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Raciocínio Lógico Aula 2 Prof. André Roberto Guerra Organização da Aula • Operações • Operações lógicas sobre proposições • Construção de tabelas-verdade FIM Operações Lógicas � A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros). São eles: • Princípio da Identidade • Princípio da Contradição • Princípio do Terceiro Excluído � Princípio da Identidade: • Todo objeto é idêntico a si mesmo � Princípio da Contradição: • Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa � Princípio do Terceiro Excluído: • Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira � Tendo como base esses princípios, as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos � Daí dizer que a lógica clássica é bivalente Tabela Verdade • Dada uma expressão proposicional, e os valores lógicos das proposições simples que a compõe, utilizando a ordem de precedência é possível calcular o valor lógico da expressão � Para determinar o valor (verdadeiro ou falso) das proposições compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem são utilizadas tabelas-verdade � Tabela Verdade da proposição composta é uma tabela na qual são apresentados todos os valores verdade possíveis de uma proposição composta, para cada combinação dos valores verdade das proposições componentes � Cada linha da Tabela corresponde a uma possível combinação dos valores lógicos das proposições componentes; como são dois os valores lógicos, existem, para n componentes, 2n combinações possíveis � Possui dois tipos de colunas: • Colunas para as proposições componentes (onde são distribuídos os valores V e F de forma a incluir cada possível combinação) • Colunas para as operações (onde os valores V e F são obtidos pelas operações) � Assim, se a expressão possui n componentes e m operações, a Tabela terá m + n colunas � Para determinar unicamente a Tabela Verdade são estabelecidas algumas convenções para sua construção � Para as colunas: • 1. Dispor as proposições componentes em ordem alfabética • 2. Dispor as operações na ordem de precedência determinada (com parênteses) � Para as linhas: • Alternar V e F para a última coluna • Alternar V V e F F para a penúltima • Alternar V V V V e F F F F para a antepenúltima coluna componente � Prosseguir dessa forma, se houver mais componentes, sempre dobrando o numero de Vs e Fs para cada coluna à esquerda Exemplo: a expressão proposicional (p → q) ∨ ~ ((p ↔ r) → ~ r) � 1. Tabela Verdade da "negação": ~p é Verdadeira se e somente se p é Falsa � 2. Tabela verdade da "conjunção": é Verdadeira se e somente se os conjuntos são Verdadeiros � 3. Tabela verdade da "disjunção": é Falsa se e somente os disjuntos são Falsos � 4. Tabela verdade da "implicação": é Falsa se e somente se o antecedente é Verdadeiro e o consequente é Falso � 5. Tabela verdade "bi implicação": a bi implicação é Verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos Verdadeiros ou ambos Falsos � 6. Tabela verdade “OU Exclusivo”: É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual: inclusivo (disjunção) v e exclusivo v onde: p v q significa ((p v q) ^~ (p ^ q)) � 6. Tabela verdade "OU Exclusivo“: � Número de linhas de uma tabela verdade: • Cada proposição simples (atômica) tem dois valores (V ou F) que se excluem. Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 elementos n a n � Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2n. Assim: • Para duas proposições são 22 = 4 linhas • Para três proposições são 23 = 8 linhas • Para quatro proposições são 24 = 16 linhas � Exemplo: � A tabela verdade da fórmula ((p v q) → r) terá 8 linhas, como segue: • Variáveis / Proposições: 3 (p q r) 23 = 8 linhas � Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula: ((p v q) → ~p) → (q ^ p) Aplicação � Construir as tabela verdade das fórmulas a seguir •a. (p ∧ q) → (p ∨ q) •b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p) •c. ~p ∧ ~(p → ~q) 30 � a. (p ∧ q) → (p ∨ q) 31 p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q) V V • a. (p ∧ q) → (p ∨ q) 32 p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q) V V F F • a. (p ∧ q) → (p ∨ q) 3 3 p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V F F F • a. (p ∧ q) → (p ∨ q) 3 4 p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V F F V F F • a. (p ∧ q) → (p ∨ q) 3 5 p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V V F F F V F F F F • a. (p ∧ q) → (p ∨ q) 3 6 p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V V V F F V F V F V F F F F • a. (p ∧ q) → (p ∨ q) 3 7 p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V � b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p) 38 p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q) V V F F � b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p) 3 9 p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q) V V V F F V F F � b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p) 4 0 p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q) V V V V F F F V F F F F � b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p) 4 1 p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q) V V F V V F V F F V V F F F V F � b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p) 4 2 p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q) V V F V V F V F F V V F F F V V � b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p) 4 3 p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q) V V F F V V F V V F F V V V F F F V F V � b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p) 4 4 p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q) V V F F F F F V F V V V V V F V V V V V V F F V F V V F � c. ~p ∧ ~(p → ~q) 45 p q ~p ∧ ~ (p → ~q) V V F V F F F V V F F V � c. ~p ∧ ~(p → ~q) 4 6 p q ~p ∧ ~ (p → ~q) V V F F V F F V F V V F F F V V � c. ~p ∧ ~(p → ~q) 4 7 p q ~p ∧ ~ (p → ~q) V V F V F V F F V V F V V F F F F V F V � c. ~p ∧ ~(p → ~q) 4 8 p q ~p ∧ ~ (p → ~q) V V F V F F V F F V V V F V V F V F F F V F V V � c. ~p ∧ ~(p → ~q) 4 9 p q ~p ∧ ~ (p → ~q) V V F V V F F V F F F V V V F V V F F V F F F V F F V V � c. ~p ∧ ~(p → ~q) 5 0 p q ~p ∧ ~ (p → ~q) V V F F V V F F V F F F F V V V F V V F F F V F F F V F F F V V � Software de apoio didático Truth Table Constructor •www.brian-borowski.com/Software/Truth/ 51 Síntese Raciocínio Lógico • Aula 2 – Operações • Operações lógicas sobre proposições • Construção de tabelas-verdade Referências de Apoio • SANT'ANNA, A. S. O que é um Axioma. Capítulo 3 - Barueri SP: Editora Manoele , 2003. • http://www.pucsp.br/~logica/ FIM
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