Estatistica Descritiva - Unidade 4

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Estatística Descritiva- Unidade 4 - Probabilidade II 
 
 
 
Estatística 
Descritiva 
 
 
Unidade 4 - Probabilidade II 
 
 
 
 
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro 
 
 
Estatística Descritiva- Unidade 4 - Probabilidade II 
 
 
Introdução 
 E… voltamos ao estudo das probabilidades, ótimo não é? Bem, na unidade 
anterior fomos apresentados as teorias que constituem este importante ramo da 
matemática como a probabilidade condicional e o Teorema de Bayes. As 
características e diferenças entre as variáveis discretas e contínuas foram 
abordadas de maneira a conhecermos um pouco mais sobre as distribuições de 
probabilidades, que podem estar atreladas a estes dois tipos de variáveis, deste 
modo conhecemos as distribuições de: Bernoulli e Binomial; mas será que há 
outras que conectam a esses mesmos tipos de elementos? A resposta é sim, e se 
chama Distribuição de Poisson. Outra dúvida pertinente a este panorama está na 
existência de uma distribuição de frequência de uma variável contínua, afinal 
existe? E a resposta novamente é sim, aqui seremos familiarizados com a 
distribuição acumulada e exponencial; além de ser apresentado a uma 
distribuição que é considerada uma das mais importantes e utilizadas para 
modelar fenômenos, conheceremos a Distribuição Normal, todas suas 
particularidades e aplicabilidade. 
Vamos em frente? 
Bons estudos!!! 
1. Distribuição de Poisson 
Agora não trabalharemos com ensaios de Bernoulli, logo não será 
necessário encontrar a chance de um sucesso ou fracasso ocorrer pois conforme 
Martins e Domingues (2017) a distribuição de Poisson é um modelo probabilístico 
indicado para avaliar um grande número de fenômenos observáveis e aplicáveis 
a sequências de eventos que ocorrem por unidade de tempo, área, volume , tais 
como: 
● Acidentes por unidade de tempo; 
● Chamadas telefónicas por unidade de tempo; 
● Arranhões por unidade de área; 
● Acidentes por unidade de tempo. 
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Você sabia? Espera na fila para ser atendido ou servido recebe o nome Queuing; 
existem vários exemplos de Queuing em nosso cotidiano, como esperar em uma 
fila para ser atendido em uma padaria, esperar para utilizar um elevador ou ainda 
aguardar o sinal verde em um semáforo para seguir viagem entre outras 
situações. A Distribuição de Poisson serve de base para prever e modelar o 
número de pessoas (veículos, pessoas, etc) que provavelmente chegarão a fila 
(LARSON E FARBER, 2016). 
 
 Um único valor é preciso para determinar a probabilidade de um dado número 
de sucessos na dinâmica de Poisson, uma vez que o número médio de sucessos 
determinará a probabilidade para a situação específica. Esse número médio é 
representado pela letra grega 𝜆(lambda) e a fórmula para determinar a 
probabilidades em uma distribuição de Poisson é: 
𝑃(𝑥) =
𝜆𝑥 ⋅ 𝑒−𝜆
𝑥!
 
 Em que 𝜆corresponde a média, 𝑒 ≃ 2,72 é uma constante e representa a base 
dos logaritmos naturais e 𝑥 o número de sucessos. Valores para 𝑒−𝜆 podem ser 
encontrados com o auxílio de uma calculadora científica ou alguns valores podem 
ser consultados por intermédio da tabela 1 a seguir: 
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Tabela 1: Valores de 𝑒−𝜆para alguns valores de 𝜆. 
Fonte: Castanheira (2017) 
 
Você sabia? Na planilha Excel existe uma função específica para o cálculo que 
utiliza da Distribuição de Poisson; por intermédio desta relação é devolvido o 
valor da probabilidade específica para certo número de sucessos ou o valor da 
probabilidade acumulada; esta função é descrita por POISSON 
(x;média;acumulada) em sua versão em português e POISSON 
(x;mean;cumulative) na versão em inglês (MARTINS E DOMINGUES, 2017). 
 
 
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 O setor de inspeção de uma empresa que fabrica faixas adesivas para 
decoração de paredes identificou que, em média, a cada 70 metros encontra-se 7 
emendas. Admita que a distribuição do número de emendas é modelada 
conforme uma distribuição de Poisson. Vamos encontrar as probabilidades de: 
a) De não existir nenhuma emenda? 
Se existe uma emenda a cada 70 metros, logo a média é 𝜆 =
7
70
=
1
10
= 0,1, 
como foi solicitado a probabilidade de não existir emendas que equivale a 𝑃(𝑥 =
0), agora substituindo essas informações: 
 𝑃(𝑥 = 0) =
0,10⋅𝑒−0,1
0!
≃ 90,48% 
Desta maneira, há 90.48% de chance de não encontrar nenhuma emenda 
em uma faixa de 70 metros. 
b) De ocorrer no máximo duas emendas? 
No máximo duas emendas equivale a encontrar a probabilidade de 
encontrar nenhuma, uma ou duas emendas, logo: 
 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 𝑃(0) + 𝑃(1) + 𝑃(2) 
𝑃(𝑥 = 0) =
0,1
0
⋅ 𝑒−0,1
0!
≃ 90,48% 
𝑃(𝑥 = 1) =
0,1
1
⋅ 𝑒−0,1
1!
≃ 9,05% 
𝑃(𝑥 = 2) =
0,1
2
⋅ 𝑒−0,1
2!
≃ 0,45% 
Logo, 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 𝑃(0) + 𝑃(1) + 𝑃(2) = 90.48% + 9,05% + 0,45% = 99,98% 
A chance de ocorrer no máximo duas emendas em uma faixa de 70 metros 
equivale a 99,98%. 
c) De encontrar pelo menos uma emenda? 
Pelo menos uma emenda equivale a no mínimo uma emenda, ou seja, 
𝑃(𝑥 ≥ 1) = 1 − 𝑃(0) pois não tem como determinar o número máximo de 
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emendas, assim, recorremos ao raciocínio contrário, considerando que 1 equivale 
a 100%. Como: 
𝑃(𝑥 = 0) =
0,1
0
⋅ 𝑒−0,1
0!
≃ 90,48% → 1 − 𝑃(0) = 100% − 90,48% = 9,52% 
Há 9,52% de encontrar pelo menos uma emenda em um rolo de 70 metros. 
 
Você sabia? Siméon Denis Poisson (1781- 1840) foi um engenheiro e matemático 
francês que desenvolveu pesquisas sobre mecânica, eletricidade, elasticidade, 
calor, som, além de estudos matemáticos com equações diferenciais e 
probabilidade (COSTA, 2019). 
 
2. Função ou distribuição de probabilidade 
 Função ou distribuição de probabilidade de uma experiência aleatória é a 
função que a cada evento possível possui correspondência com a probabilidade 
do um evento ocorrer; essa distribuição pode ser expressa por uma tabela, 
gráfico ou fórmula (MARTINS e DOMINGUES, 2017). 
2.1. Distribuição de probabilidade acumulada 
Uma vez que trabalhamos com variáveis aleatórias contínuas, de acordo 
com Martins e Domingues (2017), podemos caracterizar função de distribuição 
acumulada em determinado ponto 𝑥 como a soma das probabilidades dos 
valores de 𝑥𝑖menores ou iguais a 𝑥. 
Logo: 𝐹(𝑥) = ∑𝑥𝑖 ≤ 𝑥 𝑝(𝑥𝑖) 
 A função distribuição acumulada calcula a probabilidade acumulada para um 
determinado valor de x. É empregada para determinar a probabilidade de que 
uma observação aleatória que é extraída da população seja menor ou igual a um 
determinado valor ou a probabilidade de que uma observação seja maior do que 
um determinado valor ou esteja entre dois valores. 
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Figura 1: Área de uma função acumulada. 
Fonte: Neto e Cymbalista (2012) 
 
Há distinções quanto ao uso da distribuição acumulada para variáveis 
contínuas ou discretas. Para distribuições contínuas, a função de distribuição 
acumulada fornece a área sob a função densidade de probabilidade, até o valor 
de x estabelecido e para distribuições discretas, a função de distribuição 
acumulada gera a probabilidade acumulada para os valores de x previamente 
estipulado. 
 
Você sabia? O livro O Andar do Bêbado é um livro divertido e envolvente sobre 
como podemos utilizar estatística para nos auxiliar nas tomadas de decisões em 
nosso dia a dia, o autor, Leonard Mlodinow, fala sobre como a estatística foi 
desenvolvida além de explicar sua grande potencialidade. 
 
3. Distribuição exponencial 
Semelhante a distribuição de Poisson, a distribuição exponencial descreve 
o espaço ou o tempo; como o tempo de chegadas de clientes a um 
supermercados ou a área entre três defeitos consecutivos em um rolo de tecido 
podem ser modelados por tal distribuição. Neste contexto,este modelo 
probabilístico é muito utilizado em modelos de duração de vida de componentes 
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que não se desgastam com o tempo, de maneira geral detém um papel muito 
importante na teoria de fila e em problemas de confiabilidade (WALPOLE et al., 
2008). 
Martins e Domingues (2017) definem que uma variável aleatória contínua 
𝑡 que considere todos os valores não negativos terá uma distribuição exponencial. 
A probabilidade é a área compreendida entre o eixo x e a curva do gráfico da 
função densidade de probabilidade. 
 Utilizaremos as seguintes fórmulas para o cálculo: 
𝑃(𝑥 > 𝑡) = 𝑒−𝜆𝑡, onde 𝜇 =
1
𝜆
 
 Por consequência, a probabilidade de um evento complementar será 
calculado por: 
𝑃(𝑥 ≤ 𝑡) = 1 − 𝑒−𝜆𝑡 
Atente-se que o parâmetro 𝜆 é interpretado como o número médio de 
ocorrências por unidade de tempo, logo uma constante positiva. A figura 2 a 
seguir apresenta a representação gráfica de uma distribuição exponencial 
quando 𝜆 = 1. 
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Figura 2: Distribuição exponencial para 𝜆 = 1 
Fonte: Neto e Cymbalista (2012) 
 
Considere que, em determinado período do dia, o tempo médio de 
atendimento em um caixa de banco seja de 2 minutos. Admitindo que o tempo 
para atendimento tenha distribuição exponencial, determinar a probabilidade de 
um cliente: 
a) esperar 3 minutos; 
Observe que 𝜇 = 2, e 𝜇 =
1
𝜆
=
1
2
= 0,5; como o desejado é a probabilidade de 
esperar três minutos, logo: 𝑃(𝑥 ≻ 4) = 𝑒−𝜆𝑡 = 𝑒− 3⋅0,5 = 𝑒−1,5 = 0,2231 = 22,31%. 
Desta forma, é possível concluir que há 22,31% de chance de um cliente 
esperar o atendimento em um caixa por três minutos.. 
b) esperar no máximo 1,5 minutos; 
𝑃(𝑥 ≤ 1,5) = 𝑒−𝜆𝑡 = 𝑒− 0,5⋅1,5 = 𝑒−0,75 = 1 − 0,4724 = 0,5276 = 52,76% 
 Assim, a probabilidade de se esperar no máximo 1, 5 minutos é de 52,76%. 
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Você sabia? A função EXPONDIST (em inglês) e DISTEXPON (em português) 
disponível entre as ferramentas estatísticas da Planilha Excel permite calcular 
probabilidades fundamentadas no conceito de Distribuição de Probabilidade 
Exponencial através das relações (X;Lambda;Cumulative) na versão em inglês ou 
(X;Lambda;Acumulada) em português (DOMINGUES E MARTINS, 2017). 
 
 
4. Distribuição normal 
Meados dos séculos XVIII e XIX, matemáticos e físicos elaboraram uma 
função densidade de probabilidade (equação que representa a distribuição de 
probabilidade de uma variável aleatória contínua). Essa função densidade de 
probabilidade resultou na bem conhecida curva em forma de sino, chamada de 
distribuição normal ou gaussiana. Essa distribuição fornece uma aproximação de 
curvas de freqüência para medidas de dimensões e qualidades humanas (CAIRE, 
2013). 
A distribuição de probabilidade contínua mais importante e mais utilizada 
é a distribuição normal, costumeiramente denominada como curva normal ou 
curva de Gauss. Seu estudo é muito importante, pois muitas técnicas estatísticas, 
como análise de variância, de regressão e alguns testes de hipótese, assumem e 
exigem a normalidade dos dados. 
Castanheira (2013) afirma que a distribuição de probabilidade normal é de 
extrema importância na inferência estatística pelos seguintes motivos: 
➔ as medidas produzidas por diferentes processos aleatórios 
seguem essa distribuição; 
➔ podem ser utilizadas como aproximações de outras 
distribuições de probabilidade, como a de Poisson e a 
Binomial; 
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➔ distribuições de estatística da amostra, como a média e a 
proporção, regularmente seguem distribuição normal, 
independentemente da distribuição da população. 
 
Inicialmente, considerava-se que todos os fenômenos não conseguiriam 
ser modelados conforme o modelo de uma curva normal, devido ao processo 
de coleta de dados; contudo verificou-se que uma grande gama de situações são 
adaptados a esta padronização por isso a denominação distribuição normal de 
probabilidade(CASTANHEIRA, 2013). 
Observe a figura 3 a curva normal com média 𝜇 e desvio padrão 𝜎. 
 
Figura 3: Distribuição normal 
Fonte: Neto e Cymbalista (2012) 
 
Larson e Farber (2016) reiteram que a curva normal possui algumas 
propriedades: 
● A curva é assintótica, ou seja, nunca toca o eixo horizontal, logo, a 
função de x jamais anula-se; 
● A área compreendida pela curva nesse intervalo é sempre igual a 1; 
● A função tem um máximo, que corresponde, à média da distribuição; 
● A distribuição é simétrica em torno da média; 
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● A média, a moda e a mediana são iguais; 
● A curva tem dois pontos de inflexão, simétricos em relação à média, 
indicados por serem o desvio padrão da distribuição normal. 
Você sabia? A denominação"curva em forma de sino" é atribuída a Esprit Jouffret 
(1837-1904) matemático e militar que foi o primeiro a utilizar o termo "superfície 
de sino" em 1872 (CAIRE, 2013). 
 
 
O Teorema do limite Central afirma que na medida em que o tamanho da 
amostra aumenta, a distribuição amostral das médias amostrais tende para uma 
distribuição normal (WARPOLE, et al.; 2008); logo, se uma população tem 
distribuição normal, a distribuição das médias amostrais retiradas da população 
também terá distribuição normal, para qualquer tamanho de amostra. 
Também mesmo na situação de uma distribuição que não seja normal, 
conforme Warpole et al. (2008), a distribuição das médias amostrais será 
aproximadamente normal, desde que a amostra seja grande; pois não é 
necessário conhecer a distribuição de uma população para podermos fazer 
inferência sobre ela a partir de dados amostrais. A única limitação é que o 
tamanho da amostra seja grande, assim deve consistir de 30 ou mais 
observações. 
 
4.1. Distribuição normal padronizada 
 Conforme Pearson e Farber (2016) explicam, é desnecessário o uso de tabelas 
separadas de áreas sob as curvas normais para todos os pares imagináveis de 
valores da média de desvios padrão, logo, é tabelado as áreas para a distribuição 
normal com 𝜇 = 0 e 𝜎 = 1 , a chamada de distribuição normal padronizada. Por 
este artifício é possível obter áreas sob qualquer curva normal fazendo a 
mudança de escala que transforma as unidades de medida da escala original, ou 
seja, a escala x, em unidades padronizadas, escores padronizados ou 
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denominados escores z utilizando a fórmula 𝑧 =
𝑥−𝜇
𝜎
 . É importante ressaltar que 
para seu uso demanda conhecer dois valores numéricos que devem ser 
previamente informados, a média 𝜇e o desvio padrão 𝜎. 
 Uma vez que 𝜇 e 𝜎 geram uma distribuição normal, as tabelas de 
probabilidade normal são fundamentadas em uma distribuição normal de 
probabilidade com 𝜇 = 0e 𝜎 = 1; a tabela 2 sinaliza as proporções de áreas para 
diversos intervalos de valores para a distribuição de probabilidade normal 
padronizada, com o limite inferior do intervalo começando sempre na média 
(CASTANHEIRA, 2013). 
 
 
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Tabela 2: Área de uma distribuição normal padrão. Fonte: Castanheira (2013) 
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Você sabia? Na Planilha Excel há uma ferramenta apropriada para o cálculo de 
probabilidade envolvendo a distribuição normal assim como para construir a 
curva noval desde que informados a média e o desvio padrão. Estas funções são 
acionadas por intermédio da função Statistical (em inglês) ou Estatística (em 
português). Na versão em inglês são dispostas as funções: NORMDIST, NORMINV, 
NORMSDIST, NORMSINV e STANDARDIZE; já na versão em português estas 
relações são identificadas por: DIST.NORM., INV.NORM, DIST.NORMP, 
INV.NORMP e PADRONIZAR (MARTINS E DOMINGUES, 2017).Agora vamos colocar em prática as definições apresentadas anteriormente 
este importante conteúdo da probabilidade? Vamos em frente! 
 
Admita que a precipitação pluviométrica média em certa cidade, no mês de 
dezembro, foi de 8,9 cm. Admitindo que estes dados são modelados conforme 
uma distribuição normal com desvio padrão de 2,5 cm, determinar a 
probabilidade de que no mês de dezembro próximo, a precipitação seja: 
a) entre 1,6 cm e 8,9 cm? 
O primeiro passo é transformar a variável x em uma z, dados 𝜇 = 8,9e 𝜎 =
2,5 é possível realizar tal comando pela relação, logo: 𝑧 =
𝑥−𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
1,6 − 8,9
2,5
=
 −2,92; como a curva normal é simétrica, o sinal negativo só indica que esta 
medida está a esquerda da média, porém quando consultar a tabela a referência 
é +2,92, uma vez que a tabela de área considera tal interpretação, desta forma 
após realizar consulta na tabela observe que para tal valor de z equivale a uma 
área de 0,4982 cm2. 
 
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Logo, a probabilidade da precipitação pluviométrica ser 1,6 cm, ou seja 
𝑃(1,6 ≤ 𝑋 ≤ 8,9) é de 49,82%. 
b) superior a 5 cm mas não superior a 11 cm; 
Neste caso, será necessário realizar duas conversões, para x = 5 e x = 11, 
uma vez que são valores distintos; em seguida realizamos a troca por cada valor 
de x e obtemos: 𝑧 =
𝑥−𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
5 − 8,9
2,5
= −1,56 e 𝑧 =
𝑥−𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
11− 8,9
2,5
= 0,84, de 
posse deste valor encontraremos na tabela 2 uma área igual a 0,4406 para z = -
1,56 e 0,2995 para z = 0,84 respectivamente. Neste contexto como o solicitado é 
a probabilidade entre 5cm e 11 cm, basta adicionar uma área com a outra, tal 
identificação é possível com a visualização da curva a seguir: 
 
Logo, a probabilidade da precipitação pluviométrica ser superior a 5 cm, ou 
seja, maior que 5 cm, mas não superior a 11 cm é de 74,01%, pois equivale a soma: 
0,4406 + 0,2995.. 
c) superior a 12 cm. 
O primeiro passo transformar a variável x em uma z, logo: 𝑧 =
𝑥−𝜇
𝜎
→ 𝑧 =
12 − 8,9
2,5
= 1,24; de posse deste valor consultamos a tabela 2 e encontramos área 
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equivalente a 0,3925, porém como o que deseja é probabilidade de ser superior 
a 12 cm, ou seja, maior que 12 cm é necessário realizar a subtração entre as áreas, 
é importante ressaltar que metade da área equivale a 50%, ou seja, 0,5 , e como 
a tabela utilizada define que a área tabelada parte da média é necessário realizar 
a operação de diferença a seguir : 𝑃(𝑋 ≻ 12) =0,5 - 0,3925 = 0,1025. 
 
Logo, a probabilidade da precipitação pluviométrica ser superior a 12 cm 
equivale a 10,25%. 
 
Você Já ouviu falar no termo Big Data? Ele é o uso da estatística na prática para 
análise de um grande volume de dados. A ciência dos dados está cada vez mais 
em alta, veja a matéria a seguir sobre o que é e como surgiu: 
https://www.oracle.com/br/big-data/guide/what-is-big-data.html 
 
Síntese 
Dando continuidade, no âmbito da probabilidade ao estudo das 
distribuições de probabilidade de variáveis discretas conhecemos outra 
categoria, denominada distribuição de Poisson, bem como suas particularidades 
e aplicações em nosso cotidiano. 
No contexto de variáveis aleatórias contínuas foram analisadas: a 
distribuição acumulada, a distribuição exponencial e a mais importante e mais 
utilizada (sem desmerecer as outras) a distribuição normal, que se baseia na 
https://www.oracle.com/br/big-data/guide/what-is-big-data.html
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proporção da área ocupada em uma curva normal. Nestas três distribuições foi 
apresentado sua fundamentação teórica, aplicação e resolução de problemas 
envolvendo tais definições. 
 
Nesta última unidade, você teve a oportunidade de: 
● Conhecer a definição e aplicabilidade da Distribuição de Poisson; 
● Resolver situações-problema por intermédio da Distribuição de 
Poisson; 
● Entender sobre as Distribuições de Probabilidade de variáveis 
contínuas; 
● Conhecer a definição e aplicabilidade das distribuições acumuladas; 
● Resolver situações-problema por distribuições acumuladas; 
● Conhecer a definição e aplicabilidade da distribuição Exponencial; 
● Resolver situações-problema por intermédio da distribuição 
Exponencial; 
● Compreender as peculiaridades de uma distribuição Normal; 
● Ler e Interpretar os dados contidos na tabela de distribuição Normal; 
● Resolver situações problema por intermédio da distribuição Normal. 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia 
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em Educação Matemática) - Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita 
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Intersaberes, 2013. Disponível em: Minha Biblioteca. 
COSTA, Giovani Glaucio de Oliveira. Curso de estatística básica - Teoria e Prática. 
2ªedição. São Paulo: Atlas, 2015. Disponível em: Minha Biblioteca. 
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MAGALHÃES, Marcos ; LIMA, Antonio Carlos Predroso de. Noções de 
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