QUESTÕES DERIVADA 2

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QUESTÃO 1
ASSUNTO: Inflexão de uma função.
Um curva com função possui um ponto de inflexão P se f é contínua em P e se a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa em P. Tendo em vista o Teste de Concavidade, haverá um ponto de inflexão sempre que a segunda derivada mudar de sinal. Com base nos conceitos apresentados, na Figura 1 e na Equação 1 de uma curva mostrados abaixo, analise as seguintes sentenças.
Figura 1- Gráfico de uma função
 (Equação 1)
STEWART, James. Cálculo, vol. 1, 6ª edição. Editora Thompson, pg. 271, 2009.
De acordo com a Figura 1, nos intervalos (a,b), (c,d) e (p,q) a função é côncava para baixo e nos intervalos (b,c), (d,e) e (e,p) é côncava para cima.
De acordo com a figura 1, os pontos B, C, D, E e P são pontos de inflexão.
Examinando a segunda derivada da Equação 1 encontra-se 2 pontos de inflexão com valores de (0,0) e (2,0).
Agora, assinale a alternativa que apresenta a resposta correta:
Apenas a afirmativa I está correta.
Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
Todas as afirmativas estão incorretas.
RESPOSTA: Letra a
De acordo com a Figura 1, nos intervalos (a,b), (c,d) e (p,q) a função é côncava para baixo e nos intervalos (b,c), (d,e) e (e,p) é côncava para cima.
A sentença é verdadeira, pois nos intervalos (b,c), (d,e) e (e,p), o gráfico da função está acima de todas as suas tangentes e f é chamada de côncava para cima. Nos intervalos (a,b), (c,d) e (p,q) o gráfico da função está abaixo de todas as suas tangentes, sendo a função chamada de côncava para baixo.
De acordo com a figura 1, os pontos B, C, D, E e P são pontos de inflexão.
A sentença é falsa, pois no ponto E a concavidade da função não mudou. O ponto E liga os intervalos (d,e) e (e,p), que possuem concavidade para cima. Para ser considerado ponto de inflexão a concavidade da função deve mudar neste ponto. 
Examinando a segunda derivada da Equação 1 encontra-se 2 pontos de inflexão com valores de (0,0) e (2,0).
Sentença falsa.
Derivando:
Aplicando o teste da concavidade:
Resolvendo a equação:
Divide-se a reta em intervalos com os números 0 e 2 e analisa-se se houve mudança na concavidade.
- Análise do intervalo de :
Supondo valores para x no intervalo:
Como os valores de tendem a aumentar à medida que diminui o valor de x no intervalo de , a concavidade da função será para cima neste intervalo.
- Análise do intervalo de :
Supondo valor para x no intervalo:
Concavidade para baixo.
- Análise do intervalo de :
Supondo valores para x no intervalo:
Como os valores de tendem a aumentar à medida que aumenta o valor de x no intervalo de , a concavidade da função será para cima neste intervalo.
O ponto (0, 0) é um ponto de inflexão, já que a curva muda de côncava para cima para côncava para baixo. O ponto (2, -16) também é um ponto de inflexão, uma vez que ali a curva muda de concavidade.
Portanto há 2 pontos de inflexão.
QUESTÃO 2
ASSUNTO: Derivadas parciais (aplicação).
Em cálculo, uma derivada parcial de uma função de várias variáveis é a sua derivada com respeito a uma daquelas variáveis, mantendo as outras variáveis constantes. A derivada parcial é muito utilizada em termodinâmica química, por exemplo na equação de estado para gases ideais. Para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume V a equação é , onde R é a constante do gás. Determine o valor de: 
RESPOSTA: Letra d
Calculando as derivadas parciais:
Isolando P:
Isolando V:
Isolando T:
Então:
QUESTÃO 3
ASSUNTO: Derivadas parciais (regra da cadeia).
A Regra da Cadeia para funções de mais de uma variável possui várias versões, cada uma delas fornecendo uma regra de derivação de uma função composta. Uma situação desta regra ocorre quando temos , mas e são funções de outras duas variáveis e : . Então:
Utilizando a Regra da Cadeia descrita no enunciado, determine e dado: 
 
STEWART, James. Cálculo, vol. 2, 6ª edição. Editora Thompson, pg. 859, 2009.
RESPOSTA: Letra e
Dado:
Utilizando a Regra da Cadeia:
Substituindo os valores na equação:
Substituindo os valores na equação: