Exemplos ligações de madeira

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA 
 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS SOBRE LIGAÇÕES ENTRE PEÇAS 
ESTRUTURAIS DE MADEIRA 
 
 
 
 
 
 
Prof. Francisco A. Romero Gesualdo 
 
 
 
Exemplos resolvidos de ligações em Estruturas de Madeira - Francisco A. R. Gesualdo – FECIV - UFU 1
EXERCÍCIO 1 
A Figura 1 é a referência para a solução do problema. Dimensione a ligação do nó B 
(por parafusos de aço) e a do nó D (entalhe – por contato). A força F aplicada sobre o nó 
D é resultante de três ações diferentes agindo de cima para baixo: a) permanente de 
grande variabilidade igual a 2,8 kN (inclui todas as contribuições permanentes); b) 
sobrecarga de 1,2 kN; c) vento de 0,8 kN. A força F atua no encontro dos eixos das 
barras BD e CD. As distâncias indicadas na Figura 1 sempre se referem aos encontros 
dos eixos das barras. A madeira de todas as peças é Dicotiledônea C40. O trecho ABC é 
formado por duas peças retangulares de (8×20) cm espaçadas de 6 cm. As barras BD e 
CD são formadas por uma peça de (6×16) cm Como modelo de cálculo, considere que 
as extremidades das barras BD e CD são perfeitamente articuladas, conforme mostrado 
na Figura 1b. O dente na barra BD é perpendicular ao eixo da mesma. Adote parafusos 
com fyk = 25 kN/cm2. Considere kmod = 0,56. 
 
Figura 1 – Dados da estrutura 
 
SOLUÇÃO: 
Equilíbrio do nó D: 
 
∑Fy = 0 ⇒ F = NCD senα ⇒ NCD = F/senα 
 
∑Fx = 0 ⇒ NBD= NCD cosα = Fcosα/senα 
 
α = 26,5651º 
Figura 2 − Detalhe e equilíbrio estático do nó D 
 
Exemplos resolvidos de ligações em Estruturas de Madeira - Francisco A. R. Gesualdo – FECIV - UFU 2
Características do material: 
(Dicotiledônea C40) 
 
2
,0
2
,0
2
,0,90
2
,0
kN/cm 1092195056,0
kN/cm 19,0
8,1
6,056,0
kN/cm 4,025,0
kN/cm 6,1
4,1
0,456,0
=×=
==
=×=
==
efc
dv
dcdc
dc
E
f
ff
f
 
Será necessário conhecer a resistência da madeira na direção α, uma vez que a barra BD 
exerce solicitação na barra CD em direção inclinada formando o ângulo α, como indica 
a Figura 2. Esta resistência é calculada pela expressão de Hankinson, ou seja: 
2
22, kN/cm 0,1)(cos4,0)sen(6,1
4,06,1 =×+×
×= ααα dcf 
Ações de cálculo: 
Lembrando que o coeficiente de modificação (0,75) da ação do vento sugerido pela 
ABNT NBR 7190:1997 depende dos materiais envolvidos no dimensionamento, então 
devem ser consideradas duas situações de solicitações. Uma envolve apenas a madeira 
(ligação do nó D) e a outra envolve madeira e aço (ligação do nó B). Para o segundo 
caso o efeito do vento não pode ser reduzido. Então, as possibilidades de combinações 
de ações são: 
Fd1 = 1,4×2,8 + 1,4(1,2 + 0,5×0,8) = 6,16 kN (vento como variável secundária) 
 
Fd2 = 1,4×2,8 + 1,4(0,4×1,2 + 0,75×0,8) = 5,43 
kN 
(vento como variável principal 
reduzido pelo coeficiente 0,75 − ψ0 
da sobrecarga igual a 0,4) 
Fd3 = 1,4×2,8 + 1,4(0,4×1,2 + 0,8) = 5,71 kN (idem anterior sem redução do 
efeito do vento − quando envolver 
peças metálicas) 
Das três possibilidades de combinações a primeira produz maior solicitação de cálculo 
e, portanto, será considerada no cálculo, ou seja, Fd = 6,16 kN. 
Usando as expressões de equilíbrio de forças obtidas anteriormente tem-se: 
NCD = 13,77 kN (tração) e NBD = 12,32 kN (compressão) 
 
a) ligação do nó D − por contato 
Devem ser feitas três verificações associadas à resistência das peças: esmagamento do 
dente (hd), cisalhamento da extremidade da barra CD (a) e área útil da barra CD que 
pode sofrer colapso por tração. A espessura das peças é considerada com b = 6 cm. 
 a1) valor de "hd" − esmagamento da madeira 
cm 84,1
0,10,6
cos32,12 
6
cos
,
=×
×≥⇒×
×≥ αα
α
hd
f
N
hd
dc
BD 
Exemplos resolvidos de ligações em Estruturas de Madeira - Francisco A. R. Gesualdo – FECIV - UFU 3
Como restrição da ABNT NBR 7190:1997 aplicada ao caso de entalhes em vigas, há o 
limite da altura do dente não ultrapassar 25 % da altura total da peça, que também será 
aplicada neste caso. Assim: 4
4
16
4
==≤ hhd 
Desta forma, o valor encontrado para hd pode ser adotado sem problemas. Apenas para 
facilidade construtiva este valor poderia ser arredondado para 1,9 cm ou 2,0 cm, como 
queira o projetista. Será adotado aqui hd = 1,9 cm. 
 a2) valor de "a" (cisalhamento): a componente da força NBD na direção da barra 
CD é quem produz o cisalhamento, portanto:
 
cm 7,9
19,06
)26,5651cos(32,12 cos ,0 =×
×≥⇒≤×
α× oaf
ab
N
dv
BD 
 
 a3) tração na região do dente 
 22,0 kN/cm 6,1kN/cm 16,0)9,116(6
77,13 
)(
<<<<=−×⇒≤−× dt
CD f
hdhb
N 
 
Portanto, a ligação deve ser montada com as condições indicadas na Figura 3. 
 
Figura 3 − Dimensões finais para a ligação do nó D 
 
b) ligação do nó B − por parafuso 
Esta ligação é caracterizada como uma ligação por parafusos entre peças de madeira 
perpendiculares, governada pela força NBD, como indica a Figura 4. 
Exemplos resolvidos de ligações em Estruturas de Madeira - Francisco A. R. Gesualdo – FECIV - UFU 4
 
Figura 4 − Ligação por parafusos do nó B 
 
Envolve peças com espessuras 6 cm e 8 cm. Então a espessura "t" para cálculo da 
resistência de um parafuso é igual a 3, que é o menor dos valores entre à metade da 
espessura da peça central (6/2 cm) e a espessura das peças laterais (8 cm). Assim, t = 3 
cm. 
Adotando parafusos de 95 mm (3/8”), tem-se, fe90,d = αe × fc90,d = 1,95×0,4 = 0,78 
kN/cm2. 
• 
16,3
95,0
3 ===β
d
t
 
• 
75,6
78,0
1,12525,125,1
,90
lim ===β
de
yd
f
f
 
Como β < βlim, então o modo de ruptura é o embutimento e, portanto, a equação da 
resistência de um pino com uma seção de corte é Rvd,1: 
kN 89,078,0
16,3
34,04,0
2
,90
2
1, =××=×β×= devd f
tR
 
Como a ligação tem duas seções de corte, então a capacidade efetiva de um parafuso 
vale o dobro do valor encontrado, ou seja: 
Rvd,2 = 2×Rvd,1 = 2 × 0,89 = 1,78 kN 
O número de parafusos valerá: 
parafusos 792,6
78,1
32,12 ≈=
 
 
Os espaçamentos entre parafusos (ligação perpendicular) são dados na Figura 5. 
Exemplos resolvidos de ligações em Estruturas de Madeira - Francisco A. R. Gesualdo – FECIV - UFU 5
 
 
d = 1,0 cm 
 
1,5d = 1,5 cm 
3,0d = 3,0 cm 
4,0d = 4,0 cm 
 
 
Figura 5 − Espaçamento entre parafusos 
 
 
EXERCÍCIO 2 
Determinar o número e as posições dos parafusos necessários para se executar a emenda 
indicada na Figura 6. A madeira é Dicotiledônea C40 de 2ª. categoria, classe de 
umidade 1. As ações atuantes estão associadas a um carregamento de longa duração 
cujas solicitações são provenientes de peso próprio igual a 9,69 kN, sobrecarga de 5,82 
kN e vento de 3,27 kN. Sobre a estrutura não serão aplicadas forças de equipamentos 
fixos, nem se considera que sua ocupação corresponda a elevada concentração de 
pessoas. O aço dos parafusos é o MR250 (ASTM A36). 
 
Figura 6 – Emenda entre peças de madeira 
SOLUÇÃO: 
As ações atuantes têm o mesmo sentido de aplicação, portanto devem ser majoradas 
pelos seus maiores coeficientes de ponderação. Duas são as possíveis combinações, 
considerando a sobrecarga ou o vento como ação variável principal, ou seja: 
 
Exemplos resolvidos de ligações em Estruturas de Madeira - Francisco A. R. Gesualdo – FECIV - UFU 6
Nd1 = 1,4×9,69 + 1,4×(5,82 + 0,5×3,27) = 24,00 kN 
Nd2 = 1,4×9,69 + 1,4×(3,27♣ + 0,4×5,82) = 21,40 kN 
(♣vento NÃO deve ser multiplicado por 0,75 por se tratar de verificação em peça metálica − 
Seção 5.58 da ABNT NBR 7190:97) 
Portanto, a combinação mais crítica é 24,00 kN. 
O valor de kmod é igual a 0,7×1,0×0,8 (carregamento de longa duração × classe de 
umidade 1 × Dicotiledônea de 2ª.categoria). Então kmod = 0,56. 
Cálculo das resistências: 
2
d,0c kN/cm 60,14,1
0,456,0f =×= 
feα,d = fe0,d = fc0,d = 1,60 kN/cm2 (as peças são paralelas, ou seja, α=0) 
 
Espessura t para cálculo: 
 
t = 2,5 cm, por ser o menor valor entre 6/2 (metade da espessura da peça central) e 2,5 
(espessura da menor peça lateral). 
Para determinar o valor da força resistente da ligação é necessário definir o diâmetro do 
parafuso. O projetista é quem deve avaliar os diferentes diâmetros e fazer a escolha 
mais econômica e viável. Lembra-se que o menor diâmetro permitido pela norma é 10 
mm. No entanto, considera-se que o uso de parafusos com diâmetro igual a 9,5 mm 
(3/8") não represente nenhuma desobediência à norma. O seu uso associado ao emprego 
de broca de 10 mm significa uma boa prática, para atender a pré-furação onde o 
diâmetro do furo deve ser 0,5 mm superior ao do pino − ver diâmetros de brocas na 
Tabela 1. 
Tabela 1 − Diâmetros de brocas de madeira (mm) 
1,5 2,0 2,5 3,0 3,2 3,5 4,0 4,5 4,8 5,0 5,5 6,0 6,5 
7,0 8,0 9,0 9,5 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 16,0 19,0 22,0 25,0 
 
A Tabela 2 apresenta, como exemplos, as características resistentes de parafusos com 
diâmetros 9,5 mm e 12,5 mm, que resulta na necessidade do uso de 8 e 6 pinos, 
respectivamente, para o caso em estudo. Estes valores foram obtidos usando o programa 
computacional GestrWood. 
Tabela 2 – Informações para pinos de 10,0 mm e 12,5 mm 
d = " mm 
(furo de 10 mm) 
Ligação parafusada com duas seções de corte 
d = 0,95 cm ; AlfaE = 1,95; Ângulo entre fibras = 0° 
fe0,d = 1,60 kN/cm²; fe90,d = 0,78 kN/cm²; fe0,d = 1,60 kN/cm² 
kmod = 0,70×1,00×0,80 = 0,56 
ß = t/d = 2,50 / 0,95 = 2,62 
6
2,52,5
duas seções de corte 
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ßlim = 71,460,1/73,2225,1 =× 
ß <= ßlim (embutimento da madeira) 
Rvd,1 = 0,4×2,50²×1,60 /2,62 = 1,52 
Resistência por pino (duas seções de corte) = 3,04 kN 
Força solicitante = 24,00 kN 
No. de pinos = 24,00/3,04 = 8 pinos (7,90) 
 
d = ½" mm 
(furo de 13 mm) 
Ligação parafusada com duas seções de corte 
d = 1,27 cm ; AlfaE = 1,67; Ângulo entre fibras = 0° 
fe0,d = 1,60 kN/cm²; fe90,d = 0,67 kN/cm²; fe0,d = 1,60 kN/cm² 
kmod = 0,70×1,00×0,80 = 0,56 
ß = t/d = 2,50 / 1,27 = 1,97 
ßlim = 71,460,1/73,2225,1 =× 
ß <= ßlim (embutimento da madeira) 
Rvd,1 = 0,4×2,50²×1,60 /1,97 = 2,03 
Resistência por pino (duas seções de corte) = 4,06 kN 
Força solicitante = 24,00 kN 
No. de pinos = 24,00/4,06 = 6 pinos (5,91) 
 
Para ilustrar a distribuição de parafusos, será considerado o diâmeto 3/8". Inicialmente é 
fundamental entender que o número de parafusos encontrados devem ser usados em 
cada parte da emenda, ou seja, a emenda exigirá 2×8 de 3/8", observando que a peça 
principal transfere para as peças laterais − isto exige 8 parafusos − e, depois, as peças 
laterais transferem para a peça principal exigindo mais 8 parafusos. Para se fazer a 
distribuição é necessário desenhar as peças em escala buscando a otimização do 
posicionamento na área disponível. Uma sugestão de distribuição é como indica a 
Figura 7. 
 
 
 
Exemplos resolvidos de ligações em Estruturas de Madeira - Francisco A. R. Gesualdo – FECIV - UFU 8
a) d: diâmetro do parafuso b) medidas em cm 
 
 
c) distribuição final dos parafusos 
Figura 7 − Distribuição de parafusos para a emenda 
 
 
EXERCÍCIO 3 
Verificar a ligação por contato da Figura 8. Considerar Dicotiledônea C60, kmod = 0,56. 
A força Ns é composta por 24,38 kN (permanente), 14,64 kN (sobrecarga) e 10,51 kN 
(vento). Ni corresponde à ação Ns × cos(20º). 
 
Figura 8 – Ligação entre banzo inferior e superior 
 
SOLUÇÃO: 
A força Ns,d será calculada pela combinação mais crítica considerando as três ações com 
o mesmo sentido (compressão). Assim, tem-se: 
 Ns,d = 1,4×24,38 + 1,4×(14,64 + 0,5×10,51) = 61,99 kN 
Cabe observar que a outra possível combinação consideraria o vento como ação variável 
principal, à qual seria aplicado o coeficiente redutor de 0,75 (ou não aplicado se a 
ligação envolver peças metálicas). Neste caso, mesmo que se considere a ação do vento 
total e se considere um coeficiente de utilização (ψ0) igual a 0,4 aplicado à sobrecarga, a 
ação de cálculo resultante seria inferior ao valor encontrado. Portanto, a ação de cálculo 
a ser considerada é 61,99 kN. 
Resistência da madeira: 
2
2
,90
2
,0
,90,0
,20
2
,0,90
2
,0
kN/cm 78,1
)20(cos)20(
kN/cm 6,025,0
kN/cm 4,2
4,1
0.656,0
=×+×
×=
=×=
=×=
dcdc
dcdc
dc
dcdc
dc
fsenf
ff
f
ff
f
 
Exemp
Verif
A ten
igual 
direçã
(σ =
Porta
= 4 cm
Neste
As al
• 
• 
• 
Um d
Então
Esta 
verifi
centra
inform
Ligaç
Coefi
Eco,ef 
fc0,d= 
t = 3 
d = 0
Ângu
fe0,d =
Kmod 
ß = t/
mplos resolvidos 
ficação do e
nsão σ atua n
à resistênci
ão paralela d
( ) cos×hdb
Nsd
anto, hd ≤ 5,4
m. 
e caso, o valo
lternativas po
Usar dois d
construtivos
que exige m
Aumentar 
dimensões n
barras assoc
da estrutura
Usar um de
solicitação. 
para a força
dente de 4 c
o, a força a s
ligação para
icado. Isto im
al − ou 3 c
mações a seg
ção parafusad
ficientes de m
= 1372,00 kN
2,40 kN/cm
cm 
,95 cm ; αE =
ulo entre fibr
= 2,40 kN/cm
= 0,70×1,00
/d = 3,00 / 0,
de ligações em E
esmagamen
Figura 9
no banzo infe
a da madeir
do banzo sup
6
99,61
s
×=α
45 cm, mas a
or de hd enco
oderiam ser: 
entes de 5,45
s. Executar o
muita habilida
as dimensõe
na ligação im
ciadas à liga
a. Não é, port
ente de 4 cm
Esta é a alte
a não absorvi
cm absorverá
er aplicada n
afusada será 
mplica em es
cm − espes
guir. 
da com duas
modificação: 
N/cm² 
m²; fc90,d=
= 1,95 
ras = 20,00° 
m²; fe90,d = 1,
0×0,80 = 0,56
95 = 3,15 
Estruturas de M
nto entre as p
9 –Tensão 
erior no com
ra na direção
perior também
( )
6
20cos ≤×
×
hd
o
a condição h
ontrado não 
5/2 = 2,8 cm
o encaixe pe
ade do carpin
es das peça
mplica em au
ação. Isto ger
tanto, uma so
m e peças l
ernativa mai
ida pelo dent
á a força (N
na ligação ser
executada c
spessura (t) d
suras das p
s seções de co
 Kmod = 0,56
= 0,60 kN/cm
,17 kN/cm²; 
6 
Madeira - Fran
peças em co
atuante na
mprimento hd
o 20º, ou sej
m, o que repr
kN/cm 78,1≤
hd ≤ h/4 tam
é permitido.
m: este é um c
erfeito para d
nteiro; 
as: também 
umentar as d
rará um acré
olução indica
aterais paraf
is indicada. A
te, conforme 
N4,d) igual a 4
rá igual a 61
com duas pe
da ligação ig
peças laterais
orte 
6 
m²; fv0,d
 fe20,d = 2,14
ncisco A. R. G
ontato: 
a região do
d/cos(α) e na
a, fc20,d. Obs
resenta uma 
2m 
mbém deve se
caso não reco
dois dentes é
não é apro
dimensões d
scimo signif
ada; 
fusadas para
A ligação pa
descrito a se
4×fc20,d×b/co
,99 – 45,46 =
eças laterais 
gual a 3 cm (
s). O cálcul
d= 0,25 kN/c
4 kN/cm² 
Gesualdo – FEC
 
o contato 
a largura b. D
servar que es
situação men
er satisfeita, 
omendado de
é uma tarefa
opriado, poi
das peças ao 
ficativo no v
a absorver o
arafusada ser
eguir. 
osα, ou seja, 
= 16,53 kN. 
3×16 de co
(6/2 cm − me
lo é feito d
cm² 
CIV - UFU 
Deve ser men
sta tensão at
nos crítica. 
ou seja, hd ≤
evido a prob
a bastante de
is aumentar 
longo de tod
volume de ma
o complemen
rá então calc
N4,d = 45,4
omprimentos
etade da espe
de acordo co
9
nor ou 
tua na 
≤ 16/4 
blemas 
licada 
estas 
das as 
adeira 
nto de 
culada 
46 kN. 
 a ser 
essuraom as 
Exemp
lim =β
ß <= 
Rvd,1 
Resis
Força
No. d
 
A Fi
comp
ponto
é con
atuan
A res
maior
seja, 
Outra
do de
dente
entre 
 
 
 
mplos resolvidos 
/73,2225,1=
ßlim (embut
= 0,4×3,00²×
stência por pi
a solicitante =
de pinos = 4 
igura 10 m
plementam o
o inferior do 
nsiderado so
nte no dente. 
sistência ao 
r ou igual à 
a ≥ 28,8 cm 
a verificação
ente é sempr
e já foi verifi
as fibras −, 
de ligações em E
08,414,2 = 
timento da m
×2,14 /3,15 =
ino (duas seç
= 16,53 kN 
pinos (3,39)
Figura
mostra a dis
o dimensiona
entalhe e a e
olicitado por
 
Figur
cisalhament
tensão atuan
≈ 30 cm. Ad
o a ser feita p
re inferior a 
icada anterio
então certam
Estruturas de M
madeira) 
= 2,44 
ções de corte
) 
a 10 − Dist
stribuição fin
amento desta
extremidade
r cisalhamen
ra 11 − Ve
o já foi calc
nte, ou seja,
dotar, portant
poderia ser à
25 % da alt
ormente − a p
mente hão há 
Madeira - Fran
e): Rvd,2 = 4,8
tribuição fin
nal adotada 
a ligação. É 
 do banzo in
nto provenie
erificação d
culada e vale
 (45,46×cosα
to, a = 30 cm
à área liquida
tura do banz
propósito em
mais nada a
ncisco A. R. G
88 kN 
nal de para
para os pa
necessário d
nferior (a ind
ente da com
 
de cisalham
e: fv0,d= 0,25
α)/(b×a)=7,2
m. 
a abaixo do d
zo inferior, e
m condição m
ser verificad
Gesualdo – FEC
afusos 
arafusos. Ou
determinar a
dicado Figur
mponente ho
mento 
5 kN/cm². Es
20/a. Então: 
dente. Contu
e fc0,d = ft0,d, 
mais crítica d
do. 
CIV - UFU 
utras verific
a distância en
ra 11). Este t
orizontal da 
ste valor dev
0,25 ≥ 7,20
udo, como a 
e a resistênc
evido à incli
10
cações 
ntre o 
trecho 
força 
ve ser 
0/a, ou 
altura 
cia do 
inação