6. FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E SEUS GRÁFICOS

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FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E SEUS GRÁFICOS 
 
 
Uma função do segundo grau (também conhecida como função quadrática) é uma função polinomial de 
grau 2 da forma ( ) , onde a, b e c são constantes reais e a 0. 
f(x) = 3x
2
 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 
f(x) = x
2
 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 
f(x) = - x
2
 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 
f(x) = -4x
2
, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 
 
Veremos que o gráfico de toda função do segundo grau é uma parábola de concavidade para cima ou para 
baixo. 
 Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax
2
 + bx + c, notaremos sempre que: 
 se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; 
 se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; 
 
 
Zeros da função e a Equação do 2º Grau 
 
 Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax
2
 + bx + c , a 0, os números reais x 
tais que f(x) = 0. 
 Então as raízes da função f(x) = ax
2
 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax
2
 + bx + c = 0, as 
quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: 
 
Temos: 
 
Observação 
 A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o 
radicando , chamado discriminante, a saber: 
 quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; 
 quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais); 
 quando é negativo, não há raiz real. 
 
 
Forma Canônica ou forma padrão 
 
A construção do gráfico da função quadrática através de uma tabela de valores de x e de y nem sempre é 
precisa, pois pode acontecer que em certa função o valor da abscissa (valor de x) ou da ordenada (valor de y) 
não seja inteiro. 
Para iniciarmos um estudo mais detalhado da função, vamos transformá-la em outra forma mais adequada, 
chamada forma canônica. 
A forma canônica da função quadrática é: 
 
 
Zeros da Função Quadrática pela forma canônica 
 
Os zeros ou raízes da função são os valores de x para os quais . 
 
 
Observemos que, para existir raízes reais na equação do segundo grau, precisamos que seja real. Logo, 
temos três casos: 
 
I) e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e distintas, que 
serão: . 
II) e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e iguais, que serão: . 
III) e sabemos que, neste caso, , portanto, diremos que a equação não apresentará raízes 
reais. 
 
Interpretando geometricamente, os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola 
corta o eixo x. 
 
 
Máximo e Mínimo 
 
Sendo o conjunto imagem, dizemos que é o valor de máximo da 
função se, e somente se, para qualquer . E então, o 
número , sendo o conjunto domínio, é chamado de ponto de máximo da função. 
Dizemos que é o valor de mínimo da função se, e somente se, para 
qualquer . E então, o número é chamado de ponto de mínimo da função. 
Sucintamente, podemos dizer que: 
i) Se , a função quadrática admite o valor máximo . 
ii) Se , a função quadrática admite o valor mínimo . 
 
 
 
Vértice da Parábola 
 
O ponto ( 
 
 
 
 
 
) é chamado vértice da parábola. 
 
 
Domínio e imagem da função do 2º grau 
 
D ( f ) = IR 
 
Im(f) = { 
 
 
} ( ) Im(f) = { 
 
 
} ( ) 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (ENEM) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu 
proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a 
mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. 
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, 
arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é: 
a) V = 10.000 + 50x – x² b) V = 10.000 + 50x + x² c) V = 15.000 – 50x – x² 
d) V = 15.000 + 50x – x² e) V = 15.000 – 50x + x² 
 
2. (UEL) A função real f, de variável real, dada por ( ) , tem um valor: 
a) mínimo igual a -16, para x = 6. b) mínimo igual a 16, para x = -12. 
c) máximo igual a 56, para x = 6. d) máximo igual a 72, para x = 12. 
e) máximo igual a 240, para x = 20. 
 
3. (UFMG) Observe a figura. 
 
Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é: 
a) 
 
 
 b) y = x² – 10x c) y = x² + 10x d) 
 
 
 e) 
 
 
 
 
4. Em cada um dos itens abaixo, ache o vértice, o eixo de simetria do gráfico e a imagem de cada uma das 
funções. Classifique o vértice como um ponto de máximo ou de mínimo da função dada. 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
5. Escreva cada uma das funções abaixo na forma padrão identificando o vértice e o eixo de simetria. 
a) ( ) b) ( ) 
 
6. Em cada um dos itens abaixo, use o discriminante para decidir o número de vezes em que o gráfico da 
função corta o eixo x. 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
7. Um fazendeiro tem 100 metros de arame para delimitar um curral de forma retangular. Quais as dimensões 
do curral para que a área cercada seja máxima? 
 
8. Assinale a alternativa correta: 
a) O gráfico da função y = x² + 2x não intercepta o eixo y. 
b) O gráfico da função y = x² + 3x + 5 possui concavidade para baixo. 
c) O gráfico da função y = 5x – 7 é decrescente. 
d) A equação x² + 25 = 0 possui duas raízes reais e diferentes. 
e) A soma das raízes da função y = x² – 3x – 10 é igual a 3. 
 
9. Determine a função do 2º grau sabendo que f(0) = 2, f(–1) = 1 e f(1) = 1. 
 
10. Uma festa no pátio de uma escola reuniu um público de 2.800 pessoas numa área retangular 
de dimensões x e x + 60 metros. O valor de x, em metros, de modo que o público tenha sido de, 
aproximadamente, quatro pessoas por metro quadrado, é: 
a) 5 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 12 m 
 
11. Determine o valor de x que provoca o valor máximo da função real f(x) = -x² + 7x – 10. 
a) 3,5b) – 2 c) 0 d) 10 e) – 1,5 
 
12. Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a Fortaleza. Um pacote para 40 
clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve 
pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, determine o número de pessoas 
que devem realizar a viagem para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens. 
 
 
GABARITO 
 
1. D 2. C 3. A 
 
4. a) O vértice da parábola é o ponto V = (-4, -7), seu eixo de simetria é a reta vertical de equação x = - 4 e sua imagem 
o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a -7. Mínimo. 
b) O vértice da parábola é o ponto V = (1, -2), seu eixo de simetria é a reta vertical de equação x = 1 e sua imagem o 
conjunto de todos os números reais menores ou iguais a -2. Máximo. 
c) O vértice da parábola é o ponto V = (-2, -1), seu eixo de simetria é a reta vertical de equação x = - 2 e sua imagem o 
conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a -1. Mínimo. 
 
5. a) A função pode ser escrita na forma padrão como f(x) = 4 ( x + 1) 
2
 -7. V(-1, -7) x = -1. 
b) A função pode ser escrita na forma padrão como f(x) = -3 ( x - 1) 
2
 + 3. V(1, 3) x = 1. 
 
6. a) O discriminante da equação x
2
 + 4 = 0 é negativo e, portanto, o gráfico da função não corta o eixo dos x. 
b) O discriminante da equação x
2
 + 4x + 4 = 0 é igual a zero e, portanto, o gráfico da função tangencia o eixo dos x. 
c) O discriminante da equação -x
2
 + 4x + 4 = 0 é positivo e, portanto, o gráfico da função corta o eixo dos x em dois 
pontos. 
 
7. Um quadrado de lado 25 m. 8. E 9. ( ) 10. D 11. A 12. 30 pessoas