Resumo | Lógica proposicional

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LÓGICA PROPOSICIONAL 
 
 
Proposições 
Proposição é uma afirmação passível de assumir 
valor lógico verdadeiro (V) ou falso (F). 
Exemplos: 
 p: O número 4 é par; 
 q: Rio de Janeiro é a capital do Brasil. 
Temos acima exemplos de proposições simples, 
representadas geralmente por letras minúsculas. 
Proposição simples é aquela que não contém 
mais de uma proposição como parte integrante 
de si mesma. Já a proposição composta é 
formada por duas ou mais proposições simples e 
representada por letras maiúsculas. Exemplos: 
 P: Pedro é médico e João é dentista; 
 Q: Se √2 é irracional, então 3√2 também 
é irracional. 
Conectivos lógicos 
São as expressões utilizadas para conectar as 
proposições simples, formando as proposições 
compostas. São eles: “e”, “ou”, “se então”, “se e 
somente se”. 
 
Tabela-verdade 
O valor lógico de uma proposição composta 
depende do valor lógico das proposições simples 
que a compõem. Por meio do dispositivo 
chamado tabela-verdade, figuram todos os 
possíveis valores lógicos da proposição 
composta, correspondentes a todas as possíveis 
atribuições de valores lógicos das proposições 
simples. O número de linhas da tabela-verdade é 
igual a 2n, onde n é o número de proposições 
simples. Isso decorre do princípio fundamental 
da contagem, pois cada proposição simples tem 
dois possíveis valores lógicos (V ou F). 
 
Para uma proposição composta A formada por 
duas proposições simples p e q temos: 
 
p q A 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Cada linha traz uma das possibilidades: as duas 
proposições verdadeiras (1ª linha), as duas 
falsas (4ª linha), a primeira verdadeira e a 
segunda falsa (2ª linha) ou a primeira falsa e a 
segunda verdadeira (3ª linha). A terceira coluna 
da tabela, correspondente aos valores lógicos da 
proposição A, depende da operação realizada 
com as proposições p e q. 
 
Operações lógicas sobre proposições 
 
1) Negação (~) 
Negar uma proposição é trocar seu valor lógico. 
Exemplo: 
 𝑝: √4 = 2. 
 ~𝑝: √4 ≠ 2. 
 
p ~p 
V F 
F V 
 
 
2) Conjunção (∧) 
A conjunção das proposições p e q, representada 
por 𝑝 ∧ 𝑞, significa “p e q” e seu valor lógico é a 
verdade quando p e q são ambas verdadeiras e 
a falsidade nos demais casos. 
 
p q p ∧ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
 
3) Disjunção (∨) 
A disjunção das proposições p e q, representada 
por 𝑝 ∨ 𝑞, significa “p ou q” e seu valor lógico é 
a falsidade quando p e q são ambas falsas e a 
verdade nos demais casos. 
 
p q p ∨ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
4) Condicional (→) 
Condicional é uma proposição na forma “se p, 
então q”, onde p é chamado de antecedente e q 
é o consequente. Representada por 𝑝 → 𝑞, seu 
valor lógico é a falsidade quando p é verdadeira 
e q falsa, e a verdade nos demais casos. 
RESUMOS 
 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 
5) Bicondicional (↔) 
Bicondicional é uma proposição na forma “p se e 
somente se q”. Representada por 𝑝 ↔ 𝑞, seu 
valor lógico é a verdade quando p e q possuem 
ambas o mesmo valor lógico e a falsidade nos 
demais casos. 
 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 
Tautologia, contradição e contingência 
Uma proposição composta que é sempre 
verdadeira chama-se tautologia. A proposição 
composta que é sempre falsa chama-se 
contradição, e caso a proposição não seja 
tautologia nem contradição ela é chamada de 
contingência. 
 
 
Exercício resolvido 
Mostre que a proposição 𝐴 = (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑝 → 𝑞 
é tautológica. 
 
Resolução: vamos construir a tabela-verdade da 
proposição. Devemos operar inicialmente o que 
está entre parênteses, seguindo a ordem: 
1. Negações; 
2. Conjunções ou disjunções; 
3. Condicionais; 
4. Bicondicionais. 
Portanto, devemos fazer inicialmente 𝑝 ∨ 𝑞. 
Depois negamos a proposição p e fazemos a 
conjunção de 𝑝 ∨ 𝑞 com ~p. Finalmente, o 
resultado obtido é o antecedente do condicional 
cujo consequente é q. A tabela-verdade fica da 
seguinte maneira (mostrando o que se pede): 
 
p q p ∨ q ~p (p ∨ q) ∧ ~p A 
V V V F F V 
V F V F F V 
F V V V V V 
F F F V F V