CG aula08 revisao matrizes

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UVA Apostila de Computação Gráfica II - prof. Carlos Frederico Motta pág.3 
 
 
Capítulo 2 – Revisão de Matrizes 
 
2.1 - Matrizes em Computação Gráfica 
 
Todas as transformações geométricas podem ser representadas na forma de equações e operações de 
aritmética simples como somas e multiplicações. Matrizes e vetores são mais indicados para serem utilizados 
nestas transformações pois a estrutura matricial é parecida o modelo organizacional de memória e as 
estruturas de armazenamento da dados dos computadores. Estas características facilitam a programação, 
permitindo otimização do código e algoritmos, melhorando a performance de aplicações gráficas como jogos, 
renderizações, animações, realidade virtual, etc. 
 
O padrão de coordenadas usualmente adotado para representação de pontos no plano R2 (x,y) e espaço R3 
(x,y,z), leva à manipulação de dados com matrizes quadradas de dimensões 2x2 ou 3x3 respectivamente. 
 
2.2 - Pontos, Vetores e Matrizes: 
 
A dimensão de uma matriz é dada pela relação entre seu número de linhas pelo número de colunas, isto é: 
 
A seguinte matriz possui dimensão (2 x 3) pois possui 2 linhas por 3 colunas 
 
M2 x 3 = 
 
 
 
Um ponto P no espaço R2 pode ser representado por uma matriz de dimensão 2 x 1 denominada matriz 
coluna ou vetor coluna ou por uma matriz de dimensão 1 x 2) denominada matriz linha ou vetor linha: 
 
P2 x 1 = P1 x 2 = 
 
 
De forma similar, um ponto Q no espaço R3 pode ser representado por uma matriz de dimensão 3 x 1 ou por 
uma matriz de dimensão 1 x 3: 
 
 Q3,1 = Q1,3 = 
 
 
O endereçamento dos elementos de uma matriz normalmente é dado pelos índices (i , j) ondeo primeiro valor 
é o número da linha e o segundo é o número da coluna onde está o elemento. 
 
Por exemplo, na matriz M2x3 = 
 
 
O elemento m1,1 é o número -1 
O elemento m1,3 é a letra a 
O elemento m2,2 é o número ½ 
O elemento m2,3 é o número √√√√2 
 
O elementos de uma matriz qualquer A de ordem n x m podem ser representados da seguinte forma: 
 
An x m = 
 
 
 
 
 
1 -1 a 
0 ½ √√√√2 
x 
y 
x y 
 
x 
y 
z 
x y z 
 
1 -1 a 
0 ½ √√√√2 
a11 a12 a13 ... a1m 
a21 a22 a23 ... a2m 
a31 a32 a33 ... a3m 
. . 
. . 
an1 an2 an3 ... anm 
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2.3 - Matrizes Especiais 
 
- Se uma matriz possui o número de linhas igual ao número de colunas ( n = m ) é denominda matriz 
quadrada. 
- Se em uma matriz quadrada apenas os elementos da diagonal principal (a i , j ,onde i = j ) são diferentes 
de zero, é denominada matriz diagonal. 
- Se em uma matriz diagonal todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 (um), é denominada 
matriz identidade. 
- Se todos os elementos da matriz são iguais a zero é denominada matriz nula. 
 
2.4 - Matriz Transposta 
 
A transposta de um vetor ou matriz é o vetor ou matriz resultante da troca dos valores de suas linhas e 
colunas, isto é, invertendo a ordem dos índices das linhas e colunas (a i , j → aT j , i ) 
 
M2x3 = MT3x2= 
 
 
 
2.5 - Determinante de uma matriz 
 
Determinante é um escalar associado a uma matriz quadrada. 
 
2.5.1 - Determinante de primeira ordem 
 
 Dada uma matriz quadrada de primeira ordem A=[a i j ] chamamos de determinante associado à matriz A o 
número real a i j 
 
2.5.2 - Determinante de segunda ordem 
 
 Dada uma matriz de segunda ordem A2x2, o determinante associado a essa matriz é dado pelo produto dos 
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. 
 
A2x2 = 
 
 
 
det A2x2 = = a11 . a22 - a12 . a21 
 
 
2.5.3 - Determinante de terceira ordem: Regra de Sarrus 
 
Dada uma matriz de terceira ordem A3x3, o determinante é dado pela seguinte regra: 
 
A3x3 = 
 
 
 
1°) repetimos as duas primeiras coluna ao lado da última 
 
 
 
 
 
1 -1 a 
0 ½ √√√√2 
1 -0 
-1 ½ 
a √√√√2 
a11 a12 
a21 a22 
a11 a12 
a21 a22 
a11 a12 a13 
a21 a22 a23 
a31 a32 a33 
a11 a12 a13 a11 a12 
a21 a22 a23 a21 a22 
a31 a32 a33 a31 a32 
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2°) Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela 
multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal com 3 elementos. 
 
 
 
 
 
 
3°) Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela 
multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal com 3 elementos. 
 
 
 
 
 
 
4°) Realizamos a diferença entre os dois resultados. 
 
det A3x3 = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 .+ a13 . a21 . a32 - a13 . a22 . a31 - a11 . a23 . a32 .- a12 . a21 . a32 
 
2.5.4 - Menor Complementar 
 
Chamamos menor complementar relativo ao elemento a i j de uma matriz quadrada A, o determinante Aij 
associado a matriz obtida a partir de A, quando suprimos a linha i e a coluna j. 
Dada uma matriz A3x3, o menor complementar A23: 
 
A3x3 = 
 
 
 
 
A23 = = a11 . a32 - a31 . a12 
 
 
2.5.5 - Teorema de Laplace 
 
O determinante de uma matriz quadrada Anxn (n ≥ 2) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos 
de uma fila qualquer(linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos cofatores. 
 
2.5.6 - Propriedades dos Determinantes 
 
• det A = det At 
• Seja A uma matriz, contendo uma coluna (ou linha) onde todos os elementos são iguais a zero. 
Então, det A = 0. 
• Seja A uma matriz, contendo duas linhas(ou duas colunas) paralelas iguais. Então, det A = 0. 
• Se na matriz A duas linhas (ou duas colunas) têm seus elementos correspondentes proporcionais, o 
determinante é nulo. 
• O determinante de uma matriz diagonal A (superior ou inferior) é igual ao termo principal, isto é, é 
igual ao produto dos elementos da diagonal principal. 
• Quando trocamos as posições de duas filas paralelas (linhas ou colunas), o determinante muda de 
sinal. 
• Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então: det (A . B) = det A . det B 
• Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de uma linha ou de uma coluna da 
matriz A, o determinante fica multiplicado por esse número. 
 
a11 a12 a13 a11 a12 
a21 a22 a23 a21 a22 
a31 a32 a33 a31 a32 
a11 a12 a13 a11 a12 
a21 a22 a23 a21 a22 
a31 a32 a33 a31 a32 
a11 a12 a13 
a21 a22 a23 
a31 a32 a33 
a11 a12 
a31 a32 
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2.6 - Aritmética de Matrizes 
 
2.6.1 - Soma e Subtração 
 
A soma (ou subtração) de matrizes só é possível entre objetos de mesma dimensão. Esta operação é feita 
somando-se ou subtraindo-se os elementos situados nas mesmas posições nas matrizes A soma , como no 
exemplo: 
 
M2 x 3 + N2 x 3 = O2 x 3 
 
M2 x 3 + P2 x 1 = Não é possível 
 
 
 + = 
 
 
 
2.6.2 – Multiplicação por escalar 
 
A multiplicação de uma matriz por valor constante (ou um número escalar) sempre é possível, bastando 
multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar: 
 
½ . = 
 
 
2.6.3 – Multiplicação entre matrizes 
 
A multiplição entre duas matrizes (A . B) somente épossível se atender aos seguintes requisitos: 
- O nº de colunas da primeira matriz (A) deve ser igual ao nº de linhas da segunda matriz (B). 
- A matriz resultado (C) possui dimensão igual ao nº de linhas da primeira pelo nº de colunas da segunda. 
 
Ex: An x m . B m x p = C n x p 
 
- A multiplicação é realizada da seguinte forma: o valor de cada elemento da matriz resultante é dado pela 
soma dos produtos dos elementos das linhas da primeira pelos elementos da coluna da segunda, seguindo 
a mesma ordenação, como mostrado a seguir: 
- 
 
An x m = Bm x p = Cn x p = 
 
 
 
 
 
Onde 
c1,1 = a1,1 . b1,1 + a1,2 . b2,1 + ... + a1,m . bm,1 c1,2 = a1,1 . b1,2 + a1,2 . b2,2 + ... + a1,m . bm,2 
c1,p = a1,1 . b1,p + a1,2 . b2,p + ... + a1,m . bm,p c2,1 = a2,1 . b1,1 + a2,2 . b2,1 + ... + a2,m . bm,1 
c2,2 = a2,1 . b1,2 + a2,2 . b2,2 + ... + a2,m . bm,2 c2,p = a2,1 . b1,p + a2,2 . b2,p + ... + a2,m . bm,p 
cn,1 = an,1 . b1,1 + an,2 . b2,1 + ... + an,m . bm,1 cn,2 = an,1 . b1,2 + an,2 . b2,2 + ... + an,m . bm,2 
cn,p = an,1 . b1,p + an,2 . b2,p + ... + an,m . bm,p 
 
Ex: 
 
 . = = 
 
 
1 -2 4 
0 ½ √√√√2 
½ -1 2 
0 ¼ √√√√2/2 
a1,1 a1,2 ... a1,m 
a2,1 a2,2 ... a2,m 
. . 
. . 
an,1 an,2 ... an,m 
b1,1 b1,2 ... b1,p 
b2,1 b2,2 ... b2,p 
. . 
. . 
bm,1 bm,2 ... bm, p 
c1,1 c1,2 ... c1,p 
c2,1 c2,2 ... c2,p 
. . 
. . 
cn,1 cn,2 ... cn,p 
1 2 
3 4 
2 1 
0 -1 
1 x 2 + 2 x 0 1 x 1 + 2 x -1 
3 x 2 + 4 x 0 3 x 1 + 4 x -1 
2 -1 
6 -1 
1 0 
2 1 
3 2 
-1 2 
 0 -2 
 3 ½ 
0 2 
2 -1 
6 5/2 
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2.7 – Matriz Inversa 
 
2.7.1 - Cofator 
Lembrando que menor complementar relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada A, o determinante 
Aij associado a matriz obtida a partir de A, quando suprimos a linha i e a coluna j. 
Chamamos de cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada, o número Cij tal que: 
 
Cij = (-1) i+j . Aij 
onde Aij é o menor complementar do elemento aij 
 
2.7.2 - Matriz dos Cofatores 
 
Em uma matriz dos cofatores cada elemento aij é trocado pelo seu cofator Cij 
 
2.7.3 - Matriz Adjunta 
 
É a transposta da matriz dos cofatores - Adj A . 
 
2.7.4 - Cálculo da Matriz Inversa 
 
Dada A uma matriz quadrada, a inversa de A é dada por A-1 tal que A . A-1 = A-1. A = I. 
Para que uma matriz A admita tenha inversa, é necessário que seja uma matriz quadrada e que seu 
determinante seja não nulo. 
 
Representando a matriz quadrada Anxn por 
 
An x n = 
 
 
 
 
 
 a matriz inversa da uma matriz A-1nxn por: 
 
A-1n x n = 
 
 
 
 
 
e a matriz identidade I por, 
 
 
I = 
 
 
 
 
 
Sabendo-se os valores dos elementos aij da matriz A , pode-se obter os valores dos elementos xij da matriz 
A-1, resolvendo-se os sistemas que surgem da seguinte equação matricial: 
 
a11 a12 a13 ... a1n 
a21 a22 a23 ... a2n 
a31 a32 a33 ... a3n 
. . 
. . 
an1 an2 an3 ... ann 
x11 x12 x13 ... x1n 
x21 x22 x23 ... x2n 
x31 x32 x33 ... x3n 
. . 
. . 
xn1 xn2 xn3 ... xnn 
1 0 0 ... 0 
0 1 0 ... 0 
0 0 1 ... 0 
. . 
. . 
0 0 0 ... 1 
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An x n = = 
 
 
 
 
 
 
 
A Matriz inversa poderá ser obtida de diversas formas entre estas pode-se utilizar a forma a seguir: 
 
A-1 = (1 / det A) . Adj A 
 
onde detA é o determinante da matriz A considerada e Adj A é a matriz adjunta. 
 
2.7.5 - Matriz Inversa em Computação Gráfica 
 
Se uma matriz quadrada An x n possui matriz inversa A-1n x n, então a operação de multiplicação A . A-1 = I , 
onde I é a matriz identidade. 
 
Dessa forma, se uma matriz quadrada An x n representar uma transformação geométrica, sua inversa A-1n x n 
pode ser definida como a transformação geométrica inversa. Ou seja, a matriz de transformação A-1 desfaz as 
transformações representadas pela matriz A, retornando os pontos às suas coordenadas originais. 
 
Exemplo: 
 
 
A = = aumento de escala de 2 vezes em x, y, z 
 
 
 
 
 
A-1 = = redução de escala de 2 vezes em x, y, z 
 
 
 
 
 
A . A-1 = I = 
 
 
 
 
 
a11 a12 a13 ... a1n 
a21 a22 a23 ... a2n 
a31 a32 a33 ... a3n 
. . 
. . 
an1 an2 an3 ... ann 
x11 x12 x13 ... x1n 
x21 x22 x23 ... x2n 
x31 x32 x33 ... x3n 
. . 
. . 
xn1 xn2 xn3 ... xnn 
1 0 0 ... 0 
0 1 0 ... 0 
0 0 1 ... 0 
. . 
. . 
0 0 0 ... 1 
2 0 0 
0 2 0 
0 0 2 
½ 0 0 
0 ½ 0 
0 0 ½ 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1