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Rua Capitão Samuel Lins, S/N - Farol - Maceió - AL- CEP: 57021-140 Fones: (82) 3215-5000, 3215-5055, 3215-5045, 3215-5210. Site.www.fejal.com.br - e-mail: secretariaccet@fejal.com.br Fax: (82) 3221-0402 Criação: Lei Municipal n° 2.044 de 20/09/73 ENGENHARIA CIVIL - CÁLCULO 2 – GEOMETRIA ESPACIAL Prof. Josivaldo Melo TESTES 1) (ENEM 2010) Uma fábrica produz barras de chocolate no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a A) 5 cm B) 6 cm C) 12 cm D) 24 cm E) 25 cm 2) (ENEM 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue. O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza a) massa b) volume c) superfície d) capacidade e) comprimento 3) Um porta- lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm. O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a) 12 cm³ b) 64 cm³ c) 96 cm³ d) 1216 cm³ e) 1728 cm³ 4) (ENEM 2009) Considere um caminhão que tenha uma carroceria na forma de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões internas são 5,1 m de comprimento, 2,1 m de largura e 2,1 m de altura. Suponha que esse caminhão foi contratado para transportar 240 caixas na forma de cubo com 1 m de aresta cada uma e que essas caixas podem ser empilhadas para o transporte. Qual é o número mínimo de viagens necessárias para realizar esse transporte? a) 10 viagens b) 11 viagens c) 12 viagens d) 24 viagens e) 27 viagens 5) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir, são dadas as dimensões, em metros, do prisma O volume desse tanque, em metros cúbicos, é a) 50 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120 6) O sólido representado na figura a seguir é formado por um cubo de aresta de medida x/2 que se apóia sobre um cubo de aresta de medida x. O volume de sólido representando é dado por a) 8 ³9x b) 8 ³x c) ³3x d) 2 ³3x e) ³7x 7) (PUC-RJ) Considere um paralelepípedo retangular com lados 2, 3 e 6 cm. A distância máxima entre dois vértices deste paralelepípedo é: a) 7 cm b) 8 cm c) 9 cm d) 10 cm e) 11 cm 8) (UFMG) Todos os possíveis valores para a distância entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1 são: a) 3,2,1 b) 2,1 c) 2,3,1 d) 3,2,1 e) 3,2,1 9) (F.I. Anápolis-GO) Sabendo que o grama do ouro custa R$ 20,00 e sua densidade é aproximadamente 19 g/cm³, o valor da barra mostrada na figura é: a) R$ 45.600,00 b) R$ 53.200,00 c) R$ 63.840,00 d) R$ 74.480,00 e) R$ 106.400,00 10) (Unifor-CE) O sólido representado foi construído seccionando-se um cubo de aresta a por um plano que contém os pontos A, B, C, D. Esses pontos são pontos médios das arestas do cubo. O volume desse sólido é dado por: a) 3 ³a b) 2 ³a c) 4 ³3a d) 8 ³7a e) 16 ³15a 11) (UFMG) Considere uma cruz formada por 6 cubos idênticos e justapostos, como na figura abaixo. Sabendo-se que a área total da cruz é de 416 cm², pode-se afirmar que o volume de cada cubo é igual a: a) 16 cm3 b) 64 cm³ c) 69 cm³ d) 26 cm³ e) 30 cm³ 12)( UFMS) Considere a figura abaixo, onde ABCD e ADEF são retângulos, BC = 2, CE = 8, o ângulo BFA = 30º, o ângulo BÂ F = 90º e o ângulo CDE = 90º. Então, é correto afirmar que: 01. o perímetro do retângulo ABCD vale 12; 02. a área do triângulo ABF vale 34 ; 04. a área do retângulo ADEF vale 38 ; 08. a área do retângulo BCEF vale 310 ; 16. o volume do sólido ABCDEF vale 316 . Dê, como resposta, a soma das alternativas corretas. 13) (UFCE) Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 m e 4 m. Se a altura deste prisma é igual à hipotenusa do triângulo da base, então seu volume, em m³, é igual a: a) 60 b) 24 c) 30 d) 12 e) 14 14) (Unifor-CE) Um aquário com forma de paralelepípedo de faces retangulares (ou bloco retangular) tem 40 cm de comprimento, 30 cm de largura e 20 cm de altura e contém água, que ocupa 2/3 de sua capacidade. Um objeto é mergulhado na água, de maneira que o conteúdo do aquário passa a ocupar 19600 cm³. O volume, em centímetros cúbicos, do objeto é: a) 600 d) 4800 b) 2800 e) 5600 c) 3600 15) (UFSC) Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 12 cm e 16 cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2 cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. Quanto vale a terça parte do volume da caixa, em cm³? 16) (UECE) Duas caixas d’água, a primeira em forma de um paralelepípedo e a segunda em forma cúbica, possuem as dimensões seguintes: • base 6 m por 40 dm e altura 0,2 dam, a primeira; • aresta de 200 cm, a segunda. O volume da segunda caixa d’água, comparado com o volume da primeira, é: a) a metade b) um terço c) um sexto d) um oitavo e) um quinto 17) (UFMG) Observe a figura. Essa figura representa um prisma reto de base triangular. O plano que contém os vértices B, D e F divide esse prisma em dois sólidos: DACFB, de volume V1, e DEFB, de volume V2. Assim sendo, a razão v1/v2é: a) 1 b) 3/2 c) 2 d) 5/2 e) 4 18)( UFRS) A calha da figura a seguir tem a forma de um prisma triangular reto. O ângulo ABC mede 90°, e as medidas citadas são internas e em metros. O volume máximo de água que a calha poderá conter, em metros cúbicos, é igual a: a) 245 b) 90 c) 180 d) 1800 e) 2700 19) (UFRS) As embalagens abaixo, com a forma de prismas hexagonais regulares, têm a mesma capacidade de armazenamento. Sendo h1 = 34 cm, a1 = 32 cm e h2 = 33 cm, com relação à aresta a2 e à quantidade de material empregado na confecção das embalagens, abertas nas bases superiores, podemos afirmar que: a) a2 = 34 cm e a embalagem 2 é menos econômica, pela quantidade de material empregado na sua confecção. b) a2 = 4 cm e a embalagem 2 é mais econômica, pela quantidade de material empregado na sua confecção. c) a2 = 4 cm e a embalagem 1 é mais econômica, pela quantidade de material empregado na sua confecção. d) a2 = 34 cm e é gasta a mesma quantidade de material, na confecção de cada embalagem. e) a2 = 4 cm e é gasta a mesma quantidade de material, na confecção de cada embalagem. 20)(UFPI) A área total de um cubo de aresta igual a 2 m é: a) 12 m² b) 22 m² c) 16 m² d) 24 m² e) 20 m² 21) (UFPR) A figura representa um hexaedro regular. A área da secção (ABCD) é 6 m². O volume do sólido, em m³, é: a) 33 b) 4 32 c) 3 93 d) 4 27 e) 3 22) (UFRS) A figura abaixo representa a planificação de uma pirâmide de base quadrada com AB = 6 cm, sendo ADV triânguloequilátero O volume da pirâmide é a) 312 b) 327 c) 336 d) 372 e) 3108 23) (UFRS) Na figura, O é o centro do cubo Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmide de base ABCD e vértice O é a) 2 1 b) 3 1 c) 4 1 d) 6 1 e) 8 1 24) (UFPE) Na figura abaixo o cubo de aresta medindo 6 está dividido em pirâmides congruentes de bases quadradas e com vértices no centro do cubo. Qual o volume de cada pirâmide? a) 36 b) 48 c) 54 d) 64 e) 72 25) (UEPR) Uma pirâmide hexagonal regular está inscrita em um cilindro circular reto. Sabendo-se que a área da base da pirâmide vale 324 cm² e que o cilindro é equilátero, é incorreto afirmar que a) a aresta lateral da pirâmide vale 4 5 cm; b) o volume da pirâmide vale 64 3 cm3; c) o raio da base do cilindro vale 4 cm; d) a área total do cilindro vale 80π cm2; e) o volume do cilindro vale 128π cm3. 26)(UNICAP-PE) Considere duas pirâmides com o mesmo volume. Uma delas tem um triângulo equilátero de lado l como base e altura H. A outra, cuja base é um quadrado do lado l, tem 35 m de altura. Determine, em metro, a medida da altura H. 27) (UFF-RJ) O hexágono regular ABCDEF é base da pirâmide VABCDEF, conforme a figura: A aresta VA é perpendicular ao plano da base e tem a mesma medida do segmento AD. O segmento AB mede 6 cm. Determine o volume da pirâmide VACD. 28)(UFAL) Na ilustração a seguir, temos um paralelepípedo retângulo e são conhecidos os ângulos que duas das diagonais de duas faces adjacentes formam com arestas da base e o comprimento da diagonal da face superior, como estão indicados na figura. Qual o volume do paralelepípedo? A) 23cm³ B) 24cm³ C) 25cm³ D) 26cm³ E) 27cm³ 29) (Fuvest-SP) Qual a altura de uma pirâmide quadrangular que tem as oito arestas iguais a 2 ? a) 1 b) 1,5 c) 3 d) 2,5 e) 5 30) (Unifor-CE) Uma pirâmide regular de altura 12 cm tem como base um quadrado de lado 10 cm. Sua área lateral, em centímetros quadrados, é: a) 360 b) 260 c) 180 d) 100 e) 65 31)( UFPR) Um cubo tem área total igual a 150 m2. O volume da pirâmide quadrangular regular que tem como vértice o centro de uma das faces desse cubo e como base a face oposta a esse vértice é, em m3, igual a: a) 125/3 b) 125/6 c) 125 d) 150 e) 225 32) (UFPR) As maiores pirâmides egípcias são conhecidas pelo nome de “Pirâmides de Gizé” e estão situadas nas margens do Nilo. A figura a seguir representa essas pirâmides: Miquerinos(2.470 a.C.), Quéfren (2.500 a.C), e Quéops (2.530 a.C.). A maior e mais antiga é a de Quéops que tem a forma aproximada de uma pirâmide de base quadrada com 230 metros de lado e cujas faces laterais se aproximam de triângulos equiláteros. Em matemática, “pirâmide” é um sólido geométrico. O volume de um sólido com as dimensões da pirâmide de Quéops é: a) ³ 12 1 m b) ³ 24 1 m c) ³ 36 1 m d) ³ 48 1 m e) ³ 64 1 m 33) (ENEM) Em uma padaria, há dois tipos de bolo, formas 1 e 2, como mostra a figura abaixo. Sejam L o lado da base da forma quadrada, r o raio da base da forma redonda, A1 e A2 as áreas das bases das formas 1 e 2, e V1 e V2 os seus volumes, respectivamente. Se as formas têm a mesma altura h, para que elas comportem a mesma quantidade de massa de bolo, qual é a relação entre r e L? a) rL b) rL 2 c) rL d) 3rL e) 2 )².( r L 34)(ENEM) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme a figura. O raio da perfuração da peça é: a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm 35)(ENEM) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõem de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos. Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá a) Encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. c) Encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 36) (ENEM) Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento. Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere 𝜋 = 3) a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1/3 b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4/3 c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3/4 d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2/3 e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7/12 37) (ENEM) Em uma praça pública, há uma fonte que é formada por dois cilindros, um de raio r e altura h1 e outro de raio R e altura h2. O cilindro do meio enche e, após transbordar, começa a encher o outro. Se 2rR e 3 1 2 h h e, para encher essa fonte e o segundo cilindro do meio, foram necessários 30 minutos, então, para se conseguir encher essa fonte e o segundo cilindro, de modo que fique completamente cheio, serão necessários a) 20 minutos b) 30 minutos c) 40 minutos d) 50 minutos e) 60 minutos 38) (ENEM) Um paralelepípedo tem dimensões da base 6 cm e 8 cm, e altura 10 cm. Uma cavidade, na forma de um cilindro reto com raio da base medindo 1 cm, atravessa o paralelepípedo da base inferior até a superior Qual a área total (dentro e fora) do sólido resultante, em cm² a) 376 + 18 π b) 376 + 16 π c) 296 + 18 π d) 296 + 22 π e) 296 + 20 π 39) Um cilindro circular reto tem o raio igual a 2 cm e altura 3 cm. Sua superfície lateral mede: a) a) 6 π cm² b) b) 9 π cm² c) 12 π cm² d) 15 π cm² e) e) 16 π cm² 40)( UFR-RJ) Um copo cilíndrico tem 18 cm da altura, raio de base 2 cm e metade de seu volume ocupado por uma bebida. Colocando-se no copo uma pedra de gelo com a forma de um cubo de 2 cm de aresta e ficando o gelo completamente submerso, de quanto subirá o nível da bebida? Considere π = 3,14 41) (Unimontes-MG) Uma artesã construiu quatro caixas com, aproximadamente, a mesma capacidade (1 litro) e com as seguintes formas e dimensões: A caixa que necessita de menor quantidade de papel-fantasia para cobri-la é a que tem a forma de a) cilindro. b) cubo.c) paralelepípedo. d) prisma triangular regular. e) todos os sólidos têm a mesma superfície a ser coberta. 42) (PUC-RS) Dois cilindros, um de altura 4 e outro de altura 6, têm para perímetro de suas bases 6 e 4, respectivamente. Se V1 é o volume do primeiro e V2 o volume do segundo, então: a) V1 = V2 b) 2V1 = 3V2 c) V1 = 2V2 d) 2V1 = V2 e) V1 = 3V2 43) (UFG-GO) Um pedaço de cano, de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro interno, encontra-se na posição vertical e possui a parte inferior vedada. Colocando- se dois litros de água em seu interior, a água: a) ultrapassa o meio do cano. b) transborda. c) não chega ao meio do cano. d) enche o cano até a borda. e) atinge exatamente o meio do cano. 44) Calcule o volume do baú representado na figura. 45)(Vunesp) Se quadruplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a sua altura, o volume do cilindro fica multiplicado por a) 16 b) 4 c) 12 d) 4 π e) 8 46) Qual o volume da peça representada na figura abaixo? 47)( Unifei-MG) O retângulo ABCD abaixo sofre uma rotação de 45° em torno do eixo que contém o lado . Calcule o volume do sólido gerado por essa rotação. Dados: CD = 6 cm; BC = 8 cm. 48) (PUC-SP) O retângulo ABCD seguinte, representado num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, é tal que A = (2;8), B = (4;8), C = (4;0) e D = (2;0). Girando-se esse retângulo em torno do eixo das ordenadas, obtém-se um sólido de revolução cujo volume é: a) 24 π b) 48 π c) 32 π d) 96 π e) 36 π 49) (UFRR) Para se proteger da dengue, Marta resolveu encher com areia, até a borda, o prato de aparar a água que escorre do seu vaso de planta. Para calcular o volume de areia de que iria necessitar, Marta considerou que tanto o prato como o vaso eram cilíndricos, como esquematizados na figura a seguir. Ela mediu a altura h do prato, encontrando 4 cm, e os diâmetros das bases, encontrando 22 cm para o prato e 20 cm para o vaso. O volume de areia, em litros, de que Marta necessita para encher o prato é, aproximadamente: a) 0,3 b) 1,2 c) 0,6 d) 1,5 e) 0,8 50) Uma garrafa de vidro tem a forma de dois cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a mesma altura 4 cm e raios de bases R e r, respectivamente. Se o volume V(x) de um líquido que atinge uma altura x da garrafa se expressa segundo o gráfico acima , quais os valores de R e de r? 51) (ENEM 2011) Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele. Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD, BC, AB e CD, nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos. Os formatos dos sólidos descartados são a) todos iguais. b) todos diferentes. c) três iguais e um diferente. d) apenas dois iguais. e) iguais dois a dois. 52) (ENEM 2011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores, Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la. Ciencia Hoje das Criancas. FNDE; Instituto Ciência Hoje, ano 19, n. 166, mar. 1996. Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro, A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π = 3) a) 20 mL. b) 24 mL. c) 100 mL. d) 120 mL. e) 600 mL. 53) (UFAM) Um tanque cônico tem 4 m de profundidade e seu topo circular tem 6 m de diâmetro. Então, o volume máximo, em litros, que esse tanque pode conter de líquido é: (use π = 3,14) a) 24.000 b) 12.000 c) 37860 d) 14.000 e) 37.680 54) (U. Católica-DF) Um reservatório em forma de cone circular reto, de eixo vertical, com altura igual a 4 cm e raio da base igual a 3 cm, está completamente cheio de água. Uma esfera é colocada no cone até se apoiar na parede do mesmo, de modo que os centros da esfera e da base do cone coincidam. O volume de água, em cm³, que transborda do cone é: a) menor que 24; b) maior que 24 e menor que 26; c) maior que 26 e menor que 28; d) maior que 28 e menor que 30; e) maior que 30. 55) (UFMT ) Uma casa de sucos naturais utiliza copos da forma tulipa (conforme figura abaixo), que possuem volume de 300 mL e altura interna de 20 cm. Calcule a altura do líquido, em centímetros, medida a partir do fundo, quando um cliente deixa sobrar no copo 37,5 mL. Observação: Suponha que a superfície interna do copo seja cônica circular. 56) (Unifor-CE) Um triângulo retângulo é tal que as medidas de seus lados, em centímetros, são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 1,5. Girando- se esse triângulo em torno do cateto menor obtém-se um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é: a) 40,5 π b) 52,5π c) 45π d) 54π e) 48π 57)(Cefet-RJ) Considere um cone cujo volume vale 7 π cm³, inscrito num cilindro, como mostra a figura. A diferença entre os volumes do cilindro e do cone vale:, em cm³: a) 3 7 b) 2 7 c) 7 d) 14 e) 21 58)(UFR-RJ) Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,25 m, a distância do chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 25π m², é de: a) 12 m b) 10 m c) 8 m d) 6 m e) 5 m 59)( PUC-RS) Um cilindro circular reto e um cone circular reto têm o mesmo raio da base, medindo 3 m, e a mesma altura, medindo 4 m. A razão entre as áreas laterais do cilindro e do cone é: a) 4 3 b) 5 8 c) 25 9 d) 5 8 e) 25 9 60)( Unifor-CE) Dois cones retos, C1 e C2, têm alturas iguais e raios da base de medidas r1 cm e r2 cm, respectivamente. Se r1 = 5 4 r2, então a razão entre os volumes de C1 e C2, nessa ordem, é: a) 25 16 b) 25 18 c) 5 4 d) 25 22 e) 25 24 61) (UFRJ) Um recipiente em forma de cone circular reto de altura h é colocado com vértice para baixo e com eixo na vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio até a borda, comporta 400 mL. Determine o volume de líquido quando o nível está em 2 h 62) (PUC-PR) Necessita-se confeccionar uma peça metálica dotada de um furo tronco-cônico, a partir de um cubo de lado “l”, conforme a figura. O volume de material para confeccionar a peça é: a) 48 7 1³ l b) 48 ³7 l c) 16 ³l d) 16 ³7 l e) 48 1³ l 63) (UFRN) O raio da base de um cone é 15 cm e a altura 4 cm. Aumentando-se a altura e diminuindo-se o raio da base do cone, de uma medida x cm com x ≠ 0, paraobter outro cone circular reto, de mesmo volume que o original, qual deve ser o valor de x? a) 4 cm b) 10 cm c) 5 cm d) 9 cm e) 10 cm 64)(UFAM) Um tanque cônico tem 4 m de profundidade e seu topo circular tem 6 m de diâmetro. Então, o volume máximo, em litros, que esse tanque pode conter de líquido é: (use π = 3,14) a) 24.000 b) 14.000 c) 12.000 d) 37.680 e) 37.860 65) Em um cone de revolução, o raio da base mede 3 cm e a geratriz 5 cm. A área lateral mede: a) 12π cm² b) 17π cm2 c) 13π cm² d) 18π cm2 e) 15π cm² 66) Em um cone reto, a altura mede 12 m e a geratriz 13 m. O volume é igual a: a) 90π m³ b) 120π m³ c) 100π m³ d) 112π m³ e) 110π m³ 67) (UFCE) O telhado da torre mostrada na figura exposta tem a forma de um cone circular reto. A área da superfície externa desse telhado é, em metros quadrados, igual a: a) 16 b) 24 c) 138 d) 1332 e) 28 68) Dois cones de mesma base têm alturas iguais a 18 cm e 6 cm, respectivamente. A razão de seus volumes é: a) 3 b) 9 c) 2 d) 4 e) 6 69) (FEI-SP) Num problema em que se pedia o volume de um cone reto, o aluno trocou entre si as medidas do raio e da altura. Pode-se então afirmar que o volume do cone: a) não se alterou. b) duplicou. c) triplicou. d) diminuiu. e) nada pode ser afirmado. 70) Um cone reto está inscrito num cubo, como mostra a figura exposta. Se a aresta do cubo mede 4 cm, o volume do cone, em cm3, é: a) 16 b) 3 16 c) 3 64 d) 64 e) 64 71) Desenvolvendo a superfície de um cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um setor circular cujo ângulo central mede: a) 216° b) 288° c) 240° d) 300° e) 270° 72) A geratriz de um cone reto mede 10 m e o raio da base 4 m. Desenvolve-se a superfície lateral desse cone sobre um plano; o ângulo do setor circular obtido mede: a) 102° b) 144° c) 106° d) 150° e) 120° 73) (Mackenzie-SP) Planificando a superfície lateral de um cone, obtém-se o setor circular da figura, de centro O e raio 18 cm. Dos valores a seguir, o mais próximo da altura desse cone é: a) 12 cm b) 18 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 20 cm 74) (UFMG) Um cone é construído de forma que: • sua base é um círculo inscrito em uma face de um cubo de lado a; • seu vértice coincide com um dos vértices do cubo localizado na face oposta àquela em que se encontra a sua base. Dessa maneira, o volume do cone é de: a) 6 ³a b) 12 ³a c) 9 ³a d) 3 ³a e) 4 ³a 75) (Mackenzie-SP) Na fórmula hrV ² 3 , se r for reduzido à metade e h for dobrado, então V: a) se reduz à metade. b) permanece o mesmo. c) se reduz à quarta parte. d) dobra de valor. e) quadruplica de valor 76) (UFMT) Admita que os interiores dos recipientes I e II da figura possuam, respectivamente, as formas de um cilindro circular reto e de um cone circular reto, de áreas das bases iguais e alturas iguais. Sabe-se que o recipiente I está com a metade de sua capacidade ocupada por água. Se se despejar toda a água do recipiente I no recipiente II, pode-se afirmar que: a) todo o recipiente II será preenchido e sobrará água correspondente a 1/3 da capacidade do recipiente I. b) todo o recipiente II será preenchido e sobrará água correspondente a 1/6 da capacidade do recipiente I. c) faltará água correspondente a 1/6 da capacidade do recipiente I para preencher todo o recipiente II. d) faltará água correspondente a 1/3 da capacidade do recipiente I para preencher todo o recipiente II. e) todo o recipiente II será preenchido e não sobrará água no recipiente I. 77) (ITA-SP) Qual o volume de um cone circular reto, em cm³, se a área de sua superfície lateral é 24π cm² e o raio de sua base é 4 cm? a) 20 3 16 b) 4 24 c) 4 24 d) 3 248 e) 20 3 1 78) (Cesgranrio-RJ) Para construir uma piscina cilíndrica, com fundo circular, cava-se, num terreno plano, um buraco com raio R e profundidade R/4. A terra fofa, retirada do buraco, ocupa um volume 20% maior que o do buraco cavado e é amontoada na forma de um cone de revolução. Supondo que o raio r da base do cone é igual à sua altura, então a melhor aproximação da razão r/R é: a) 1 b) 2 1 c) 12 d) 2 e) 3 79) (ITA) Considere o triângulo isósceles OAB, com lados AO e OB de comprimento R2 e lado AB de comprimento R2 . O volume do sólido, obtido pela rotação deste triângulo em torno da reta que passa por O e é paralela ao lado AB , é igual a: a) ³ 2 R b) ³R c) ³ 3 4 R d) ³2 R e) ³3 R 80) (UFAL) Um recipiente na forma de um cilindro reto, com raio da base 1m e altura 5m, está completamente cheio de água. A água é despejada em dois cones invertidos, ligados por um duto, de volume desprezível, como ilustrado a seguir. Se os cones têm altura 6m e raios das bases 4m (o da esquerda) e 2m (o da direita), como ilustrado na figura, calcule a altura da água nos cones. A) 2,9m B) 3,0m C) 3,1m D) 3,2m E) 3,3m 81) (ENEM) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual. Considere: ³ 3 4 RVesfera e hRVcone ² 3 1 Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de a) 1,33 b) 6,00 c) 12,00 d) 56,52 e) 113,04 82) (ENEM-2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide b) semiesfera c) cilindro d) tronco de cone e) cone 83) (ENEM) Uma empresa precisa comprar uma tampa para o seu reservatório, que tem a forma de um tronco de cone circular reto, conforme mostrado na figura. Considere que a base do reservatório tenha raio m32 e que sua lateral faça um ângulo de 60° com o solo. Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de a) ²12 m b) ²108 m c) ²3212 2 m d) ²300 m e) ²²3224 m 84) (ENEM) Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente ocupado por 625π cm³ de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame. Dado 3 ²hr Vcone Considerando-se essas informações, qual á o valor da altura H? a) 5 cm b) 7 cm c) 8 cm d) 12 cm e) 18 cm 85) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindrocircular reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera. Volume da esfera: 3 ³4 R V Analisando as características das figuras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera construída é igual a a) 15 b) 12 c) 24 d) 3 603 e) 3 306 86) (UNCISAL -2012) Praticantes de esporte de verão costumam aproveitar as belas praias de Maceió para uma partida de frescobol. Com um pensamento empreendedor a fábrica de bolas de borracha kibola quer produzir embalagens cilíndricas para colocar duas bolas com 3cm de raio cada, como mostra a figura. A quantidade mínima de material necessário para a confecção das embalagens, incluindo a tampa, em centímetros quadrados, será de a) 80p. b) 85p. c) 90p. d) 95p. e) 100p 87) (Unifor-CE) Reduzindo-se a medida do raio de uma esfera em 20% de seu valor, o volume será reduzido em: a) 48,8% b) 56,4% c) 51,2% d) 62,8% e) 54,6% 88) (UFSE) Cada vértice de um cubo de aresta x é centro de uma esfera de raio x . O volume da parte comum ao cubo e às esferas é: a) ³ 12 x b) ³ 8 x c) ³ 6 x d) ³ 4 x e) ³ 2 x 89) (UFPI) A soma de todas as arestas de um cubo mede 24 m. O volume da esfera inscrita nesse cubo é igual a: a) ³ 3 2 m b) ³ 4 3 m c) ³ 2 m d) ³ 2 3 m e) ³ 3 4 m 90) (UFPI) O volume de uma esfera é 36π m3. O volume do cubo circunscrito à esfera é de: a) 76π m³ b) 27 m³ c) 180 m³ d) 36 m³ e) 216 m³ 91) (UFMG) A razão entre os volumes da esfera inscrita e circunscrita a um mesmo cubo de aresta a é a) 22 b) 2 2 c) 4 2 d) 5,0 e) 6,0 92) (UCMG) Um cilindro equilátero de volume V m³ encontra-se cheio de água, quando uma esfera, cujo raio coincide com o raio da base do cilindro, é mergulhada completamente no cilindro fazendo transbordar certa quantidade de água. Nessas condições, o volume, em m³, de água restante no cilindro é igual a: a) 0 b) 4 V c) 3 V d) 2 V e) 4 3V 93) (UFMT) Deseja-se encher de água um reservatório em forma de um hemisfério, utilizando-se um outro recipiente menor de forma cilíndrica circular reta, conforme figuras abaixo. A partir de suas medidas internas, constatou-se que a razão entre os seus raios é 1/6 e que a altura do recipiente menor é o triplo do seu raio. Sendo assim, para que o reservatório fique completamente cheio, quantas vezes o recipiente menor deve também ser completamente enchido e derramado no maior? 94) (UFRJ) Na famosa cidade de Sucupira, foi feito um monumento de concreto com pedestal em forma de uma esfera de raio igual a 5 m, em homenagem ao anti-herói “Zeca Diabo”. O cidadão “Nezinho do Jegue” foi informado de que, apesar de o preço do metro cúbico do concreto ser 260 reais, o custo total do concreto do pedestal, feito com dinheiro público, foi de 500 mil reais. Nezinho do Jegue verificou, então, que houve um superfaturamento: (Obs.: considere π = 3,14) a) menor que 50 mil reais. b) entre 50 e 200 mil reais. c) entre 200 e 300 mil reais. d) entre 300 e 400 mil reais. e) acima de 400 mil reais. 95) (UFRJ) Sendo S uma esfera de raio r, o valor pelo qual deveríamos multiplicar r, a fim de obtermos uma nova esfera S’, cujo volume seja o dobro do volume de S, é: a) 3 2 b) 3 22 c) 2 d) 3 e) 3 96) (UFRJ) Considere a figura Se girarmos a parte hachurada da circunferência de raio 4 em torno do eixo y, formaremos um sólido de revolução. O volume deste sólido é: a) 3 128 b) 2 64 c) 2 128 d) 3 64 e) 3 32 97) (UFRS) O volume de uma esfera A é 1 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então o raio da esfera A mede: a) 5 b) 2 c) 4 d) 1,25 e) 2,5 98) (CEFET-PR) Em uma esfera de volume 68 cm³, há um fuso de área igual a 5π cm². O ângulo desse fuso, em graus, é igual a: a) 75 b) 60 c) 30 d) 90 e) 45 99) Uma bola de sorvete tem 6 cm de diâmetro. Ao ingerir 20 bolas de sorvete, uma pessoa consumirá, em litros, aproximadamente: Obs.: Considerar que: 1) a bola de sorvete é perfeitamente esférica. 2) π = 3,14 3) o volume fundido é 50% menor que o volume da bola do sorvete) a) 9,04 b) 0,904 c) 3,4 d) 1,13 e) 0,0113 100) (UFRS) A figura abaixo representa um cilindro circunscrito a uma esfera. Se V1 é o volume da esfera e V2 é o volume do cilindro, então a razão 12 1 VV V é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/3 e) 1/2 101) (UFPE) Um cone reto tem altura 3 1212 cm e está cheio de sorvete. Dois amigos vão dividir o sorvete em duas partes de mesmo volume, usando um plano paralelo à base do cone. Qual deverá ser a altura do cone menor assim obtido? a) cm12 b) cm212 c) cm312 d) cm210 e) cm310 102) (Unifesp) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um ponto A até um ponto B, diametralmente opostos, conforme figura. O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento igual a: a) m 2 b) m c) m 2 3 d) m2 e) m3 103) (UEA-AM) Uma esfera de raio 2 cm é seccionada por um plano. A seção é um círculo de raio 1 cm. Qual é a distância entre os centros do círculo e da esfera? a) cm1 b) cm2 c) cm3 d) cm2 e) cm3 104) (Fuvest-SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência, em cm, é: a) 1 b) 4 c) 2 d) 5 e) 3 105) (UFCE) Duas esferas de raios R cm e 3R cm são concêntricas. Um plano tangente à superfície da menor determina na maior uma secção plana cuja área é 144π cm². Então, R é igual a: a) 24 b) 33 c) 23 d) 32 e) 22 106) (UFAM) O volume de uma esfera é ³ 3 32 cm , então, a área da superfície da esfera é: a) ²8 cm b) ²16 cm c) ²32 cm d) ²64 cm e) ² 3 16 cm 107) (UFMA) Um copinho de sorvete, em forma de cone, tem 10 cm de profundidade, 4 cm de diâmetro na base circular e tem aí colocada duas conchas de sorvete semi-esféricas de mesmo diâmetro d. Se o sorvete derreter para dentro do copinho, qual é a medida do diâmetro d dessas conchas semi- esféricas, para que o volume do copinho seja igual ao volume das duas conchas semi-esféricas? a) cm10 b) cm32 c) cm3 d) cm3 10 e) cm3 102 108) (UFRS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura de 16 cm. O número de doces, em formato de bolinhas de 2 cm de raio, que se pode obter com toda a massa é: a) 300 b) 150 c) 250 d) 100 e) 200 109) (Vunesp) Uma esfera E de raio r está inscrita em um cubo, e outra F está circunscrita a esse mesmo cubo. Então a razão entre os volumes de Fe de E é igual a: a) 3 b) 32 c) 33 d) 2 33 e) 3 34 110) (UFES) enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20 cm e raio de base r = 2 cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale: a) ³ 3 102 cm b) ³ 3 80 cm c) ³ 3 160 cm d) ³40cm e) ³80cm 111) Duas esferas de raios 3 m e 4 m têm centro no eixo do cone da figura, são tangentes entre si e ao cone. Calcule a altura h do cone: 112) (Cesgranrio-RJ) Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta por 12 gomos exatamente iguais. A superfície total de cada gomo mede: a) ²2 R b) ²4 R c) ² 4 3 R d) ² 3 4 R e) ²3 R 113) (ENEM 2012) Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 114) (ENEM 2012) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano de base da pirâmide. O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, e a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é: a) b) c) d) e) 115) (ENEM 2012) O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na figura 1, uma foto de um globo da morte e, na figura2, uma esfera que ilustra um globo da morte e, na figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte. Na figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B. A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada por: a) b) c) d) e) 116) (ENEM 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fabrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura. O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm³? a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. 117) (ENEM 2012) A resistência mecânica S do uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional a largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distancia entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga. A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é: a) ² ².. x dbk S b) ² .. x dbk S c) x dbk S ².. d) x dbk S ².. e) x dbk S 2 2..
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