfredo Steinbruch / Paulo Winterle 
- Álgebra Linear – Boldrini / Costa / Figueiredo / Wetzler 
- Álgebra Linear – Caliolli 
- Álgebra Linear com Aplicações – Anton / Rorres 
- Álgebra Linear e suas Aplicações – David C. Lay 
 
 
T(1,1)=(3,1)