2017531 163941 NOTAS+DE+AULA+TCALOR++CIVIL

Prévia do material em texto

1 
NOTAS 
 DE 
AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 1. “INTRODUÇÃO À TRANSMISSÃO DE CALOR” 
 
 
 
 CALOR (Q ): É uma forma de energia em trânsito através da fronteira de um 
sistema. 
 FLUXO DE CALOR (Q ): É a quantidade de calor transferida na unidade de 
tempo. 
 
 GRADIENTE DE TEMPERATURA: É a variação da temperatura na direção 
do fluxo de calor. 
 A Transmissão de Calor estuda a troca de calor entre corpos, provocada por 
uma diferença de temperatura. 
 Na Termodinâmica, que estuda sistemas em equilíbrio, calculamos o calor 
trocado, mas não a velocidade com que a troca de calor ocorre, que será estudada pela 
Transmissão de Calor. 
 Exemplo: Sejam dois corpos em contato a temperaturas diferentes. A 
Termodinâmica estuda a temperatura de equilíbrio e a Transmissão de Calor estuda o 
tempo necessário para atingi-la. 
 
 
 
 
2. “MECANISMOS DA TRANSMISSÃO DE CALOR” 
 
 
 
 2.1 CONDUÇÃO 
 
 Ocorre em sólidos, líquidos e gases, sendo a única forma de Transmissão 
de Calor em sólidos. 
 O calor é transmitido através de uma agitação molecular em escala 
microscópica (não há deslocamento visível de massa). 
 
 
 T2 T1 
 ................ ............... T1  T2 
 
 A lei básica para o estudo da T.C. é a Lei de Fourier: 
 
 
 Q = - λ . A . dT onde: λ = condutibilidade térmica do material 
 dx A = área de troca (cte) 
 Q = taxa de transferência de calor 
 dT= gradiente de temperatura na direção de Q 
 dx 
 
 
 
3 
 O sinal ( - ) é devido à 2a Lei da Termodinâmica (O fluxo de calor é de T2 p/ T1, 
sendo que T1 T2). 
 
 Unidades:  λ  = W/m 0C (kcal/h.m.0C)= k 
 Q  = W (kcal/h) 
 
 
 2.2 CONVECÇÃO 
 
 O calor é transmitido por uma movimentação macroscópica de massa, 
implicando em termos dois sistemas envolvidos a temperaturas diferentes: um sólido e um 
fluido, que é o responsável pelo transporte de calor (deslocamento de massa). 
 A lei básica para o estudo da convecção é a Lei de Newton. 
 
 
 Q = h . A . (Tp - T ) onde: h = coeficiente de T.C. por convecção 
 
 
 Unidade: h = W/m2.0C ( kcal/h.m2.oC ) 
 
 
 
 EXEMPLOS: 
 
 
 1 - Resfriar uma placa por exposição ao ar (espontaneamente). 
 
 O calor fluirá por condução da placa para as partículas adjacentes de fluido. A 
energia assim transmitida servirá para aumentar a temperatura e a energia interna dessas 
partículas fluidas. Então, essas partículas se moverão para uma região de menor 
temperatura no fluido, onde se misturarão e transferirão uma parte de sua energia para 
outras partículas fluidas. O fluxo, nesse caso, é tanto de energia como de fluido. A energia 
é, na realidade, armazenada nas partículas fluidas e transportada como resultado do 
movimento de massa destas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
2 - Resfriar uma placa, rapidamente, usando um ventilador. 
 
 
 
 
 onde: V= velocidade do fluido num certo ponto 
 V=velocidade do fluido longe da placa 
 
 
 Quando V= 0 (na placa), o calor é trocado por condução. Nos outros pontos o calor 
é trocado por convecção, porque a velocidade V provoca um gradiente de temperatura. 
 Quando o movimento do fluido não é provocado (placa exposta ao ar ambiente) a 
Transmissão de Calor é conhecida como CONVECÇÃO NATURAL ou LIVRE. 
 Quando o movimento é provocado (caso do ventilador) a Transmissão de Calor é 
conhecida como CONVECÇÃO FORÇADA. 
 
 
 
 2.3 RADIAÇÃO 
 
 
 É a Transmissão de Calor que ocorre por meio de ondas eletromagnéticas, 
podendo ocorrer tanto em um meio material quanto no vácuo. 
 A lei básica para o estudo da radiação é a Lei de Stefan-Boltzman. 
 
 
 
Q
 = .A.(T14 - T24) onde:  = constante de Stefan-Boltzman = 5,669x10-8 W/m2K4 
 
 
 Para um corpo negro emitindo calor: Q =.A.T4 
 Para superfícies pintadas ou de material polido: 
 Q = Fe.Fg..A.(T14 - T24) onde: Fe = f (emissividade E) 
 Fg = fator de forma 
 T1 = Tplaca e T2 = Tambiente 
 
 
 
 
 
5 
 3. “CONDUÇÃO DE CALOR” 
 
 
3.1 HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS 
 
a) O fluxo de calor é unidimensional. 
 
 
 
b) As superfícies perpendiculares ao fluxo de calor são isotérmicas (T=cte ). 
 
 
 
 
c) O regime é permanente, logo o fluxo de calor é constante e as temperaturas não 
mudam com o tempo. 
 
3.2 CONDUÇÃO DE CALOR EM PAREDES PLANAS 
 
3.2.1 UMA PAREDE PLANA 
 
T2 T1 
e 

Q
)()0(
...
12
0
0
2
1
2
1
TTke
A
Q
dTkdx
A
Q
kdTdx
A
Q
dTkdx
A
Q
dx
dT
AkQ
T
T
e
T
T
e









 
)()( 2112 TT
e
kA
QouTT
e
kA
Q 

 
 
 
6 
“Resistência Térmica” 
 
)./()/(
.
:
.
)(
. 21
21
hkcalCWCR
conduçãoàtérmicaaresistênciR
Ak
e
onde
Ak
e
TT
TT
e
Ak
Q
OO
k
k
Rk





 
 
 
ANALOGIA ENTRE TRANSMISSÃO DE CALOR E O FLUXO DE UMA 
CORRENTE ELÉTRICA 
 
 Lei de Ohm 
ek R
U
I
R
TT
Q 



21
 
ek RR
UTT
IQ




21 
 
Os bons condutores de eletricidade são também bons condutores de calor. 
 Quem conduz a eletricidade nos metais são os elétrons livres e quem conduz o 
calor nos metais também são os elétrons livres. 
térmicaidadecondutibilkonde
kA
e
Rk


:
.
 
elétricaadecondutividonde
A
L
Re


':
1
'
'.



 
 
 
KR
TT
Q 21



 
 
3.2.2 PAREDES PLANAS EM SÉRIE 
 
 
 
Ak
e
Ak
e
RRRonde
R
TT
Q ttteq
teq ..
:
2
2
1
1
21
21 



 
 
Genericamente: 
 
 
 
 
 
 
onde n = n0 de paredes planas (em série) 
 
 



n
i i
i
n
i
titeq
Ak
e
RR
11 .
 
 
 
 
7 
3.2.3 PAREDES PLANAS EM PARALELO 
 
 
 
22
2
11
1
21
21
.
1
.
11
:
Ak
e
Ak
eR
onde
R
TT
Q
QQQ
teqteq






 
 
Genericamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: n = n
0 de paredes planas (em 
paralelo) 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
 1) Calcular o fluxo de calor que passa por uma parede de 5 cm de espessura, 2 
m2 de área e λ = 10 kcal/h m oC, se as temperaturas superficiais são de 40 0C e 20 0C. 
(Q = 8.000 kcal/h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
eqR
TT
Q 21



 
 
 
 
 
8 
2) Deseja-se isolar termicamente uma parede de tijolos de 15 cm de espessura, 
com k = 15 kcal/h m oC. A área da parede é de 8 m2. O material escolhido para o 
isolamento é a cortiça com 2 cm de espessura e k = 0,08 kcal/h.m.0C. As temperaturas 
superficiais são 150 0C e 23 0C. Calcular o fluxo de calor através das paredes e a 
temperatura intermediária entre a parede de tijolos e de cortiça. 
(Q = 3.908 kcal/h; Tx = 145 ºC) 
 
 
3º) Sabendo que o material da parede 2 suporta, no máximo, 1350 oC, 
verifique as condições do projeto e proponha modificações, se for o caso. 
 
 
 
 
 e1 e2 e3 
 
 
Ti Tx T2 Ty Te 
 
 
 K1 k2 k3 
Dados:Ti = 1500 ºC 
Te = 50 ºC 
e1 = 0,12 m 
e2 = 0,14 m 
e3 = 0,12 m 
k1 = 1,6280W/m ºC 
k2 = 0,1745 W/m ºC 
k3 = 0,6980 W/m ºC 
 
 
 
etijolo 
ecortiça 

Q
 
T1 T2 
Tx 
ktijolo 
kcortiça 
?
?
23150
../08,0
2
2
../15
15
1
21








x
OO
O
cortiça
cortiça
O
tijolo
tijolo
T
Q
CTCT
Cmhkcalk
cme
parede
Cmhkcalk
cme
parede
 
 
 
 
9 
4) A parede de uma sala é construída com um material de k = 5 kcal/h m 0C , com 
12 cm de espessura, 30 m2 de área, descontadas três janelas de 2 cm de espessura, de 
um material de k = 10 kcal/h m 0C e 2 m2 de área cada uma. Calcular o fluxo total de 
calor que passa pela parede e janelas. 
(Q = 63.750 kcal/h) 
 
 
 
 
 
 
 5o) A parede externa de uma casa pode ser aproximada por uma camada de 4 
polegadas de tijolo comum (k= 0,7 W/m oC) seguida de uma camada de 1,5 polegadas de 
gesso (k= 0,48 W/m oC). Que espessura de isolamento de lã de rocha (k= 0,065 W/m oC) 
deve ser adicionada para reduzir a transferência de calor através da parede em 80% ? 
(e = 0,058m) 
 
 
 
 
 
 
 eparede egesso elã = ? 

Q
 
 kparede kgesso klã 
 
 
 
10 
6º) Uma parede é construída com uma placa de lã de rocha (k = 0,05 W/mºC) de 2 
polegadas de espessura, revestida por duas chapas de aço, com k = 50 W/mºC e ¼ de 
polegada de espessura cada. Para a fixação são empregados 25 rebites de alumínio (k = 
200 W/mºC) por metro quadrado, com diâmetro de ¼ de polegada. Calcular a resistência 
térmica total de 1 m2 dessa parede. Dado: 1” = 2,54 cm 
(RT = 0,2876 ºC/W) 
 
 
 
 
 
7º) Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m de 
comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 ºC. As paredes da sala, de 25 cm de 
espessura, são feitas de tijolos com condutividade térmica de 0,14 kcal/h.m.ºC e a área 
das janelas podem ser consideradas desprezíveis. A face externa das paredes pode estar 
até a 40 ºC em um dia de verão. Desprezando a troca de calor pelo piso e pelo teto, que 
estão bem isolados, pede-se (em HP): 
a) calcular a potência requerida pelo compressor para retirar o calor da sala; (Q =1,98 HP) 
b) considerando que nesta sala trabalhem 10 pessoas que utilizam 1 computador cada 
(cada pessoa libera 200 W e cada computador 500 W), calcular a nova potência requerida 
pelo compressor. (Q =11,4 HP) 
DADOS: 1 HP = 64O kcal/h 
 1 kW = 860 kcal/h 
 
 
 
3 m 

Q
 
 6m 
e 
k 
T1 
T2 

Q
 
 Aço Lã de Rocha Aço 
 
 
 
11 
8º) As superfícies internas de um grande edifício são mantidas a 20 ºC, enquanto 
que a temperatura na superfície externa é -20 ºC. As paredes medem 25 cm de 
espessura, e foram construídas com tijolos de condutividade térmica de 0,6 kcal/h m ºC. 
a) Calcular a perda de calor para cada metro quadrado de superfície por hora; (Q = 96 
kcal/h) 
b) Sabendo-se que a área total do edifício é 1000 m2 e que o poder calorífico do carvão é 
de 5.500 kcal/kg, determinar a quantidade de carvão a ser utilizada em um sistema de 
aquecimento durante um período de 10 h. Supor o rendimento do sistema de 
aquecimento igual a 50%. (C = 349 kg) 
 
 
 
 
 
 
 
 
9º) Uma empresa vem controlando o seu consumo de energia desde 2001, por 
conta do racionamento imposto pelo governo à sociedade. Seu principal gasto é com 
energia, inclusive aquela desperdiçada no forno, cuja parede é constituída de uma 
camada de 0,20 m de tijolos refratários (k = 1,2 W/m oC) e outra de 0,10 m de tijolos 
isolantes (k = 0,8 W/m oC). 
Um grave problema é que, sendo a temperatura interna igual a 1700 oC, a parede 
mais externa chega a 100 oC, prejudicando a saúde do operador. Foi proposto o 
acréscimo de 2 cm à parede externa, de um determinado material isolante (k = 0,15 W/m 
oC) a fim de que a temperatura nessa face caia para 27 oC. Calcular: 
a) a redução percentual de calor com a colocação do isolamento; (Redução = 28,24%) 
b) o tempo de amortização do investimento, sabendo que: 
 Custo do isolante = 100 U$/m2 
 Custo de energia = 2 U$/GJ 
(Tempo = 374 dias) 
 
 
k 
T1 
T2 

Q
 
e 
 
 
 
12 
10º) Calcular o fluxo de calor na parede composta de 1ft2 de área: (Q = 30.960 
Btu/h) 
 
 
 
 
onde, 
 
material a b c d e f g 
k (Btu/h.ft.oF) 100 40 10 60 30 40 20 
 
DADO:1 ft = 12” 
 
 
11º) Seja uma parede composta que inclui um painel lateral em madeira dura com 
8mm de espessura; travessas de suporte em madeira dura com dimensões de 40 mm por 
130 mm, afastadas com 0,65 m de distância (centro a centro) e com espaço livre 
preenchido com isolamento térmico à base de fibra de vidro (revestida de papel, k=0,038 
W/m.K); e uma camada de 12 mm de painéis em gesso (vermiculita). 
Qual é a resistência térmica associada a uma parede, que possui 2,5m de altura e 
6,5 m de largura (logo, possuindo 10 travessas de suporte, cada uma com 2,5 m de 
altura)? (R = 0,18534 K/W) 
 
130 mm 
0,65 m 
 40 mm 
8 mm 
12 mm 
 Lateral de Madeira 
 Travessas de 
Suporte 
 Isolamento Térmico 
Painel de Gesso 
2,5 m 

Q
 
km=0,094 W/m.K 
kt=0,16 W/m.K 
kisol=0,038 W/m.K 
kg=0,17 W/m.K 
 
 
 
13 
3.3 CONDUÇÃO DE CALOR EM PAREDES CILÍNDRICAS 
 
3.3.1 UMA PAREDE CILÍNDRICA 
 
 
 
 
LRAonde
dR
dT
AkQ ...2:.. 
 
)(ln
..2
)()ln(ln
..2
..2
.
..2
....2.log
21
1
2
1212
2
1
2
1
TTk
R
R
L
Q
TTkRR
L
Q
dTk
R
dR
L
Q
dTk
R
dR
L
Q
dR
dT
LRkQo
T
T
R
R








 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Resistência térmica de uma parede cilíndrica” 
 

I
R
U
Q
Lk
R
R
TT
R
R
TTLk
Q





 ...2
ln
ln
)(...2 1
2
21
1
2
21


 
 
Lk
R
R
Rt
...2
ln
1
2

 
 
 
1
2
21
ln
)(...2
R
R
TTLk
Q


 
 
eqR
TT
Q 21


 
 
 
 
 
14 
3.3.2 - PAREDES CILÍNDRICAS EM SÉRIE 
 
 
 
 
 
 
Lk
R
R
Lk
R
R
RRRonde
R
TT
Q ttteq
teq ...2
ln
...2
ln
:
2
1
2
1
0
1
21
21
 



 
 
 
Genericamente: 
 
 
 
 
 
onde n = no de paredes cilíndricas (em série) 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 1º) Um tubo metálico de 20m de comprimento, 5 cm de diâmetro interno e 1,5 cm 
de espessura é feito de um material de k=65 kcal/h.m.0C. 
O tubo é revestido com um isolante térmico de k=0.04 kcal/hm 0C, e espessura de 10 cm. 
Sabendo-se que as temperaturas interna e externa são 250 0C e 30 0C, respectivamente, 
calcular: 
 a - o fluxo de calor. (Q =882 kcal/h) 
 b - a temperatura na superfície que separa o tubo do isolante. (Tx= 249,9 ºC) 
 
 
 
Lk
R
R
R
i
n
i
teq
...2
ln
1


 

 
 
 
 
15 
 
 
 
 
2º) Um tubo de parede grossa de aço inoxidável (1,8%Cr; 8%Ni, k = 19 W/m oC) 
com 2 cm de diâmetro interno e 4 cm de diâmetro externo é coberto com uma camada de 
3 cm de isolamento de amianto (k= 0,2 W/m oC). Se a temperatura da parede interna do 
tubo é mantida a 600 oC e a superfície externa do isolamento a 100 oC, calcule a perda 
de calor por metro de comprimento, e a temperatura na interface aço inox/amianto (Tx). 
(Q = 680 W/m; Tx = 595,8 ºC) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º) Uma fábrica de condutores elétricos produzfios de 3 mm de raio com 
resistência de 10,3 /m nos quais deve passar uma corrente de 4A. Deseja-se isolá-los 
K1 
 
 K2 
T1 
 
 T2 
Tx = ? 
R1 
 
R2 
 
 
R3 
T1 T2 
RK AÇO RK AMIANTO 
L 
K1 
 
 K2 
T1 
 
 T2 
Tx 
 
 
 
16 
térmica e eletricamente, usando um material plástico de condutividade 0,2 kcal/hm0C. 
Sabendo-se que o setor de engenharia fixou a temperatura de operação do fio em 65 0C e 
supondo que a temperatura externa do isolante seja 25 0C, determinar a espessura da 
capa isolante a ser utilizada. (e = 1,26 mm) 
 
 
4º) Calcular a perda de calor e as temperaturas nas interfaces de uma tubulação 
de 1 metro de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e diâmetro externo de 220 mm, 
de material com condutividade k = 50 W/m 0C. Esta tubulação deverá ser isolada com 50 
mm de espessura de um material com k1 = 0,2 W/m 
0C e, também, com 80 mm de 
espessura de material com k2 = 0,1 W/m 
0C. Prever que a temperatura interna no tubo 
será 327 ºC e a externa no isolamento será 47 ºC. Faça o desenho da figura. (Q = 296,7 
W; TX = 326,9 ºC; TY = 238,5 ºC) 
 
5º) Um tubo de aço (k=22 Btu/h.ft.ºF) de 1/2" de espessura e 10" de diâmetro 
externo é utilizado para conduzir ar aquecido. O tubo é isolado com 2 camadas de 
materiais isolantes: a primeira de isolante de alta temperatura (k=0,051 Btu/h.ft. ºF) com 
espessura de 1" e a segunda com isolante à base de magnésia (k=0,032 Btu/h.ft.ºF), 
também com espessura de 1". Sabendo que estando a temperatura da superfície interna 
do tubo a 1000 ºF a temperatura da superfície externa do segundo isolante fica em 32 ºF, 
pede-se : 
a) Determine o fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo; (Q = 724 Btu/h) 
b) Determine a temperatura da interface entre os dois isolantes; (T3 = 587,36 ºF) 
c) Compare os fluxos de calor se houver uma troca de posicionamento dos dois isolantes. 
(Q = 697 Btu/h) 
 
 
FT
FT
0
2
0
1
32
1000

 
ftL
FfthBtuk
e
FfthBtuK
e
FfthBtuk
t
1
../032,0
"1
../051,0
"10
"
2
1
../22
0
3
2
0
2
2
1
0
1








 
 
4. “CONDUTIVIDADE TÉRMICA VARIÁVEL” 
 
T1 
 
 
T2 
 
 
 
 
 
k 
R1 
 
 
 
R2 
 
 
 
17 
 
 
kdTdx
A
Q
dx
dT
AkQ
bTak




.. 
 
Lk
R
R
TT
Q
kA
e
TT
Q
CilíndricaParedePlanaParede
TT
b
aTT
A
e
Q
TTTT
b
TTa
A
e
Q
TT
b
TTaTT
b
TTa
A
e
Q
dTbTdTa
A
e
Q
dTbTae
A
Q
kdTdx
A
Q
m
m
k
T
T
T
T
T
T
T
T
e
m
...2
ln
.
)(
2
)(
)()(
2
)(
)(
2
)()(
2
)(
)()0(
1
2
2121
2121
212121
2
2
2
121
2
1
2
212
0
2
1
2
1
2
1
2
1













































  
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
18 
1º) Determinar a temperatura T2 e a espessura do revestimento protetor (k=0,84 + 
0,0006T W/m oC) de uma chaminé de concreto (k=1,1 W/m oC). A chaminé é cilíndrica (De 
= 1300 mm, Di = 800 mm), transporta gases a 425 
oC, e a temperatura máxima que o 
concreto pode suportar é 200 oC. (T2 = 59,44 ºC; e = 0,2065 m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º) Um tubo (Di = 160 mm e De = 170 mm) é isolado com 100 mm de um material com k = 
0,062 + 0,0002 T (W/m oC). Sabendo-se que as temperaturas na face externa do tubo e 
D1 = 1300 mm R1 = 650 mm 
D2 = 800 mm R2 = 400 mm 
kc = 1,1 W/m 
o
C 
kR = 0,84 + 0,0006 T (W/m 
o
C) 
 
 
 
 
Q
 = 2 kW/m = 2000 W/m 
e=? 
  = D1 
  = D2 
 = D3 
425 
o
C 
T  200 
o
C 
T2 = ? 
425 
o
C RR 200 
o
C RC T2=? 
 
 
 
19 
na face externa do isolamento são, respectivamente, 300 oC e 50 oC, determine a 
potência dissipada por metro de tubo. (Q = 196 W) 
 
 
 
 
 
5. “CONVECÇÃO” 
 
 
 
Combina condução com movimentação de massa e é característica de meios 
fluidos. 
 Quando um fluido entra em contato com uma superfície sólida aquecida, recebe 
calor por condução, a densidade de suas partículas diminui fazendo-as subir, cedendo 
lugar às mais frias. 
 
 CONVECÇÃO - Natural ou Livre (espontaneamente) 
 - Forçada (se usarmos um agente mecânico) 
 
 
“RESISTÊNCIA TÉRMICA” 
 



I
R
U
Q
Ah
TTAhQ


.
1
.. 
Lei de Ohm  U = R  
 
 
 
 
 5.1 EFEITOS COMBINADOS DE CONDUÇÃO E CONVECÇÃO 
 
 
50 
o
C 
300 
o
C 
 
Q
 
 
R1 
R2 
R3 
D1 = 160 mm R1 = 80 mm 
D2 = 170 mm R2 = 85 mm 
 R3 = 85 + 100 =185 mm 
Ah
Rt
.
1
 
 
 
 
20 
 5.1.1 UMA PAREDE PLANA 
 
 
h1 h2 Q = T 
 R teq 
 
 Q onde R teq = Rtf1 + Rtp + Rtf2 
 
T1 T2 
 R teq = 1 + e + 1 
 Tp2T2 h1.A k.A h2.A 
Tp1T1 
 
 A = cte T2  T1 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1.1.1 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISSÃO DE CALOR: U 
 
 
 1 = 1 + e + 1  É uma conveniência de 
 U h1 k h2 notação. 
 
 
 
 logo: Q = A ( T1 - T2 )  Q = A . U . ( T1 - T2 ) 
 1 
 U 
 
 5.1.2 PAREDES PLANAS EM SÉRIE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1º) A parede de um reservatório tem 10 cm de espessura e condutividade térmica de 5 
kcal/h m 0C. A temperatura dentro do reservatório é 150 oC e o coeficiente de transmissão 
de calor na parede interna é 10 kcal/h m2 oC. A temperatura ambiente é 20 oC e o 
AhAk
e
Ah
TT
Q
.
1
..
1
2.1
21




 
sérieemparedesdenoénonde
hAk
e
AhA
TT
Q
O
n
i i
i
:
.
11
.
1
)(
1 21
21






 
 
 
 
21 
coeficiente de transmissão de calor na parede externa é 8 kcal/h m2 oC. Calcular o fluxo 
de calor para 20 m2 de área de troca. (Q = 10.608 kcal/h) 
 
 
 A = 20 m2 k = 5 kcal/h m 0C 
 
 T1 = 150 
0C T2 = 20 
0C 
 
 Água Ar 
 Q 
 
 
h1= 10 kcal/h m
2 0C h2 = 8 kcal/ h m
2 0C 
 
 10 cm 
 
 
2º) A parede de uma fornalha é constituída de três camadas: 10 cm de tijolo refratário (k = 
0,6 kcal/h m oC) 20 cm de amianto (k = 0,09 kcal/h m oC) e 5 cm de argamassa (k = 3 
kcal/h m oC). A temperatura dentro da fornalha é de 1000 oC e o coeficiente de 
transmissão de calor na parede interna é 10 kcal/h m2 oC. A temperatura ambiente é 30 
oC e o coeficiente de transmissão de calor na parede externa é 2 kcal/h m2 oC. Calcular o 
fluxo de calor porunidade de tempo, sabendo-se que a área de troca é 30 m2. (Q = 9.682 
kcal/h) 
 
 
 
 
 
 
T1 = 1000 
0C T2 = 30 
0C 
 
 
 Q 
   
 
 er eam ear 
 
 
h1=10 kcal/h m
2 0C h2 = 2 kcal/h m
2 0C 
 
 
 
3º) Idem ao exercício anterior, considerando que o calor seja de 5.000 kcal/h, 
determinar a espessura da parede de amianto. (e = 45,3 cm) 
 
 4º) Uma parede de um forno é constituída de duas camadas: 0,20 m de tijolo 
refratário (k = 1,2 kcal/h m oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 kcal/h m oC). A 
temperatura dentro do forno é 1700 oC e o coeficiente de transmissão de calor na parede 
interna é 58 kcal/h m2 oC. A temperatura ambiente é 27 oC e o coeficiente de transmissão 
Argamassa Refratário 
Amianto 
 
 
 
22 
de calor na parede externa é 10 kcal/h m2 oC. Desprezando a resistência térmica das 
juntas de argamassa, estime: 
 a) O calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede; (Q = 1.454 kcal/h) 
 
 b) A temperatura na superfície interna; (Ti = 1.674,9 ºC) 
 c) A temperatura na superfície externa. (Te = 172,4 ºC) 
 
 k = 1,2 kcal/h m oC k = 0,15 kcal/h m oC 
 
 
 
 
Ti=? Te = ? 
 
T1 T2 
 
   
 
 e1 = 0,2 m e2=0,13 m 
 
 
 h1 = 58 kcal/h m
2 oC h2 = 10 kcal/h m
2 oC 
 
5º) Dois fluidos estão separados por uma placa de aço inoxidável, com 2 polegadas 
de espessura, área de 10 pé2 e k = 45 Btu/h.pé.oF. As temperaturas dos fluidos e o 
coeficiente médio de transferência de calor são TF1 = 50 
oF; TF2 = 0 
oF; h1 = 200 
Btu/h.pé2.oF e h2 = 150 Btu/h.pé
2.oF. Determinar as temperaturas das superfícies e o fluxo 
de transferência de calor através da placa quando a radiação térmica nas superfícies for 
desprezível. (Q = 32.530 Btu/h; T1 = 33,7 ºF; T2 = 21,87 ºF) 
 
 
6º) No interior de uma estufa de alta temperatura os gases atingem 650 oC. A 
parede da estufa é de aço, tem 6 mm de espessura e fica em um espaço fechado onde há 
risco de incêndio, sendo necessário limitar uma temperatura da superfície em 38oC. Para 
minimizar os custos de isolação, dois materiais serão usados: primeiro, isolante de alta 
temperatura (mais caro, com k = 0,0894 kcal/hm oC, aplicado sobre o aço de k = 37,24 
kcal/hm oC) e depois, magnésio (mais barato, com k = 0,0670 kcal/hm oC) externamente. 
A temperatura máxima suportada pelo magnésio é 300 oC. Pede-se: 
h1 
TF1 
2” 
h2 
TF2 
k 
 Rh1 Rk Rh2 
 TF1 T1 T2 TF2 
 
 
 
23 
a) Especificar a espessura de cada material isolante (em cm); (em = 4,88 cm; ei = 8,67 
cm) 
b) Sabendo que o custo do isolante de alta temperatura, por cm de espessura colocado, é 
2 vezes o do magnésio, calcular a elevação percentual de custo se apenas o isolante de 
alta temperatura fosse utilizado. (36,6%) 
Dados: 
Temperatura ambiente = 20 oC 
h1 = 490 kcal/hm
2 oC 
h6 = 20 kcal/hm
2 oC 
 
 6 mm ei em 
 h1 h6 
 
 T1 = 650 
o
C T2 T3 T4 = 300 
o
C T5 = 38
 o
C T6 = 20 
o
C 
 
 
 K1 k2 k3 
 
7º) O inverno rigoroso na floresta deixou o lobo mau acamado. Enquanto isto, os 
três porquinhos se empenham em manter a temperatura do ar interior de suas respectivas 
casas em 25 ºC, contra uma temperatura do ar externo de -10 ºC, alimentando suas 
lareiras com carvão. Todas as três casas tinham a mesma área construída, com paredes 
laterais de 2 m x 6 m, e frente/fundos de 2 m x 2 m, sem janelas (por medida de 
segurança, obviamente). Sabe-se que cada quilograma de carvão queimado libera uma 
energia de cerca de 23 MJ. Considerando que os coeficientes de transferência de calor 
por convecção nos lados interno e externo das casas são iguais a 7 W/m2.K e 40 W/m2.K, 
respectivamente, e desprezando a transferência de calor pelo piso e pelo teto que são 
bem isolados, pede-se: 
 i) Montar o circuito térmico equivalente para a transferência de calor que ocorre em regime 
permanente (estacionário) na casa do porquinho P1; 
 ii) Calcular a taxa de perda de calor em Watts através das paredes dessa casa; (Q = 702 
W) 
 iii) Calcular a temperatura da superfície interna das paredes, relativa ao circuito do item (i); 
(Ti = 21,96 ºC) 
 iv) Calcular a perda diária de energia em MJ (megajoules) correspondente ao circuito do 
item (i); (Q = 59 MJ/dia) 
 v) Fazer um balanço de energia na casa e calcular o consumo diário de carvão, necessário 
para manter a temperatura interior no nível mencionado. Para tanto, considere que o corpo de um 
porquinho ocioso em seu lar libera energia a uma taxa de 100 J/s; (C = 2,19 kg/dia) 
 vi) Qual das casas irá consumir mais carvão? Por quê? Obs: não é necessário calcular, 
apenas observe a tabela dada. 
 
Casa pertencente ao porquinho: P1 P2 P3 
Material Palha Madeira Tijolos 
 
 
 
24 
Espessura das paredes 10 cm 4 cm 10 cm 
Condutividade térmica (SI) 0,07 0,14 0,72 
 
 
8º) Uma parede composta (2m X 2m) possui uma blindagem externa de aço (kA = 
54 W/m ºC) e eA = 5 mm. Em certas horas do dia a parede externa de aço chega a 100 
ºC. A alvenaria tem espessura de 0,3 m e é composta de dois materiais. O primeiro metro 
de altura é formado pelo material B (kB = 0,52 W/m ºC) e o segundo metro de material C 
(kc = 0,98 W/m ºC). Uma vez que a transferência máxima de calor para a parede é 350 W, 
deve-se aplicar isolamento interno. O material escolhido foi a cortiça D ((kD = 0,048 W/m 
ºC). Determinar a espessura de cortiça a ser aplicada para que as especificações do 
projeto sejam atendidas. Dados para o ar ambiente: Tar = 20 ºC e har = 25 W/m
2 ºC. (e = 
22,78 mm) 
 
 
 “RESISTÊNCIA TÉRMICA DE CONTATO” 
 
Sistema composto com contato Sistema composto com contato 
 térmico perfeito térmico imperfeito 
 
 
material material material material 
     
 
Te=100 
o
C 
 0,005 0,3 e=? 
Ar 
Tar = 20 
oC 
har = 25 W/m
2 oC 
A 
B 
C 
D 
Isolamento Térmico 
WQ 350

2 m 
2 m 
6 m 
 
 
 
25 
+*-/ 
Interface do sistema Interface do sistema 
 
 
 ∆T 
 
 
distribuição de temperatura distribuição de temperatura 
 
Circuito térmico Circuito térmico 
 
 R R R RTC R 
 
 
 Q Q 
 
 
 onde: RTC = 1 
 hTC A 
 
 O coeficiente de contato térmico hTCdepende do material, da aspereza da 
superfície, da pressão de contato e da temperatura. 
 hTC  para aço inox. ( 3 kW/m
2 0C) 
 hTC  para cobre (  150 kW/m
2 0C) 
 
 
 Um meio prático de reduzir a resistência térmica de contato é inserir um material de 
boa condutividade térmica entre as duas superfícies. Existem graxas com alta 
condutividade, contendo silício, destinadas a este fim. Em certas aplicações podem ser 
usadas também folhas delgadas de metais moles. 
 
 
EXERCÍCIO 
 
 1º) Duas barras de aço inoxidável 304, de 3 cm de diâmetro e 10 cm de 
comprimento, têm as superfícies retificadas e estão expostas ao ar com uma rugosidade 
superficial de aproximadamente 1µm. As superfícies são pressionadas uma contra a outra 
com uma pressão de 50 atm e é aplicada à combinação das duas barras uma diferença 
de temperatura de 100 oC. Calcule o fluxo de calor axial (Q = 5,52W) e a queda de 
temperatura através da superfície de contato (∆T = 4,13 ºC). 
 
 Rk1 RTc Rk2 
 Q 
 
 
 10 cm 10cm 
 
 Dados: 
 
 hc = 1893,94 W/m
2 oC (coeficiente de contato) 
 kaço = 16,3 W/m 
oC 
 
 
 
26 
 
 
5.1.3 UMA PAREDE CILÍNDRICA 
 
 
 
 
Comprimento da parede: L 
 
21: tftptfteq
teq
RRRRonde
R
T
Q 


 
 

LRhLk
R
R
LRh
Rteq
..2.
1
..2
ln
..2.
1
22
1
2
11 
 
 
 
 
LRhLk
R
R
LRh
TT
Q
...2.
1
...2
ln
...2.
1
22
1
2
11
21





 
5.1.4 PAREDES CILÍNDRICAS 
 

 







n
i ni LRhR
R
kLLRh
TT
Q
1 1211
21
...2.
1
ln
1
..2
1
...2.
1
)(

 
 
 
 
 
 
27 
EXERCÍCIOS 
 
 1º) Calcular a perda de calor, por metro linear, de um tubo com diâmetro nominal 
de 80 mm (diâmetro externo = 88,9 mm; diâmetro interno = 77,9 mm; k = 37 kcal/h m oC), 
coberto com isolação de amianto de 13 mm de espessura (k = 0,16 kcal/h m oC). O tubo 
transporta um fluido a 150 oC com coeficiente de transmissão de calor interno de 195 
kcal/h m2 oC, e está exposto a um meio ambiente a 27 oC, com coeficiente de 
transmissão de calor médio, do lado externo, de 20 kcal/hm2 oC. (Q = 296 kcal/h) 
 
 
 
 
 R2 Te = 27 
oC 
 R1 
 Ti =150 
oC Q 
 
 R3 
 Tx 
 Ty 
 Tz 
 
 
 
2º) k2 T2= 20 
oC 
 
 h2 
Dados: 
L= 300 m R1 
e1= 1,8 cm R2 
e2= 15 cm T1 = 200 
oC Q 
1= 20 cm h1 R3 
k1 = 50 kcal/h m 
0C 
k2 = 0,15 kcal/h m 
0C Tx k1 
h1 = 10 kcal/h m
2 0C Ty 
h2 = 8 kcal/h m
2 0C Tz 
 
Calcular: 
a- calcular o fluxo de calor; (Q = 48.900 kcal/h) 
b- calcular a temperatura nas faces Tx, Ty, Tz. (TX = 174 ºC; TY = 173,9 ºC; TZ = 32 ºC) 
 
 
 3º) Um condutor de uma linha de transmissão de 5000A ( = 1”, r = 3,28.10-6 ), 
dissipa calor no ambiente a 35 0C com h = 10 W/m2.0C. Determine a temperatura do 
condutor. (T = 138 ºC) 
 t=? Q 
 
 
 
 
 
28 
 
  =1”= 0,0254 m 
 r = 3,28.10-6  
 
 
 L = 1m 
 
 
 
 4º) Por um fio de aço inoxidável de 3 mm de diâmetro passa uma corrente elétrica 
de 20 A. A resistividade do aço pode ser tomada como 70 .m, e o comprimento do fio é 
1m. O fio está imerso num fluido a 110 oC e o coeficiente de transferência de calor por 
convecção é 4 kW/m2 oC. Calcule a temperatura do fio. (T = 215 ºC) 
 
 
5º) Um submarino deve ser projetado para proporcionar uma temperatura 
agradável à tripulação, não inferior a 20oC. O submarino pode ser idealizado como um 
cilindro de 10m de diâmetro e 70m de comprimento. 
 A construção das paredes do submarino é do tipo sanduíche com uma camada 
externa de 19 mm de aço inoxidável (k = 14 kcal/hm oC), uma camada de 25 mm de fibra 
de vidro (k = 0,034 kcal/hm oC) e outra camada de 6 mm de alumínio no interior (k = 175 
kcal/hm oC). O hi = 12 kcal/hm
2 oC, enquanto o he = 70 kcal/hm
2 oC (parado) e he = 600 
kcal/hm2 oC) (em velocidade máxima). 
 Determinar a potência requerida em kW, da unidade de aquecimento, sabendo que 
a temperatura do mar varia entre 7 oC e 12 oC. Faça o desenho. (P = 40 kW) 
 
 
6º) Uma tubulação de 20 cm de diâmetro interno, espessura de 1,8 cm e (k = 50 W/ 
m oC) que atravessa o galpão de uma fábrica de 300 m, transporta água quente a 200 oC 
(h = 10 W/ m2 oC). Devido ao mau isolamento térmico, que consiste numa camada de 15 
cm (k = 0,15 W/ m oC), durante os meses de junho e julho, quando a temperatura 
ambiente cai a 12 oC e o coeficiente de transferência de calor é igual a 8 W/m2 ºC 
(período em que o problema se agrava por conta do inverno), há a necessidade de 
reaquecer a água quando chega ao seu destino, a partir de uma energia que custa R$ 
0,10/kW h. Pede-se: 
a) Calcular a taxa de calor; (Q = 51.048 W) 
b) Se a camada de isolamento for aumentada para 25 cm, qual é o custo adicional 
justificável para comprar o isolamento? (Q = 39.682 W; 1.637 R$/ano) 
5.1.5 PAREDES ESFÉRICAS 
 
 
 
 
29 
 
CONDUÇÃO 
 
  )(.4.
)(.4.
.4.
)..4(
21
1
12
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
TTkRQ
TTkdRRQ
dTk
R
dR
Q
dR
dT
RkQ
dR
dT
AkQ
R
R
R
R
T
T
R
R


















 




























21
21
21
21
21
12
11
..4
1
11
)(..4
)(..4)
1
(
1
RRk
TT
Q
RR
TTk
Q
TTk
RR
Q



 
CONVECÇÃO 
 
2..4.
1
.
1
Rh
R
Ah
R
h
h



 
 
EXERCÍCIOS 
R1 
R2 
k 
he Te 
 
 T2 
hi Ti 
T1 
 
 
 
30 
1º) Um tambor metálico esférico de parede delgada é utilizado para armazenar 
nitrogênio líquido a 77 K. O tambor tem um diâmetro de 0,5 m e é coberto com isolamento 
refletivo composto de pó de sílica (k = 0,0017 W/m.K). A espessura do isolamento é de 25 
mm e sua superfície externa encontra-se exposto ao ar ambiente a 300 K. O coeficiente 
de convecção é dado por 20 W/m2.K. Qual é a transmissão de calor para o N2 líquido? 
(Q = 13,06 W) 
 
 
 
2º) Calcular a taxa de evaporação do N2, no exercício anterior. 
Dados p/ N2: Calor latente de vaporização = hfg =2.10
5J/kg 
 massa específica = dN2 = 804 kg/m
3 
(m = 5,64 kg/dia ou V = 7 l/dia) 
 
3)º Um tanque de aço (k = 40 kcal/h.m.ºC), de formato esférico e raio interno de 0,5 
m e espessura de 5 mm, é isolado com 1½" de lã de rocha (k = 0,04 kcal/h.m.ºC). A 
temperatura da face interna do tanque é 220 ºC e a da face externa do isolante é 30 ºC. 
Após alguns anos de utilização, a lã de rocha foi substituída por outro isolante, também de 
1½" de espessura, tendo sido notado então um aumento de 10% no calor perdido para o 
ambiente (mantiveram-se as demais condições). Determinar: 
a) fluxo de calor pelo tanque isolado com lã de rocha; (Q = 687 kcal/h) 
 
b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante, desprezando a resistência 
térmica do aço; (k = 0,044 kcal/h.m.ºC) 
R1 
R2 
k 
har 
 
 Tar 
N2 
respiro 
 
 Tar Rh RK TN2 
.
Q
 
 
 
 
31 
c) qual deveria ser a espessura (em polegadas) do novo isolante para que se tenha o 
mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de rocha. (e = 1,66”) 
 
 
 
mmme
mR
Cmhkcalk
Aço
005,05
5,0
../40
1
0
1



 
"
2
11
./04,0 02


e
Cmhkcalk
RochadeLã
 



QQ
e
IsolanteNovo
%110'
"
2
11 
 
4º) Um tanque de armazenamento possui uma seção cilíndrica, com comprimento 
e diâmetro interno de L = 2 m e Di = 1 m, respectivamente, e duas seções esféricas nas 
extremidades. O tanque é fabricado em vidro (Pyrex) com 20 mm de espessura e 
encontra-se exposto ao ar ambiente a temperatura de 300 K e coeficiente de transferência 
de calor por convecção de 10 W/m2 K. O tanque é usado para armazenar óleo aquecido, 
que mantém a sua superfície interna a uma temperatura de 400 K. Determine a potência 
elétrica que deve ser fornecida a um aquecedor submerso no óleo de modo a manter as 
condições especificadas. A condutividade térmica do Pyrex pode ser suposta igual a 1,4 
W/m . K. (P = 8.657 W) 
 
 
 
 
 
 
5º) O tanque da carreta mostrada na figura abaixo possui uma seção cilíndrica, 
com comprimento e diâmetro interno de L = 8m e Di = 2m, respectivamente, e duas 
seções esféricas nas extremidades. O tanque é usado para transportar oxigênio líquido e 
mantém a sua superfície interna a uma temperatura de – 180 ºC. Procura-se um 
2 m 
r 
1 m 
R1 
R2 
R3 
K1 
K2 T3 
T2 
T1 
 
 
 
32 
isolamento térmico, cuja espessura não deve ultrapassar 15 cm, que reduza a taxa de 
transferência de calor a não mais que 900 kcal/h. Observe que o tanque encontra-se 
exposto ao ar ambiente a uma temperatura que varia entre 12 ºC (no inverno) e 40 ºC (no 
verão). (k = 0,008976 kcal/h.m.ºC) 
 
 
 
Fonte: http://www.airliquide.com.br/secao_entr_gas.html 15/03/2005 9h10. 
 
 
6. “RAIO CRÍTICO” 
 
 
 O aumento da espessura de uma parede plana sempre reduz o fluxo de 
transferência de calor através da parede. Como é natural, uma redução no fluxo de 
transferência de calor realiza-se, com maior facilidade, mediante o uso de um material 
isolante de baixa condutividade térmica. Por outro lado, um aumento na espessura da 
parede, ou a adição de material isolante, nem sempre provoca uma diminuição no fluxo 
de transferência de calor, quando a geometria do sistema tem uma área de seção reta 
não constante. 
 
Exemplo: Cilindro oco 
 
 
 Tf 
 R1 
 T1 Q = T1 - Tf 
 ln R2/R1 + 1 
 R2 2  k L h 2  R2 L 
 
 h 
 
 Se mantivermos T1 , Tf e h constantes o que acontecerá se aumentarmos o raio 
externo R2? 
 
Um aumento de R2 provoca Rk e Rh; portanto a adição de material pode  ou  o fluxo 
de calor, dependendo da variação da Rtotal = Rk + Rh 
 
 
 
 
33 
 
Rc = k 
 h 
Raio Crítico: raio externo do tubo isolado que 
corresponde a mínima resistência térmica total. 
Se R2  Rc 
 
A adição de material (isolante) diminuirá o fluxo de 
transferência de calor. 
Se R2  Rc A adição de material (isolante) aumentará o fluxo de 
transferência de calor, até que R2 = Rc depois do que, o 
aumento de R2 provocará Q . 
 
 
Esse princípio é largamente utilizado na engenharia elétrica, onde material isolante 
é fornecido para fios e cabos condutores de corrente, não para reduzir a perda de calor, 
mas para aumentá-la. Isso é importante, também, na refrigeração, onde o fluxo de calor 
para o refrigerante frio deve ser conservado num mínimo. Em muitas dessas instalações, 
onde tubos de pequeno diâmetro são usados, um isolamento na superfície externa 
aumentaria o calor transmitido por unidade de tempo. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 1º) Um cabo elétrico de 15 mm de diâmetro deve ser isolado com borracha (k = 
0,134 kcal/h m oC). O cabo estará ao ar livre (h = 7,32 kcal/h m2 oC) a 20 oC. Investigue o 
efeito da espessura do isolamento na dissipação de calor, admitindo uma temperatura da 
superfície do cabo de 65 oC. 
 
 T1=65 
oC T2 = 20 
oC 
 
 
 
 2º) Deseja-se manter a temperatura de 60 0C em um condutor elétrico de cobre R = 
0,005 /m de 2mm de diâmetro. Determinar a corrente máxima em 1 m de fio: 
 - Para o condutor nu. (I = 22,4 A) 
 - Para o condutor isolado com 1 mm de um material com k = 0,15 W/m 0C. (I 
= 30,33 A) 
 Dados: Ar ambiente a 20 0C com h=10W/m2 0C 
 
 
-Condutor nu: T Rh Tar 
 
 
 
-Condutor isolado: T(60 
0
C) Rk Rh Tar(20 
0
C) 
 
 
 
 
 
 
 RT 
 
 
 
34 
 
 16 
 
 
 8,6 
 1mm 
 2mm 
 Rk + Rh 
 
 Rc 1mm R 
 2 mm 
 15 mm 
 
 
3º) a) Calcule o raio crítico de isolamento para o amianto (k=0,17 W/m oC) que reveste um 
tubo ficando exposto ao ar a 20 oC com h = 3 W/m2 oC. (Rc = 5,67 cm) b) Calcule a perda 
de calor no tubo de 5 cm de diâmetro a 200 oC, quando coberto com o raio crítico de 
isolamento e sem isolamento. (Q com = 105,7 W; Q sem = 84,8 W) 
 
 T ar = 20 
oC 
 har = 3W/m
2 oC 
 
 = 5 cm 
 
 200 oCAmianto 
 
 
7. “RADIAÇÃO TÉRMICA” 
 
 
7.1 – INTRODUÇÃO 
 
Radiação Térmica é o processo pelo qual calor é transferido de um corpo sem o 
auxílio de um meio, em virtude de sua temperatura, ao contrário dos outros dois 
mecanismos: 
 condução  choque entre as partículas 
 convecção  transferência de massa 
 radiação  ondas eletromagnéticas 
A radiação térmica é utilizada em muitos processos industriais de aquecimento, 
resfriamento e secagem. Ocorre perfeitamente no vácuo, pois a radiação térmica se 
propaga através de ondas eletromagnéticas. 
 
É um fenômeno ondulatório semelhante às ondas de rádio, radiações luminosas, 
raios-X, raios-gama, etc, diferindo apenas no comprimento de onda (), conhecido como 
espectro eletromagnético, conforme figura 7.1. 
 
A intensidade da radiação varia com o comprimento de onda. 
 
 
 
 
35 
 
 
figura 1 
A análise espectroscópica mostra que a intensidade das radiações térmicas varia 
como mostrado na figura 7.2. O pico máximo de emissão ocorre para um comprimento de 
onda (máx), cuja posição é função da temperatura absoluta do emissor (radiador). 
 
figura 7.2 
A intensidade da radiação térmica é comandada pela temperatura da superfície 
emissora (figura 7.2). A faixa de comprimentos de onda englobados pela radiação térmica 
é subdividida em ultravioleta, visível e infravermelho, conforme mostra a figura 7.1. Todo 
material com temperatura acima do zero absoluto emite continuamente radiações 
térmicas. 
Poder de emissão (E) é a energia radiante total emitida por um corpo, por unidade 
de tempo e por unidade de área (kcal/h.m
2
; W/m2). 
 
 
7.2. CORPO NEGRO e CORPO CINZENTO 
 
Micro ondas 
 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1 10 102 103 104 
 ( m) 
RAD. TÉRMICA 
Inf .Vermelho 
Raios Gama 
Raios X 
UV 
 Visível 
 
 
 
36 
Corpo Negro é um conceito teórico padrão que estabelece um limite superior de 
radiação, de acordo com a segunda lei da termodinâmica, com o qual as características 
de radiação dos outros meios são comparadas. Portanto, é uma superfície ideal que tem 
as seguintes propriedades: 
 Absorve toda a radiação incidente, independente do comprimento de onda e 
da direção; 
 Para uma temperatura e comprimento de onda dados, nenhuma superfície 
pode emitir mais energia do que um corpo negro; 
 Embora a radiação emitida por um corpo negro seja uma função do 
comprimento de onda e da temperatura, ela é independente da direção, ou 
seja, o corpo negro é um emissor difuso. 
 
Corpo Cinzento é o corpo cuja energia emitida ou absorvida é uma fração da 
energia emitida ou absorvida por um corpo negro, aproximando-se das características dos 
corpos reais, como mostra a figura 7.3. 
 
 
Figura 2 
 
Emissividade () é a relação entre o poder de emissão de um corpo real (cinzento) 
e o poder de emissão de um corpo negro. 
 
n
c
E
E
 onde, = poder de emissão de um corpo cinzento
 = poder de emissão de um corpo negro
E
E
c
n
 
 
Os corpos cinzentos têm emissividade () sempre menor que 1, e são, na maior 
parte os materiais de utilização industrial, sendo que em um pequeno intervalo de 
temperatura pode-se admitir  constante e tabelado. Devido às características atômicas 
dos metais, isto não ocorre. Entretanto, para pequenos intervalos de temperatura, as 
tabelas fornecem valores constantes de emissividade. 
 
7.3. LEI DE STEFAN-BOLTZMANN 
 
Stefan determinou experimentalmente e Boltzmann deduziu matematicamente que, 
para um corpo negro: 
 
 
 
 
37 
 . 4TEn 
(Kelvin) absoluta ra temperatu= 
Boltzmann)-Stefan de (constante .. 104,88= onde, 42-8
T
Kmhkcal 
 
 K 106697,5nalInternacio Sist.
 ;..10173,0Inglês Sist.
428
428
mW
RfthBtu





 
 
 
7.4 TROCA DE RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES 
 
Considerando a troca de calor por radiação entre duas ou mais superfícies, 
observa-se que essa troca depende das geometrias e orientações das superfícies e das 
suas propriedades radioativas e temperatura. Tais superfícies estão separadas por um 
meio não participante, que não emite, não absorve e não dispersa, não apresentando 
nenhum efeito na transferência de radiação entre as superfícies. A maioria dos gases 
apresenta um comportamento muito aproximado e o vácuo preenche exatamente essas 
exigências. 
 
7.4.1 FATOR DE FORMA 
 
 Para calcular a troca por radiação entre duas superfícies quaisquer, utiliza-se o 
conceito de fator de forma ou fator de configuração. 
Inicia-se o cálculo da transferência de calor por radiação entre superfícies com a 
determinação da fração da radiação total difusa que deixa uma superfície e é interceptada 
por outra e vice-versa. 
A fração da radiação distribuída difusamente que deixa a superfície A1 e alcança a 
superfície A
2
 é denominada de fator de forma para radiação F
1,2
. O primeiro índice 
indica a superfície que emite e o segundo a que recebe radiação. 
Duas superfícies negras de áreas A1 e A2, separadas no espaço (figura 7.4) e em 
diferentes temperaturas (T1 > T2) são apresentadas: 
 
Figura 7.4 
 
Em relação às superfícies A1 e A2 temos os seguintes fatores de forma: 
 
 
 
 
A energia radiante que deixa A1 e alcança A2 é: 
 
 .. 121121 FAEQ n
 
F12  fração da energia que deixa a superfície (1) e atinge (2)
F21  fração da energia que deixa a superfície (2) e atinge (1)
 
 
 
38 
 
A energia radiante que deixa A2 e alcança A1 é: 
 
 .. 212212 FAEQ n
 
 
A troca líquida de energia entre as duas superfícies é: 
 
 .... 212212112112 FAEFAEQQQ nn 
 
 
Em uma situação em que as duas superfícies estão na mesma temperatura, o 
poder de emissão das duas superfícies negras é o mesmo (En1 = En2) e não haverá 
troca líquida de energia (
0

Q
). Então: 
 
)(....0 21221211 IFAEFAE nn 
 
 
Como En1 = En2, obtém-se: 
 
(II) .. 212121 FAFA 
 
 
Como tanto a área quanto o fator de forma não dependem da temperatura, esta 
relação é válida para qualquer temperatura. Substituindo a equação (I) na equação (II), 
obtém-se: 
 
12121211 .... FAEFAEQ nn 
 
 21121 .. nn EEFAQ 
 
 
Pela lei de Stefan-Boltzmann, tem-se: 
 
:portanto , . e .
4
22
4
11 TETE nn   
 
 4241121 ... TTFAQ  
 
 
 
  ... 4241121 TTFAQ 

 
 
Esta é a expressão para o fluxo de calor transferido por radiação entre duas 
superfícies a diferentes temperaturas. 
 
O Fator de Forma depende da geometria relativa dos corpos e de suas 
emissividades (), que são encontradas em tabelas e ábacos para o cálculo do fator forma 
 
 
 
39 
para cada configuração geométrica (placas paralelas, discos paralelos, retângulos 
perpendiculares, quadrados, círculos, etc): 
 
 Superfícies negras paralelas e de grandes dimensões, corpo A1 totalmente envolvido 
pelo corpo A2, O corpo A1 não pode ver qualquer parte de si: 
F12 1 
 
 
 Superfícies cinzentas grandes e paralelas 
1
11
1
21
12



F
 
 
 Superfície cinzenta (1) muito menor que superfície cinzenta (2) 
 112 F
 
 
 Dois discos paralelos de diâmetros diferentes, distantes entre si por L, com os centros 
na mesma normal aos seus planos; disco menor A1 com raio a, disco maior com raio b. 
 
  22222222
22,1
4
2
1
babaLbaL
a
F 
 
 
7.5 EFEITO COMBINADO CONVECÇÃO- RADIAÇÃO 
 
Uma parede plana qualquer submetida a uma diferença de temperatura, tem na 
face interna a temperatura T1 e na face externa uma temperatura T2, maior que a 
temperatura do ar ambiente T3, como mostra a figura 7.5. Neste caso, através da parede 
ocorre uma transferência de calor por condução até a superfície externa. A superfície 
transfere calor por convecção para o ambiente e existe também uma parcela de 
transferência de calor por radiação da superfície para as vizinhanças. Portanto, a 
transferência de calor total é a soma das duas parcelas: 
 
Figura 7.5 
radconv
QQQ


 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
40 
 
 
1º) Duas placas grandes de metal, separadas de 2" uma da outra, são aquecidas a 300 
ºC e 100ºC, respectivamente. As emissividades são 0,95 e 0,3 respectivamente. Calcular 
a taxa de transferência de calor por radiação através do par de placas. (Q = 1.295 kcal/h) 
 
 
 
 
2º) Um duto de ar quente, com diâmetro externo de 22 cm e temperatura superficial 
de 93 ºC, está localizado num grande compartimento cujas paredes estão a 21 ºC. O ar 
no compartimento está a 27 ºC e o coeficiente de película é 5 kcal/h.m
2
 ºC. Determinar a 
quantidade de calor transferida por unidade de tempo, por metro de tubo, se: 
a) o duto é de estanho (  = 0,1) (Q = 263 kcal/h) 
 
b) o duto é pintado com laca branca ( = 0,9) (Q = 543 kcal/h) 
 
 
 
 
3º) Em uma indústria, vapor d' água saturado a 44 kgf/cm
2
 e 255 ºC escoa por um 
tubo de parede fina de diâmetro externo igual a 20 cm. A tubulação atravessa um amplo 
recinto de 10m de comprimento, cujas paredes estão à mesma temperatura de 25 ºC do 
ambiente (har = 5 kcal/h.m
2 ºC). Deseja-se pintar a superfície externa do tubo de maneira 
que ao sair do recinto, o vapor no interior do tubo se encontre com apenas 5% de sua 
massa não condensada. No almoxarifado da indústria dispõe-se de 3 tintas cujas 
emissividades são: tinta A: 
a
=1; tinta B: b = 0,86 e tinta C: c = 0,65. Sabendo-se que o 
calor latente de vaporização nestas condições é 404 kcal/kg, determinar: 
a) a tinta com a qual devemos pintar o tubo, sabendo-se que a vazão de vapor é 55,2 
kg/h; (c = 0,65) 
duto 
Tar; h 
Tt 
rad
Q
 
conv
Q
 
 
 
 
41 
b) a energia radiante por unidade de comprimento após a pintura; (Q = 1.392 kcal/h) 
c) a vazão de vapor se utilizar a tinta A. (m = 74,6 kg/h) 
 
 
 
 
4º) Um reator em uma indústria trabalha a 600 ºC em um local onde a temperatura 
ambiente é 27 ºC e o coeficiente de película externo é 40 kcal/h.m
2
 ºC. O reator foi 
construído de aço inox ( = 0,06) com 2 m de diâmetro e 3 m de altura. Tendo em vista o 
alto fluxo de calor, deseja-se aplicar uma camada de isolante (k= 0,05 kcal/h m ºC e  = 
0,75) para reduzir a transferência de calor a 10 % da atual. Desconsiderando as 
resistências térmicas que não podem ser calculadas, pede-se: 
a) O fluxo de calor antes da aplicação do isolamento; (Q = 618.368 kcal/h) 
b) A parcela transferida por convecção após o isolamento, sabendo-se que a temperatura 
externa do isolamento deve ser 62 0C; (Q = 57.701 kcal/h) 
c) A espessura do isolante a ser usada nas novas condições. (e = 8,2 mm) 
Desprezando as resistências térmicas de convecção interna e condução na parede de 
aço do reator, a temperatura da base do reator pode ser considerada a mesma do fluido. 
 
 
 
 
 
 
5º) Duas superfícies planas negras e de grandes dimensões são mantidas a 200 ºC 
e 300 ºC. Determine: 
a) Determine o fluxo líquido de calor entre as placas, por unidade de área; (Q = 3.274 
W/m2) 
duto 
Tar; h 
Tt 
rad
Q

conv
Q
 
 
 
 
42 
b) Repita para o caso em as temperaturas de ambas as placas são reduzidas em 100 ºC 
e calcule a percentagem de redução da transferência de calor. (Q = 1.741,5 W/m
2; 
46,84%) 
 
 
 
 
 
6º) Repetir o exercício anterior (5º) (itens a e b) considerando que as superfícies 
são cinzentas com emissividades 0,73 e 0, 22, respectivamente. 
 
 
 
7º) Os gases quentes do interior de uma fornalha são separados do ar ambiente a 
25 ºC (h = 17,2 Kcal/h.m2.ºC) por uma parede de tijolos de 15 cm de espessura. Os tijolos 
têm uma condutividade térmica de 1,0 kcal/h.m.ºC e uma emissividade de 0,8. No regime 
permanente mediu-se a temperatura da superfície externa da parede da fornalha como 
sendo 100 ºC. Considerando que a fornalha está em um grande compartimento cuja 
temperatura da superfície interna é igual à temperatura ambiente, qual é a temperatura da 
superfície interna da parede da fornalha? (T = 355,5 ºC) 
 
 
A1 
T1 
1 
A2 
T2 
2 
A1 
T1 
1 
A2 
T2 
2 
 
 
 
43 
 
 
 
8º) Um reator de uma indústria trabalha a temperatura de 600 oC. Foi construído 
de aço inoxidável ( = 0,06) com 2,0 m de diâmetro e 3,0 m de comprimento. Tendo em 
vista o alto fluxo de calor, deseja-se isolá-lo com uma camada de lã de rocha (k = 0,05 
kcal/m.oC e  = 0,75) para reduzir a transferência de calor a 10% da atual. Calcular: 
a) o fluxo de calor (radiação e convecção) antes do isolamento; (Q = 290.000 kcal/h) 
b) a espessura de isolante a ser usada nas novas condições, sabendo que a temperatura 
externa do isolamento deve ser igual a 62 oC. (e = 0,1753 m) 
 
 
 
 
 
 
9º) Exercício do Provão de Eng. Mecânica – ENC 2003 
Em uma empresa existem 500 metros de linha de vapor a 150 ºC, com diâmetro externo 
de 0,1 m, sem isolamento térmico, em um ambiente fechado a 30 ºC. O vapor estava 
sendo gerado a partir da queima de lenha que produzia energia a baixo custo, porém 
causando grandes danos ambientais. Diante disso, esse processo foi substituído por um 
 0,75
C.m.0,05kcal/hk
RochadeLãIsolante
C.m.17,2kcal/hh
C25TAr
3mL
2md
0,06inoxaçomaterial
 600Re
0
0
0
2
1











CTator o
 
L 
r 
T1 
e=? 
Ar 
T2, h2 
k,  

q
 
 e=15 cm 
Te = 100
0
C 
Ti=? 
K=1kcal/h.m
0
C 
 = 0,8 
Ar Ambiente (2) 
Tar = 25
0
C 
har=17,2 kcal/h.m
2 0
C 
Forno (1) 
 
 
 
44 
sistema de gás natural adaptado à caldeira que polui menos e ainda apresenta vantagens 
no custo do kWh. 
 Objetivando a racionalização de energia nessa empresa, propõe-se o isolamento 
da tubulação a partir de uma análise dos custos envolvidos. Para tanto, considere um 
coeficiente de transferência convectiva de calor h = 7 W/m2. K entre a tubulação e o ar 
ambiente. Despreze as resistências térmicas por convecção interna e condução na 
parede da tubulação e suponha que as temperaturas das paredes internas do recinto 
sejam iguais 27 ºC. 
a) cite dois fatores importantes que devem ser considerados na seleção de um isolante 
térmico; (valor: 2,0 pontos) 
b) determine a economia de energia diária, em Joules, que pode ser obtida isolando-se a 
tubulação com uma camada de 0,05 m de lã de vidro (k = 0,04 W/m.K). Despreze trocas 
térmicas radiativas entre o isolante e o ambiente e considere o coeficiente de convecção h 
= 3,5 W/ m2. K; (valor: 6,0 pontos) (Ec = 26.127 MJ/dia) 
c) O orçamento para a colocação do isolamento térmico é de R$ 60.000,00 e o custo do 
kWh é R$ 0,10. Calcule o tempo de amortização do investimento. (valor: 2,0 pontos) 
(Tempo = 83 dias) 
 
Dados / Informações adicionais 
K = ºC + 273,15 
Taxa de transferência de calor por radiação: expressão 
Taxa de transferência de calor por condução em um cilindro: expressão 
Emissividade da parede externa da tubulação:  = 0,9 
Constante de Steffan-Boltzmann:  = 5,67 x 10-8 W/m2. K 
 
 
 
8. “ALETAS”8.1 INTRODUÇÃO 
 
 São freqüentes as situações em que se procuram meios para aumentar a 
quantidade de calor transferido, por convecção, de uma superfície. 
A lei de Newton: Q = h A ( T1 - T2 ) sugere que se pode aumentar Q mediante o 
aumento de h, (T1 - T2) ou de A. Conforme já verificamos, h é função da geometria, das 
propriedades do fluido e do escoamento. A modulação de h mediante o controle destes 
fatores oferece um procedimento pelo qual Q pode ser aumentado ou diminuído. No que 
se refere ao efeito de (T1 - T2) sobre Q encontram-se freqüentemente dificuldades, por 
exemplo, nos sistemas de refrigeração de motores de automóveis, em dias muito quentes, 
pois T2 será muito elevada. Em relação à área da superfície que se expõe ao fluido, esta 
pode ser, muitas vezes, “estendida”, mediante o uso de aletas. 
 
Constituem aplicações familiares destes dispositivos de transferência de calor com 
superfícies aletadas os radiadores de automóveis, as montagens de transistores de 
potência e dos transformadores elétricos de alta tensão. 
 
Tendo como referência a extensão de uma parede plana o calor passa da parede 
para a aleta mediante condução e sai da superfície da aleta por efeito convectivo. 
 
 
 
45 
Portanto, a diminuição da resistência superficial convectiva Rh provocada por um aumento 
na área superficial é acompanhada por um aumento da resistência condutiva Rk. Para que 
se eleve o fluxo de transferência de calor da parede, mediante a extensão da superfície, a 
diminuição de Rh deve ser maior que o aumento em Rk. Na verdade, a resistência 
superficial deve ser o fator controlador nas aplicações práticas de aletas (Rk<Rh ou, 
preferivelmente, Rk<<<<Rh) 
 
8.2 CÁLCULO DO FLUXO DE CALOR EM ALETAS DE SEÇÃO UNIFORME 
 
A aleta desenhada a seguir está fixada em uma superfície com temperatura Tp e 
em contato com um fluido com temperatura T. 
 
Fazendo um balanço de energia em um elemento diferencial da aleta. Sob as 
condições de regime permanente a partir das quantidades de energia: 
Energia entrando pela face esquerda 
dx
dT
kAqx 
 
 
Energia saindo pela face direita 
dxx
dxx
dx
dT
kAq

 



 
 
Energia perdida por convecção 
))(..(  TTdxPhqconv
 
 
Obtém-se a equação: 
 
qx qx dx
qconv 

 
 
   ........ 











 TTdxPhdx
dx
dT
Ak
dx
d
dx
dT
Ak
dx
dT
Ak ttt
 
 
dx 
 A T 
qx+dx qx 
dqconv= h.P.dx (Tp-T) 
e 
BASE 
Tp 
Z 
L 
 
 
 
46 
onde P é o perímetro da aleta, At área da seção transversal da aleta e (P.dx) a área entre 
as seções x e (x+dx) em contato com o fluido. Considerando h e k constantes a equação 
pode ser simplificada: 
 
  dx
dx
dT
Ak
dx
d
TTdxPh t 





  .....
 
 
 
2
2
....
dx
Td
AkTTPh t 
 
  .2
2
2
 TTm
dx
Td 
 
 
 
A equação diferencial linear de segunda ordem, acima, tem solução geral: 
 
 
 
onde C1 e C2 são constantes e determinadas por meio das seguintes condições de 
contorno: 
 
1º) que a temperatura da base da barra seja igual à temperatura da parede na qual ela 
está afixada, ou seja: 
pTTxem  0
 
 
2º) depende das hipóteses adotadas: 
 
 
Caso (a)  Barra infinitamente longa 
 
Sua temperatura na extremidade se aproxima da temperatura do fluido: T = T 
 
T T C e C em m   
  0 1 2
. .
 
 
Se o segundo termo da equação é zero, a condição de contorno é satisfeita apenas se 
C1=0. Substituindo C1 por 0: 
 
C T Ts2   
 
 
A distribuição de temperatura fica: 
 
    .. mp eTTTT
 (I) 
 
Como o calor transferido por condução através da base da aleta deve ser transferido por 
convecção da superfície para o fluido, tem-se: 
 
onde ; , é o coeficiente da aleta ( )m
h P
k A
m
t
 
.
.
1
T T C e C emx mx  

 
 
 
 
47 
. .q k A
dT
dx
aleta
x
 
 0
 (II) 
 
Diferenciando a equação (I) e substituindo o resultado para x=0 na equação (II), obtem-
se: 
      





 

 TT
Ak
Ph
AkeTTmAkq px
m
paleta .
.
.
......
0
0.
 
 
  TTAkPhq paleta .... 
 
A equação calcula o calor transferido aproximado, na unidade de tempo, em uma 
aleta finita, se seu comprimento for muito grande em comparação com a área de sua 
seção transversal. 
 
Caso (b)  Barra de comprimento finito, com perda de calor pela extremidade 
desprezível 
 
A segunda condição de contorno exigirá que o gradiente de temperatura em x = L seja 
zero, ou seja, em x=L. Com as seguintes condições: 
 
Lm
p
Lm
p
e
TT
C
e
TT
C
..22..21 1
 e
1 







 
 
Substituindo as equações anteriores em: 
Obtém-se : 
  











 Lm
xm
Lm
xm
p
e
e
e
e
TTTT
..2
.
..2
.
11
.
 
 
Considerando que o co-seno hiperbólico é definido como: 
  2cosh xx eex 
, a equação 
anterior pode ser escrita na forma adimensional simplificada: 
 
 
).(cosh
cosh
Lm
xLm
TT
TT
p






 
 
A transferência de calor pode ser obtida por meio da equação (II), substituindo o gradiente 
de temperatura na base: 
 
    





















LmLm
LmLm
pLmLmp
x ee
ee
mTT
ee
mTT
dx
dT
..
..
...2..2
0
..
1
1
1
1
..
 
 
dT dx  0
T T C e C emx mx  

 
 
 
 
48 
   LmtghmTT
dx
dT
P
x
...
0



 
 
O calor transferido, na unidade de tempo é: 
 
   LmtghTTAkPhq Paleta ......  
 
 
Caso (c)  Barra de comprimento finito, com perda de calor por convecção pela 
extremidade 
 
Neste caso, o princípio é o mesmo e o fluxo de calor transferido é: 
 
       
      








 
LmsenhkmhLm
LmkmhLmsenh
TTAkPhq paleta
....cosh
.cosh...
..... 
 
 
 
8.3 TIPOS DE ALETAS 
 
Diversas aplicações industriais apresentam vários tipos de aletas e alguns dos 
mais encontrados industrialmente, são mostrados a seguir: 
 
 
1) Aletas de Seção Retangular 
 
 
 
Aleta de seção retangular assentada 
longitudinalmente em uma superfície plana. 
Considerando que a aleta tem espessura b (= Z) e 
largura e (espessura pequena em relação à 
largura), o coeficiente da aleta m pode ser 
calculado assim: 
 
eZA
eZP
t .
.2.2

 
m
h P
k At

.
.
 
 ( eq. 6.14 ) 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
 
 
2) Aletas de Seção Não-Retangular 
 
 
As aletas de seção triangular, como as 
aletas de seção parabólica, trapezoidal, 
etc, também são comuns. O cálculo do 
coeficiente m pode ser feito de modo 
similar ao caso anterior, considerando uma 
área transversal média. 
 
 
 
3) Aletas Curvas 
 
 
 
 
 
 
 
 
As aletas colocadas sobre superfícies curvas 
podem ter colocação radial (transversal) 
como na figura ou axial (longitudinal), 
assentando aletas do tipo retangular. O 
assentamento radial ou axial de aletas sobre 
superfícies cilíndricas depende da direção do 
escoamento do fluido externo, onde a aletas 
devem prejudicar o mínimo possível o 
coeficiente de película, ou seja, não podem 
provocar estagnação do fluido. O cálculo do 
coeficiente m é feito da seguinte forma: 
 
 
erA
rerPt ...2
..4.2..2.2



 
 
m
h P
k At

.
.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
4) Aletas Pino 
 
 
 
 
 
Em certas aplicações aletas tipo pino são 
necessárias para não prejudicar 
demasiadamente o coeficiente de 
película. A figura mostra uma aleta pino 
de seção circular. Neste caso o cálculo 
do coeficiente m é feito assim: 
 
2.
..2
rA
rP
t 


 
m
h P
k At

.
.
 
 
 
 
 
8.4 EFICIÊNCIA DE UMA ALETA 
 
Em uma superfície sobre a qual estão fixadas aletas de seção transversal 
uniforme, como mostra a figura a seguir, as aletas têm espessura e, altura l (= L) e largura 
b (=Z). A superfície base está na temperatura Ts (=Tp) maior que a temperatura ambiente 
T. 
 
 
O fluxo de calor total transferido através da superfície com as aletas é igual ao 
fluxo transferido pela área exposta das aletas (AAL) mais o fluxo transferido pela área 
exposta da superfície base (AP): 
 
 
 
 
51 
 
 







TTAhq
TTAhq
qqq
ALLA
PPP
ALP
?..
..
 onde , 


 
 
A diferença de temperatura para a área das aletas (T? -T) é desconhecida. A 
temperatura TP é da base da aleta, pois à medida que a aleta perde calor, a sua 
temperatura diminui, ou seja, AAL não trabalha com o mesmo potencial térmico em 
relação ao fluido. 
Por este motivo L, calculado com o potencial (TP - T), deve ser corrigido, 
multiplicando este valor pela eficiência da aleta (). A eficiência da aleta pode ser definida 
como: 
 
PA TA ra temperatuna estivesse se trocadoseria quecalor 
aleta pela trocadorealmentecalor 
L
 
 
Portanto, 
 

TTAh
q
PLA
AL
..


 
 
Sendo assim, o fluxo de calor trocado pela área das aletas é: 
 
  ...  TTAhq PALAL 
 
O fluxo de calor em uma aleta cuja troca de calor pela extremidade é desprezível é 
obtido por meio da equação: 
 
   LmtghTTAkPhq PtLA ...... 
 
 
Desprezar a transferência de calor pela extremidade da aleta é uma simplificação 
para as aletas de uso industrial. Entretanto, como as aletas têm espessura pequena, a 
área de troca de calor na extremidade é pequena; além disto, a diferença de temperatura 
entre a aleta e o fluido é menor na extremidade. Portanto, na maioria dos casos, devido à 
pequena área de troca de calor e ao menor potencial térmico, a transferência de calor 
pela extremidade da aleta pode ser desprezada. 
 
Igualando as duas equações para o fluxo de calor, tem-se: 
 
     LmtghTTAkPhTTAh PtPAL .........    
 
Isolando a eficiência da aleta, obtém-se: 
 
 Lmtgh
Ah
APkh
LA
t
..
.
..
 
 
qA
 
 
 
52 
 
A área de troca de calor da aleta pode ser aproximada para: 
 
LPA
LA
. 
Substituindo, obtém-se: 
 
 
   
 
L
Ak
Ph
Lmtgh
Lmtgh
LPh
Ak
Lmtgh
LPh
AkPh
t
tt
.
.
.
.
..
..
.
..
..
... 2
1
2
1
 
O coeficiente da aleta (m) pode ser introduzido na equação acima para dar a 
expressão final da eficiência da aleta: 
 
 
 
.
.
Lm
Lmtgh
 
 
 onde, ( coeficiente da aleta ) m
h P
k At

.
.
 
 e  
LmLm
LmLm
ee
ee
Lmtgh
..
..
.





 
A equação anterior mostra que a eficiência da aleta é função do produto "m.L". De 
acordo com as funções hiperbólicas, à medida que o produto "m.L" aumenta a eficiência 
da aleta diminui, pois o numerador aumenta em menor proporção. Portanto, quanto maior 
o coeficiente da aleta e/ou quanto maior a altura, menor é a eficiência. Em compensação, 
quanto maior a altura, maior é a área de transferência de calor da aleta (AAL). 
 
O fluxo de calor trocado em uma superfície aletada por ser calculado: 
 
LAp
qqq  
 
 
   .....   TTAhTTAhq pLApp 
 
Colocando o ∆T e o coeficiente de película em evidência, obtemos: 
    TTAAhq pLAp ...  
 
A eficiência da aletas é obtida a partir da equação demonstrada e as áreas Ap (da 
parede aletada) e AAL (das aletas) são obtidas por meio de relações geométricas. 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
8.5 FUNÇÃO HIPERBÓLICA: senh (x) = ex - e-x 
 2 
 cosh (x) = ex + e-x 
 2 
 tgh (x) = senh (x) 
 TP TAR () cosh (x) 
 
 Q = Q P + Q AL 
 e 
 Q P = h . AP . ( TP - TAR) 
 Q 
 Q AL = h..AAL. (TP - TAR) 
 z 
 L 
 Q = h. ( AP + .AAL).(TP - TAR) 
 
  = tgh ( m.L ) 
 m.L 
 
 m = P . h (m-1) P = 2 .(z + e) projeção na parede 
 A . k A = z.e 
 
 AP = A’P - ( NAL . z. e)  Área da parede aletada 
 
 AAL = NAL . P . L  Área da aleta 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1º) Uma aleta de aço (k = 43W/m oC) de 3 cm de comprimento e 1 cm de diâmetro 
transfere calor de uma parede a 200 0C para um fluido a 25 oC, com h = 120 W/m2 oC. 
Determinar o fluxo de transferência de calor da aleta, no caso em que a extremidade está 
isolada e os efeitos de radiação térmica são desprezíveis. (Q = 16 W) 
 
 
 
 k = 43W/m oC 
 L = 3 cm 
 e= 1 cm 
 e=1 cm Tp= 200 
oC 
 Tar= 25 
oC 
 L=3 cm h = 120 W/m2 oC 
 Q = ? 
 
 
 
 
54 
 
 
 
 2º) Uma parede de 1,0 m x 1,0 m a 200 0C deve ser aletada para dissipar 15 kW no 
ar ambiente a 30 0C com h = 10 W/m2 0C. Determinar a altura e o número de aletas 
necessário sabendo que a espessura das aletas é 1,5 mm, o produto m.L = 1,419 e a 
condutividade térmica do material da aleta é 35 W/m0C. (N = 87 aletas) 
 
 
 
 
 
3º) O dissipador de um equipamento eletrônico (caixa de transistor) consiste de 
uma placa onde são colocadas 12 aletas. A temperatura da placa é 80 0C, a temperatura 
do ar ambiente, 25 0C com h = 0,03 kW/m2 K e a condutibilidade da aleta k = 0,15 kW/m 
K. Calcular a potência dissipada. (Q = 113 W) 
 
 L = 25mm 
 
 
e = 1mm 
 6mm 
 80 0C 
40mm 
 70mm 
 
 
 
 Z = 100 mm 
 NAL = 12 
 TP = 80 
0C 
 TAR = 25 
0C 1 mm 
 h = 0,03 kW/m2 K 
 k = 0,15 kW/m K 
 
 100mm 
e 
L 
pT
 
T
Z 

Q
 
419,1
./35
/10
15
?
?
5,1
1
30
200
2











mL
CmWk
CmWh
kWQ
N
L
mme
mz
CT
CT
O
O
AL
O
ar
O
p
 
 
 
 
55 
 25 mm 
 
4º) Uma placa (150 mm x 100 mm) a 80 ºC deve dissipar 0,153 kW para o ar 
ambiente a 30 ºC com h = 0,04 kW/ m2 K. Na placa devem ser colocadas 8 aletas 
longitudinais (k = 0,15 kW/mK), com