Questao de recorrencia

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Questão de recorrência: 
Mostre que 1 1 5 1 1 5
2 25 5
n n
    
      
   
 é um número inteiro e positivo. 
Sol: 
Seja a sequência de fibonacci
 0,1,1,2,3,5,8,13,...nf 
 
1 2
0 10, 1
n n nf f f
f f
  

 
 
A equação característica dessa relação de recorrência é : 
2 1  
 
1 1 2
3 2
7
7
n n n nf f f f
  
    

  
 ??? 
Cuja solução é: 
1
1 5
2



 e 
2
1 5
2



 
Como as raízes são distintas então: 
1 2
1 5 1 5
2 2
n n
nf A A
    
       
   
 
Quais são os passos intermediários? 
1 2
1 5 1 5
2 2
n n
nf A A
    
       
   
 

/ 0p n 
 
0
0 1 2 1 2
1 5 1 5
2 2
o
f A A A A
    
          
   
 
Como 
0 0f 
 então 
1 2 0A A 
 

/ 1p n 
 
   1 1 1 2
1 2 1 2
1 5 1 51 5 1 5 1 5 1 5
2 2 2 2 2 2
A A
A A A A
           
                  
       
 
       1 2 1 2
1 1 2 2
1 5 1 5 1 5 1 5 5 5
2 2 2 2
A A A A A A A A       
  
 
Porque dessas 
equações? 
Como chegar a 
elas? E onde 
elas foram 
usadas abaixo? 
   1 2 1 21 1 2 2 1 2 1 2 55 5 5 5 1
2 2 2
A A A AA A A A A A A A        
  
 
Usando o fato de que 
1 2 0A A 
 então temos que 
 
 
 
 
1 2
1 2
1 2
5
1
2
5 2
2
5
A A
A A
A A


 
 
 
Isso gera um novo sistema linear 
1 2
1 2
0
2
5
A A
A A
 


 

 
Agora, resolvendo o sistema temos: 
Somando as equações do sistema acima temos 
   1 2 1 2
1
1
1
2
0
5
2
2
5
2 1
25
1
5
A A A A
A
A
A
    

 

 
Se 
1 2 0A A 
então 
2
2
5
A  
 
 
 
 
0 1 2
1 1 2
0 0 0
1 5 1 5
1 1 1
2 2
n f A A
n f A A
     
    
           
   
 
 1 2
1
5
A A
 
O fato de achar os valores de 
1A
 e 
2A
 é suficiente para determinar que a equação de 
Fibonacci 1 1 5 1 1 5
2 25 5
n n     
            
resulta em um número inteiro e positivo?