Concreto Texto Hellen Rev 2014 1a Parte

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- 2007 - 
 Londrina 
 
CENTRO DE TECNOLOGIA E URBANISMO 
 
 
 
 
 
 
Prof. Roberto Buchaim 
CONSTRUÇÕES EM CONCRETO ESTRUTURAL 
Notas de Aula 
 
 
 
 
Notas de aula, da disciplina Construções em Concreto 
Estrutural, 3TRU024, ministrada pelo prof. Roberto 
Buchaim, digitalizada por Hellen Cristina Marcon. 
 
 
 
Revisão 1 em 02 de outubro de 2008 
 
Revisão em 05 de Agosto de 2010 
 
Revisão 3 em 14 de julho de 2014 
 
 
 
CENTRO DE TECNOLOGIA E URBANISMO – Departamento de Estruturas 
Construções em Concreto Estrutural – 3TRU024 – Prof. Roberto Buchaim 
 
 
 
 
Sumário: 
1. MATERIAIS .......................................................................................................................................4 
1.1. Concreto ........................................................................................................................................4 
1.1.1. Componentes .........................................................................................................................4 
a. Aglomerante ................................................................................................................................4 
b. Material Inerte: agregados ...........................................................................................................4 
1.1.2. Características Mecânicas do Concreto: ................................................................................5 
a. Concreto em Compressão Uniaxial .............................................................................................5 
b. Efeito da Velocidade de Carregamento do Concreto em Compressão Uniaxial (Efeito Rüsch)
 .......................................................................................................................................................11 
b.1. Fluência do Concreto ..............................................................................................................12 
b.2. Relaxação do Concreto ...........................................................................................................13 
c. Resistência Característica ..........................................................................................................13 
d. Modulo de Elasticidade do Concreto para Projeto (conforme NBR 6118) ...............................13 
e. Resistência à Tração Axial do Concreto ....................................................................................14 
f. Resistência à Tração na Flexão do Concreto em Lajes e Vigas (em peças fletidas) ..................15 
Exemplo 01 ....................................................................................................................................15 
g. Peso especifico ..........................................................................................................................16 
1.2. Aço ..............................................................................................................................................16 
1.2.1. Barras e fios de aço destinados a armaduras para CA .........................................................16 
1.2.2. Propriedades do aço .............................................................................................................17 
Exemplo 02 ....................................................................................................................................17 
1.2.3. Diagrama Tensão-Deformação )( SS εσ .............................................................................17 
a. Laminado a quente:....................................................................................................................17 
b. Encruado a frio ..........................................................................................................................18 
c. Diagramas idealizados na NBR 6118 ........................................................................................18 
1.2.4. Classificação dos Aços ........................................................................................................18 
2. RETRAÇÃO E FLUÊNCIA DO CONCRETO ............................................................................20 
2.1. Retração do Concreto ..................................................................................................................21 
2.1.1. Fatores que influem na retração...........................................................................................21 
a. Gráfico da deformação no concreto por retração ao longo do tempo ........................................21 
2.2. Fluência do Concreto ..................................................................................................................21 
2.2.1. Fluência pura .......................................................................................................................22 
a. Deformação total do concreto na data t ....................................................................................22 
b. Deformação total do concreto na data 
∞
t .................................................................................23 
 
 
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c. Espessura equivalente ................................................................................................................24 
Exemplo 01 ....................................................................................................................................24 
Exemplo 02 ....................................................................................................................................25 
3. COMPORTAMENTO CONJUNTO DOS MATERIAIS AÇO E CONCRETO .......................26 
3.1. Introdução ...................................................................................................................................26 
3.2. Ação da Força Normal ................................................................................................................26 
3.3. Peça usada como tirante ..............................................................................................................29 
4. INTRODUÇÃO DA SEGURANÇA ...............................................................................................33 
4.1. Nos Materiais ..............................................................................................................................33 
4.2. Nas Cargas ..................................................................................................................................34 
5. ESTÁDIOS I, II E III NA FLEXÃO SIMPLES ............................................................................34 
Exemplo 01 ..................................................................................... Erro! Indicador não definido. 
Exemplo 02 ..................................................................................... Erro! Indicador não definido. 
5.1.1. Rigidez à flexão no Estádio II .............................................. Erro! Indicador não definido. 
a. Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armadoErro! Indicador não 
definido. 
5.1.2. Rigidez equivalente segundo a NBR 6118 ........................... Erro! Indicador não definido. 
5.1.3. Momento Resistente de Cálculo (no Projeto) ....................... Erro! Indicador não definido. 
5.1.4. Resumo ................................................................................. Erro! Indicador não definido. 
5.1.5. Resistência à tração na flexão para o projeto........................ Erro! Indicador não definido. 
5.1.6. Armadura mínima de flexão ................................................. Erro! Indicador não definido.5.1.7. Exercício ............................................................................... Erro! Indicador não definido. 
6. ESTADOS LIMITES ......................................................... ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO. 
6.1. Estados Limites Últimos (ELU) ................................................... Erro! Indicador não definido. 
6.2. Estados Limites de Serviço (ELS) ............................................... Erro! Indicador não definido. 
6.3. Tabelas ......................................................................................... Erro! Indicador não definido. 
6.4. ELU: Flexão simples e/ou composta ........................................... Erro! Indicador não definido. 
6.5. ELU: flexão simples (vigas e lajes) ............................................. Erro! Indicador não definido. 
6.6. ELU: Solicitações Normais (Flexão Simples) ............................. Erro! Indicador não definido. 
a. Hipóteses: ................................................................................... Erro! Indicador não definido. 
b. Domínios de deformação: ........................................................... Erro! Indicador não definido. 
6.7. Exemplo 01 .................................................................................. Erro! Indicador não definido. 
6.8. Exemplo 02 .................................................................................. Erro! Indicador não definido. 
7. SEÇÃO T ............................................................................ ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO. 
 
 
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7.1. Exemplo 01 .................................................................................. Erro! Indicador não definido. 
 
 
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MATERIAIS 
 
CONCRETO 
 
COMPONENTES 
 
Componentes � Aglomerantes + Material Inerte + Água 
A água deve ser inerte e sem impurezas! 
 
Cimento + água � pasta 
Pasta + agregado miúdo � argamassa 
Argamassa + agregado graúdo � concreto simples 
Concreto simples + armadura passiva � concreto armado (CA) 
Concreto (simples ou armado) + armadura ativa � concreto protendido (CP) 
 
Concreto normal: fck ≈ 20 a 50 MPa (200 a 500 Kgf/cm²) 
Concreto de alto desempenho (CAD): fck ≈ 55 a 100 MPa; aos componentes anteriores adiciona-se 
micro sílica ou fumo de sílica. 
Obs.: fck = resistência característica do concreto à compressão (f de failure = ruptura). 
 
A. AGLOMERANTE 
 
Cimento Portland Comum: material aglomerante que se endurece exposto ao ar e água e após reagir 
com a água, mantém-se endurecido de forma estável. Composição do cimento: CaO (óxido de cálcio – cal); 
SiO2 (óxido de silício); Al3O2 (óxido de alumínio); Fe2O3 (óxido de ferro). 
 
B. MATERIAL INERTE: AGREGADOS 
 
- naturais: areia – agregado miúdo (passa pela peneira # 4 ou 4,8 mm); pedregulho – agregado 
graúdo (não passa pela peneira # 4). 
- artificiais: pedrisco; pedra britada ou brita. 
 
Brita 0 1 2 3 4 5 
Diâmetro (mm) 4,8 9,5 19,0 25 50 76 100 
 
Como escolher o diâmetro do agregado: 
- øagregado ≤ ¼ da menor dimensão da peça; 
- øagregado depende também da taxa de armadura da peça; 
- øagregado ≤ c = cobrimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DO CONCRETO: 
 
A. CONCRETO EM COMPRESSÃO UNIAXIAL 
 
 
Ensaio de Compressão 
 
 
fc = resistência à compressão do concreto 
εc0 ≅ 1,8 ‰ a 2,2 ‰, valor médio (comumente adotado) = 2 ‰. 
 
A lei σ(εc) é, com boa aproximação, uma parábola do 2º Grau: 
 
















−=
2
00
2
c
c
c
c
cc f ε
ε
ε
ε
σ 
 
máximodepontoparaf
c
c
cc
c
c
c
c
c
c



⇒=
∂
∂
⇒=





−=
∂
∂
0.212 02
00 ε
σ
εε
ε
ε
εε
σ
 
 
ic
0c
c E
f2
tan ==
ε
α 
 
Eci = módulo de elasticidade tangente na origem da lei σ(εc) ou módulo inicial. 
 
Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto em compressão. 
 
 
 
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A NBR 6118: 2014, item 8.2.8, adota as seguintes características mecânicas e físicas do concreto: 
 
 
NBR 6118: 2014, Item 8.2.8 Módulo de elasticidade 
O módulo de elasticidade (Eci) deve ser obtido segundo método de ensaio estabelecido na 
ABNT NBR 8522, sendo considerado nesta Norma o módulo de deformação tangente inicial, 
obtido aos 28 dias de idade. Quando não forem realizados ensaios, pode-se estimar o valor do 
módulo de elasticidade inicial usando as expressões a seguir: 
Eci = αE. 5600 ckf , para fck de 20 MPa a 50 MPa; 
Eci = 21,5.103 . αE . 
3/1
ck 25,1
10






+
f
, para fck de 55 MPa a 90MPa. 
Sendo: 
αE = 1,2 para basalto e diabásio 
αE = 1,0 para granito e gnaisse 
αE = 0,9 para calcário 
αE = 0,7 para arenito 
Onde: 
Eci e fck são dados em megapascals (MPa). 
O módulo de deformação secante pode ser obtido segundo método de ensaio estabelecido na 
ABNT NBR 8522, ou estimado pela expressão: 
Ecs = αi . Eci 
Sendo: 
αi = 0,8+0,2 . 80
ckf
 ≤ 1,0 
A Tabela 8.1 apresenta valores estimados arredondados que podem ser usados no projeto 
estrutural. 
Tabela 8.1 - Valores estimados de módulo de elasticidade em função da resistência 
característica à compressão do concreto (considerando o uso de granito como agregado 
graúdo, i.e., ααααE = 1,0) 
Classe de 
resistência C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90 
Eci 
(GPa) 25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47 
 
 
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Ecs 
(GPa) 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47 
αi 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00 
 
NOTAS 
A deformação elástica do concreto depende da composição do traço do concreto, 
especialmente da natureza dos agregados. 
Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal, pode ser 
adotado módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de 
deformação secante Ecs. 
Na avaliação do comportamento global da estrutura e para o cálculo das perdas de 
protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo de elasticidade inicial Eci. 
O módulo de elasticidade numa idade menor que 28 dias pode ser avaliado pelas expressões a 
seguir, substituindo fck por fcj: 
ci
c
c
ci
E
f
tf
tE .
)(
)(
,50






= , para os concretos com fck de 20 MPa a 45 MPa; 
ci
c
c
ci
E
f
tf
tE .
)(
)(
,30






= , para os concretos com fck de 50 MPa a 90MPa. 
Onde: 
Eci(t) é a estimativa do módulo de elasticidade do concreto em uma idade entre 7 dias e 
28 dias; 
fc(t) é a resistência à compressão do concreto na idade em que se pretende estimar o 
módulo de elasticidade, em megapascal (MPa). 
8.2.9 Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal 
Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores que fct, o 
coeficiente de Poisson ν pode ser tomado como igual a 0,2 e o módulo de elasticidade transversal 
Gc igual a Ecs./2,4 . 
A resistência à tração do concreto está dada no item 8.2.5 da NBR 6118: 2014:NBR 6118: 2014 Item 8.2.5 Resistência à tração 
A resistência à tração indireta fct,sp e a resistência à tração na flexão fct,f devem ser obtidas em 
ensaios realizados segundo a ABNT NBR 7222 e a ABNT NBR 12142, respectivamente. 
A resistência à tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9 fct,sp ou 0,7 fct,f ou, na falta de 
ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f, pode ser avaliado o seu valor médio ou característico por 
meio das equações seguintes: 
 
 
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fctk,inf = 0,7 fct,m 
fctk,sup = 1,3 fct,m 
para concretos de classes até C50: 
fct,m = 0,3 fck2/3 
para concreto de classes de C50 até C90: 
fct,m = 2,12 ln (1 + 0,11 fck) 
onde: 
fct,m e fck são expressos em megapascal. 
Sendo f
ckj ≥ 7 MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades diferentes de 28 
dias. 
NBR 6118, item 8.2.6 Resistência no estado multiaxial de tensões 
Estando o concreto submetido às tensões principais σ3 ≥ σ2 ≥ σ1, deve-se ter: 
σ1 ≥ − fctk 
σ3 ≤ fck + 4 σ1 
sendo as tensões de compressão consideradas positivas e as de tração negativas, o estado 
multiaxial de tensões deve ser verificado conforme ilustrado na figura 8.1. 
 
 
 
 
Outras leis usadas em projeto: 
 
 
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Lei parábola-retângulo 
 
Οs valores a serem adotados para os parâmetros εc2 (deformação específica de encurtamento do 
concreto no início do patamar plástico) e εcu (deformação específica de encurtamento do concreto 
na ruptura) são definidos a seguir: 
 para concretos de classes até C50: 
 εc2 = 2,00/00; 
 εcu = 3,50/00 
 para concretos de classes de C50 até C90: 
 εc2 = 2,00/00 + 0,0850/00.(fck - 50)0,53; 
 εcu = 2,60/00 + 350/00.[(90 - fck)/100]4 
Ver indicação sobre o valor de fcd em 12.3.3. 
 
 
 
 
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 Lei rígido-plástica para dimensionamento no Estado Limite Último (ELU) por 
solicitações normais, “bloco de tensões”. 
 
 
 
ηηηη0,85fcd 
 
 
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B. EFEITO DA VELOCIDADE DE CARREGAMENTO DO CONCRETO EM COMPRESSÃO UNIAXIAL (EFEITO RÜSCH) 
 
 
 
Conclusão: quanto mais 
lentamente se carregar o concreto 
menor é sua resistência fc. 
3
3
2
2
1
1
ttt ∆
∆
>
∆
∆
>
∆
∆ εεε
 
1º fator: com a velocidade 
de deformação decrescente, a 
resistência do concreto cai e sua 
deformabilidade aumenta. Este 
fenômeno é um dos componentes 
do chamado “Efeito Rüsch”. 
2º fator: por outro lado, a 
resistência do concreto aumenta 
com o passar do tempo. 
 






















−=β= 2
1
1
28
281exp
t
Sf
f
c
jc
 
 
Onde: 
t = idade do concreto em dias 
j = data em que se deseja calcular a resistência fcj do concreto (a compressão) 
fc28 = resistência à compressão do concreto medida na idade de 28 dias 
S = depende do tipo de concreto 
 
 
 
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




−=
=
=
ARICPVcimentodeconcretopara
CPIIeCPIcimentodeconcretopara
CPIVeCPIIIcimentodeconcretopara
S
20,0
25,0
38,0
 
 
Exemplo: para S = 0,38/0,25/0,20 
S t (dias) 3 7 15 28 60 365 3650 (10 anos) 
0,38 
28c
jc
f
f
 
0,46 0,68 0,87 1,00 1,13 1,32 1,41 
0,25 
28c
jc
f
f
 
0,60 0,78 0,91 1,00 1,08 1,20 1,26 
0,20 
28c
jc
f
f
 
0,66 0,82 0,93 1,00 1,06 1,16 1,20 
 










=⇒=
=⇒=
=⇒=
==
20,120,0
26,125,0
41,138,0
365010
28
28
28
c
jc
c
jc
c
jc
f
f
f
f
f
f
Sediasanostpara
 
 
Um 3º fator que influi na resistência do concreto refere-se à diferença entre fc (resistência) medida no 
cilindro e aquela do concreto da estrutura (laje, viga, pilar – forma prismática). 
 
cilindrocprismac ff ,, 95,0= 
 
Em resumo, os 3 fenômenos juntos levam a um fator multiplicativo da resistência do concreto igual a
95,02,175,032185,0 ××=××≅ fatorfatorfator . 
O fator 0,85 reduz a resistência do concreto no dimensionamento de peças no E.L.U. (Estado Limite 
Último). Não é considerado em ensaios rápidos, nem nos Estados Limites de Serviço. 
 
B.1. FLUÊNCIA DO CONCRETO 
 
Fluência é o aumento gradual na deformação ao longo do tempo, sob uma carga constante. Se a 
tensão também for constante tem-se a “fluência pura”. É inversamente proporcional ao módulo de 
elasticidade do concreto e diretamente proporcional à tensão normal aplicada. Nas estruturas de concreto 
armado e protendido, a fluência não é pura, i.e., mesmo que a carga seja permanente (constante), a simples 
presença do aço aderente leva à uma fluência sob tensão variável ao longo do tempo. A fluência do concreto 
é importante na compressão. 
Ao ser aplicada uma força de compressão no concreto, ocorre um encurtamento (deformação) 
imediato. Com o passar do tempo, para carga mantida constante a deformação do concreto aumenta, sem que 
haja aumento da carga. Os principais fatores que influem na fluência do concreto são os mesmo para a 
retração, a saber: 
 
• Idade 0t do concreto ao ser carregado: quanto mais velho for o concreto ao ser carregado, menor 
é a sua fluência. 
 
 
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• Umidade relativa do meio ambiente 
• Espessura fictícia da peça 
 
No caso de estruturas reais, a fluência começa a ocorrer assim que a carga é aplicada ao concreto. A 
retração ocorre tão logo se inicie a cura do concreto. Para efeito de análise estrutural mais simples, os dois 
fenômenos podem ser considerados como iniciando na mesma data. 
 
B.2. RELAXAÇÃO DO CONCRETO 
 
Para situações onde atuem ações de longa duração, além da fluência, deve-se considerar também o 
fenômeno da relaxação do concreto. 
A relaxação consiste na diminuição da tensão ao longo do tempo, estando o concreto submetido a um 
estado de deformações constante (relaxação pura). Por exemplo, a ação de um recalque da estrutura, mantido 
constante pelos seus vínculos, impõe um estado de deformação constante no concreto, com o que as tensões 
decorrentes desse recalque imposto diminuem com o tempo. 
 
C. RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA 
 
Entende-se por resistência característica do concreto (fck) aquela correspondente aos 28 dias, por ser 
esta a idade convencional em que uma estrutura usual é colocada sob carregamento total (pelo menos no 
projeto). A esta resistência associa-se uma probabilidade de ocorrência de 95%. Quer dizer, a resistência 
característica de um lote de corpos de prova de concreto ensaiados corresponde um total de 5% dos 
resultados obtidos com valores iguais ou inferiores a fck. 
 
 
 
 
 
 
D. MODULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO PARA PROJETO (CONFORME NBR 6118) 
 
 
 
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E. RESISTÊNCIA À TRAÇÃO AXIAL (OU DIRETA)DO CONCRETO 
 
O concreto simples rompe quando tcσ for 
igual à resistência à tração do concreto fct. 
A dispersão da resistência fct é muito maior 
do que a dispersão da resistência à compressão fc. Os 
valores de fct são probabilísticos. Em MPa tem-se: 
 
3
2
,,inf
,
,,sup
21,0
30,0
39,0
7,0
3,1
ck
mctctk
mct
mctctk
f
ff
f
ff










=










=
=
 
 
 
 
 
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fck (MPa) 20 30 40 50 
fct 
k,inf 1,47 1,93 2,34 2,71 
m 2,21 2,90 3,51 4,07 
k,sup 2,95 3,86 4,68 5,43 
 
F. RESISTÊNCIA À TRAÇÃO NA FLEXÃO DO CONCRETO EM LAJES E VIGAS (EM PEÇAS FLETIDAS) 
 
 
 
7,0
0
7,0
0
,
5,1
5,11












+
=
h
h
h
h
ff tcfltc 
Onde, 
h0 = 100 mm 
h = altura da peça em mm. 
fct = resistência à tração axial 
 
 
 
 
h (mm) 
tc
fltc
f
f
,
 la
je 
v
ig
a 100 1,67 
 
200 1,41 
300 1,31 
400 1,25 
500 1,22 
750 1,16 
1000 1,13 
 
Para peças com h > 1000 mm (ou 1m) fct,fl ≈ fct, ou 
seja, as resistências à tração na flexão e axial são 
aproximadamente iguais. 
 
 
EXEMPLO 01 
Determinar a carga qcr tal que se q <= qcr há uma probabilidade de 95% de não haver fissuração. 
Dados: fck = 20 MPa 
 
Índice de Esbeltez: 10
400
4000
==
l
h
 
Momento máximo: !máximoémomentoovãodocentroNo
8
lqM
2
cr →= 
Para h = 400 mm tcfltc ff 25,1, =→ 
 
 
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A menor carga qcr abaixo da qual a viga não vai fissurar com 95% de probabilidade corresponde a 
MPaff kctflct 84,12020,025,125,1 3
2
inf,inf, =


 ××== 
kNmkNmmmNmmfbhWfMcr tflctflc 82,9][10²]/[84,1³][6
400200
6
6
2
inf,
2
inf, =××
×
===
−
 
W = módulo de resistência 
(Para fctk,sup resulta Mcr = 19,62 kNm) 
 
mkN
l
Mcrqcr /91,44
82,988
22 =
×
==
 (Para fctk,sup resulta qcr = 9,82 KN/m) 
 
Se q > qcr,sup = 9,82 kN/m há 95% de probabilidade de haver fissuração. 
Se q < qcr,inf = 4,91 kN/m há 95% de probabilidade de não haver fissuração 
 
G. PESO ESPECIFICO 
 
Concreto simples: 3CONC m/kN24=γ 
Concreto armado: 3/25 mkNCA =γ 
Isto mostra que o aço contribui com 3m/kN1 (ou 3m/kgf100 ) no peso específico do CA. 
 
 
 
 
 
AÇO 
 
Barras e fios de aço destinados a armaduras para CA 
 
Fios 
(mm) 
Barras 
(mm) 
Área 
(mm²) 
4,2 13,8 
CA 60 
4,6 16,6 
5 20 
6 28,3 
7 38,5 
8 50 
9 63,6 
10 78,5 ≈ 80 
 6,3 31,5 
CA 50 ou 25 
 8 50 
 10 80 
 12,5 125 
 16 200 
 20 315 
 25 500 
 32 800 
 
 
 
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 Notar que para barras a soma das áreas de duas bitolas sucessivas dá aproximadamente a área da 
bitola seguinte. P.ex., para 8e3,6 ΦΦ , tem-se as áreas 2mm50e5,31 , respectivamente. A soma destas 
áreas é igual a 2m5,81 , que é aprox. a área da barra de bitola 10Φ . 
 
 
PROPRIEDADES DO AÇO 
 
Nervuras: melhoram as condições de aderência entre aço e concreto 
- Barras lisas (CA-25) 
- Barras nervuradas (CA-50) de alta aderência 
- Fios (CA-60) – para lajes. 
Peso específico do aço: ³/85,7³/5,78 mtfoumkN
AÇO
=γ 
Peso por metro linear de uma barra = γpiφ AÇO4
²
 
Módulo de elasticidade do aço: GPaouMPaEs 21000.210= 
 
Coeficiente de dilatação térmica: 
)º10,(º101 1515 −−−− =≅≅ CconcretodoaoigualCx CS αα 
 
EXEMPLO 02 
KgmmKgpesametrosdebarra
mKgmkNmkNmmlinearmetropeso
84,18][12]/[57,116,121
/57,1/0157,0]³/[5,7810]²[200/16 6
=×=φ∴
==××=φ −
 
 
 
 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO )( SS εσ 
 
Os diagramas )( SS εσ na tração e na compressão 
são admitidos iguais. 
 
A. LAMINADO A QUENTE: 
 
Com patamar de escoamento. 
 
 
 
 
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B. ENCRUADO A FRIO 
 
Sem patamar de escoamento definido 
(exemplos: aço de protensão e aço CA-60). 
 
 
C. DIAGRAMAS IDEALIZADOS NA NBR 6118: AÇO DE ARMADURA PASSIVA 
 
 
fy = resistência ao escoamento da 
barra ensaiada. 
S
ky
dy
ff
γ
= 
s
dy
yd
s
ky
yk E
f
E
f
=ε=ε ; 
k indica valor característico, 
probabilidade de 5% de ser ultrapassado 
para o lado desfavorável. 
SSS E ε=σ (Lei de Hooke) 
 
‰48,2
15,1
‰86,2
;‰86,21086,2
10210
60060060
‰07,2
15,1
‰38,2
;‰38,21038,2
10210
50050050
3
3
3
3
====×=
×
=⇒=−
====×=
×
=⇒=−
εε
εε
−
−
−
−
s
dy
ydykky
s
dy
ydykky
E
f
MPafCA
E
f
MPafCA
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS AÇOS 
 
diagrama simplificado do ELU 
 
 
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Obs.: (C) alongamento em 10 φ ≈ εsuk 
*Fonte: NBR 7480/96 - Barras e Fios de Aço para Armadura de Concreto 
 
 
 
Observação: quanto maior a bitola da barra de aço melhor a aderência com o concreto. 
 
 
 
φ
φ−
=
−
=ε φ 10
102
1
12
10
l
l
ll
 
 
 
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Quanto maior a área sob a curva )( SS εσ até a 
ruptura, tanto mais dúctil é o aço e tanto mais dúctil 
pode ser a peça de CA. 
Na descarga antes da ou na ruptura, a parcela 
de deformação elástica é recuperada. 
Na descarga, igualmente, a parcela plástica é 
permanente ou irrecuperável. 
 
‰48,2
10210
522522
15,1
60060
‰07,2
10210
435435
15,1
50050
3
3
=
×
=⇒==−−
=
×
=⇒==−−
−
−
ε
ε
ydyd
ydyd
MPafCA
MPafCA
 
 
RETRAÇÃO E FLUÊNCIA DO CONCRETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NBR 6118: 2014, Tabela 8.2 - Valores característicos superiores da deformação específica 
de retração 
εεεεcs(t∞∞∞∞,t0) e do coeficiente de fluência ϕϕϕϕ(t∞∞∞∞,t0) 
Umidade média 
ambiente 
% 
40 55 75 90 
Espessura fictícia 
2Ac/u 
cm 
20 60 20 60 20 60 20 60 
εεεεelástica 
 
 
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ϕ(t
∞
,t0) 
Concreto 
das 
classes 
C20 a C45 
t0 
dias 
5 4,6 3,8 3,9 3,3 2,8 2,4 2,0 1,9 
30 3,4 3,0 2,9 2,6 2,2 2,0 1,6 1,5 
60 2,9 2,7 2,5 2,3 1,9 1,8 1,4 1,4 
ϕ(t
∞
,t0) 
Concreto 
das 
classes 
C50 a C90 
5 2,7 2,4 2,4 2,1 1,9 1,8 1,6 1,5 
30 2,0 1,8 1,7 1,6 1,4 1,3 1,1 1,1 
60 1,7 1,6 1,5 1,4 1,2 1,2 1,0 1,0 
εcs(t∞,t0) 
0/00 
5 − 0,53 − 0,47 − 0,48 − 0,43 − 0,36 − 0,32 − 0,18 − 0,15 
30 − 0,44 − 0,45 − 0,41 − 0,41 − 0,33 − 0,31 − 0,17 − 0,15 
60 − 0,39 − 0,43 − 0,36 − 0,40 − 0,30 − 0,31 − 0,17 − 0,15 
 
RETRAÇÃO DO CONCRETO 
Diminuição de volume da peca de concreto por perda de água não fixada quimicamente,ou seja, 
perda da água que não reagiu com o concreto. Corresponde a uma deformação de encurtamento em todas as 
direções do corpo de concreto. Se impedida, seja pela armadura ou pelos vínculos da peça, causa tração no 
concreto e mesmo fissuração. Os valores da deformação podem ser estimados pela Tabela 8.1 da NBR 6118. 
 
FATORES QUE INFLUEM 
- tipo de cimento e agregado; 
- relação água-cimento; 
- clima (umidade ambiente, temperatura); 
- dimensões das peças. 
A retração não depende da carga! 
 
A. GRÁFICO DA DEFORMAÇÃO NO CONCRETO POR RETRAÇÃO AO LONGO DO TEMPO 
 
ε shc, = deformação no concreto por retração. 
ε ∞,,shc = valor final da deformação de retração. 
 
 
FLUÊNCIA DO CONCRETO 
A fluência depende diretamente da intensidade da tensão permanente aplicada, e é inversamente 
proporcional ao módulo de elasticidade do concreto. Depende também dos fatores que influem na retração. 
 
 
 
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FLUÊNCIA PURA 
 
Ec = módulo de elasticidade do concreto 
0l∆ = encurtamento elástico instantâneo 
l
AEc
Gl
Ec
ll CC
.
0
00 ===∆
σ
ε 
Cl∆ = encurtamento do concreto por fluência 
Dividindo l∆ por l = deformação Cε 
0Cε = Deformação elástica instantânea 
=ε ϕc Deformação por fluência pura, isto é, sob 
tensão constante. 
 
( )ϕε
ε
ε
εεεε ϕϕ +=





+=+= 11)( 0
0
00 c
c
c
Cccc t 
ϕ = coeficiente de fluência = 
0
)(
c
ct
ε
εϕ ϕ= 
5,35,1 a≈ϕ (2 a 2,5 valores freqüentes) 
( )ϕ+σ=ε 1)( 0
Ec
t CC : deformação total na data t>t0 para fluência pura. 
Nas estruturas a carga permanente fica evidentemente constante, mas a tensão Cσ varia com o 
tempo (é decrescente com o tempo) � a fluência não é pura. Basta a simples presença da armadura para que 
a fluência não seja pura, i.e., não ocorra sob tensão constante, mesmo que a carga permaneça constante. Ver 
os exemplos 1 e 2 a seguir: o primeiro refere-se apenas à retração, o segundo refere-se ao efeito da carga 
permanente, ambos para um pilar isostático de concreto armado. 
 
 
A. DEFORMAÇÃO TOTAL DO CONCRETO NA DATA t (USUALMENTE ∞=t ) 
 
 
 
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( ) ( ) ( ) ( )0,00 ,8,011, ttEEtt shcc
C
c
C
C ε+ϕ+
σ∆
+ϕ+σ=ε 
Onde: 
( )ϕ+σ 10
c
C
E
 = deformação total por fluência pura, isto é, se Cσ fosse 
constante e igual a 0Cσ . 
( )ϕ+σ∆ 8,01
c
C
E
 = acréscimo de deformação por fluência sob variação de 
tensão Cσ∆ ao longo do tempo. Esta variação é decrescente com o tempo. 
shc,ε = retração. 
 
 
B. DEFORMAÇÃO TOTAL DO CONCRETO NA DATA 
∞
t 
Ação isolada da retração: 
 
( ) ( ) ( ) ( )0,00 ,8,011, ttEEtt shcc
C
c
C
C ε+ϕ+
σ∆
+ϕ+σ=ε
∞
 
( )ϕ+σ 10
c
C
E
 = 0 (zero), pois não há carga aplicada (G = 0 neste exemplo) 
 
No aço: 
- Deformação: 
s
S
S E
σ
=ε 
- Variação de deformação: 
s
S
S E
σ∆
=ε∆ 
 
As variações de encurtamentos do concreto e do aço são iguais, ( ) SCC tt ε∆=−ε=ε∆ ∞ 0, 0 : 
),()8,01(),()8,01( 0,0, ttEttEEE shcsCSshcsc
C
sS ∞∞ ε+ϕ+σ∆α=ε+ϕ+
σ∆
=σ∆ 
c
s
S E
E
=α = coeficiente de equivalência 
Por outro lado, a soma da variação de forcas no concreto e no aço é igual a zero: 
 
S
C
c
s
C
S
SsCc
A
A
AA
NsNc
ρ
σ∆
−=
σ∆
−=σ∆
=σ∆+σ∆
=∆+∆
0
0
 
Ac
As
S =ρ = taxa geométrica de armadura 
 
 
 
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C. ESPESSURA EQUIVALENTE 
Espessura equivalente = 
u
A02
 
Onde: 
u = perímetro em contato com a atmosfera. 
A0 = área da seção. 
 
 
- Espessura equivalente para toda peça em contato com o ambiente (seção retangular): 
 
 
( ) hb
bh
hb
bh
u
A
+
=
+
=
2
22 0
 
Para b >> h (laje): 
h
b
h
h
u
A
=
+
=
1
2 0
, ou seja, a espessura equivalente de uma laje com as duas faces em 
contato com o ambiente a é sua própria espessura. 
 
 
EXEMPLO 01 
 
Pilar curto sob retração (continuação do cálculo anterior): 350, 106,01060),( −−∞ ×−=×−=ε ttshc ; 
5,2),( 0 =ϕ ∞ tt . 
 
Solução: 
%273,202273,0
8800
2000
0,7
30
210
30000
210000
88002000300
20005004254
22
2
ou
Ac
As
MPaE
MPaE
mmAbhA
mmA
S
S
c
s
sc
s
===ρ
==α→



=
=
=−=−=
=×=φ=
 
Sabendo que 
S
C
S ρ
σ∆
−=σ∆
 
Logo: 
( ) ),(8,01 0, ttE shcsCS
S
C
∞
ε+ϕ+σ∆α=
ρ
σ∆
− 
( )
( )
( )
( )
!!94,1
5,28,0102273,071
10601021002273,0
8,011
,
5
30,
fissurarPodeconcretonotraçãoMPa
tt
E
C
SS
shc
sSC
→+=∆
×+××+
×−
×××−=
++
−=∆
−
∞
σ
ϕρα
ερσ
 
 
No aço: 
 
 
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( )2/85335,85
02273,0
94,1
cmKgfouMPa
S
C
S −−=−=ρ
σ∆
−=σ∆ � compressão no aço! 
Estes resultados mostram que sob a ação da retração, a peça encolhe, mas o concreto está 
tracionado. Quanto maior for a taxa geométrica da armadura, maior será a tração no concreto, o que pode 
levá-lo à fissuração, mesmo sem carga aplicada (exemplo: peças pré-moldadas com excesso de armadura). 
O impedimento à retração pode ocorrer pela ação dos vínculos da peça, ou por pela união de concretos de 
idade muito diferentes, p.ex, parede de concreto sobre uma sapata corrida. Se a parede for concretada 
muito tempo depois que a sapata, há uma retração diferencial dos dois elementos estruturais. Com isto a 
sapata impede a retração da parede e pode gerar fissuras verticais na parede. 
 
 
EXEMPLO 02 
 
Efeito da fluência do concreto (a retração agora é zero): G = -1530 kN (compressão); 
5,2),( 0 =ϕ ∞ tt 
 
Tensões iniciais logo após aplicação da carga permanente G: 
( ) ( )
( )[ ] 0
00
0000
1 CsS
CsSsCsSc
CsSCcSsCc
AbhG
AAbhAAG
AAAAG
σ−α+=
σα+−=σα+=
σα+σ=σ+σ=
 
Área ideal: ( ) sSi AAA 10 −α+= 
Área da peça: bhA =0 
( )
MPa
MPa
N
Ai
G
CSS
C
C
105157
15
200017300
101530
00
0
2
3
0
−=×−=σα=σ
−=σ
×−+
×−
==σ
 
� Tensões iniciais nos 
dois materiais, 
quando começa a 
fluência do concreto. 
 
( )
( )ϕ+αρ+
ϕσ
αρ−=σ∆ ∞
8,011
, 00
SS
C
SSC
tt
 
Variação de tensão no concreto: 
( ) MPaC 039,45,28,0102273,071
5,21502273,07 =





×+××+
×−
××−=σ∆ 
Tensão total no concreto: MPaMPaCCC 1196,10039,4150 −≈−=+−=σ∆+σ=σ � há perda 
da compressão de -15 para -11 MPa, ou aproximadamente 40% de queda. 
Variação de tensão no aço: 
)(7,177
02273,0
039,4
compressãodeaumentoMPa
S
C
S −=−=ρ
σ∆
−=σ∆ 
Tensão total no aço: MPaSSS 2837,1771050 −≅−−=σ∆+σ=σ 
Note-se que a compressão no aço quase triplica, neste exemplo, ao passo que o concreto tem um 
alívio de compressão da ordem 40%. Este resultado qualitativo pode ser transposto para as estruturas 
aporticadas. Assim, se no pórtico, após a aplicação de toda a carga (boa parte da qual é permanente) não 
houver ruptura pelo lado do concreto, então não mais haverá ruptura pelo concreto, a não ser que haja 
aumento posterior e imprevisto de carga. 
 
 
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COMPORTAMENTO CONJUNTODOS MATERIAIS AÇO E CONCRETO 
 
INTRODUÇÃO 
 
Características básicas do concreto armado (CA) � aderência entre concreto e aço! 
Na compressão e na tração antes de fissurar as deformações no concreto e no aço vizinho são iguais: 
SC ε=ε . 
Após a fissuração o aço alonga-se mais que o concreto. Por conseqüência há deslizamento do aço em 
relação ao concreto vizinho. A quantidade de deslizamento é igual à abertura da fissura! 
 
AÇÃO DA FORÇA NORMAL 
 
 
Como construir a curva força aplicada-deslocamento axial, 
?)( LF ∆ Ou seja, para cada L∆ crescente pergunta-se: qual é a 
força F correspondente? O presente exemplo refere-se a um 
ensaio em laboratório. 
Dados: 
Aço CA-50: 
fyk = 500 MPa 
Es = 200000 MPa 
‰ 2,5 
10200
500
3yk =×
==ε
s
ky
E
f
 
Área de aço: As = 4 φ 25 = 4x500 = 2000 mm² 
Concreto: 
coeficiente de variação: para vários corpos de prova %20=δ 
Resistência média: fcm = 30 MPa 
Resistência característica: 
( ) ( ) MPaff cmck 2020,0645,1130645,11 =×−×=δ−= 
(probabilidade de 5% de ocorrer fc ≤fck) 
Área de peça: 220 90000300 mmbhA === 
Área do concreto: Ac = A0 – As = 90000 – 2000 = 88000 mm² 
Lei dos materiais 
Aço 
 
Concreto em compressão 
 
 
 
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2
00
2 





ε
ε
−
ε
ε
=
σ
C
C
C
CC
fc 
(Neste exercício trabalha-se com valores absolutos) 
 
L∆ 
(mm) L
L
SC
∆
=ε=ε 
(‰) 
concreto aço 
F = Fc+Fs 
(kN) (MPa) 
CCC AF σ= 
(kN) 
 Sσ 
(Mpa) 
SSS AF σ= 
(kN) 
0 0 0 0 0 0 0 
0,5 0,5 13,125 1155 100 200 1355 
1 1 22,5 1980 200 400 2380 
1,5 1,5 28,125 2475 300 600 3075 
2 2 30 2640 400 800 3440 
2,5 2,5 28,125 2475 500 1000 3475 
3 3 22,5 1980 500 1000 2980 
3,5 3,5 13,125 1155 500 1000 2155 
4 4 0 0 500 1000 1000 
 
Gráfico F(∆L): 
 
 
1ª conclusão: embora a deformação correspondente a máxFc (ou seja, 2/1000) não coincida com 
aquela correspondente a máxF (que vale 2,5/1000) pode-se, em face da pequena diferença entre 3475 e 3440, 
obter a resistência do pilar pela soma das resistências das partes, isto é, 
kNfAfAF
kyscc
364010)5002000308800( 3 =××+×=+= − � 5% maior que 3475 kN 
=cc fA resistência da seção de concreto 
=
kys
fA resistência da seção de aço 
Cσ
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
∆L (mm)
F 
(kN
)
F Fc Fs
 
 
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2ª conclusão: o comportamento da curva F(∆L) é aproximadamente linear em boa parte do trecho 
ascendente da parábola. Como em serviço cc f5,0≤σ , a reta é uma aproximação muito boa da parábola. 
Logo, para o concreto em serviço vale a lei de Hooke: ccsc E ε=σ com Ecs = módulo de elasticidade secante. 
3ª conclusão: Para ?;124,0 =ε≅=σ ccc MPaf 
[ ]
MPaEEMPa
curvadaesquerdoladooknão
f
MPaf
fpondof
csci
c
c
c
c
c
c
c
cc
cc
c
c
c
c
c
c
cc
2550085,03000085,067,26666
1000
45,0
12
‰45,0‰2225,0
)!(225,0;)!(775,1
2
6,142
240,0
30
12
30;‰2
2;2
0
21
2
0
2
0
2
00
=×==≅≅=
=×=∴=
==→
−±
=
−===
==
−=∴=














−=
ε
σ
ελ
ε
ε
λλλ
λλσ
ε
λλσ
ε
ελ
ε
ε
ε
ε
σ
 
Da NBR: )!(255002600030560085,0560085,0 okMPaMPafE ccs ≈=××=×= ; no 
ensaio usa-se fc no lugar de fck (fck usa-se no projeto). 
 
Conclusão: os módulos de elasticidade tangente na origem (Eci) e secante (Ecs = 0,85Eci) 
correspondem respectivamente a: 
 
MPaEE
e
MPa
f
E
cics
c
c
ci
2550085,0
30000
1000
2
3022
0
==
=
×
==
ε
 
 
Estes valores no ensaio são aproximadamente os mesmos obtidos pela expressão da NBR 6118 se no 
lugar de fck for usado fc, mas no projeto usa-se os estabelecidos nessa norma. 
 
Em serviço o concreto comprimido pode ser calculado elasticamente (isto é, vale a lei de Hooke). 
ccsc E ε=σ 
No pilar: 
sscc AAF σ+σ= 
Para a força F = 1385 kN, quais são σ e ε nos materiais? (isto é o Estádio I) 
( ) sscs AAAF σ+σ−= 0 
Como vale a lei de Hooke para os 2 materiais, vem: 
sssccsc EeE ε=σε=σ 
Mas por aderência os encurtamentos dos 2 materiais são iguais, isto é, sc ε=ε . 
 
 
 
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( ) ( )
( )
( )[ ]
( )
iCCS
SSi
SSCCS
CS
S
S
s
CS
S
SCCS
cSsCCSSsssccsS
AEF
idealáreaAAA
AAEF
iaequivalêncdeecoeficient
E
E
A
E
EAAEF
EAEAAEAEAAF
ε
α
αε
α
ε
εεεε
=
=−+=
−+=
==






+−=
+−=+−=
1
1
0
0
0
00
 
 
No exemplo: 
( )
‰52,0
200000
105
3000085,0
4,13
1054,1384,7
4,13
3,103686
101385
27,1036862000184,7300
84,7
3085,0
200
3
22
==
×
=ε=ε
=×=σ
σα=σ=σ⇒
σ
=
σ
=
×
==σ
≈×−+=
=
×
=α
sc
s
csc
cs
s
s
cs
c
s
s
i
c
i
s
MPa
E
E
EE
MPa
A
F
mmA
 
Ver na Tabela anterior, para a deformação 0,5/1000, a carga vale 1355 kN. Estes valores são 
praticamente coincidentes com os calculados elasticamente (0,52/1000 e 1385 kN). 
 
 
PEÇA USADA COMO TIRANTE 
 
 
 
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Antes da fissuração os dois materiais trabalham em conjunto 
( SC ε=ε ). 
Resistência do concreto na tração axial: fct = 3 MPa 
Para tensões baixas usa-se 
MPafE
c
c
ci 30000002,0
3022
0
=×==
ε
 
Imediatamente antes da fissuração: 
Fcr = força de fissuração 
Área ideal, com: 
 
22 1013402000)167,6(300
67,6
30
200
mmA
E
E
i
ci
s
S
=×−+=
===α
 
 
mml
E
fl
confereOKkNF
kNAfAF
kNAfF
FFF
kNAfF
ci
ct
cr
cr
sctSsSs
cctcrc
scrccr
ictcr
10,01000
1030
3
!,30440264
40102000367,6)(
26410)2000300(3
304101013403
3
3
32
,
,
3
=×
×
==∆
=+=
=×××=⋅==
=×−×==
+=
=××==
−
−
−
ασ 
 
 
Imediatamente após a fissuração só o aço resiste a 
F. 
mml
l
l
E
MPaN
A
sejaoucolaboranãoconcretoo
AAaçonoTensão
kNFF
cr
cr
s
S
S
S
SSScr
C
SSCCcr
cr
76,01000
1000
76,0
‰76,0
10200
152
152
2000
10304
2000
0,,
304
3
3
=×=∆
∆
==
×
==
=
×
=
⋅==
=
+=→
==
σ
ε
σ
σσσ
σ
σσσ
 
Conclusão: na fissuração o alongamento do tirante 
salta de 0,10 mm para 0,76 mm. 
Outro valor notável da força F: início do 
escoamento da armadura: 
 
 
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mml
E
f
ll
kNF
fAFF
s
yk
syy
yksy
5,21000
1000
5,2
!1000max
105002000max 3
=×===∆
=∴
××=== −
ε
 
 
Gráfico )( lF ∆ na tração: 
 
 
Rigidez do tirante: 
- antes de fissurar: 
mkNmmN
l
AEAE sscic /1004,3/1004,3
1000
2000200000880030000 66 ×=×=×+×=
+
 
- após fissurar: a rigidez do tirante é a rigidez da seção metálica, pois Ac=0. 
( )anteriordomkN
l
AE ss %13/104,0
1000
2000200000 6×=×= 
 
Este é um aspecto muito negativo dos tirantes, a saber, a grande perda de rigidez axial na passagemdo Estádio I (sem fissuras) para o Estádio II (com fissuras). Isto pode ocorrer em estacas de concreto armado 
tracionadas, e é um problema a ser evitado, a menos que as tensões de tração sejam baixas e eventualmente 
temporárias (ação do vento), cerca de 3 a 4,5% de fck. 
Outro aspecto relacionado com os tirantes, na mencionada passagem dos Estádios I para o II, refere-
se à armadura mínima, examinada a seguir. 
 
 
 
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)(
200
500
2000254
3
20
30
30
2
ensaiodomédiovalor
GPaE
MPaf
mmA
MPaf
MPaf
MPaf
GPaE
s
yk
s
tc
ck
c
ic
=
=
=φ=
=
=
=
=
 
 
Na compressão e na tração antes de fissurar os dois materiais têm a mesma deformação: SC ε=ε . 
 
Antes de fissurar, e antes de haver escoamento tem-se o chamado 
Estádio I: 
Na tração, imediatamente antes de fissurar: 
ctsctccr fAfAF Sα+= 
Imediatamente após a fissuração: 
67,6==α
σ=
ic
s
S
sscr
E
E
AF
 
 
( )[ ]
!152
2000
10304
0304
30410367,6200038800
3
,
,
3
projetodecondiçãofMPa
AF
kNF
ykcrs
crsscr
cr
→<=
×
=σ
σ+==
=×××+×=
+
−
 
 
Condição de projeto: deve-se impor uma armadura mínima tal que 
não haja escoamento do aço na passagem do Estádio I para o Estádio II. 
 
 
 
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( )
( )
%62,0%2,2
:existenteteefetivameneentrefazsecomparaçãoaou
mm2000Amm559300
100
62,0AA
;Logo
%62,0
167,63500
3
:exemplodonúmerososcom
1ff
f
A
Af
fissuraçãoaapósologaçonotensão11f
:ApordivideeAsseisola
armaduradegeométricataxa
A
A
e
E
E
com
)f,(Af)AA(AF
min,ss
Smin,s
2
exist,s
22
0min,smin,s
min,s
Sictyk
ct
0
min,s
min,sykcr,s
Si
S
ctcr,s
0
0
s
S
ic
s
Si
ctSscts0cr,sscr
=>>=
=<=×==
=
−×−
=
−−
==⇒<
→





−+=
−
===
+−==
ρρ
ρρ
ρ
ρ
α
ρσ
α
ρ
σ
ρα
ασ
 
 
 
 
INTRODUÇÃO DA SEGURANÇA 
 
NOS MATERIAIS 
 
Há dois passos para impor a segurança: 
1º passo: consiste em obter o valor característico da resistência. 
Conhecidos cmf = valor médio da resistência à compressão de uma série de ensaios. 
 δ = coeficiente de variação das amostras ensaiadas. 
Obtém-se ckf = valor característico da resistência à compressão do concreto ao qual 
corresponde à probabilidade de 5% de ser ultrapassado para o lado desfavorável (isto 
é, para ↓ ). 
Se a distribuição for normal ( )δ−= 645,11cmck ff 
( ) MPafck 202,0645,1130 =×−×= 
2º passo: consiste em introduzir os coeficientes de segurança parciais: 
ticascaracterísasresistênciasdividem
CPouCAaçoopara
concretoopara
S
C



=→
=→
15,1)(
4,1
γ
γ
 
Para o concreto tem-se ainda o fator 0,85. 
 
Resistências de cálculo do ELU: 
MPafexemplonoffaço
MPafexemplonoffconcreto
yd
S
yk
yd
cd
C
ck
cd
435
15,1
500
:
14,12
4,1
2085,085,085,085,0:
===
=×==
γ
γ
 
 
 
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NAS CARGAS 
 
Faz-se o caminho em sentido oposto: 
1º passo: toma-se o valor característico superior da carga (ou o valor representativo): Fk 
2º passo: majora-se Fk pelo coeficiente de segurança parcial das cargas fγ (=1,4 em geral): 
kfd FF γ= 
Condições de segurança: o esforço solicitante de cálculo Fd,S (onde S = solicitante) deve ser menor 
ou igual ao esforço resistente de cálculo Fd,R (onde R = resistente): RdSd FF ,, ≤ 
Na compressão simples: 
( )
)5,2rupturapara"distância("kN1385
4,1
6,1938FkN6,1938FF
kN6,19381020004358800014,12F
AfAf85,0F
kkfS,d
3
R,d
sydccdR,d
==≤⇒≤=
=××+×=
+=
−
γ
 
Na tração axial (o concreto é desconsiderado): 
( )
rupturapara"distância"61,115,14,1
15,1
fA
F4,1F
kN621
4,1
870FkN870FF
kN8701020004350F
Af0F
S
yks
kR,d
kkfS,d
3
R,d
sydR,d
==×→
=
≤=
=≤⇒≤=
=××+=
+=
−
γ
γ 
 
 
ESTÁDIOS I, II E III NA FLEXÃO SIMPLES 
 
No CA (concreto armado) e no CP (concreto protendido) há três fases distintas de comportamento, 
conforme haja ou não dois fenômenos: fissuração do concreto e plastificação dos materiais. O Estádio I 
caracteriza-se pela ausência de fissuração e de plastificação dos materiais, enquanto o Estádio II é 
caracterizado pela fissuração, mas os materiais ainda podem ser considerados elásticos (Notar que o concreto 
só trabalha à compressão, na seção transversal, a tração é desconsiderada por facilidade de cálculo e por ter 
pouca influência). A plastificação aparece no Estádio III, com fissuras (vigas e lajes) ou sem fissuras 
(pilares). Ver nos diagramas tensão-deformação dos materiais, dados a seguir, o trecho plastificado.