Matemática para Negócios A6

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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
Aula 2: LIMITES 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
Conteúdo desta Aula 
AULA 2: LIMITES 
1. Limites de Funções; 
2. Continuidade de uma Função; 
3. Análise Gráfica de Limites; 
4. Como Calcular Limites; 
5. Limites Envolvendo Infinito. 
AULA 2: LIMITES 
Limite de Funções 
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significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x suficientemente 
próximo de c. Quando tal acontece dizemos que "o limite de f(x), à medida que x se aproxima de c, 
é L". Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira mesmo quando ou quando a função 
sequer está definida em c. 
Consideremos à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e 
é igual ao seu limite: 0.4, vejamos: 
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Limite de Funções 
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f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1) 
0.4121 0.4012 0.4001 0.4 0.3998 0.3988 0.3882 
À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e consequentemente 
temos a igualdade 
Sempre que se verifique a igualdade , diz-se que f é contínua em x = c. 
 
A igualdade não é válida para todas as funções. Vejamos uma função onde tal não acontece: 
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Continuidade de uma função 
O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas 
e consequentemente g não é contínua em x = 2. 
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Continuidade de uma função 
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Assim, o conceito de continuidade de uma função em um ponto de seu domínio pode ser colocado 
na forma de uma definição precisa: 
 
Definição: f é contínua em um ponto a de seu domínio quando . Quando f é 
contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é contínua. 
 
Observamos que para questionarmos se uma dada função é contínua em determinado ponto, 
precisamos tomar o cuidado de verificar se esse ponto pertence ao domínio da função. Se tal ponto 
não está no domínio, a função não é contínua nesse ponto. 
Assim, é uma função contínua em todos os pontos de seu domínio , porém não é 
contínua no conjunto R, pois não é contínua em x=0, uma vez que não está definida nesse ponto. 
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Continuidade de uma função 
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Análise Gráfica de limites 
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Análise Gráfica de limites 
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Análise Gráfica de limites 
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Análise Gráfica de limites 
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Análise Gráfica de limites 
Determinar o limite da função f(x) = x² – 5x + 3, quando x tende a 4. 
Nesse caso, devemos aplicar a seguinte regra: o limite das somas é a soma dos limites. 
Portanto, devemos determinar o limite de cada monômio e depois realizar a soma entre eles. 
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Como calcular limites 
Exemplo 2: 
 
Calcular o limite da função, quando x tende a –2. 
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Como calcular limites 
Se f(x) é uma função real, então o limite de f em x aproximando-se do infinito é L, denotado 
 
se e somente se para todo existe S > 0 tal que sempre x > S 
Similarmente, o limite de f em x aproximando-se do infinito negativo é L, 
denotado 
se e somente se para todo existe S < 0 tal que sempre x < S. 
Por exemplo 
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Limites envolvendo infinito 
 
 
Outro exemplo: Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos analisar o comportamento numérico 
desta função pelas tabelas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Quando x -> 0, por valores maiores que zero (x -> 0+) os valores da função crescem sem limite. 
 
 
 
Comportamento de f à esquerda de x=0 
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 
f(x) -1 -10 -100 -1000 -10000 
Comportamento de f à direita de x=0 
x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 
f(x) 1 10 100 1000 10000 
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Limites envolvendo infinito 
Quando x -> 0, por valores menores que zero (x-> 0_) os valores da função decrescem sem limite. 
 
Observamos que próximo de x=0, o comportamento da função é estranho. 
 
 
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Limites envolvendo infinito 
Analisaremos agora o comportamento de h(x)=1/x, quando x cresce arbitrariamente (x ) ou 
quando x decresce arbitrariamente (x - ). 
Comportamento de h para x pequenos 
x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000 
h(x) -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 
Comportamento de h de h para x grandes 
x 1 10 100 1000 10000 100000 
h(x) 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 
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Limites envolvendo infinito 
Pelas tabelas observamos que: 
 
Limx + h(x) = 0 
Limx - h(x) = 0 
e quando construimos o gráfico de h, observamos que existe uma reta (assíntota) horizontal que é a 
reta y=0, que nunca toca a função, mas se aproxima dela em + e em - . 
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Limites envolvendo infinito 
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Limites envolvendo infinito 
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Introdução à Derivada; 
 
O Coeficiente Angular; 
 
Interpretação Gráfica da Derivada.