SOLUÇÃO P3-PROBEST_2011-2

Prévia do material em texto

P3 - Probabilidade e Estatística – 2011.2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Souza & Roxana Jimenez Contreras 
 
 
Problema 1 (2.0 pts) 
 
1.1) (0.4 pt) O que vem a ser um “estimador” e uma “estimativa” de um 
parâmetro. 
SOLUÇÃO 
Estimador são as fórmulas (funções) dos dados da amostra que são usadas 
para definir um resultado para estimar um parâmetro. 
Estimativa é o resultado de um estimador quando substituímos os valores da 
amostra na fórmula. 
 
1.2) (0.4 pt) Qual a diferença entre as densidade Normal e T-Student. Em que 
situação elas ficam aproximadamente iguais? 
SOLUÇÃO 
 
A t-student é quando a sua curva com relação a Normal é mais achatada, e 
quando o seu grau de liberdade passa a ser >30 ela vira uma Normal. 
 
 
 
1.3) (0.4 pt) Seja X ~ Qui-quadrado(15). Qual é a Prob (7,26 ≤ X ≤25,0)? 
SOLUÇÃO 
 
-Pela tabela“χ2”, g=n-1=15 
 
a= 7,26 e b=25,0 
 
 
95,0
 
 (1-α)= 0,90 
 
 
 
 05,0 
 
 a= 7,26 b=25,0 
 
- Intervalo de confiança [1-α] = 0,90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4) (0.8 pt) Mostre que se e são v.a. estatisticamente independentes, então 
 . 
SOLUÇÃO 
 
V(X+Y) = E(X+Y)2 – E2(X+Y) 
 
 
E(X+Y) = E(X) + E(Y) - Se X e Y são independentes 
 
 
V(X+Y) = E(X2+2XY+Y2) – [E(X)+E(Y)]2 
 
 = [E(X2) + 2E(XY) + E(Y2)] – [ E2(X) + 2E(X).E(Y) + E2(Y) ] 
 
Como X e Y são independente, então: 
 
E(XY) = E(X).E(Y) - provar 
 
 
 E(X,Y) = ∫∫(XY).f(X,Y) dx.dy 
 
 = ∫∫(XY).[f(X).f(Y)] dx.dy 
 
 = ∫Yf(y)dy . ∫Xf(x)dx 
 
 = E(Y) . E(X) 
 
 
V(X+Y) = [E(X2) + 2E(XY) + E(Y2)] – [ E2(X) + 2E(X).E(Y) + E2(Y) ] 
 
 = E(X2) + 2E(X).E(Y) + E(Y2) - E2(X) - 2E(X).E(Y) - E2(Y) ] 
 
 = [E(X2) - E2(X)] + [E(Y2) - E2(Y)] 
 
V(X+Y) = Var (X) + Var (Y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 ( 2,0 pts ) 
Em um experimento no qual temos uma variável aleatória discreta que modela “n” 
repetições de um experimento Bernoulli até obter o r-ésimo sucesso, pede-se: 
 
a) (0.5 pt) Qual o modelo probabilístico (paramétrico) que você adotaria para este 
experimento? 
 
SOLUÇÃO 
BINOMIAL NEGATIVA 
 
b) (1,5 pt) Qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro deste 
modelo, descreva todos os passos para a obtenção do estimador. 
 
X ~ Binomial Negativa (n,θ) 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
Obtenção da função de verossimilhança “θ” 
 
 (θ ,n) = f(x1, x2,...xn) 
 
 (θ ,n) = 
 







N
i
nxn
n
x
1
)1.(.
1
1

 = 
 
  



N
i
nxn
nxx
x
1
1..
!)!1(
)!1( 
 
 = 
 
  









N
i
NnxNn i
N
i
nxx
x
1
11..
!)!1(
)!1( 
 
 
 
Obtenção do Log-verossimilhança 
 
l(Ɵ ,n) log (Ɵ ,n)] 
 
 = log 
 
 







 








 


N
i
Nnx
Nn i
N
i
nxx
x
1
11..
!)!1(
)!1( 
 
 
 = log
 
  






















1log.log.
!)!1(
)!1(
1
1
N
i
i
N
i
xNnNn
nxx
x 
..... 2,+r 1,+r r,= x onde ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








nxn
i
n
x
xf 







 )1.(.
1
1
),( 
 
 
 
Obtenção do estimador de máxima verossimilhança de “Ɵ” 
1ª derivada - 
   







11
1
N
i
ix
NnNnl 
Iguala a zero - 
0

l
 
 
   
0
11
1 







N
i
ix
NnNn 

 
  01
1
 


N
i
ixNnNn
 
 
0
1
 


N
i
ixNnNnNn
 
 -
0
1


Nnx
N
i
i
 

 



N
i
ix
Nn
1

 
 Substituir 
MV ˆ
 então 
X
n
MV ˆ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3A (1.8 pts) Distribuição conjunta 
Sejam e v.a.'s contínuas com densidade conjunta: 
 
 
 
 
a) (0.6 pt) Encontre a constante “k” que faz desta expressão uma densidade. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
1.).,(),(
2
0
1
0
  




dydxyxfyxf
y
y
x
x
 
 
1.
.
2
0
1
0
2 





 




dydxx
k
yx
y
y
x
x
 

 
1.
32
.
2
0
1
0
32









dy
xx
k
y
y
y
 
 
1
3
1
2
2
0









dy
k
y
y
y
 

 
1
34
2
0
2







y
k
y  
1
3
21

k
 

 
3k
 
 
 
2
3
.
),( x
yx
yxf 
 
 
 
 
b) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
SOLUÇÃO 
 
 
dyyxfxf
y
y
.),()(
2
0




 , onde 0≤y≤2 
dyx
yx
xf .
3
.
)(
2
0
2
 






 

 2
0
2
2
.
2
.
3
)( 





 yx
yx
xf
 

 
2.2
3
.2
)( x
x
xf 
 
 
 
 
 
 
 
2y0 e 1 x < 0 onde,
.
),( 2  x
k
yx
yxf
2y0 e 1 x < 0 onde,
.
),( 2  x
k
yx
yxf
 
 
 
 
 
c) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
SOLUÇÃO 
 
 
dxyxfyf
x
x
.),()(
1
0




 , onde 0≤x≤1 
dxx
yx
yf
x
x
.
3
.
)(
1
0
2










 

 1
0
32
32
.
3
)( 






xxy
yf
 

 
3
1
6
)( 
y
yf
 
 
 
 
 
d) (0.4 pt) e são independentes? Por que? Justifique. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
Para ser independentes: 
)().(),( yfxfyxf 
 
 
2
3
.
),( x
yx
yxf 
 
2.2
3
.2
)( x
x
xf 
 
3
1
6
)( 
y
yf
 
 













3
1
6
..2
3
.2
)().( 2
y
x
x
yfxf
 
 
3
.2
3
.
9
.2
9
.
)().(
2.2 xyxxyx
yfxf 
 
 
Conclusão: 
)().(),( yfxfyxf 
 , então, X e Y não são independentes. 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3B (1.2 pts) Distribuição conjunta 
Sejam e v.a.'s contínuas com as densidades: 
 
1- Densidade conjunta 
 
 
2- Densidade marginal de : 
 
 
3- Densidade marginal de Y: 
 
 
 
Pede-se: 
 
a) (0.5 pt) Encontre a densidade condicional de dado . 
 
SOLUÇÃO 
)(
),(
)(
xf
yxf
xXYf 
 , onde 
]1,(
]1,0(
xy
x


 
 
x
x
yx
x
xXYf



2
.3
..2
2
.3
)(
2
2
 

 





 





 

2
.2.3
2
..43
)(
2
2
xx
yxx
xXYf 

 
2.3
4.3
)(



x
yx
xXYf
 
 
 
b) (0.7 pt) Ache a Média condicional de dado . 
SOLUÇÃO 
  dyxyfyxXYE ).(.
2
0

 , onde 
]1,0(
]1,0(


y
x
 
  dy
x
yx
yxXYE .
2.3
4.3
1
0
 








 

 
   dyyxy
x
xXYE ..4.3
2.3
1
1
0
 

 
 
 
1
0
32
3
.4
2
..3
2.3
1 yyx
x
xXYE 


 

  




 


6
8.9
2.3
1 x
x
xXYE
 
 
 
12.18
8.9



x
x
xXYE
 
 
 
 1 x < 0 onde,
2
3
)( 2  xxxf X
 1 x < 0 onde,
2
1
)(  yyfY
1y0 e 1 x < 0 onde,..2.
2
3
),( 2  yxxyxf
 
Problema 4A( 1,0 pts ) 
Uma máquina “A” produz peças circulares cujos diâmetros “Di” devem obedecer uma 
determinada especificação em mm, e, uma outra máquina “B” foi encontrada no 
mercado. Quer-se saber se os diâmetros médios das duas máquinas são próximas, ou 
seja, se as máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente 
idênticas em termos dos diâmetros das mesmas. 
Tomou-se uma amostra de 12 peças da máquina “A”, e 18 peças da máquina “B”, tendo 
sido obtidas as seguintes estimativas amostrais: 
Máquina “A” : 
AX
= 98mm e SA = 9mm 
Máquina “B”: 
BX
= 100mm e SB = 8mm 
 
Encontre o Intervalo de Confiança para a Diferença das Médias das duas máquinas (µA-
µB) ao nível de significância de 95%. O que você conclui? As peças podem ser 
consideradas estatisticamente iguais? 
 
SOLUÇÃO 
 
Máquina “A”: n=12 X A = 98mm SA= 9mm 
Máquina “B”: n=18 X B = 100mm SB = 8mm 
 
Intervalo de confiançapara a diferença das médias: 
g = n + m – 2 = 28 
tabela “T” 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 95% 
 
 Tabela “T” - 
048,22/1 t 
 (1-α)=0,95 
 
 
 
 025,0
2

 
 
 048,22/1 t 
 
 
 
 
 
 















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [ -8,4164 ; 4,417 ] 
 
Sim, O Zero está contido no Intervalo de Confiança , portando as médias de sua alturas 
podem ser iguais ao nível de significância de 95%. 
 
 
 
Problema 4B ( 1,0 pts) 
O diâmetro final de um cabo elétrico blindado é Normalmente distribuído. Uma amostra 
com tamanho 20, produz uma média de 0,790 e um desvio padrão amostral 0,010. 
Encontre o Intervalo de Confiança de 95% para a média da população. 
SOLUÇÃO 
 
 
 
O intervalo de confiança ao nível de significância de 95%, , para a “S”. 
 
X
= 0,790 
 S = 0,010 
n=20 
 
 
IC da Média de uma Normal com Desvio Padrão (α ) Desconhecido - Caso II 
 - TABELA “T” 
 
 
 
 






 
n
S
tX
n
S
tX
n
S
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; 
   





 







28
817911
.
18
1
12
1 22 xx
R
     
  















2
S.1S.1
.
11
2
B
2
A
mn
mn
mn
R
133,3R
    RtYXRtYXRtYXIC ttt 222 ;   
IC
    133,3048,21009821 xRtYXIC  
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 95% 
 Tabela “t” - 
093,22/1,1  nt 
 
 (1-α)=0,95 
 
 
 
 025,0
2

 
 
 093,221,1  nt 
 
 
 
 
 
 [ 0,7853 ; 0,7947 ] 
 
 
 
 
 
Problema 4C (1.0 pts) 
Uma marca de máquina de lavar roupa quer saber a proporção das donas de casa que 
preferem usar sua marca. Pegam uma amostra aleatória de 100 Donas de casa e 20 
dizem que usaria. 
Calcule o Intervalo de Confiança de 90% para a verdadeira proporção das Donas de casa 
que preferem a marca de máquina de lavar. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 

 
IC aproximado para a proporção de uma Binomial 
Intervalo de Confiança =? 
 
n = 100 
p = 20/100=0,20 
1-α=90% 
 
Pr[-z1-a/2 < Z < z1-a/2] = 1-α 
 
 
 
 
 
 






 
20
01,0
093,2790,0;
20
01,0
093,2790,021,1
n
S
tXIC n 
 
n
S
tXIC n 2/1,1 
 
Pelo Teorema Central do Limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IC= [0,1344;0,2656] 
 
 
Pela tabela da N(0,1) 
 
Intervalo de confiança [1-α] = 0,90 
 
 
 [1-α]=0,90 
 
 α/2=0,05 
 
 
 Z1-α/2= 1,64 
 
 
 
 
 
 
BOA SORTE!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 










 
100
80,020,0
64,120,0 , 
100
80,020.0
64,120,0 
100
)20,01.(20,0
64,120,0
xx
IC
 
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial - X ~ Exp(λ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
Se ~ N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
 
 
Intervalos de Confiança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- onde a e b são tirados da tabela qui- 
quadrado com (n-1) graus de liberdade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ; 





 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ;  





 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;    















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
 




n
i
i XX
n
s
1
22
1
1



n
i
iX
n
X
1
1
 
 
 
Tabelas