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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 2 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 1 PRODUTO DE VETORES PRODUTO ESCALAR 1) Sendo u = ( 2,3,1) e v = ( 1,4, 5) . Calcular: a) u v b) ( u – v ) c)( u + v ) 2 d) (3 u – 2 v ) 2 e) (2 u -3v )(u +2v ) 2)Sendo a =(2,–1,1), b =(1,–2,–2) e c =(1,1,–1). Calcular um vetor v =(x,y,z), tal que v a = 4, v b = –9 e v c = 5 3)Sejam os vetores a =(1,–m,–3), b =(m+3,4–m,1)e c =(m,–2,7). Determinar m para que a b =( a + b ) c . 4) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). 5) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual? b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores AC e BD . . 6) Os vetores u e v formam um ângulo de 60 0. Sabe-se que u =8 e v =5, calcule: a) u +v b) u – v c) 2u +3 v d) 4u – 5 v 7) Os vetores a e b formam um ângulo de 1500, sabe-se que a = 3 e que b = 2 , Calcule: a) a + b b) a – b c) 3 a +2 b d) 5 a – 4 b 8) Determinar o valor de x para que os vetores 1v = x i –2 j +3k e 2v =2 i – j +2k , sejam ortogonais 9) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores a =(2,6,–1) e b =(0,–2,1). 10) Dados a =(2,1,–3) e b =(1,–2,1), determinar o vetor v a , v b e v = 5. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 2 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 2 11) Dados dois vetores a =(3,–1,5) e b =(1,2,–3), achar um vetor x , sabendo-se que ele é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: x a =9, e x b =–4. 12) Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar: R 13)Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos agudos de um triângulo retângulo isósceles. 14)Um vetor v forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que v = 3. 15)Um vetor unitário v forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de v . 16) O vetor 2,1,1v forma um ângulo de 600 com o vetor BA , onde A (0,3,4) e B(m, 1,2). Calcular o valor de m. 17)Os vetores a e b formam um ângulo = 6 , calcular o ângulo entre os vetores p =a +b e q = a – b , sabendo que a = 3 e b = 1. 18) Dados u =(2,–3,–6) e v =3 i –4 j –4 k , determine: a) a projeção algébrica de v sobre u ( norma do vetor projeção de v sobre u ); b) 0 vetor projeção de v sobre u . 19)Decomponha o vetor v =(–1,2,–3) em dois vetores a e b , tais que a w e b w , com w =(2,1,–1). cubo. do diagonais duas por formado agudo ângulo h)o aresta; uma e cubo do diagonal a entre agudo ângulo o)g OGABEDf) OBOE)c CGEGe) ODOA)b OG e OBd) OCOA)a Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 2 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 3 20)São dados os vetores 1v = (1,1,1), 2v =(–1,2,3) e 3v =(26,6,8). Decompor o vetor 3v em dois vetores x e y ortogonais entre si, sendo x simultaneamente ortogonal a 1v e a 2v . 21)São dados 1v =(3,2,2) e 2v =(18,–22,–5), determine um vetor v , que seja ortogonal à 1v e a 2v , tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que v =28. 22)Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as coordenadas do vetor HM , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. PRODUTO VETORIAL 23) Dados os vetores u =( –1,3,2),v =(1,5,–2) e w =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores: a) u v b) v w c) v (u w ) d) ( v u ) w e)(u +v )(u +w ) f) ( u –w )w 24)Determinar o vetor x , paralelo ao vetor ao vetor w =(2,–3,0) e tal que x u =v , onde u =(1,–1,0) e v =(0,0,2). 25) Determinar o vetor v , sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao vetor b =(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; 10)k7j2i(v . 26)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que wvu ,sendo )1,1,1(u e )1,1,2(w . 27) Dados os vetores 1v =(0,1,1), 2v =(2,0,0) e 3v =(0,2,3).Determine um vetor v , tal que v // 3v e v 1v = 2v . 28)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 1v =(–1,–1,0) e 2v =(0,–1–1). Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 2 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 4 29) Ache u tal que u = 33 e u é ortogonal a v =(2,3,1) e a w =(2,4,6). Dos u encontrados, qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0). 30)São dados os vetores 1v = (1,1,1), 2v =(–1,2,3) e 3v =(26,6,8). Decompor o vetor 3v em dois vetores x e y ortogonais entre si, sendo x simultaneamente ortogonal a 1v e a 2v . 31) Dado o vetor 1v =(3,0,1).Determine o vetor v =(x,y,z), sabendo-se que v é ortogonal ao eixo OX, que v 1v = 146 , e que v 1v =4. 32) São dados 1v =(3,2,2) e 2v =(18,–22,–5), determine um vetor v , que seja ortogonal à 1v e a 2v ,tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que v =28. 33)Sendo 1v =(–2,1,–1) e 2v =(0,y,z), calcule y e z de modo que 1v 2v = 4 3 e que o vetor v = 1v 2v faça ângulos congruentes com os eixos OX e OY. 34) Resolva os sistemas abaixo: a) 2)kj2i4(x 0)kj3i2(x 2)ki2(v k8i8)kj2i(v )b k3j2i3)0,3,2(v 2)2,1,3(v )c 35) Dados os vetores u =(1,1,1) e v =(2,3,4), calcular: a) A área do paralelogramo de determinado por u e v ; b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u . 36)Dados os vetores u =(2,1,1) e v =(1,1,), calcular o valor de para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a 62 u.a.(unidades de área). 37) A área de um triângulo ABC é igual a 6 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C. 38)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0). Determine a altura relativa ao lado BC. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 2 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 5 39) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor BA sobre o vetor BC , onde A (5,1,3), B(3,9,3) e C(1,1,2). 40) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e N(0,–1,3). PRODUTO MISTO 41)Qual é o valor de x para que os vetores a =(3,–x,–2), b =(3,2,x) e c =(1,–3,1) sejam coplanares. 42)Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k) sejam vértices de uma mesma face de um poliedro. 43)Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u = 2 i – j +k e v = i – j e w =x i + j –3k , seja unitário. 44)Sejam os vetores u =(1,1,0), v =(2,0,1) e v2u3w1 , v3uw 2 e k2jiw3 . Determinar o volume do paralelepípedo definido por 1w , 2w e 3w . 45)Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY. 46)São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AC,AB e AD . 47)Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,1). 48)Sendo u =(1,1,0), v =(2,1,3) e w =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o volume do tetraedro ABCD, onde B=A+ u . C=A+ v e D=A+ w . 49)Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0). Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 2 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 6 50)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) , B(1,1,–3) e C(–1,–3,0). 51)Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule: a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 uv; b)a área e o perímetro da face NMQ; c)os ângulos internos da face MNQ; d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ. 52)A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada OABC em que as coordenadas são O(0,0,0), B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos demais, determine: a) as coordenadas do vértice D; b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é igual a 72 u.v. 53)São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D, tal que DO , AO BO e AO CO sejam coplanares, DO BO = –28 e que o volume do tetraedro OABD seja igual a 14. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 2 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 7 RESPOSTAS RESP 1: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 RESP 2: v =(3,4,2) RESP 3: m=2 RESP 4: –1 ou 5 13 RESP 5: a) Paralelogramo b) 22,4463102 21 21 arccos 0 . RESP 6: a) 129 b)7 c) 721 d) 849 RESP 7: a) 235 b) 235 c) 21835 d) 260107 RESP 8: x = –4 RESP 9: 3 2 , 3 1 , 3 2 c RESP 10: 1 ,1 ,1 3 35 v RESP 11: x =(2,–3,0) 12) Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar: RESP 12: a) 0 b) 0 c) 0 d) 3a e 2a e) a2 f) 333 a,a,a g) 4454 3 3 cos arc 0 h) 1370 3 1 cos arc 0 RESP 13: =arc cos 5 4 , 360 52'11,6'' RESP 14: 1,1,13v . RESP 15: 4 6 , 4 6 , 2 1 v ou 4 6 , 4 6 , 2 1 RESP 16: m=–34 ou m=2 RESP 17: cos= 7 72 ,40 053'36,2'' RESP 18: a)6 b) 6,3,2 7 6 RESP 19: 2 1 , 2 1 ,1a e 2 5 , 2 3 , 2b RESP 20: x =(1,–4,3) e y =(25,10,5) Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 2 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 8 RESP 21: v =(–8,–12,24) RESP 22: HM =(2,2,1) RESP 23: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64) f)(–3,–13,18) RESP 24: x =(4.–6,0) RESP 25: 1,5,7v RESP 26: v =(1,0,1) RESP 27: v =(0,4,6) RESP 28: 1,1,1 3 1 RESP 29: 3,3,3u RESP 30: x =(1,–4,3) e y =(25,10,5) RESP 31: )4 6, ,0(v RESP 32: v =(–8,–12,24) RESP 33: (0,2,2) RESP 34: a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1) RESP 35: a)A= .a.u6 b) .c.u2h RESP 36: =3 RESP 37: (0,3,0) ou 0, 5 1 ,0 RESP 38: .c.u 7 353 h RESP 39: ua 9 2128 A RESP 40: d= 7 353 u.c. RESP 41: x=14 ou x=–2 RESP 42: k=– 1 RESP 43: x=–5 ou x= –3 RESP 44: V=44 u.v. RESP 45: D (0,–7,0) ou D(0,8,0) RESP 46: m=6 ou m=2 RESP 47: (–1,0,0) ou 0,0, 3 1 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 2 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 9 RESP 48: S= ua 2 19 ,V= uv 6 5 RESP 49: .c.u 11 64 h RESP 50: 58 1745 u.c. RESP51: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S= 33 u.a., 2p= 12363 u.c. c)=300, =900, =600 d) 33 1 u.c. RESP 52: a)D(–4,4,2) b) V(–2, –1,7) RESP 53: D(0,0,–28) ou D(12,24,8) PRODUTO DE VETORES PRODUTO ESCALAR PRODUTO VETORIAL PRODUTO MISTO
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